Повсюду следует соблюдать условие, что вариации положения должны быть виртуальными перемещениями. Иначе обстояло бы дело, если бы мы выдвинули требование, что варьированное движение должно удовлетворять тем же уравнениям связей, что и действительное движение. Если, например, уравнения связей даны в форме (9), т. е. как обыкновенные уравнения
\[
\omega_{i}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{r}, y_{r}, z_{r}, t\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots),
\]
то последнее требование повлекло бы за собой равенства
а отсюда и
\[
\begin{array}{c}
\omega_{i}\left(x_{1}+\delta x_{1}, \ldots, z_{r}+\delta z_{r}, t+\delta t\right)=0, \\
\delta \omega_{i}=0 .
\end{array}
\]
Но применение принципов механики требует соблюдения уравнений (11):
\[
\delta \omega_{i}-\frac{\partial \omega_{i}}{\partial t} \delta t=0 \quad(i=1,2, \ldots) .
\]
Эти уравнения согласуются с требованием $\delta \omega_{i}=0$, когда
\[
\frac{\partial \omega_{i}}{\partial t}=0,
\]
т. е. когда в функции (9) не входит время и когда $\delta t=0$, т. е. когда должен быть применен принцип Гамильтона. Напротив, применяя принцип наименьшего действия, следует обращать внимание на упомянутую разницу, когда в уравнения связей входит время. В этом случае действительное и варьированное движения разнородны.
Эта разнородность появляется и в принципе Гамильтона*), когда уравнения связей даны как дифференциальные уравнения в форме (1), причем время в них не входит. Это сделается ясным из примера следующего паратрафа. Здесь следует только отметить, что разнородность движений опятьтаки исчезает, когда имеются герцевы голономные материальные системы. В этом случае условия могут быть взяты в форме (2):
\[
\text { г } \Phi_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots) ;
\]
эти условия выражают, что величины $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$ при движении должны оставаться постоянными, причем эти постоянные значения не должны быть заранее заданы. Если теперь варьированное движение должно удовлетворять тем же самым условиям, то можно было бы по сути дела для этого движения выбрать другие постоянные значения $\Phi_{1}, \Phi_{2}$; но это исключено тем, что начальное и конечное положения не варьируются. Теперь видно, что результат получается тот же самый, как если бы варьирование было выполнено в соответствии с уравнениями
\[
\delta \Phi_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots) .
\]
Но эти последние уравнения получаются из уравнений связей, если дифференциалы координат заменить вариациями координат; эти уравнения, следовательно, соответствуют верному требованию, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями. Теперь выясняется, почему точка зрения Герца на принципы Мопертюи и Гамильтона внесла ограничение голономными системами. Именно, Герц принимает варьированную траекторию за возможную, т.е. за такую, которая удовлетворяет тем же условиям, что и действительная траектория **).
