(Доложено на заседании от 25 января 1918 г. Ф.Клейном)
Под дифференциальным выражением я понимаю функцию
\[
f(x, d x)=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, d x_{1}, \ldots, d x_{n}\right)
\]
от $n$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и их дифференциалов $d x_{1}, \ldots, d x_{n}$, которая предполагается аналитической относительно обеих систем $n$ аргументов, но не обязательно вещественной. Я кладу в основу группу аналитических преобразований переменных, которой соответствует группа всех линейных преобразований дифференциалов :
\[
x_{i}=x_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), d x_{i}=\sum \frac{\partial x_{i}}{\partial y_{k}} d y_{k}, \delta x_{i}=\sum \frac{2 x_{i}}{\partial y_{k}} \delta y_{k} ;
\]
пусть эти преобразования переводят выражение $f(x, d x)$ в $g(y, d y)$. Под инвариантом выражения $f(x, d x)$ я понимаю инвариант в отношении этой группы и той группы, которая получается из этой группы для высших дифференциалов $d^{2} x, d \delta x, \ldots$ и для производных от $f(x, d x)$; иначе говоря, такую (аналитическую) функцию $J$, что для любого $f$ в силу уравнений (1) имеет место следующее равенство, тождественное в отношении переменных и всех встречающихся в нем дифференциалов :
\[
\begin{array}{l}
J\left(f, \frac{\partial f}{\partial d x}, \ldots, \frac{\partial e+\sigma}{\partial x^{e} \partial d x^{\sigma}}, \ldots, d x, \delta x, d^{2} x, \ldots\right)= \\
\left.=J\left(g, \frac{\partial g}{\partial d y}, \ldots, \frac{\partial e+\sigma g}{\partial y^{e} \partial d y^{\sigma}}, \ldots, d y, \delta y, d^{2} y, \ldots\right)^{*}\right) .
\end{array}
\]
В полном соответствии с этим должен определяться инвариант совместной системы дифференциальных выражений. В частности, если такой инвариант содержит только первые дифференциалы $d x, \delta x$ и производные только по этим дифференциалам, но не по самим переменным, то не имеет значения то обстоятельство, что в функции и в линейные выражения дифференциалов входят сами переменные ; эти специальные инварианты становятся инвариантами по отношению к группе всех линейных преобразований дифференциалов $d x, \delta x$ с неопределенными коэффициентами и должны быть названы проективными инвариантами совместной системы.
*) $\frac{\partial e+a f}{\partial x^{\varrho} \partial d x^{\sigma}}$ повсюду сокращенно ставится вместо
\[
\frac{\partial \varrho+\sigma f}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i \varrho} \partial d x_{k_{1}} \ldots \partial d x_{k \sigma}},
\]
где индексы обозначают числа от 1 до $n$.
Для квадратичных однородных дифференциальных форм Кристофель (Crelle, 70) и Риччи (Math. Annalen, 54) составили такую систему инвариантных образований, что все инварианты делаются проективными инвариантами этой совместной системы, чем вопросы о полноте инвариантов и об эквивалентности сведены к вопросам линейной теории инвариантов, что я назвала бы «теоремой приведения» (Reductionstheorem). Полная система состоит из счетного бесконечного множества форм; но для инвариантов каждого конечного порядка $\rho$ (т. е. таких, которые не содержат производных по переменным выше порядка $\rho$ ) – лишь из конечного множества форм.
В дальнейшем я покажу пригодность «теоремы приведения» для любых дифференциальных выражений; и именно здесь речь идет опять о полной системе бесконечного счетного множества инвариантных образований, которое, однако, оказывается конечным для любого конечного порядка. Но в то время как Кристофель и Риччи для образования инвариантов и для доказательства теоремы приведения опираются на трудно обозримые исключения, я получаю инварианты непосредственно путем инвариантного дифференцирования и варьирования (последнее может попросту рассматриваться как дифференцирование по другим параметрам). Алгоритм этого инвариантного дифференцирования был развит Риманом (Werke, XXII) и Липшицем (Crelle, 70, 72), работы которых примыкают к Лагранжу (Mécanique analytique, ч. 2, раздел IV). Но у них дело не доведено до теоремы приведения. Вспомогательное средство для доказательства теоремы приведения для квадратичных форм дают введенные Риманом «нормальные координаты» $\left[{ }^{208}\right]$ (Werke, XIII), которые преобразуют в прямые линии экстремали соответствующей вариационной задачи, выходящие из одной точки, но существуют только для однородных дифференциальных выражений :
\[
\left.f(x, x d x)=\Phi(x) \cdot f(x, d x)^{*}\right) .
\]
Неоднородный случай, впрочем, сводится к вышеуказанному случаю.
