Гамильтон показал, как представить образованную им при несколько более узких предположениях функцию $\Phi$,
\[
\Phi=\int_{t_{0}}^{t_{2}}(F-L) d t,
\]

в виде функции времени $t=t_{1}-t_{0}$ и значений координат, соответствующих моментам $t_{1}$ и $t_{0}$. Мы обозначим координаты и импульсы для момента $t_{1}$ соответственно через $p_{i}$ и $s_{i}$, а для момента $t_{0}$ – через $\mathfrak{p}_{i}$ и $\mathfrak{E}_{i}$. Предполагается, что в течение времени $t_{1}-t_{0}$ изменения координат $p_{i}$ происходят согласно законам движения. Тогда, очевидно, интеграл, обозначенный через $\Phi$, может быть вычислен как функция переменных $p_{i}, \mathfrak{p}_{i}$ и $t$; в этом случае мы имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}=-s_{i}, \\
\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}=\mathfrak{s}_{i}, \\
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=E,
\end{array}\right\}
\]

или
\[
d \Phi=E d t-\sum_{i}\left(s_{i} d p_{i}\right)+\sum_{i}\left(\mathfrak{s}_{i} d \mathfrak{p}_{i}\right) .
\]

Это преобразование может быть выполнено также и при более широких допущениях, сделанных нами в § 1*). Для цели, которую мы ставим здесь

перед собой, будет достаточно сделать это в предположении, что силы $P_{i}$ равны нулю. В остальном функция $H$ может быть любой функцией $p_{i}$ и $q_{i}$, лишь бы она удовлетворяла упомянутым выше условиям непрерывности.

Две первые системы уравнений (59), как известно, получӓются при выполнении интегрирования по частям, с помощью которого при варьировании функции $\Phi$ переходят от $\delta q_{i}$ к $\delta p_{i}$. Входящая в третье из уравнений (59) частная производная по времени $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ получается, если искать изменение функции $\Phi$, которому она подвергается при продолжении действительного движения на промежуток времени $d t$. При этом $p_{i}$ возрастает на $q_{i} d t$; другой стороны, уравнение (2) показывает, что упомянутая вариация $\Phi$ равняется конечному значению $H \cdot d t$. Таким образом,
\[
H \cdot d t=\left[\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}} q_{i}\right)\right] d t .
\]

или на основании уравнений (59) и (18)
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=E \text {. }
\]

Из уравнений (59) вытекают следующие соотношения между величинами $s_{i}, \mathfrak{F}_{i}$ и $E$, если они представлены как функции переменных $p_{i}, \mathfrak{p}_{i}$ и $t$ :
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial s_{i}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial s_{j}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial s_{i}}{\partial p_{j}}=-\frac{\partial \mathfrak{s}_{j}}{\partial p_{i}}, \frac{\partial \mathfrak{\xi}_{i}}{\partial \mathfrak{p}_{j}}=\frac{\partial \mathfrak{s}_{j}}{\partial \mathfrak{p}_{i}}, \\
\frac{\partial E}{\partial p_{i}}=-\frac{\partial s_{i}}{\partial t}, \quad \frac{\partial E}{\partial p_{i}}=\frac{\partial \mathfrak{s}_{i}}{\partial t} .
\end{array}
\]

Если эти условия выполнены, то
\[
E d t-\sum_{i}\left(s_{i} d p_{i}\right)+\sum_{i}\left(\mathfrak{F}_{i} d \mathfrak{p}_{i}\right)=d \Phi
\]

является полным дифференциалом функции переменных $p_{i}, \mathfrak{p}_{i}$ и $t$.
Соотношения между $E, s_{i}$ и $\xi_{i}$
Впрочем, величины $E, s_{i}$ и $\mathfrak{s}_{i}$, входящие в уравнение (63), если они должны соответствовать энергии и импульсам в движении системы, возможном при отсутствии внешних сил, не будут вполне независимы одна от другой. В самом деле, уравнения движения системы, как уже показал Гамильтон, могут быть представлены системой уравнений
\[
\xi_{i}=\text { const. }
\]

Так как $\mathfrak{s}_{i}$ суть функции величин $p_{i}, t$ и $\mathfrak{p}_{i}$, то отсюда, вообще говоря, $p_{i}$ могут быть определены как функции времени $t$ и величин $\mathfrak{p}_{i}$ и $\mathfrak{g}_{i}$, играюцих роль постоянных интеграции; этим задается положение системы для любого последующего момента. Если в случае консервативной системы полученные таким путем значения $p_{i}$ подставить в выражение для $E$, то $E$ обратится в функцию переменных $\mathfrak{p}_{i}$ и $\mathfrak{\xi}_{i}$, которая тогда уже не может зависеть от времени. Возвращаясь к уравнениям (59), найдем
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=F\left(\mathfrak{p}_{i}, \frac{\partial \Phi}{\partial \mathfrak{p}_{i}}\right) ;
\]

это значит, что для функции Ф должно иметь место дифференциальное уравнение первого порядка между ее частными производными $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ и $\frac{\partial \Phi}{\partial \mathfrak{p}_{i}}$, причем коэффициенты в этом уравнении зависят только от $\mathfrak{p}_{i}$.

Точно так же мы можем проследить и обратный путь системы от некоторого конечного положения, причем мы значения $p_{i}$ и $s_{i}$ должны рассматривать как постоянные. Тогда уравнения
\[
s_{i}=\text { const }
\]

дают величины $\mathfrak{p}_{i}$ в функции $t$ и постоянных значений $s_{i}$ и $\mathfrak{p}_{i}$. Если подставить эти выражения для $\mathfrak{p}_{i}$ в выражение функции $E$, последняя оказывается представленной как функция $s_{i}$ и $\mathfrak{p}_{i}$ при полном исключении $t$. Отсюда следует, что для функции $\Phi$ должно существовать второе дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=G\left(p_{i}, \frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}\right)
\]

между частными производными $\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ и $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{i}}$, козффициенты которого зависят тольюко от $p_{i}$.

Оба эти уравнения у Гамильтона носят более определенный характер, ибо он рассматривает обе составные части кинетического потенциала как заранее данные и притом в старой, более узкой форме, тогда как мы здесь разыскиваем лишь самый вид тех движений, которые соответствуют одновременно и принципу сохранения энергии, и принципу наименьшего действия.

К этому нужно еще добавить, что каждая пара соответствующих $s_{i}$ и $\mathfrak{\xi}_{i}$ должна представлять собою значения одной и той же функции в начале и в конце промежутка времени $t$. Поэтому, если мы применим дифференциальное уравнение (63) к весьма малым промежуткам времени $t$, то для действительного движения следует положить
\[
p_{i}-\mathfrak{p}_{i}=q_{i} t,
\]

причем эти $q_{i}$ будут тем больше приближаться к значениям соответствующих скоростей, чем меньше $t$. Тогда разность $s_{i}-\xi_{i}$ с убыванием $t$ должна стремиться к нулю. Если дифференциальное уравнение (63) и эти добавочные условия удовлетворены, то удовлетворены и условия вариационной задачи.

Наконец, остается только оставить $\mathfrak{p}_{i}$ постоянными, а $p_{i}$ изменять так, как они изменяются при действительном движении в течение элемента времени $d t$, т. е. положить $d \mathfrak{p}_{i}=0$ и $d p_{i}=q_{i} d t$.
Таким путем получаем из уравнения (63)
\[
d \Phi=\left[E-\Sigma\left(s_{i} q_{i}\right)\right] d t,
\]

или
\[
\Phi=\int_{0}^{t} d t\left[E-\Sigma\left(s_{i} q_{i}\right)\right],
\]

где $E, s_{i}$ и $q_{i}$ под знаком интеграла получают значения, которые они имеют в действительности в момент $t$, отсчитанный от начала соответствующего движения. Это – прежнее представление функции $\Phi$. Что это выражение для $\Phi$, будучи определено для действительно пройденного системой пути, должно удовлетворять условию минимума, 一 это показывает уравнение (63′). В самом деле, если мы представим себе путь системы из положения, которое у нас обозначается индексом 0 , в положение, обозначенное индексом 2 , раз

деленным на две части промежуточным переменным положением, которое мы назовем 1 , то согласно уравнению (68)
\[
\Phi_{0,2}=\Phi_{0,1}+\Phi_{1,2} .
\]

Если мы теперь будем варьировать координаты промежуточного положения, то на основании уравнения (63′) будем иметь
\[
\delta \Phi_{0,1}=-\delta \Phi_{1,2}=-\Sigma\left(s_{i} \cdot \delta p_{i}\right),
\]

а следовательно :
\[
\delta \Phi_{0,2}=0 .
\]

Это можно распространить, как легко видеть, на любое деление пути, на любое число путей; отсюда следует, что интеграл $\Phi_{0,2}$ не меняется, если происходят какие-либо небольшие изменения промежуточных положений.

Теорема о минимуме зависит от соблюдения уравнения (63′), так же как и само это уравнение зависит от выполнения условия минимума, и это имеет место как для обобщенного вида функции $H$, так и для первоначального, более узкого, из которого исходили Лагранж и Гамильтон.

Изложенные в этом параграфе условия, которые налагаются на величины, входящие в дифференциал (63′), сводятся к уравнению, которое дает $E$ как функцию $p_{i}$ и $s_{i}$, если воспользоваться преобразованием К. Якоби*).