Теперь мы составим дифференциальные уравнения для движения катящегося шара. Пусть будут $\xi, \eta, \zeta$ — координаты относительно неподвижной в пространстве прямоугольной системы координат. По неподвижной плоскости $\xi \eta$ катится без скольжения шар. Пусть будут $x, y, z$ – координаты относи-

тельно прямоугольной системы координат, неизменно связанной с шаром; эта система имеет начало в центре шара. Тогда имеют место следующие уравнения, в которых $\xi, \eta, \zeta$ и $x, y, z$ суть координаты одной и той же точки:
\[
\begin{array}{l}
\xi=\alpha+\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta=\beta+\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta=\gamma+\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha_{1}(\xi-\alpha)+\beta_{1}(\eta-\beta)+\gamma_{1}(\zeta-\gamma) \\
y=\alpha_{2}(\xi-\alpha)+\beta_{2}(\eta-\beta)+\gamma_{2}(\zeta-\gamma) \\
z=\alpha_{3}(\xi-\alpha)+\beta_{3}(\eta-\beta)+\gamma_{3}(\zeta-\gamma) .
\end{array}
\]

В первой системе координат $\xi=\alpha, \eta=\beta, \zeta=\gamma$ суть координаты центра шара, а $\alpha, \beta, \gamma$ – координаты той точки, в которой шар касается плоскости $\xi \eta ;$ величина $\gamma$ постоянна и равна радиусу $а$ шара. Частица шара, которая находится как раз в точке касания, должна в данный момент иметь скорость, равную нулю, так как иначе имело бы место скольжение. Поэтому для частицы шара в момент ее нахождения в точке касания справедливы соотношения
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{d \eta}{d t}=\frac{d \xi}{d t}=0,
\]

иначе,
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}+\frac{d \alpha_{1}}{d t} x+\frac{d \alpha_{2}}{d t} y+\frac{d \alpha_{3}}{d t} z=0, \\
\frac{d \beta}{d t}+\frac{d \beta_{1}}{d t} x+\frac{d \beta_{2}}{d t} y+\frac{d \beta_{3}}{d t} z=0, \\
\frac{d \gamma}{d t}+\frac{d \gamma_{1}}{d t} x+\frac{d \gamma_{2}}{d t} y+\frac{d \gamma_{3}}{d t} z=0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $x, y, z$ суть те значения, которые получаются из уравнений (29), если положить в них $\xi=\alpha, \eta=\beta, \zeta=0$. Следовательно, в уравнение (30) следует подставлять
\[
x=-\gamma \gamma_{1}=-a \gamma_{1}, \quad y=-\gamma \gamma_{2}=-a \gamma_{2}, \quad z=-\gamma \gamma_{3}=-a \gamma_{3} .
\]

Таким образом получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d a}{d t}=a\left(\gamma_{1} \frac{d \alpha_{1}}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \alpha_{2}}{d t}+\gamma_{3} \frac{d \alpha_{3}}{d t}\right), \\
\frac{d \beta}{d t}=a\left(\gamma_{1} \frac{d \beta_{1}}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \beta_{2}}{d t}+\gamma_{3} \frac{d \beta_{3}}{d t}\right), \\
\frac{d \gamma}{d t}=a\left(\gamma_{1} \frac{d \gamma_{1}}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \gamma_{2}}{d t}+\gamma_{3} \frac{d \gamma_{3}}{d t}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Из этих уравнений последнее удовлетворяется само собою, так как величина $\gamma$ постоянна, а правая часть исчезает в силу соотношений ортогонального преобразования координат. Два первых уравнения, следовательно, вместе с уравнением $\gamma=a$ являются условиями чистого качения*).