Если уравнения (4) последовательно умножить на $q_{i}$ и сложить, то получим
\[
\begin{array}{l}
\sum P_{i} q_{i}=-\sum\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} q_{i}\right)+\frac{d}{d t} \sum_{i}\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)-\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}\right)= \\
=-\frac{d}{d t}\left[H-\sum\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)\right] .
\end{array}
\]

Если, как и раньше, положить
\[
E=H-\sum\left(q_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right),
\]

то можно написать
\[
\Sigma^{\prime}\left(P_{i} q_{i}\right) d t+\frac{d E}{d t} d t=0 .
\]

Здесь первая сумма выражает внешнюю работу сил $P_{i}$ за элемент времени $d t$. Таким образом, получается, что мерой убывания или возрастания величины $E$ служит соответственно положительная или отрицательная работа, которую совершают эти силы. Отсюда следует, что $E$ обозначает запас энергии системы, выраженный через ее координаты $p_{i}$ и скорости $q_{i}$. Отсюда видно, что принцип наименьшего действия, взятый в форме § 1, включает всегда принцип постоянства энергии.

С другой стороны, не является необходимым, чтобы принцип наименьшего действия был пригоден во всех мыслимых случаях, которые подчинены закону постоянства энергии. Можно к системе уравнений (4) сделать разнообразные добавления, которые во всяком случае не мешают выводу уравнения (19), но устраняют возможность облечения задачи в вариационную форму. Например, прибавим член вида $\varphi \cdot q_{j}$ к тому из уравнений (4), которое содержит индекс $i$, и член вида – $\varphi \cdot q_{i}$-к уравнению с индексом $j$, где $\varphi$ есть какая-то функция координат. Если теперь для вывода уравнения энергии первое из названных уравнений помножить на $q_{i}$, а второе – на $q_{j}$, то добавочные члены взаимно уничтожаются и постоянство энергии попрежнему остается. Однако соответствующую вариацию
\[
\varphi\left(q_{j} \delta p_{i}-q_{i} \delta p_{j}\right)
\]

можно считать полной вариацией функции переменных $p_{i}$ и $q_{i}$ только в том случае, когда функция $\varphi$ зависит только от переменных $q_{i} p_{j}$ и $q_{j} p_{i}$.

Если бы функция $\varphi$, взятая в добавочных членах, не зависела от скоростей, то соответствующее движение не было бы обратимым. Но мы могли бы взять за $\varphi$ некоторую линейную функцию скоростей; тогда все движение могло бы протекать и в обратном направлении.

Так как такие члены мы можем вставить в любую выбранную пару уравнений системы (4), то можно представить себе весьма много разнообразных случаев, в которых оказывается справедливым закон постоянства энергии, но не принцип наименьшего действия.

Отсюда следует, что последний принцип там, где он имеет место, выражает некоторый особый характер консервативных сил, который еще не вытекает из определения этих сил как консервативных.
Пояснительные примеры
В дальнейшем нам придется неоднократно приводить примеры, которые сделают наглядным значение полученных предложений; поэтому я позволю себе уже здесь описать несколько случаев, на которые я мог бы коротко ссылаться не только в связи с уже изложенным в этом и предыдущем параграфах, но также и при дальнейшем изложении.

Пример 1. Волчок. Пусть волчок есть тело вращения в кардановом подвесе; внешнее кольцо а может вращаться вокруг вертикальной оси; угол поворота этого кольца, отсчитанный в некоторой определенной вертикальной плоскости, мы назовем $a$; второе кольцо, $b$, может вращаться относительно первого вокруг горизонтальной оси, причем угол между плоско-

стями колец $a$ и $b$ я обозначу через $\beta$. Пусть ось вращения волчка расположена в кольце $b$ перпендикулярно к оси относительного вращения колец $a$ и $b$. Угол между определенной меридиональной плоскостью волчка и плоскостью кольца $b$ пусть будет $\gamma$; момент инерции волчка относительно его оси вращения обозначим через $\mathfrak{A}$, момент инерции относительно одной из его экваториальных осей – через $\mathfrak{B}$; моментами инерции колец пренебрегаем. Тогда живая сила волчка выразится следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} \mathfrak{A}\left[\frac{d \gamma}{d t}+\cos \beta \frac{d \alpha}{d t}\right]^{2}+\frac{1}{2} \mathfrak{R}\left[\sin ^{2} \beta\left(\frac{d \alpha}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \beta}{d t}\right)^{2}\right], \\
H=-L .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда получаются обобщенные силы $A, B$ и $C$, стремящиеся увеличить углы $\alpha, \beta$ и $\gamma$ :
\[
\begin{array}{l}
A=-\frac{d}{d t}\left[\mathfrak{U} \cos \beta\left(\frac{d \gamma}{d t}+\cos \beta \frac{d \alpha}{d t}\right)+\mathfrak{B} \sin ^{2} \beta \frac{d \alpha}{d t}\right], \\
B=-\mathfrak{U} \sin \beta\left(\frac{d \gamma}{d t}+\cos \beta \frac{d \alpha}{d t}\right) \frac{d \alpha}{d t}+\mathfrak{B} \sin \beta \cos \beta\left(\frac{d \alpha}{d t}\right)^{2}-\mathfrak{B} \frac{d^{2} \beta}{d t^{2}}, \\
C=-\frac{d}{d t}\left[\mathfrak{U}\left(\frac{d \gamma}{d t}+\cos \beta \frac{d \alpha}{d t}\right)\right] .
\end{array}
\]

Сила $A$ есть попросту вращающий момент, который стремится вращать кольцо $a$; такое же значение имеет сила $B$ по отношению к кольцу $b$. Что касается силы $C$, то она стремится вращать волчок относительно кольца $b$, поэтому она выражает взаимодействие между кольцом $b$ и волчком.
Если сила $C$ отсутствует, то из уравнения (23) имеем
\[
\mathfrak{A}\left(\frac{d \gamma}{d t}+\cos \beta \frac{d \alpha}{d t}\right)=c .
\]

Отсюда получается значение $H^{\prime}$ согласно уравнению (7) :
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{\mathfrak{A}}-\frac{1}{2} \mathfrak{B}\left[\sin ^{2} \beta\left(\frac{d \alpha}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \beta}{d t}\right)^{2}\right]+c \cos \beta \frac{d \alpha}{d t} .
\]

Значения сил $A$ и $B$ получаются из уравнений (21), (22) и (24):
\[
\left.\begin{array}{l}
A=\frac{d}{d t}\left(c \cos \beta-\mathfrak{B} \sin ^{2} \beta \frac{d \alpha}{d t}\right), \\
B=c \sin \beta \frac{d \alpha}{d t}+\mathfrak{B} \sin \beta \cos \beta\left(\frac{d \alpha}{d t}\right)^{2}-\mathfrak{B} \frac{d^{2} \beta}{d t^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Первый, постоянный, член в формуле для $H^{\prime}$ может быть опущен, так как в конечном счете он входит только в произвольную постоянную функции $E$; последний член, линейный, отсутствует в выражении для $L$.

Пример 2. Электродинамическое действие замкнутой цепи тока по потенциальному закону *).

Мы будем понимать под $I_{j}$ силу тока в $i$-й цепи, а под $p_{i}$ – координаты весомых масс, живой силой которых мы пренебрегаем. Функция $H$ имеет форму
\[
H=-\frac{1}{2} \sum_{j} \sum_{k}\left(Q_{j, k} \cdot I_{j} \cdot I_{k}\right)
\]

где $Q_{j, k}$ суть функции $p_{i}$, а каждый из индексов $j$ и $k$ принимает последовательно значения, соответствующие всем электрическим цепям. Индуцированіные электромагнитные силы, которые я буду обозначать через $\mathfrak{F}_{j}$, таковы :
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{F}_{j}=-\sum_{k}\left[\frac{d}{d t}\left(Q_{j, k}, I_{k}\right)\right], \\
P_{i}=\frac{1}{2} \sum_{j} \sum_{k}\left(\frac{\partial Q_{j, k}}{\partial p_{i}} I_{j} I_{k}\right) .
\end{array}
\]

Если действует также постоянный магнит, положение которого определяется координатой $p_{0}$, то в выражение для $H$ входит еще ряд линейных членов, которые я обозначу через $h$ и которые имеют вид
\[
h=\sum_{j}\left(R_{j} \cdot I_{j}\right)
\]

где $R_{i}$ – функции координат $p_{i}$ и $p_{0}$. Определение сил происходит по тому же самому методу. Полная электродинамическая энергия выражается так:
\[
E=H-\sum_{j}\left[I_{j} \cdot \frac{\partial H}{\partial I_{j}}\right]=-H .
\]

Функция $h$ здесь выпадает, так как
\[
h-\sum_{j}\left(I_{j} \cdot \frac{\partial h}{\partial I_{j}}\right)=0 .
\]

Входящая сюда величина $E=-H$, как и живая сила весомых масс для замкнутых цепей, с… существенно положительная величина. Я показал это в моих работах по электродинамике *). Кроме того, $E$ есть однородная функция второй степени от $I_{i}$, а потому здесь можно повторить соображения, высказанные в конце $\S 1$, по которым определитель величин $\frac{\partial^{2} H}{\partial I_{i} \partial I_{j}}$ не может быть равен тождественно нулю.

Пример 3. Термодинамика. Законы обратимых тепловых процессов при выборе соответствующих координат могут быть представлены **) в следующей форме :
\[
\left.\begin{array}{rl}
P_{i} & =-\frac{\partial}{\partial p_{i}}(\mathfrak{F}-L)-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right), \\
\frac{d Q}{d t} & =-\vartheta \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathfrak{I}}{\partial \vartheta}\right), \\
E & =\mathfrak{F}-\vartheta \frac{\partial \mathfrak{I}}{\partial \vartheta}+L .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $\mathfrak{F}$ – функция координат $p_{i}$ и абсолютной температуры $\vartheta$ (я называю эту функцию «свободной энергией»), $L$ – живая сила видимых движений тяжелых масс, следовательно, однородная функция второй степени величин $p_{i}$ и $q_{i}$, не зависящая от $\vartheta ; d Q$ – количество тепла, поступающее в тело извне за элемент времени $d t$, т. е. работа, которую совершают внешние силы, действие которых состоит только в увеличении теплового движения.

К той же самой форме при измененных переменных мы приходим, полагая
\[
\frac{\partial \mathfrak{J}}{\partial \vartheta}=-\mathcal{S},
\]

где $S$ – некоторая функция от $s$ и далее, полагая
\[
\left.\begin{array}{rl}
\vartheta \frac{\partial S}{\partial s} & =\eta, \\
H & =\mathfrak{F}-\vartheta \frac{\partial \mathfrak{J}}{\partial \vartheta}-\eta \cdot s .
\end{array}\right\}
\]

Если величины $H$ и $s$ выразить как функции $p_{i}$ и $\eta$ [см. Abhandlungen, т. I, уравнение $\left.\left(1^{d}\right)\right]^{*}$ ), то эти уравнения могут быть написаны следующим образом [155] :
\[
\begin{aligned}
\frac{d Q}{d t} & =\vartheta \frac{d S}{d t}=\eta \frac{d s}{d t} \\
P_{i} & =-\frac{\partial}{\partial p_{i}}(H-L)-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right), \\
E & =H-\eta \cdot \frac{\partial H}{\partial \eta}+L .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения подобно уравнениям (31) и (32) имеют такую же форму (см. §3), что и уравнения движения моноциклических систем, кинетический потенциал которых есть $H-L$ и для которых $\eta$ обозначает скорость, $s$ – импульс в моноциклическом движении.

Если обозначить через $P_{(\eta)}$ силу, действующую в направлении скорости $\eta$, то мы будем иметь
\[
P_{(\eta)} \cdot \eta \cdot d t=d Q
\]

Аналогия с выражениями Лагранжа, следовательно, здесь сохраняется, каким бы образом ни зависела энтропия $S$ от импульса $s$ моноциклического движения. Возможность соединения одинаково нагретых систем тел в одну систему и кинетическая теория газов заставляют в этом случае принять
\[
\begin{array}{l}
\vartheta=s \cdot q, \\
S=-\frac{\partial \Im}{\mid \partial \vartheta}=C \ln s .
\end{array}
\]

Поэтому следовало бы для каждой данной системы тел считать, что температура пропорциональна живой силе теплового движения, как это до меня, по-видимому, пытались сделать Клаузиус и Больцман **). Последующие применения этого примера не зависят от вопроса о соотношении между функциями $S$ и $s$.

Тепловое движение, по-видимому, следует рассматривать как наиболее важный пример исключения координат $p_{k}$; поэтому $H$ может быть сложной функцией $\vartheta$ или $\eta$. Однако мои исследования, касающиеся сложных моноциклических систем, показали, что и значительно более сложные виды движений, гораздо более сходные с внутренними молекулярными движениями, также могут вести к таким же законам.