Прежде чем перейти к вычислениям, поясним сказанное несколькими примерами.
Первый пример – уже неоднократно упоминавшийся пример из кинетической теории газюе или капельных жидкостей. Система образуется
$n$ материальными точками, которые движутся в цилиндрическом сосуде с твердыми стенками, закрытом совершенно плотным поршнем, движущимся без трения. Движение материальных точек происходит совершенно так, как движутся, согласно воззрениям механической теории теплоты, молекулы газа, следующего закону ван-дер-Ваальса, или молекулы капельной жидкости. Увеличение живой силы, хотя бы за счет получаемых откудато извне молекулярных ударов, соответствует подведенному теплу, которое пошло на повышение температуры, тогда как работа против действующих между $n$ материальными точками внутренних сил соответствует внутренней работе. $s$ переменных – это величины, необходимые для определения положения $n$ материальных точек.
Поршень движется только медленно, так что его давление все время приблизительно равно противодавлению материальных точек, между которыми постоянно осуществляется равновесие живой силы. Переменные в количестве $g$ определяют положение поршня. Работа силы, с которой поршень действует на материальные точки, есть внешняя работа. Она равна работе сил, действующих на поршень извне. Такая система при достаточно большом числе молекул есть неподлинный цикл: она изокинетична, конечна и измерима, но это не периодическая система.
Второй пример: модель центрального движения. Подобно тому как мы это сделали в конце § $41\left[{ }^{165}\right]$, мы рассматриваем центральное движение одной-единственной материальной точки. Но мы позаботимся о-том, чтобы во время этого центрального движения обе постоянные $\lambda$ и $a$, которые определяют закон действия центральной силы, могли изменяться медленно.
Вместо допущения Клаузиуса о непосредственном изменении законов природы мы предположим, что изменение $\lambda$ и а вызвано обычными механическими средствами. Прежде всего, если речь идет о центральном движении планеты вокруг Солнца, то мы можем себе представить, что извне на Солнце все время падают массы (метеориты), так что его масса, а следовательно, и сила притяжения Солнцем планеты возрастают со временем. Если бы мы хотели построить замкнутый процесс, аналогичный круговому процессу Карно, то сначала, например, должны были бы падать массы на Солнце. При этом получалась бы внешняя работа. Затем должна была бы быть уменьшена живая сила центрального движения, которой соответствует тепловая энергия нагретого тела. После этого следовало бы упомянутые массы удалить с Солнца на бесконечно большое расстояние. При этом пришлось бы затратить меньшее количество работы, чем было выиграно прежде, при падении масс на Солнце, так как теперь планета более удалена и дает меньшую силу притяжения. Наконец, нужно было бы привести энергию обращения планеты опять к прежнему уровню путем соответствующего подвода энергии извне. Мы предполагаем, что конфигурация, положение и скорости системы в конце снова оказываются теми же, что и в начале процесса. Так как траектория была бы всегда замкнутой, то уже имелась бы полная аналогия со вторым законом термодинамики. Если обозначить через $\bar{T}$ среднюю живую силу планеты в ее движении вокруг Солнца и через $\delta Q$ – ту энергию, которая в течение бесконечно малой части процесса должна быть подведена к планете путем повышения живой силы ее обращения вокруг Солнца, то полным дифференциалом будет не $\delta Q$, а величина $\frac{\delta Q}{T}$, поскольку масса Солнца увеличивается или уменьшается все время настолько медленно, что можно принять, что за время полного обращения планеты это увеличение и уменьшение малы и происходят равномерно. Можно было бы это подтвердить путем детальных вычислений, но падение масс на Солнце является процессом, неудобным для расчетов.
Можно себе представить некоторое устройство, правда, несколько абстрактное с физической точки зрения, но более ясное с механической точки зрения, которое с большой общностью иллюстрирует все возможные случаи. Пусть очень маленький, совершенно гладкий шарик массы $m$ движется по гладкой горизонтальной плоскости. К шарику привязана гибкая нерастяжимая невесомая нить, которая проходит через отверстие в плоскости, затем свешивается вертикально и несет на конце лишенный массы магнитный полюс $A$, который может двигаться без трения в вертикальной трубке. Под этим полюсом, на одной вертикали с ним находится весьма короткий магнит, который может вращаться вокруг горизонтальной оси; два очень близких полюса этого магнита назовем $B$ и $C$.
Во время центрального движения, совершаемого шариком, можно путем маленьких ударов медленно сообщать шарику добавочную живую силу (это соответствует притоку тепла), а также медленно вращать магнит (соответственно движению поршня). Таким образом можно медленно изменить состояние системы, а затем опять, другим путем, возвратиться к старому состоянию движения. Можно, например, при более медленном движении шарика $m$ вращать короткий магнит, затем сообщить добавочную живую силу, после этого при быстром движении повернуть магнит в старое положение и, наконец, убавить живую силу настолько, чтобы она вернулась к прежнему значению, и при этом изменить направление движения так, чтобы в конце концов получилась прежняя траектория при том же положении магнита. Переменные, определяющие положение массы $m$ на плоскости, – те же, которые мы раньше назвали $s$-переменными; $g$-переменные сводятся теперь к одной, именно к углу поворота магнита.
Можно двумя способами достичь того, что внешняя сила, действующая на магнит, не будет изменяться периодически во время неварьированного движения, а будет медленно изменяться со временем только в том случае, когда движение варьируется. Первый способ состоит в том, что мы считаем время обращения массы $m$ очень малым, а момент инерции магнита относительно его оси вращения очень большим, так что за время перехода массы $m$ из перигелия в афелий магнит поворачивается на исчезающе малый угол. Во-вторых, можно себе представить, что на горизонтальной плоскости вместо одной массы имеется бесконечное множество совершенно одинақовых масс $m$, которые находятся во всех возможных фазах одного и того же центрального движения и, не мешая друг другу, движутся одна независимо от другой и все находятся одинаковым образом под воздействием магнита через посредство одинаковых вышеописанных устройств. Таким путем система может быть превращена в изокинетическую в смысле Гельмгольца, а также и в подлинно циклическую. Последнее – в том случае, если все эти массы уже в начальный момент непрерывно распределены соответствующим образом по площади, которую они описывают с течением времени в центральном движении. Но в этом случае для определения положения одной из материальных точек, находящихся в состоянии центрального движения, кроме медленно изменяющихся координат, которые определяют положение магнита или магнитов, недостаточно задания одной циклической переменной: для этого нужны две переменные (две прямоугольные координаты на плоскости, или длина дуги траектории и направление движения на заданном расстоянии от центра сил).
Если желательно, чтобы центральное движение каждой массы происходило по ньютоновскому закону тяготения, то нельзя применять обыкновенный магнит, а нужно, чтобы полюс $A$ притягивался более близким полюссом $B$ с силой, обратно пропорциональной первой степени расстояния, а полюом $C$ – с такой же силой отталкивался. Тогда опять-таки полным диф-
ференциалом будет не $\delta Q$, а $\frac{\delta Q}{\bar{T}}$. Если имеются одновременно два магнита, из которых один обладает только что указанными свойствами, а другой действует по тому же закону, что и обыкновенный магнит, и притом оба магнита могут вращаться один независимо от другого, то получается движение, при котором центральная сила следует закону, упомянутому в конце $\S 41$, причем обе постоянные $\lambda$ и а можно изменять одну независимо от другой.
В последнем случае таюже и $\frac{\delta Q}{\bar{T}}$ не является полным дифференциалом; отсюда можно видеть, что не для всех изокинетических, а также не для всех подлинно циклических систем $\frac{\delta Q}{\bar{T}}$ есть полный дифференциал. За подробными расчетами для всех этих примеров я отсылаю к статьям в Wien. Sitz. Ber., II, 92, стр. 853, октябрь 1885; Exn. Rep. d. Physik, 22, стр. 135.
Третий примере некоторая масса быстро вращается вокруг оси, причем ее расстояние от оси является медленно изменяющимся параметром. Это – поучительный пример циклической системы в расширенном смысле, согласно терминологии Герца, системы, которая не является подлинным циклом. Этот пример в дальнейшем, ради краткости, будет именоваться центробежной моделью. По поводу прекрасной аналогии, которую поведение этого простого устройства обнаруживает с теоремой Карно и с поведением совершенных газов, смотри мои «Лекции о максвелловой теории электричества и света», т.I, лекция 2. В той же книге (лекции 4 и 6) описано устройство, в котором возможны два, не зависящих одно от другого циклических движения.
Четвертый пример: модель $c$ потоком жидкости. Лишенная трения несжимаемая жидкость находится в состоянии безвихревого движения в замкнутом канале.
Форма канала, а также его поперечное сечение в различных местах могут медленно изменяться, однако без изменения общей емкости канала. Эта система является подлинным циклом.
