Введем теперь допущение, что
\[
d s^{2}=g_{\mu
u} d x_{\mu} d x_{
u}
\]

представляет собой инвариант. Тем самым установлен характер преобразования $\boldsymbol{g}_{\mu
u}$. О характере преобразования $q_{(e)}$, аписывающих материю, мы не делаем никаких допущений. Напротив, пусть функции
\[
H=\frac{\mathbf{H}}{\sqrt{-g}}, \quad G=\frac{\mathbf{G}}{\sqrt{-g}} \quad \text { и } \quad M=\frac{\mathbf{M}}{\sqrt{-g}}
\]

будут инвариантами по отношению к любым подстановкам пространственновременных координат. Из этих предпосылок вытекает общая ковариантность уравнений (7) и (8), выведенных из (1). Далее следует, что $G$ (с точностью до постоянного множителя) должно равняться скаляру римановского тензора кривизны ; ибо нет другого инварианта со свойствами, которыми должен обладать $\left.G^{*}\right)$. Тем самым вполне определены и $\mathbf{G}^{*}$, и вместе с ним левая часть уравнения поля (7)**).

Из общего постулата относительности вытекают определенные свойства функции $\mathbf{G}^{*}$, которые мы теперь и выведем. С этой целью произведем бесконечно малое преобразование координат, полагая
\[
x_{v}^{\prime}=x_{v}+\Delta x_{v} ;
\]
$\Delta x_{v}$ представляют собой любые, бесконечно малые функции координат, $x_{v}^{\prime}$ – координаты мировой точки в новой системе, $x_{v}$ – координаты той же точки в старой системе. Как для координат, так и для всякой другой величины $\Psi$ справедлив закон преобразования вида
\[
\Psi^{\prime}=\Psi+\Delta \Psi,
\]

причем $\Delta \Psi$ всегда может быть выражено через $\Delta x_{v}$.
Из ковариантных свойств $g^{\mu
u}$ легко выводятся законы преобразования для $g^{\mu v}$ и $g_{\sigma}^{\mu v}:$
\[
\begin{array}{l}
\Delta g^{\mu
u}=g^{\mu \alpha} \frac{\partial \Delta x_{
u}}{\partial x_{\alpha}}+g^{
u \alpha}-\frac{\partial \Delta x_{\mu}}{\partial x_{\alpha}}, \\
\Delta g_{\sigma}^{\mu
u}=\frac{\partial\left(\Delta g^{\mu
u}\right)}{\partial x_{\sigma}}-g_{\alpha}^{\mu
u}-\frac{\partial x_{a}}{\partial x_{\sigma}} .
\end{array}
\]

Так как G* зависит только от $g^{\mu
u}$ и $g_{\sigma}^{\mu
u}$, то, пользуясь (11) и (12), можно вычислить $\Delta \mathbf{G}^{*}$. Таким образом, получается
\[
\sqrt{-g} \Delta\left(\frac{\mathbf{G}^{*}}{\sqrt{-g}}\right)=S_{\sigma}^{v} \frac{\partial \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{
u}}+2 \frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{\alpha}^{\mu
u}} g^{\mu
u} \frac{\partial^{2} \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{
u} \partial x_{a}},
\]

где ради краткости положено
\[
S_{\sigma}^{v}=2 \frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma}} g^{\mu
u}+2 \frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{\alpha}^{\mu \sigma}} g_{\alpha}^{\mu
u}+\mathbf{G}^{*} \delta_{\sigma}^{
u}-\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{v}^{\mu \sigma}} g_{\sigma}^{\mu \alpha} .
\]

Из этих двух уравнений мы выводим два следствия, важных в дальнейшем. Мы знаем, что $\frac{\mathbf{G}}{\sqrt{-g}}$ инвариантно по отношению к любым подстановкам, но $\frac{\mathbf{G}^{*}}{\sqrt{-g}}$ этим свойством не обладает. Однако легко доказать относительно последней величины, что она инвариантна по отношению к линейным подстановкам координат. Отсюда следует, что правая часть (13) всегда обращается в нуль, когда все $\frac{\partial^{2} \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{v} \partial x_{a}}$ равны нулю, и что G* должно удовлетворять тождеству
\[
S_{\sigma}^{
u} \equiv 0 .
\]

Если мы, далее, будем брать такие $\Delta x_{p}$, которые отличны от нуля только внутри рассматриваемой области, но обращаются в нуль на бесконечно близком расстоянии от границы области, то при выбранном нами преобразовании значение интеграла, входящего в уравнение (2) и взятого по границе области, не изменится ; следовательно,

и поэтому*)
\[
\begin{array}{c}
\Delta(F)=0, \\
\left.\Delta\left\{\int \mathbf{G} d \tau\right\}=\Delta\left\{\int \mathbf{G}^{*} d \tau\right\} .\right]
\end{array}
\]

Левая часть уравнения должна, однако, обратиться в нуль, так как и $\frac{\mathbf{G}}{\sqrt{-g}}$, и $\sqrt{-g} d \tau$ суть инварианты. Следовательно, правая часть тоже равна нулю.
На основании (13), (14) и (15) получаем сначала
\[
\int \frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{a}^{\mu \sigma}} g^{\mu
u} \frac{\partial^{2} \Delta x_{\sigma}}{\partial x_{
u} \partial x_{a}} d \tau=0 .
\]

Если преобразовать это уравнение двукратным интегрированием по частям и принять во внимание свободный выбор $\Delta x_{\sigma}$, то получим тождество
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x_{v} \partial x_{a}}\left(\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{a}^{\mu \sigma}} g^{\mu
u}\right) \equiv 0 .
\]

Сделаем теперь выводы, следующие из двух тождеств (16) и (17) ; последние вытекают из инвариантности $\frac{G}{\sqrt{-g}}$ и, следовательно, из постулата общей относительности.

Для этого преобразуем сначала уравнения поля тяготения посредством смешанного умножения на $g^{\mu
u}$. Тогда получим (при перестановке значков $\sigma$ и $v$ ) уравнения, эквивалентные уравнениям поля (7) :
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\left(\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{\alpha}^{\mu \sigma}} g^{\mu
u}\right)=-\left(\mathbf{T}_{\sigma}^{v}+\mathbf{t}_{\sigma}^{
u}\right),
\]

где положено
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{T}_{\sigma}^{v}=-\frac{\partial \mathbf{M}}{\partial g^{\mu \sigma}} g^{\mu
u}, \\
\mathbf{t}_{\sigma}^{v}=-\left(\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma}} g_{\alpha}^{\mu
u}+\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g^{\mu \sigma}} g^{\mu
u}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathbf{G}^{*} \delta_{\sigma}^{v}-\frac{\partial \mathbf{G}^{*}}{\partial g_{v}^{\mu \alpha}} g_{\sigma}^{\mu \alpha}\right) .
\end{array}
\]

Последнее выражение для $\mathbf{t}_{\sigma}^{y}$ следует из равенств (14) и (15). Дифференцируя равенство (18) по $x_{v}$ и суммируя по $v$, имеем на основании равентсва (17)
\[
\frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(\mathbf{T}_{\sigma}^{v}+\mathbf{t}_{\sigma}^{
u}\right)=0 .
\]

Формула (21) выражает закон сохранения импульса и энергии. Назовем $\mathbf{T}_{\sigma}^{v}$ компонентами энергии материи и $\mathbf{t}_{\sigma}^{
u}$ – компонентами энергии поля тяготения.

Умножив уравнения (7) поля тяготения на $g_{\sigma}^{\mu
u}$ и просуммировав их по $\mu$ и $v$, получим в силу равенства (20):
\[
\frac{\partial t_{\sigma}^{
u}}{\partial x_{v}}+\frac{1}{2} g_{\sigma}^{\mu
u} \frac{\partial \mathbf{M}}{\partial g^{\mu
u}}=0,
\]

или в силу равенств (19) и (21):
\[
-\frac{\partial \mathbf{T}_{\sigma}^{
u}}{\partial x_{v}}+\frac{1}{2} g_{\sigma}^{\mu
u} \mathbf{T}_{\mu
u}=0,
\]

где $\mathbf{T}_{\mu
u}$ означает $g_{
u \sigma} \mathbf{T}_{\mu}^{\sigma}$. Мы имеем здесь четыре уравнения, которым должны удовлетворять энергетические компоненты материи.

Следует отметить, что общековариантные законы сохранения импульса и энергии (21) и (22) получены только из одних уравнений (7) для поля тяготения в соединении с постулатом общей ковариантности (относительности) без применения уравнений поля (8) для материальных явлений.