358. Теорема. Временной интеграл энергии при переходе свободной голономной системы из данного начального положения в достаточно близкое конечное положение меньше для естественного движения, чем для любого другого возможного движения, которое переводит систему в одинаковое время из данного начального положения в заданное конечное положение.
Именно, если мы сравним сначала движения на одном и том же пути длины $S$, то среди них интеграл от энергии по времени достигает минимума для тех движений, для которых скорость $v$ является постоянной. Ибо, так как сумма величин $v d t$ имеет заданное значение, то сумма величин $v^{2} d t$ достигнет тогда и лишь тогда наименьшего значения, если все $v$ равны. Если, однако, скорость $v$ постоянна, то интеграл от энергии по времени равен $\frac{1}{2} m S^{2} / T$, где $T$ есть продолжительность перехода. Так как $T$ дано, то для различных путей системы интеграл от энергии по времени получается как квадрат длины пути; первая величина, таким образом, как и последняя, имеет минимальное значение для естественного пути.
359. Примечание 1. Если отбросить ограничения о достаточно близких положениях, то интеграл от энергии по времени не необходимо имеет минимум, однако его вариация всегда исчезает при переходе к другим рассматриваемым движениям п. 348 .
360. Примечание 2. Предыдущая теорема соответствует принципу Гамильтона. Если мы желаем точно выразить свое к нему отношение, то должны поступить так же, как в п. 350 .
361. Примечание 3. Теорема п. 358 и следствие п. 354 согласованы между собой в том, что они среди известных классов возможных движений выделяют естественное движение благодаря одному и тому же признаку,
именно, минимальному значению интеграла от энергии по времени. Однако они существенно различаются друг от друга благодаря тому, что рассматривают совершенно различные классы возможных движений.
362. Примечание 4. Теорема о сохранении энергии есть необходимое следствие теоремы п. 358, и поэтому теорема эта, будучи представлена как принцип, может полностью заменить основной закон, однако лишь применительно к голономным системам. Если отбросить ограничение о голономности системы, то мы получим также определенные, но стоящие в противоречии с основным законом движения материальных систем.
\[
\text { О бз о р пп. } 347-362
\]
363. Если мы пользуемся теоремами пп. 347, 352, 354, 358, выражающими свойства естественных движений, как принципами для полного или частичного определения этих движений, то мы делаем происходящие в настоящее время изменения в состоянии системы зависящими от таких особенностей движения, которые могут наступить лишь в будущем и которые часто в жизни человека являются желательными для достижения определенной цели. Это обстоятельство иногда приводило физиков и философов к тому, чтобы усмотреть в законах механики выражение сознательного намерения в отношении будущих целей, связанного с предвидением наиболее целесообразных средств. Такое понимание, однако, не является необходимым и даже не является допустимым.
364. Что такое понимание этих принципов не необходимо, следует из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы обозначением цели, познаются нами как мыслимо необходимые следствия закона, в котором не содержится выражение предвидения будущего.
365. Что указанное понимание принципов недопустимо, следует из того, что свойства ‘естественного движения, которые являются обозначением стремления к будущему результату, имеются не у всех естественных движений. Если бы природа действительно имела целью достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии и кратчайшего времени, то невозможно понять, как могут существовать системы, в которых, несмотря на возможность достижения этих целей, природа постоянно терпит в этом неудачу.
366. Если желают видеть выражение определенной воли в том, что системы среди всех возможных элементов пути выбирают всегда прямейший, то это – слишком свободное понимание. В этом случае выражение определенной воли можно было бы видеть в том, что естественная система выбирает из всех возможных движений не произвольные движения, но только такие, которые отмечены особыми признаками и которые заранее могут быть определены.
Аналитическое представление.
Дифференциальные уравнения движения
367. Объяснение. Под дифференциальными уравнениями движения системы понимаем дифференциальные уравнения, в которых время является независимым переменным, а координаты системы – зависимыми переменными и которые вместе с начальным положением и начальной скоростью однозначно определяют движение системы (п. 331).
368. $\quad 3$ адача 1. Представить дифференциальные уравнения движения свободной системы в прямоугольных координатах последней.
В уравнении (d) п. $155\left[{ }^{193}\right]$ мы имели дифференциальные уравнения прямейшего пути системы в прямоугольных координатах. В эти уравнения

мы введем вместо длины пути время $t$ в качестве независимой переменной. По основному закону $d s / d t=v$ независимо от $t$ и, следовательно, от $s$; поэтому мы имеем
\[
\dot{x}_{v}=x_{v}^{\prime} v, \quad \ddot{x}_{
u}=x_{v}^{\prime \prime} v^{2} .
\]

Если мы умножим уравнение (d) п. 155 на $m v^{2}$ и положим для сокращения $m v^{2} \Xi_{L}=X_{L}$, то получим для решения задачи $3 n$ уравнений вида
\[
m_{v} \ddot{x}_{v}+\sum_{L=1}^{i} x_{L} X_{L}=0,
\]

которые вместе с $i$ уравнениями (см. уравнение (b) п. 155)
\[
\sum_{v=1}^{3 n} x_{L v} \ddot{x}_{v}+\sum_{v=1}^{3 n} \sum_{\mu=1}^{3 n} \frac{\partial x_{L v}}{\partial x_{\mu}} \dot{x}_{v} \dot{x}_{\mu}=0
\]

определяют $3 n+i$ величин $\ddot{x}_{v}$ и $X_{L}$ как однозначные функции $x_{v}$ и $x_{v}$.
369. Примечание 1. Уравнения движения свободной системы в форме п. 368 называют обыкновенно уравнениями Лагранжа 1-го рода.
370. Примечание 2. Каждое отдельное уравнение (а) п. 368 дает, после того как определено $X_{L}$, компоненту ускорения системы вдоль определенной прямоугольной координаты системы.
371. 3 адача 2. Выразить дифференциальные уравнения движения свободной системы в обобщенных координатах $p_{\varrho}$.
Дифференциальные уравнения прямейшего пути, выраженные через $p_{\varrho}$, мы находим в уравнении (с) п. $158\left[{ }^{194}\right]$. В эти последние введем вместо длины пути время как независимую переменную, а также заметим, что по основному закону
\[
\dot{p}_{\varrho}=p_{\varrho}^{\prime} v, \quad \ddot{p}_{\varrho}=p_{\varrho}^{\prime \prime} v^{2} .
\]

Следовательно, если мы уравнения (с) п. 158 умножим на $m v^{2}$ и заменим $m v^{2} \Pi_{\star}$ через $P_{\varkappa}$, то получим $r$ уравнений:
\[
m\left\{\sum_{\sigma=1}^{r} a_{\varrho \sigma} \ddot{p}_{\sigma}+\sum_{\sigma=1}^{r} \sum_{\tau=1}^{r}\left(\frac{\partial a_{\varrho \sigma}}{\partial p_{\tau}}-\frac{1}{2} \frac{\partial a_{\sigma \tau}}{\partial p_{\varrho}}\right) \dot{p}_{\sigma} \dot{p}_{\tau}\right\}+\sum_{\tau=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} P_{\varkappa}=0,
\]

которые вместе с $k$ уравнениями (см. уравнения (b) п. 158)
\[
\sum_{\varrho=1}^{r} p_{\varkappa \varrho} \ddot{p}_{\varrho}+\sum_{\varrho=1}^{r} \sum_{\sigma=1}^{r} \frac{\partial p_{\varkappa \varrho}}{\partial p_{\sigma}} \dot{p}_{\varrho} \dot{p}_{\sigma}=0
\]

определяют $r+k$ величин $\ddot{p}_{\varrho}$ и $P_{x}$ как однозначные функции $p_{\varrho}$ и $\dot{p}_{\varrho}$.
372. Примечание. Используя соотношение п. $277\left[{ }^{195}\right]$, мы запишем уравнения движения (а) п. 371 в форме
\[
m f_{\varrho}+\sum_{\varkappa=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} P_{\kappa}=0 .
\]

Каждое из этих уравнений определяет компоненту ускорения системы вдоль координаты $p_{\ell}$, выраженную в функции мгновенных положений и скоростей системы.

373. Следствие 1. Если мы выразим с помощью уравнения (а) п. 291 компоненту ускорения через энергию, то уравнения движения свободной системы примут вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial p}{\partial \dot{p}_{\varrho}}\right)-\frac{\partial_{p} E}{\partial p_{\varrho}}+\sum_{x=1}^{k} p_{\varkappa \varrho} P_{\varkappa}=0 .
\]
374. Примечание 1. Дифференциальные уравнения в этой форме называются обобщенными уравнениями Лагранжа 2-го рода (см. п. 369).
375. Примечание 2. Если координата $p_{e}$ является свободной, то она не встречается в уравнениях условий системы (п. 140) [196]; соответствующие величины $p_{\text {ж }}$ равны нулю и уравнения движения, отнесенные к $p_{\varrho}$, принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial_{p} E}{\partial \dot{p}_{\varrho}}\right)-\frac{\partial_{p} E}{\partial p_{\varrho}} \doteq 0 .
\]

В голономной системе (п. 144) всегда можно уравнения движения представить в этой простой форме.
376. Следствие 2. Уравнения движения свободной голономной системы, для которой имеем $r$ свободных координат $p_{e}$, можно записать в виде $2 r$ уравнений (пп. 289, 375) $\left[{ }^{197}\right]$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{\varrho}=\frac{\partial_{p} E}{\partial \dot{p}_{\varrho}}, \\
\dot{q}_{\varrho}=\frac{\partial_{p} E}{\partial p},
\end{array}
\]

из которых первые содержат лишь определения, а последние содержат факты опыта. Уравнения движения в этой форме можно понимать как $2 r$ дифференциальных уравнений первого порядка, которые с $2 r$ начальными значениями определяют $2 r$ величин $p_{e}$ и $q_{e}$ в виде функций времени.
377. Примечание 1. Уравнения (a) и (b) п. 376 можно назвать уравнениями движения в форме Пуассона.
378. Примечание 2. Из уравнений п. 376 следуют два соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial_{p} \dot{q}_{\varrho}}{\partial p_{\sigma}}=\frac{\partial_{p} \dot{q}_{\sigma}}{\partial p_{\varrho}}, \\
\frac{\partial_{p} q_{\varrho}}{\partial \dot{p}_{\sigma}}=\frac{\partial_{p} \dot{q}_{\sigma}}{\partial \dot{p}_{\varrho}},
\end{array}
\]

которые обладают простым физическим смыслом. Оба соотношения содержат элементы опыта и служат для всякого возможного движения системы, следовательно, могут быть использованы при определенных обстоятельствах для проверки основного закона.

Третье аналогичное соотношение, выведенное только из равенства (а) п. 376 , было бы только следствием наших определений.
379. Следствие 3. Уравнения движения свободной голономной системы можно записать в форме $2 r$ уравнений (пп. 290, 289, 292, 375) [198]:
\[
\dot{p}_{\varrho}=\frac{\partial_{q} E}{\partial q}, \quad \dot{q}_{\varrho}=-\frac{\partial_{q} E}{\partial p_{\varrho}},
\]

среди которых первые содержат лишь определения, а последние – факты опыта. Уравнения движения в этой форме можно рассматривать как $2 r$ дифференциальных уравнений первого порядка, которые вместе с $2 r$ начальными данными определяют в виде функций времени $2 r$ величин $p_{e}$ и $q_{\varrho}$. 380. Примечание 1. Уравнения (a) и (b) п. 379 обычно называют уравнениями движения свободной системы в форме Гамильтона.

381. Примечание 2. Из уравнений п. 379 следуют два взаимных соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial_{q} \dot{q}_{e}}{\partial p_{\sigma}}=\frac{\partial_{q} \dot{q}_{\sigma}}{\partial p_{\varrho}}, \\
\frac{\partial \dot{p}_{e}}{\partial p_{\sigma}}=-\frac{\partial_{q} \dot{q}_{\sigma}}{\partial q_{\sigma}},
\end{array}
\]

которые обладают простым физическим смыслом. Оба соотношения содержат элементы опыта и выделяют естественные движения из всех возможных движений. Они могут, таким образом, при особых обстоятельствах подтвердить обратной проверкой основной закон. Третье аналогичное соотношение, которое может быть выведено только из уравнения (а) п. 379 , было бы только следствием наших определений и, таким образом, не имело бы механического смысла. Нужно отметить, что уравнения (a) пп. 378 и 381 представляют различные высказывания, а не одно и то же высказывание в различной форме.