39. Рассмотрим теперь четвертый принцип, а именно, принцип наименьшего действия.

Если мы обозначим через $и$ скорость любого тела $m$ системы, то будем иметь
\[
u^{2}=\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}},
\]

и уравнение живых сил (п. 34) [35] примет следующий вид :
\[
S_{m}\left(\frac{u^{2}}{2}+I I\right)=H
\]

если последнее выражение продифференцировать в смысле символа $\delta$, то оно даст
\[
S_{m}(u \delta u+\delta \Pi)=0 .
\]

Но так как $I$ является функцией $p, q, r, \ldots$, то мы имеем
\[
\delta \Pi=P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots
\]

Таким образом,
\[
\operatorname{Sm}_{m}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)=-\operatorname{Sim}_{m} \delta u .
\]

Это уравнение всегда будет иметь место, если
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

представляет собою интегрируемую величину и если связь между телами не зависит от времени ; оно перестает быть верным, когда одно из приведенных условий не выполнено.

Если указанное выше выражение теперь подставить в общую формулу динамики (п. 5, отд. II) $\left[{ }^{36}\right]$, то последняя примет следующий вид :
\[
S_{m}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z-u \delta u\right)=0 .
\]

Ho
\[
\begin{aligned}
a^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z & = \\
= & d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)-d x d \delta x-d y d \delta y-d z d \delta z .
\end{aligned}
\]

Так как символы $d$ и $\delta$ выражают совершенно независимые друг от друга дифференциал и вариацию, то величины $d \delta x, d \delta y, d \delta z$ должны представлять собою то же самое, что и $\delta d x, \delta d y, \delta d z$. Кроме того, ясно, что
\[
d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z=\frac{1}{2} \delta\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right) .
\]

Таким образом, мы имеем
\[
\begin{aligned}
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z= & \\
= & =d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)-\frac{1}{2} \delta\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Пусть $s$ представляет собою пространство или дугу, описанную телом $m$ за время $t$; тогда мы имеем
\[
d s=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}, \quad d t=\frac{d s}{u} .
\]

Следовательно,
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z=d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)-d s \delta d s,
\]

и отсюда
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z=\frac{d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z}{d t^{2}}-u^{2} \frac{\delta d s}{d s} .
\]

В силу этого рассматриваемая общая формула примет следующий вид:
\[
S_{m}\left[\frac{d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)}{d t^{2}}-u^{2} \frac{\delta d s}{d s}-u \delta u\right]=0,
\]

или, если все члены помножить на постоянный элемент $\left[{ }^{37}\right] d t=\frac{d s}{u}$ и принять во внимание, что $u \delta d s+d s \delta u=\delta(u d s)$,
\[
S_{m}\left[\frac{d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)}{d t}-\delta(u d s)\right]=0 .
\]

Так как знак интеграла $\int$ не связан со знаками дифференциалов $d$ и $\delta$, то последние можно поставить впереди интеграла, в результате чего уравнение примет следующий вид:
\[
d \boldsymbol{S}_{m}\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)-\delta \boldsymbol{S} m u d s=0 .
\]

Проинтегрируем это уравнение по отношению к знаку дифференциала $d$ и обозначим это интегрирование с помощью обычного знака интеграла $\int$; тогда мы получим
\[
S_{m}\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)-\int \delta S_{m u d}=\text { const. }
\]

Но знак $\int$ в выражении
\[
\int \delta S m u d s
\]

может относиться только к переменным $u$ и $s$ и не находится ни в какой связи со знаками $\boldsymbol{S}$ и $\delta$ поэтому ясно, что указанное выражение тождественно со следующим :
\[
\delta \boldsymbol{S} m \int u d s
\]

если мы предположим, что в’тех точках, где начинается интегрирование $\int u d s$,
\[
\delta x=0, \quad \delta y=0, \quad \delta z=0,
\]

то произвольная постоянная должна равняться нулю, так как в этих точках левая часть уравнения должна обратиться в нуль. Таким образом, в этих случаях мы имеем
\[
\delta S_{m} \int u d s=\boldsymbol{S}_{m}\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right) .
\]

Следовательно, если, сверх того, мы предположим, что вариации $\delta x, \delta y$, $\delta z$ равны нулю также и в тех точках, где интегрирование $\int u d s$ кончается, то мы получим просто
\[
\delta S m \int u d s=0,
\]
т. е. вариация величины $S_{m} \int u d s$ будет равна нулю; таким образом, эта последняя величина будет максимумом или минимумом.
Итак, отсюда вытекает следующая общая теорема.
При движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости, необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные, так что вариации координат, соответствующих этим точкам, равны нулю.

Такова теорема, которую под названием принципа наименьшего действия мы упомянули в конце первого отдела*).
40. Однако приведенная теорема не только содержит в себе интересное свойство движения тел, но может также послужить для определения этого движения. В самом деле, так как выражение $S_{m} \int u d s$ должно быть максимумом или минимумом, остается только, пользуясь методом вариаций, выяснить условия, при которых она может принять указанные выше значения; если применить общее уравнение сохранения живых сил, то мы всегда найдем все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела. Действительно, для существования максимума или минимума необходимо, чтобы вариация была равна нулю; следовательно, мы имеем
\[
\delta S m \int u d s=0 ;
\]

отсюда, проделав приведенные выше операции в обратном порядке, мы найдем ту общую формулу, из которой мы исходим.

Для того чтобы сделать этот метод более ясным, мы изложим его здесь в нескольких словах. Условие максимума или минимума вообще дает
\[
\delta \boldsymbol{S} m u d s=0 .
\]

Если знак дифференциала $\delta$ ввести под знаки $S$ и $\int$ (что согласно природе этих различных знаков, очевидно, допустимо), то мы получим уравнение
\[
S_{m} \int \delta(u d s)=0,
\]

или, дифференцируя в смысле символа $\delta$,
\[
S m \int(d s \delta u+u \delta d s)=0 .
\]

Я рассматриваю сначала первую часть этого выражения :
\[
S_{m} \int d s \delta u .
\]

Если вместо $d s$ подставить его значение $u d t$, то эта часть примет вид:
\[
S_{m} \int u \delta u d t
\]

или, если изменить порядок знаков $\boldsymbol{S}$ и $\int$, которые совершенно независимы друг от друга, то она примет следующий вид:
\[
\int d t \boldsymbol{S} m u \delta \text {. }
\]

Но общее уравнение принципа живых сил дает (п. 34)
\[
S_{m u^{2}}=2 H-2 \boldsymbol{S}_{m} I I,
\]

где $d \Pi$ равно
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots ;
\]

поэтому, если приведенное выражение продифференцировать в смысле символа $\delta$, то получим
\[
\mathbf{S}_{m u} \delta u=-\boldsymbol{S}_{m} \delta \Pi=-\boldsymbol{S}_{m}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) .
\]

Так как согласно допущению $П$ является алгебраической функцией $p, q, r, \ldots$, то дифференциал $\delta \Pi$ представляет собою то же самое, что и $d \Pi$, с заменой только символа $d$ символом $\delta$. Таким образом, величина
\[
S_{m} \int d s \delta u
\]

будет приведена к следующему виду:
\[
-\int d t \boldsymbol{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) .
\]

Затем я рассматриваю вторую часть
\[
S_{m} \int u \delta d s
\]

и подставляю в нее вместо элемента $d s$ его величину, выраженную с помощью прямоугольных координат или с помощью каких-либо других переменных. Если мы пользуемся прямоугольными координатами $x, y, z$, то
\[
d s=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}} ;
\]

следовательно, дифференцируя в смысле символа $\delta$, мы получим
\[
\delta d s=\frac{d x}{d s} \delta d x+\frac{d y}{d s} \delta d y+\frac{d z}{d s} \delta d z
\]

или, переставив знаки $d$ и $\delta$ и написав $d \delta$ вместо $\delta d$, что всегда допустимо

ввиду независимости этих символов,
\[
\delta d s=\frac{d x}{d s} d \delta x+\frac{d y}{d s} d \delta y+\frac{d z}{d s} d \delta z ;
\]

таким образом, подставив это значение и написав $d t$ вместо $\frac{d s}{u}$, мы получим
\[
\int u \delta d s=\int\left(\frac{d x}{d t} d \delta x+\frac{d y}{d t} d \delta y+\frac{d z}{d t} d \delta z\right) .
\]

Так как здесь под знаком интеграла $\int$ находятся дифференциалы вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, то следует их устранить, пользуясь известной операцией интегрирования по частям согласно правилам вариационного исчисления. Таким образом, величина $\int \frac{d x}{d t} d \delta x$ преобразуется в другую, ей эквивалентную:
\[
\frac{d x}{d t} \delta x-\int \delta x d \frac{d x}{d t} ;
\]

если предположить, что обе крайние точки кривой заданы, так что координаты, соответствующие пределам интеграла, не изменяются, то мы будем иметь просто
\[
\int \frac{d x}{d t} d \delta x=-\int \delta x d \frac{d x}{d t} .
\]

Аналогично найдем
\[
\int \frac{d y}{d t} d \delta y=-\int \delta y d \frac{d y}{d t} \quad \text { и } \int \frac{d z}{d t} d \delta z=-\int \delta z d \frac{d z}{d t} .
\]

Таким образом, мы получим следующее преобразованное выражение:
\[
\int u \delta d s=-\int\left(\delta x d \frac{d x}{d t}+\delta y d \frac{d y}{d t}+\delta z d \frac{d z}{d t}\right) .
\]

Следовательно, величина $S_{m} \int u \delta d s$, если переставить знаки $S$ и $\int$, a $d t$ считать постоянной величиной, примет следующий вид $\left[{ }^{40}\right]$ :
\[
-\int d t \boldsymbol{S}_{m}\left(\delta x d \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\delta y d \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\delta z d \frac{d^{2} z}{d t^{2}}\right) .
\]

Таким образом, мы получим следующее уравнение максимума или минимума :
\[
\int d t \boldsymbol{S} m\left(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots+\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)=0,
\]

которое, вообще говоря, должно иметь силу для всех возможных вариаций ; поэтому величина, стоящая под знаком $\int$, должна в любой момент быть равной нулю; таким образом, мы получим неопределенное уравнение
\[
S_{m}\left(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots+\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)=0,
\]

которое -представляет собою не что иное, как общую формулу динамики (отд. II, п. 5) и которое, следовательно, подобно ей даст все уравнения, необходимые для решения настоящей задачи.
41. Вместо координат $x, y, z$ можно также воспользоваться любыми другими неопределенными величинами, и тогда все сведется к тому, чтобы элемент дуги $d s$ выразить в функции этих неопределенных величин. Так, например, если взять радиус, или прямолинейное расстояние от начал?

координат, которое мы назовем $\rho$, и два угла, из которых один, $\psi$, пусть обозначает угол, образуемый упомянутым радиусом с плоскостью $x y$, а другой, $\varphi$, — угол, образуемый проекцией того же радиуса на указанную плоскость с осью $x$, то
\[
z=\rho \sin \psi, \quad y=\rho \cos \psi \sin \varphi, \quad x=\rho \cos \psi \cos \varphi,
\]

а отсюда мы получим
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=d \rho^{2}+\rho^{2}\left(d \psi^{2}+\cos ^{2} \psi d \varphi^{2}\right) ;
\]

это выражение можно было бы вывести и непосредственно, пользуясь геометрическим методом: Продифференцировав в смысле $\delta$ и написав $d \delta$ вместо $\delta d$, мы получим
$d s \delta d s=d \rho d \delta \rho+\rho\left(d \psi^{2}+\cos ^{2} \psi d \varphi^{2}\right) \delta \rho+$
\[
+\rho^{2}\left(d \psi d \delta \psi-\sin \psi \cos \psi d \varphi^{2} \delta \psi+\cos ^{2} \psi d \varphi d \delta \varphi\right),
\]

откуда, разделив на $d t=\frac{d s}{u}$ и проинтегрировав, получим
\[
\begin{aligned}
\int u \delta d s=\int d t\left[\frac{d \rho}{d t}\right. & \left.\frac{d \delta \rho}{d t}+\rho\left(\frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}+\cos ^{2} \psi \frac{d \rho^{2}}{d t^{2}}\right) \delta \rho\right]+ \\
& +\int d t\left(\rho^{2} \frac{d \psi}{d t} \frac{d \delta \psi}{d t}-\rho^{2} \sin \psi \cos \psi \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}} \delta \psi+\rho^{2} \cos ^{2} \psi \frac{d \varphi}{d t} \frac{d \delta \varphi}{d t}\right) .
\end{aligned}
\]

Двойной символ $d \delta$ под знаком $\int$ можно устранить путем интегрирования по частям. Сначала отбросим члены, содержащие вариации вне знака $\int$, так как эти вариации, которые в данном случае должны относиться к пределам интеграла, становятся равными нулю, благодаря принятому допущению, что начальные и конечные точки кривых, описываемых телами, наперед заданы и являются неизменными. В результате мы получим следующее преобразованное выражение :
\[
\begin{aligned}
\int u \delta d s=-\int d u \delta s & =-\int d t\left\{\left(\frac{d^{2} \rho}{d t^{2}}-\rho \frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}-\rho \cos ^{2} \psi \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}}\right) \delta \rho+\right. \\
& \left.+\left[\rho^{2} \sin \psi \cos \psi \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}}+\frac{d\left(\rho^{2} \frac{d \psi}{d t}\right)}{d t}\right] \delta \psi+\frac{d\left(\cos ^{2} \psi \frac{d \varphi}{d t}\right)}{d t} \delta \varphi\right\} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, уравнение максимума или минимума примет следующий вид :
\[
\begin{aligned}
\int d t S_{m}\{P \delta p+ & Q \delta q+R \delta r+\ldots+\left(\frac{d^{2} \rho}{d t^{2}}-\rho \frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}-\rho \cos ^{2} \psi \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}}\right) \delta \rho+ \\
+ & {\left.\left[\rho^{2} \sin \psi \cos \psi \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}}+\frac{d\left(\rho^{2} \frac{d \psi}{d t}\right)}{d t}\right] \delta \psi+\frac{d\left(\cos ^{2} \psi \frac{d \varphi}{d t}\right)}{d t} \delta \varphi\right\}=0 . }
\end{aligned}
\]

Если приравнять нулю величину, стоящую под знаком $\int$, мы получим неопределенное уравнение, аналогичное уравнению, приведенному в предыдущем пункте, которое, однако, вместо вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ будет содержать вариации $\delta \varrho, \delta \psi, \delta \varphi$; отсюда можно вывести уравнения, необходимые для решения поставленной задачи, если сначала все вариации свести к возможно

меньшему их числу и затем отдельно приравнять нулю все члены, в состав которых входит каждая из оставшихся вариаций.

Если воспользоваться другими неопределенными величинами, то мы получим иные формулы, но можно быть уверенным, что в каждом отдельном случае всегда можно получить наиболее простые формулы, вытекающие из природы этих неопределенных величин. Смотри Mémoires de l’Académie de Turin*), т. II, где этот метод был применен для разрешения различных вопросов механики [41].
42. Впрочем, так как $d s=u d t$, то величина
\[
\mathbf{S} m \int u d s
\]

которая представляет собою максимум или минимум, может быть приведена к следующему виду : $S_{m} \int u^{2} d t$ или $\int d t S_{m} u^{2}$, где $S_{m} u^{2}$ выражает живую силу всей системы в любое мгновение. Таким образом, рассматриваемый принцип сводится, собственно, к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, его можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы; эта формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей, как для движения, так и для равновесия; в самом деле, в отд. III «Статики» (п. 22) мы видели, что при прохождении положения равновесия живая сила системы всегда бывает наибольшей или наименьшей.