Мгновенное состояние движения шара мы будем теперь рассматривать как составленное из вращения вокруг оси, проходящей через центр, и поступательного движения. Пусть будут $p, q, r$ — составляющие угловой скорости, $u, v, w$ — составляющие поступательной скорости, те и другие по осям $x, y, z$. Эти составляющие определяются уравнениями*):
\[
\begin{array}{l}
p=\alpha_{3} \frac{d \alpha_{2}}{d t}+\beta_{3} \frac{d \beta_{2}}{d t}+\gamma_{3} \frac{d \gamma_{2}}{d t}, \\
q=\alpha_{1} \frac{d \alpha_{3}}{d t}+\beta_{1} \frac{d \beta_{3}}{d t}+\gamma_{1} \frac{d \gamma_{3}}{d t}, \\
f=\alpha_{2} \frac{d \alpha_{1}}{d t}+\beta_{2} \frac{d \beta_{1}}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \gamma_{1}}{d t}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
u=\alpha_{1} \frac{d \alpha}{d t}+\beta_{1} \frac{d \beta}{d t}+\gamma_{1} \frac{d \gamma}{d t}, \\
v=\alpha_{2} \frac{d \alpha}{d t}+\beta_{2} \frac{d \beta}{d t}+\gamma_{2} \frac{d \gamma}{d t}, \\
w=\alpha_{3} \frac{d \alpha}{d t}+\beta_{3} \frac{d \beta}{d t}+\gamma_{3} \frac{d \gamma}{d t} .
\end{array}
\]

Далее имеют место соотношения **):
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{d \alpha_{1}}{d t}=\alpha_{2} r-\alpha_{3} q, & \frac{d \alpha_{2}}{d t}=\alpha_{3} p-\alpha_{1} r, & \frac{d \alpha_{3}}{d t}=\alpha_{1} q-\alpha_{2} p, \\
\frac{d \beta_{1}}{d t}=\beta_{2} r-\beta_{3} q, & \frac{d \beta_{2}}{d t}=\beta_{3} p-\beta_{1} r, & -\frac{d \beta_{3}}{d t}=\beta_{1} q-\beta_{2} p, \\
\frac{d \gamma_{1}}{d t}=\gamma_{2} r-\gamma_{3} q, & \frac{d \gamma_{2}}{d t}=\gamma_{3} p-\gamma_{1} r, & \frac{d \gamma_{3}}{d t}=\gamma_{1} q-\gamma_{2} p .
\end{array}\right\}
\]

Если мы теперь в уравнениях (34) вместо $\frac{d \gamma}{d t}$ подставим 0, вместо $\frac{d \alpha}{d t}, \frac{d \beta}{d t}-$ правые части уравнений (31), а после этого величины
\[
-\frac{d \alpha_{1}}{d t}, \frac{d \alpha_{2}}{d t}, \frac{d \alpha_{3}}{d t}, \frac{d \beta_{1}}{d t}, \frac{d \beta_{2}}{d t}, \frac{d \beta_{3}}{d t}
\]

заменим правыми частями уравнений (35), то, воспользовавшись еще соотношениями ортогонального преобразования координат, получим
\[
\left.\begin{array}{c}
u=a\left(\gamma_{3} q-\gamma_{2} r\right), \\
v=a\left(\gamma_{1} r-\gamma_{3} p\right), \\
w=a\left(\gamma_{2} p-\gamma_{1} q\right) .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения выражают зависимость, которая существует при качении без скольжения между вращением и поступательным движением*). Составляющие $p, q, r$ угловой скорости могут быть взяты произвольно.