Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для системы масс, находящейся под действием притягивающих или отталкивающих сил – при соблюдении принципа живых сил – сумма существующих мгновенно живых сил всех масс при переходе из одного заданного в другое, также заданное положение, имеет максимум или минимум.

Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае ; но, как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить поэтому метод неопределенных множителей $\left[{ }^{43}\right]$. Этим путем, вводя непосредственно независимые переменные системы, я пришел к тем общим уравнениям движения, которые даны в «Аналитической механике» (ч. II, отд. 4) и к которым Лагранж пришел или посредством прямого преобразования координат, или посредством применения общих уравнений вариационного исчисления к этим преобразованиям.

Метод, которым пользуюсь я, представляет собой замечательный пример применения метода неопределенных множителей в теории максимумов и минимумов, а также пример того, как эти множители вполне определяются при помощи граничных условий. Этот метод, кроме того, имеет то преимущество, что обе функции $T$ и $V$ здесь непосредственно вводятся в вычисления; из них-первая представляет собой половину суммы живых сил, а другая – интеграл суммы количеств движения.

Эта функция $T$ будет всегда, какие бы переменные мы ни вводили, однородной функцией второй степени относительно производных от независимых переменных, так что, если эти переменные обозначить через $\xi, \psi, \varphi$ и т. д., а их производные – через $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}$, то будем иметь уравнение [44
\[
2 T=\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}} \xi^{\prime}+\frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}} \psi^{\prime}+\frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}} \varphi^{\prime}+\ldots
\]

Принцип наименьшего действия требует, чтобы интеграл
\[
\int T d t
\]

имел максимум или минимум при условии, что начальное и конечное положения заданы ; в связи с этим вариации координат на обоих пределах интеграла равны нулю. Вариация $\delta \int T d t$, или $\int \delta(T d t)[45]$, должна, следовательно, также быть равной нулю. Но принцип живых сил дает условие
\[
T+V=H,
\]

где $H$ обозначает произвольную постоянную.

Согласно методам вариационного исчисления нужно к интегралу

прибавить
\[
\begin{array}{c}
\int \delta T d t \\
\int \lambda d t(\delta T+\delta V)\left[{ }^{46}\right],
\end{array}
\]

где $\lambda$ – переменный неопределенный множитель; тогда вариации не зависят от условного уравнения.
Теперь уравнение для минимума получает вид
\[
\int\{\delta T d t+\lambda d t(\delta T+\delta V)\}=0 .
\]

Но нужно считать переменным и время [47] ; в самом деле, координаты получают вполне определенные изменения только на пределах, тогда как изменения времени остаются совершенно произвольными. Но можно сначала оставить время неизменяющимся, если только позднее вместо вариаций $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ ввести величины
\[
\delta \xi-\xi^{\prime} d t, \quad \delta \psi-\psi^{\prime} d t, \quad \delta \varphi-\varphi^{\prime} d t, \ldots
\]

и к той части, которая не находится под знаком интеграла, прибавить член T $\left.\delta t^{*}\right)$.
Таким образом, мы имеем :
\[
0=\int d t[(\lambda+1) \delta T+\lambda \delta V],
\]

где
\[
\delta V=\frac{\partial V}{\partial \xi} \delta \xi+\frac{\partial V}{\partial \varphi} \delta \psi+\frac{\partial V}{\partial \varphi} \delta \varphi+\ldots
\]

и
\[
\delta T=\frac{\partial T}{\partial \xi} \delta \xi+\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}} \frac{d \delta \xi}{d t}+\frac{\partial T}{\partial \psi} \delta \psi+\frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}} \frac{d \delta \psi}{d t}+\frac{\partial T}{\partial \varphi} \delta \varphi+\frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}} \frac{d \delta \varphi}{d t}+\ldots \quad\left[{ }^{49}\right] .
\]

Путем интегрирования по частям исключим двойной символ $d \delta$; а если теперь принять во внимание вариацию времени, то мы получим следующее преобразованное уравнение :
\[
0=U+\int\left\{\Xi\left(\delta \xi-\xi^{\prime} \delta t\right)+\Psi\left(\delta \psi-\psi^{\prime} \delta t\right)+\Phi\left(\delta \varphi-\varphi^{\prime} \delta t\right)+\ldots\right\} d t,
\]

в котором
\[
U=T \delta t+(\lambda+1)\left[\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}\left(\delta \xi-\xi^{\prime} \delta t\right)+\ldots\right]
\]

или
\[
\begin{array}{l}
U=(\lambda+1)\left(\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}} \delta \xi+\frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}} \delta \psi+\frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}} \delta \varphi+\ldots\right)-(2 \lambda+1) T \delta t \\
\Xi=\lambda \frac{\partial V}{\partial \xi}+(\lambda+1) \frac{\partial T}{\partial \xi}-\frac{d(\lambda+1) \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}}{d t} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Следовательно, мы имеем неопределенные уравнения:
\[
\boldsymbol{\Xi}=0, \quad \Psi=0, \quad \Phi=0, \ldots,
\]

к которым надо добавить уравнение
\[
T+V=H,
\]

чтобы исключить $\lambda$, а граничное уравнение имеет вид
\[
U_{2}-U_{1}=0 ;
\]

но на пределах интегрирования вариации $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ равны нулю ; поэтому уравнение приводится к виду
\[
(2 \lambda+1)_{1} \delta t_{1}-(2 \lambda+1)_{2} \delta t_{2}=0 .
\]

Так как вариации $\delta t_{1}, \delta t_{2}$ независимы, то мы получаем уравнения
\[
(2 \lambda+1)_{1}=0, \quad(2 \lambda+1)_{2}=0,
\]

которым должна удовлетворять величина $\lambda$. Если теперь помножить уравнения
\[
\Xi=0, \quad \Psi=0, \quad \Phi=0, \ldots \bullet
\]

соответственно на $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$ и прибавить полученные результаты к первому уравнению, то после всех упрощений, принимая во внимание уравнение $d T+d V=0$, получим
\[
(2 \lambda+1) d T+T d(2 \lambda+1)=0 .
\]

Из этого уравнения следует
\[
2 \lambda+1=\frac{K}{T},
\]

где $K$ – произвольная постоянная; чтобы удовлетворить условиям на границах, следует, очевидно, положить $K=0$. Тогда получается просто
\[
2 \lambda+1=0, \quad \lambda=-\frac{1}{2} .
\]

Если это значение подставить в уравнения движения, то получаются следующие уравнения :
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial \xi} d t+\frac{\partial V}{\partial \xi}-d t=0 \\
d \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial \psi} d t+\frac{\partial V}{\partial \psi} d t=0 \\
\text {. . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

которые, как мы видим, являются уравнениями аналитической механики.
Если бы переменные не были независимыми одна от друугой и если бы, следовательно, существовали условные уравнения $M=0, N=0$ и т. д., то, очевидно, в предыдущих уравнениях добавились бы члены
\[
\mu \frac{\partial M}{\partial \xi} d t, \quad
u \frac{\partial N}{\partial \psi}-d t, \ldots,
\]

где $\mu, v, \ldots$ суть неопределенные коэффициенты.