Принцип наименьшего действия, как известно, состоит в том, что для системы масс, находящейся под действием притягивающих или отталкивающих сил — при соблюдении принципа живых сил — сумма существующих мгновенно живых сил всех масс при переходе из одного заданного в другое, также заданное положение, имеет максимум или минимум.

Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае ; но, как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить поэтому метод неопределенных множителей $\left[{}^{43}\right]$. Этим путем, вводя непосредственно независимые переменные системы, я пришел к тем общим уравнениям движения, которые даны в «Аналитической механике» (ч. II, отд. 4) и к которым Лагранж пришел или посредством прямого преобразования координат, или посредством применения общих уравнений вариационного исчисления к этим преобразованиям.

Метод, которым пользуюсь я, представляет собой замечательный пример применения метода неопределенных множителей в теории максимумов и минимумов, а также пример того, как эти множители вполне определяются при помощи граничных условий. Этот метод, кроме того, имеет то преимущество, что обе функции $T$ и $V$ здесь непосредственно вводятся в вычисления; из них-первая представляет собой половину суммы живых сил, а другая — интеграл суммы количеств движения.

Эта функция $T$ будет всегда, какие бы переменные мы ни вводили, однородной функцией второй степени относительно производных от независимых переменных, так что, если эти переменные обозначить через $\xi ,\psi ,\phi$ и т. д., а их производные — через ${\xi }^{\prime },{\psi }^{\prime },{\phi }^{\prime }$, то будем иметь уравнение [44
$$2T=\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}{\xi }^{\prime }+\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}{\psi }^{\prime }+\frac{\partial T}{\partial {\phi }^{\prime }}{\phi }^{\prime }+\dots$$

Принцип наименьшего действия требует, чтобы интеграл
$$\int Tdt$$

имел максимум или минимум при условии, что начальное и конечное положения заданы ; в связи с этим вариации координат на обоих пределах интеграла равны нулю. Вариация $\delta \int Tdt$, или $\int \delta (Tdt)[45]$, должна, следовательно, также быть равной нулю. Но принцип живых сил дает условие
$$T+V=H,$$

где $H$ обозначает произвольную постоянную.

Согласно методам вариационного исчисления нужно к интегралу

прибавить
$$\begin{array}{c}\int \delta Tdt\\ \int \lambda dt(\delta T+\delta V)\left[{}^{46}\right],\end{array}$$

где $\lambda$ — переменный неопределенный множитель; тогда вариации не зависят от условного уравнения.
Теперь уравнение для минимума получает вид
$$\int \{\delta Tdt+\lambda dt(\delta T+\delta V)\}=0.$$

Но нужно считать переменным и время [47] ; в самом деле, координаты получают вполне определенные изменения только на пределах, тогда как изменения времени остаются совершенно произвольными. Но можно сначала оставить время неизменяющимся, если только позднее вместо вариаций $\delta \xi ,\delta \psi ,\delta \phi ,\dots$ ввести величины
$$\delta \xi -{\xi }^{\prime }dt,\delta \psi -{\psi }^{\prime }dt,\delta \phi -{\phi }^{\prime }dt,\dots$$

и к той части, которая не находится под знаком интеграла, прибавить член T $\delta t^{\ast })$.
Таким образом, мы имеем :
$$0=\int dt[(\lambda +1)\delta T+\lambda \delta V],$$

где
$$\delta V=\frac{\partial V}{\partial \xi }\delta \xi +\frac{\partial V}{\partial \phi }\delta \psi +\frac{\partial V}{\partial \phi }\delta \phi +\dots$$

и
$$\delta T=\frac{\partial T}{\partial \xi }\delta \xi +\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}\frac{d\delta \xi }{dt}+\frac{\partial T}{\partial \psi }\delta \psi +\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}\frac{d\delta \psi }{dt}+\frac{\partial T}{\partial \phi }\delta \phi +\frac{\partial T}{\partial {\phi }^{\prime }}\frac{d\delta \phi }{dt}+\dots \left[{}^{49}\right].$$

Путем интегрирования по частям исключим двойной символ $d\delta$; а если теперь принять во внимание вариацию времени, то мы получим следующее преобразованное уравнение :
$$0=U+\int \{\mathrm{\Xi }(\delta \xi -{\xi }^{\prime }\delta t)+\mathrm{\Psi }(\delta \psi -{\psi }^{\prime }\delta t)+\mathrm{\Phi }(\delta \phi -{\phi }^{\prime }\delta t)+\dots \}dt,$$

в котором
$$U=T\delta t+(\lambda +1)[\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}(\delta \xi -{\xi }^{\prime }\delta t)+\dots ]$$

или
$$\begin{array}{l}U=(\lambda +1)(\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}\delta \xi +\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}\delta \psi +\frac{\partial T}{\partial {\phi }^{\prime }}\delta \phi +\dots )-(2\lambda +1)T\delta t\\ \mathrm{\Xi }=\lambda \frac{\partial V}{\partial \xi }+(\lambda +1)\frac{\partial T}{\partial \xi }-\frac{d(\lambda +1)\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}}{dt}\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\end{array}$$

Следовательно, мы имеем неопределенные уравнения:
$$\mathbf{\Xi }=0,\mathrm{\Psi }=0,\mathrm{\Phi }=0,\dots ,$$

к которым надо добавить уравнение
$$T+V=H,$$

чтобы исключить $\lambda$, а граничное уравнение имеет вид
$$U_2-U_1=0;$$

но на пределах интегрирования вариации $\delta \xi ,\delta \psi ,\delta \phi ,\dots$ равны нулю ; поэтому уравнение приводится к виду
$$(2\lambda +1{)}_1\delta t_1-(2\lambda +1{)}_2\delta t_2=0.$$

Так как вариации $\delta t_1,\delta t_2$ независимы, то мы получаем уравнения
$$(2\lambda +1{)}_1=0,(2\lambda +1{)}_2=0,$$

которым должна удовлетворять величина $\lambda$. Если теперь помножить уравнения
$$\mathrm{\Xi }=0,\mathrm{\Psi }=0,\mathrm{\Phi }=0,\dots \bullet$$

соответственно на $d\xi ,d\psi ,d\phi ,\dots$ и прибавить полученные результаты к первому уравнению, то после всех упрощений, принимая во внимание уравнение $dT+dV=0$, получим
$$(2\lambda +1)dT+Td(2\lambda +1)=0.$$

Из этого уравнения следует
$$2\lambda +1=\frac{K}{T},$$

где $K$ — произвольная постоянная; чтобы удовлетворить условиям на границах, следует, очевидно, положить $K=0$. Тогда получается просто
$$2\lambda +1=0,\lambda =-\frac{1}{2}.$$

Если это значение подставить в уравнения движения, то получаются следующие уравнения :
$$\begin{array}{l}d\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}-\frac{\partial T}{\partial \xi }dt+\frac{\partial V}{\partial \xi }-dt=0\\ d\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}-\frac{\partial T}{\partial \psi }dt+\frac{\partial V}{\partial \psi }dt=0\\ \text{. . . . . . . . . . . . }\end{array}$$

которые, как мы видим, являются уравнениями аналитической механики.
Если бы переменные не были независимыми одна от друугой и если бы, следовательно, существовали условные уравнения $M=0,N=0$ и т. д., то, очевидно, в предыдущих уравнениях добавились бы члены
$$\mu \frac{\partial M}{\partial \xi }dt,u\frac{\partial N}{\partial \psi }-dt,\dots ,$$

где $\mu ,v,\dots$ суть неопределенные коэффициенты.