19. Хотя наш общий метод в динамике предназначен главным образом для изучения систем притягивающихся или отталкивающихся точек, он не ограничивается ими, но может быть использован во всех вопросах, к которым применяется закон живых сил. Все анализы, приведенные в данной работе, и в особенности теория возмущений, могут быть не без пользы проиллюстрированы на следующих аналогичных рассуждениях и выводах, относящихся к движению одной точки.

Представим себе точку с тремя прямоугольными координатами $x, y, z$, движущуюся по орбите, определяемой тремя простыми дифференциальными уравнениями второго порядка, имеющими форму, аналогичную уравнениям (2), а именно :
\[
x^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta x} ; \quad y^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta y} ; \quad z^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta z},
\]

причем $U$ представляет собой любую данную функцию координат, не включающую явно время, и установим следующее определение, аналогичное (4):
\[
T=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) .
\]

При этом $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ представляют собой первые, а $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ — вторые производные координат, рассматриваемых как функции времени $t$. Если же для большей общности или простоты выразить прямоугольные координаты $x, y, z$ как функции трех других отметок положения $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$, то $T$ превратится в однородную функцию второй степени их первых производных $\eta_{1}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \eta_{3}^{\prime}$, взятых по времени, и если мы для сокращения положим
\[
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{1}^{\prime}}, \quad \bar{\omega}_{2}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{\underline{a}}^{\prime}}, \quad \bar{\omega}_{3}=\frac{\delta T}{\delta \eta_{3}^{\prime}},
\]

то $T$ можно рассматривать так же, как функцию
\[
T=F\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right),
\]

являющуюся однородной функцией второй степени по отношению к $\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}$. Можно также положить для сокращения
\[
F\left(\bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right)-U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right)=H,
\]

и тогда вместо трех дифференциальных уравнений второго порядка (78) мы можем применить шесть следующих уравнений первого порядка, аналогичных уравнениям (A) и полученных путем аналогичных рассуждений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=+\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{1}}, \quad \frac{d \eta_{2}}{d t}=+\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{2}}, \quad \frac{\delta \eta_{3}}{d t}=+\frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{3}}, \\
\frac{d \bar{\omega}_{1}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{1}}, \quad \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{2}}, \quad \frac{d \bar{\omega}_{3}}{d t}=-\frac{\delta H}{\delta \eta_{3}} .
\end{array}\right\}
\]
20. Строгие интегралы этих шести дифференциальных уравнений могут быть выражены в следующих формах, аналогичных (B) :
\[
\left.\begin{array}{lll}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}, & \bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}, & \bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{3}}, \\
p_{1}=-\frac{\delta S}{\delta e_{1}}, & p_{2}=-\frac{\delta S}{\delta e_{2}}, & p_{3}=-\frac{\delta S}{\delta e_{3}},
\end{array}\right\}
\]

где $e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ представляют собой начальные значения или значения при $t=0$ величин $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}$, а $S$ представляет собой определенный интеграл
\[
S=\int_{0}^{t}\left(\bar{\omega}_{1} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{1}}+\bar{\omega}_{2} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{2}}+\bar{\omega}_{3} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}_{3}}-H\right) d t,
\]

рассматриваемый как функция $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3}$ и $t$. Величина $H$ не меняется в процессе движения, и функция $S$ должна удовлетворять следующим двум уравнениям в частных производных первого порядка, аналогичным двум уравнениям (C) :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta S}{\delta t}+F\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}, \frac{\delta S}{\delta \eta_{3}}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right)=U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{j}\right) ; \\
\frac{\delta S}{\delta t}+F\left(\frac{\delta S}{\delta e_{1}}, \frac{\delta S}{\delta e_{2}}, \frac{\delta S}{\delta e_{3}}, e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)=U\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда эта важная функция $S$, которую можно назвать главной функцией движения, может быть строго выражена в следующем виде, полученном путем рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в седьмом параграфе этой работы :
\[
\begin{aligned}
S=S_{1} & +\int_{0}^{t}\left\{-\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+U\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right)-F\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}, \frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right)\right\} d t+ \\
& +\int_{0}^{t} F\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}-\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}-\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}, \frac{\delta S}{\delta \eta_{3}}-\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\right) d t
\end{aligned}
\]

при этом $S_{1}$ представляет собой любую произвольную функцию тех же величин $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, t$, которые выбраны так, чтобы они исчезали со временем. Если же эта произвольная функция $S_{1}$ выбрана так, что она представляет собой новое приближенное значение главной функции $S$, то мы можем во втором приближении пренебречь вторым определенным интегралом в выражении (87).
21. Первое приближение этого рода мы получим, разделив выражение $H$ (82) на две части, из которых преобладающую обозначим через $H_{1}$, а меньшую — через $H_{2}$, и, пренебрегая частью $H_{2}$, заменим дифференциальные уравнения (83) другими, а именно:
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{1}}, & \frac{d \eta_{2}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{2}}, & \frac{d \eta_{3}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{3}}, \\
\frac{d \bar{\omega}_{1}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{1}}, & \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{2}}, & \frac{d \omega_{3}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{3}} .
\end{array}\right\}
\]

После этого строго проинтегрируем эти упрощенные уравнения, относящиеся к более простому движению, которое можно назвать невозмущенным движением точки. Тогда для главной фунқции такого невозмущенного движения определенный интеграл
\[
S_{1}=\int_{0}^{t}\left(\bar{\omega}_{1} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{1}}+\bar{\omega}_{2} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{2}}+\bar{\omega}_{3} \frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{3}}-H\right) d t,
\]

рассматриваемый как функция $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3}, t$, будет представлять собой приближенное значение первоначальной функции $S$ возмущенного

движения. Эта первоначальная функция соответствует более сложным дифференциальным уравнениям :
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{1}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{1}}, & -\frac{d \eta_{2}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{2}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{2}}, & \frac{d \eta_{3}}{d t}=\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}_{3}}+\frac{\delta H_{2}}{\delta \bar{\omega}_{3}}, \\
\frac{d \bar{\omega}_{1}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{1}}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{1}}, & \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{2}}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{2}}, & \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta_{3}}-\frac{\delta H_{2}}{\delta \eta_{3}} .
\end{array}
\]

Функция $S_{1}$ невозмущенного движения должна удовлетворять двум уравнениям в частных производных первого порядка, аналогичным двум уравнениям (86), а интегралы невозмущенного движения могут быть представлены следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}, \quad \bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}, \quad \bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}, \\
p_{1}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}, \quad p_{2}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}, \quad p_{3}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3}},
\end{array}\right\}
\]

в то время как интегралы возмущенного движения могут быть с одинаковой строгостью выражены в следуюцих аналогичных формах :
\[
\left.\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}, \quad \bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}, \quad \bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3}}, \\
p_{1}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, \quad p_{2}=-\frac{\delta \delta S_{1}}{\delta e_{2}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, \quad p_{3}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}},
\end{array}\right\}
\]

если $S_{2}$ обозначает точную поправку функции $S_{1}$ или возмущающую часть полной главной функции $S$. Исходя из изложенной выше общей теории приближения, эта возмущающая часть, или функция $S_{2}$, может быть приближенно выражена определенным интегралом (T) :
\[
S_{2}=-\int_{0}^{t} H_{2} d t
\]

при вычислении которого можно применить уравнения (91).
22. Если интегралы невозмущенного движения (91) дают :
\[
\left.\begin{array}{c}
\eta_{1}=\Phi_{1}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right), \\
\eta_{2}=\Phi_{2}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right), \\
\eta_{3}=\Phi_{3}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right),
\end{array}\right\}
\]

то интегралы возмущенного движения (92) могут быть строго преобразованы следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
\eta_{1}=\Phi_{1}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right), \\
\eta_{2}=\Phi_{2}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right), \\
\eta_{3}=\Phi_{3}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}+\psi_{1}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right), \\
\bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}+\psi_{2}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right), \\
\bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3}}+\psi_{3}\left(t, e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}, p_{2}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}, p_{3}+\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}\right) ;
\end{array}\right\}
\]

здесь $S_{2}$ представляет собой точную возмущающую функцию, а возмущения положения в любое время $t$ могут быть приближенно выражены формулой :
\[
\begin{array}{c}
\Delta \eta_{1}=\frac{\delta \eta_{1}}{\delta e_{1}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{1}} d t+\frac{\delta \eta_{1}}{\delta e_{2}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{2}} d t+\frac{\delta \eta_{1}}{\delta e_{3}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta p_{3}} d t- \\
-\frac{\delta \eta_{1}}{\delta p_{1}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{1}} d t-\frac{\delta \eta_{1}}{\delta p_{2}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{2}} d t-\frac{\delta \eta_{1}}{\delta p_{3}} \int_{0}^{t} \frac{\delta H_{2}}{\delta e_{3}} d t
\end{array}
\]

и двумя аналогичными формулами для возмущений двух других координат или отметок положения $\eta_{2}, \eta_{3}$. В этих формулах предполагается, что координаты и $H_{2}$ выражены посредством теории невозмущенного движения как функции времени $t$ и постоянных $e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$.
23. Если интегралы невозмущенного движения путем исключения дают для этих постоянных выражения вида :
\[
\left.\begin{array}{l}
e_{1}=\eta_{1}+\Phi_{1}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
e_{2}=\eta_{2}+\Phi_{2}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \omega_{3}\right), \\
e_{3}=\eta_{3}+\Phi_{3}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{1}=\bar{\omega}_{1}+\psi_{1}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
p_{2}=\bar{\omega}_{2}+\psi_{2}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
p_{3}=\bar{\omega}_{3}+\psi_{3}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \omega_{3}\right)
\end{array}\right\}
\]

и если для возмущенного движения мы принимаем определения :
\[
\left.\begin{array}{l}
k_{1}=\eta_{1}+\Phi_{1}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
k_{2}=\eta_{2}+\Phi_{2}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
k_{3}=\eta_{3}+\Phi_{3}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda_{1}=\bar{\omega}_{1}+\psi_{1}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
\lambda_{2}=\bar{\omega}_{2}+\psi_{2}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right), \\
\lambda_{3}=\bar{\omega}_{3}+\psi_{3}\left(t, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}\right),
\end{array}\right\}
\]

то мы получим для такого возмущенного движения следующие точные уравнения, имеющие форму уравнений (94) и (95) :
\[
\left.\begin{array}{l}
\eta_{1}=\Phi_{1}\left(t, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \\
\eta_{2}=\Phi_{2}\left(t, k_{3}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \\
\eta_{3}=\Phi_{3}\left(t, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\psi_{1}\left(t, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \\
\bar{\omega}_{2}=\psi_{2}\left(t, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \\
\bar{\omega}_{3}=\psi_{3}\left(t, k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)
\end{array}\right\}
\]

и можем обозначить величины $k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ как шесть переменных элементов движения. Для того чтобы определить эти шесть переменных элементов, мы можем воспользоваться шестью следующими точными дифференциальными уравнениями первого порядка, где предполагается, что $\mathrm{H}_{2}$ выражено посредством (103) и (104) как функция элементов и времени:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d k_{1}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{1}}, \quad \frac{d k_{2}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta \hat{\lambda}_{2}}, \quad \frac{d k_{3}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{3}}, \\
\frac{d \lambda_{1}}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{1}}, \quad \frac{d \lambda_{2}}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{2}}, \quad \frac{d \lambda_{3}}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{3}},
\end{array}\right\}
\]

а строгие интегралы этих шести уравнений могут быть выражены следующим образом :
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda_{1}=\frac{\delta E}{\delta k_{1}}, \quad \lambda_{2}=-\frac{\delta E}{\delta k_{2}}, \quad \lambda_{3}=-\frac{\delta E}{\delta k_{3}}, \\
p_{1}=-\frac{\delta E}{\delta e_{1}}, \quad p_{2}=-\frac{\delta E}{\delta e_{2}}, \quad p_{3}=-\frac{\delta E}{\delta e_{3}},
\end{array}\right\}
\]

причем постоянные $e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ сохраняют свое только что установленное значение и поэтому представляют собой начальные значения элементов $k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$. В то же время фупция $E$, которая можст быть названа функцией элементов, так как ее форма определяет законы их вариаций, представляет собой определенный интеграл
\[
E=\int_{0}^{t}\left(\lambda_{1} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{2}}+\lambda_{2} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{2}}+\lambda_{3} \frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda_{3}}-H_{2}\right) d t,
\]

рассматриваемый как функция $k_{1}, k_{2}, k_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3}$ и $t$.
Интегралы уравнений (105) могут быть также выражены другим способом :
\[
\left.\begin{array}{ll}
k_{1}=+\frac{\delta C}{\delta \lambda_{1}}, \quad k_{2}=+\frac{\delta C}{\delta \lambda_{2}}, \quad k_{3}=+\frac{\delta C}{\delta \lambda_{3}}, \\
e_{1}=-\frac{\delta C}{\delta p_{1}}, \quad e_{2}=-\frac{\delta C}{\delta p_{2}}, \quad e_{3}=-\frac{\delta C}{\delta p_{3}},
\end{array}\right\}
\]

причем $C$ представляет собой определенный интеграл
\[
C=-\int_{0}^{t}\left(k_{1} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{1}}+k_{2} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{2}}+k_{3} \frac{\delta H_{2}}{\delta k_{3}}-H\right) d t,
\]

рассматриваемый как функция $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ и $t$. Легко можно доказать, что каждая из этих двух функций элементов $C$ и $E$ должна удовлетворять уравнению в частных производных первого порядка [113], которое должно быть дано заранее и которое может помочь открыть формы этих двух функций и в особенности улучшить приближенное выражение любой из них. Все эти выводы, относящиеся к движению единственной точки, аналогичны выводам, уже сделанным в данной работе в отношении системы притягивающихся или отталкивающихся точек.