Я постараюсь показать, что если условие устойчивости для замкнутой орбиты есть $\oint 2_{1}^{3} p_{i} d q^{i}=n h$, то условия устойчивости для квазипериодических движений неизбежно будут иметь вид $\oint p_{i} d q^{i}=n_{i} h$ ( $n_{i}$ – целое число, $i=1,2,3$ ). Таким образом, условия кратности Зоммерфельда также приводят к резонансу фазовой волны.
Отметим сначала, что, поскольку электрон имеет конечные размеры (если, как мы принимаем, условия устойчивости зависят от реакций, оказываемых на него его собственной фазовой волной), то должно быть совпадение по фазе между всеми частями волны, проходящей на расстоянии от центра электрона, которое меньше малого, но конечного значения, порядка, например, величины радиуса электрона ( $10^{-13} \mathrm{cM}$ ). Непринятие этого предположения означало бы, что электрон является геометрической точкой без размеров и луч его фазовой волны представляет собой линию нулевой плотности. Это невозможно с физической точки зрения.
Напомним теперь известное свойство квазипериодических траекторий. Если $M$ – положение центра движущегося тела на траектории в заданный момент и если из $M$ как центра будет описана произвольная сфера малого, но конечного радиуса $R$, то можно будет найти бесконечное число таких интервалов времени, к концу каждого из которых движущееся тело вернется в сферу радиуса $R$.
Кроме того, каждый из этих интервалов времени или «приближенных периодов» $\tau$ будет удовлетворять равенствам
\[
\tau=n_{1} T_{1}+\varepsilon_{1}=n_{2} T_{2}+\varepsilon_{2}=n_{3} T_{3}+\varepsilon_{3},
\]
где $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$ являются периодами изменения (либрации) координат $q^{1}, q^{2}$ и $q^{3}$. Количества $\varepsilon_{i}$ могут быть сделаны меньшими некоторого заранее заданного малого, но конечного числа $\eta$. Чем меньше будет $\eta$, тем длиннее будет наиболее короткий из периодов $\tau$.
Предположим, что радиус $R$ выбран равным максимальному расстоянию действия фазовой волны на электрон, т. е. расстоянию, которое было определено выше. Тогда к каждому приближенному периоду $\tau$ можно будет применить условие совпадения фаз в форме
\[
\int_{0}^{\tau} \sum_{1}^{3} p_{i} d q^{i}=n h,
\]
которое можно также написать в виде
$n_{1} \int_{0}^{T_{1}} p_{1} \dot{q}_{\mathrm{i}} d t+n_{2} \int_{0}^{T_{2}} p_{2} \dot{q}_{2} d t+n_{3} \int_{0}^{T_{3}} p_{3} \dot{q}_{3} d t+\varepsilon_{1}\left(p_{1} \dot{q}_{1}\right)_{\tau}+\varepsilon_{2}\left(p_{2} \dot{q}_{2}\right)_{\tau}+\varepsilon_{3}\left(p_{3} \dot{q}_{3}\right)_{\tau}=n h$.
Но условие резонанса никогда не выполняется строго. Если математик требует, чтобы разность фаз при резонансе была точно равна $n \cdot 2 \pi$, то физик должен удовлетвориться тем, что она равна $n \cdot 2 \pi \pm \alpha$, где $\alpha$ меньше малой, но конечной величины $\varepsilon$, которая, если можно так выразиться, измеряет область, где резонанс можно считать физически реализованным.
Величины $p_{i}$ и $\dot{q}_{i}$ остаются во время движения конечными; можно найти шесть таких величин $P_{i}$ и $\tilde{Q}_{i}$, которые всегда дадут
\[
p_{i}<P_{i}, \quad \dot{q}_{i}<\dot{Q}_{i} . \quad(i=1,2,3) .
\]
Выберем предел $\eta$ так, чтобы $\eta \sum_{1}^{3} P_{i} \dot{Q}_{i}<\frac{\varepsilon h}{2 \pi}$; мы видим, что при написании условия резонанса для каждого из приближенных периодов можно будет пренебречь членами с $\varepsilon_{i}$ и написать
\[
n_{1} \int_{0}^{T_{1}} p_{1}^{\prime} p_{1}^{\prime} \dot{q}_{1}{ }^{\prime} d t+n_{2} \int_{0}^{T} p_{2} p_{2} \dot{q}_{2} d t+n_{3} \int_{0}^{T} p_{3} \dot{q}_{3} d t=n h .
\]
В левой части уравнения $n_{1}, n_{2}$ и $n_{3}$ являются известными целыми числами, в правой части $n$-произвольное целое. Мы имеем бесконечное число подобных уравнений с различными значениями $n_{1}, n_{2}$ и $n_{3}$. Чтобы удовлетворить этим уравнениям, необходимо и достаточно, чтобы каждый из интегралов
\[
\int_{0}^{T_{1}} p_{i} \dot{q}_{i} d t=\oint p_{i} d q_{i}
\]
был равен целому кратному $h$.
Это и есть условие Зоммерфельда.
Предыдущее доказательство кажется убедительным. Однако здесь нужно выдвинуть одно возражение. Условия устойчивости могут начать играть роль только через промежуток времени порядка самого короткого из интервалов времени $\tau$, который уже очень велик; если бы, например, этого пришлось ждать миллион лет, то это равносильно тому, что эти условия никогда
не осуществятся. Это возражение не существенно, так как периоды $\tau$ могут быть очень большими по сравнению с периодом либрации $T_{i}$, но могут быть очень малыми по отношению к обычной шкале времени; действительно, в атоме периоды $T_{i}$ имеют величину от $10^{-15}$ до $10^{-20}$ сек.
Можно себе представить величину приближенных периодов в случае траектории Зоммерфельда $L_{2}$ для водорода. Вращение перигелия во время периода либрации радиуса-вектора порядка $10^{-5} \cdot 2 \pi$. Наиболее короткий из приближенных периодов будет, таким образом, приблизительно в $10^{5}$ раз больше периода радиальной переменной ( $10^{-15}$ сек.) и будет порядка $10^{-10}$ сек. Таким образом, действительно получается, что условия устойчивости начнут играть роль через промежуток времени, недоступный нашим наблюдениям, и следовательно, траектории без резонанса покажутся нам несуществующими.
Принцип примененного здесь рассуждения был заимствован у Л. Бриллюэна, который писал в своей диссертации (стр. 351): «Чтобы интеграл Мопертюи, взятый для всех приближенных периодов $\tau$, был целым кратным $h$, нужно, чтобы каждый из интегралов, относящихся к каждой переменной и взятый для соответствующего периода, был равен целому числу квантов; именно так Зоммерфельд излагает свои квантовые условия».
