Якоби, как известно, впервые показал, что интегрирование так называемых канонических совместных систем
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} \delta t, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n)
\]

допускает особые, свойственные этим системам преобразования. После того Вейлер (Weiler), Майер (Mayer), а также и я сам развили для интегрирования таких систем еще более простые методы.
10. Поэтому, если нам дана какая-либо совместная система, то рекомендуется поставить вопрос, нельзя ли ее привести к каноническому виду. Известно, что Гамильтон привел дифференциальные уравнения механики для широкого ряда случаев к этому виду. Якоби обратил внимание на важность этого приведения и одновременно показал, что существует более общая категория задач механики, которые можно облечь в данную форму.

Сейчас я выведу эту теорию Гамильтона–Якоби новым способом, опираясь на предшествующее изложение. При этом я сначала рассмотрю простой случай известного числа свободных точек, которые движутся под действием их взаимного притяжения или также и под действием неподвижных точек.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ – координаты наших точек. Пусть $U$ – силовая функция, которая может также зависеть и от времени. Тогда, как известно, движение определяется уравнениями
\[
\frac{\delta}{\delta t} \frac{\delta x_{k}}{\delta t}=\frac{\partial U}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если мы положим
\[
\frac{\delta x_{k}}{\delta t}=y_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

то будем иметь
\[
\frac{\delta y_{k}}{\delta t}=\frac{\partial U}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Чтобы привести уравнения (14) и (15) к канонической форме, нужно только, как это непосредственно видно в этом простейшем случае, положить
\[
\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)-U=T .
\]

В самом деле, тогда наши уравнения принимают вид
\[
\frac{\delta x_{k}}{\delta t}=\frac{\partial T}{\partial y_{k}}, \quad \frac{\delta y_{k}}{\delta t}=-\frac{\partial T}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Это и есть тот путь, которым Якоби пришел к своему первому результату. Для того чтобы иметь возможность обобщить эту теорию, целесообразно поискать внутреннее основание полученного результата.

Так как введение величин $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$ в качестве независимых переменных приводит данную систему к каноническому виду, то на основании предыдущего параграфа выражение
\[
\frac{\delta}{\delta t}\left(y_{1} d x_{1}+\ldots+y_{n} d x_{n}\right)
\]

должно иметь вид
\[
d \Omega+\varrho d t .
\]

Это подтверждается следующим образом.
Мы имеем
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} y_{k} d x_{k}=\sum_{k} \frac{\delta y_{k}}{\delta t} d x_{k}+\sum_{k} y_{k} d \frac{\delta x_{k}}{\delta t},
\]

откуда на основании (14) и (15) находим
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} y_{k} d x_{k}=\sum_{k} \frac{\partial U}{\partial x_{k}} d x_{k}+\sum_{k} y_{k} d y_{k}=d\left(U+\frac{1}{2} \sum y_{k}^{2}\right)-\frac{\partial U}{\partial t} d t,
\]

в чем и заключается доказательство.
Обратимся теперь к общему случаю, когда координаты $x_{1}, \ldots, x_{n}$ связаны несколькими соотношениями, которые могут включать также $и$ время $t$ :
\[
f_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)=0, \ldots, f_{q}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)=0 .
\]

При этом мы по-прежнему предполагаем существование силовой функции $U$. Согласно Лагранжу движение определяется уравнениями
\[
\frac{\delta}{\delta t} \frac{\delta x_{k}}{\delta t}=\frac{\partial U}{\partial x_{k}}+\sum \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

совместно с уравнениями (16).
Естественно поставить вопрос, нельзя ли и теперь выражению
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} y_{k} d x_{k}
\]

придать форму
\[
d \Omega+\varrho d t .
\]

Мы находим
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} y_{k} d x_{k}=\sum_{k} \frac{\delta y_{k}}{\delta t} d x_{k}+\sum_{k} y_{k} d \frac{\delta x_{k}}{\delta t}
\]

откуда на основании уравнений (17) получается
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta t} \sum_{k} y_{k} d x_{k} & =\sum_{k}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{k}}+\sum_{i} \lambda_{i}-\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{k}}\right) d x_{k}+\sum y_{k} d y_{k}= \\
& =d\left(U+\frac{1}{2} \sum y_{k}^{2}\right)+\sum \lambda_{i} d f_{i}-\left(\frac{\partial U}{\partial t}+\sum \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial t}\right) d t
\end{aligned}
\]

но все $d f_{i}$ обращаются в нуль, и мы, таким образом, находим
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum y_{k} d x_{k}=d\left(U+\frac{1}{2} \sum_{k} y_{k}^{2}\right)-\left(\frac{\partial U}{\partial t}+\sum_{i} \lambda_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial t}\right) d t,
\]

чем и оправдывается наше предположение.
В выражении $\Sigma y_{k} d x_{k}$ величины $x_{k}$ и $y_{k}=\frac{\delta x_{k}}{\delta t}$ связаны уравнениями (16). Мы исключим зависимые величины $y_{k}$ и $d x_{k}$, причем, конечно, должны войти величины $t$ и $d t$. Удобно мыслить уравнения разрешенными относительно $q$ величин, скажем $x_{n-q+1}, \ldots, x_{n}$ :
\[
x_{k}=\varphi_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-q}, t\right) \quad(k=n-q+1, \ldots, n) .
\]

Это дает
\[
d x_{k}=\sum_{r=1}^{n-a} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{r}} d x_{r}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t} d t \quad(k=n-q+1, \ldots, n)
\]

и
\[
y_{k}=\sum_{\varrho=1}^{n-q} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{\varrho}} y_{\ell}+\frac{\partial \varphi}{\partial t} \quad(k=n-q+1, \ldots, n) .
\]

Если подставить эти значения в выражение $\sum_{k} y_{k} d x_{k}$, то получится :
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k=1}^{n} y_{k} d x_{k}=\sum_{i=1}^{n-\eta} y_{r} d x_{r}+\sum_{t=n=-1}^{n}\left(\sum_{\varrho=1}^{n-q} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{\varrho}} y_{\varrho}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\right)\left(\sum_{r=1}^{n-1}-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{r}} d x_{r}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t} d t\right), \\
\sum_{k=1}^{n} y_{k} d x_{k}=d t \sum_{k=n-i+1}^{n} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\left(\sum_{\varrho=1}^{n-q} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{\varrho}}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\right)+ \\
+\sum_{r=1}^{n-q} d x_{r}\left[y_{r}+\sum_{k=n-q+1}^{n} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{r}}\left(\sum_{\varrho=1}^{n-\eta} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{Q}} y_{e}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\right)\right] . \\
\end{array}
\]

Таким образом найдено уравнение вида
\[
\sum_{k=1}^{n} y_{k} d x_{k}=Y_{1} d x_{1}+\ldots+Y_{n-q} d x_{n-q}+Y d t .
\]

Поэтому, если величины $\lambda_{i}$ при помощи уравнений (16), (17) и (19) определить как функции от $x_{k}, y_{k}$ и $t$ и затем ввести в нашу совместную систему величины $x_{1}, \ldots, x_{n}, Y_{1}, \ldots, Y_{n-q}, t$ в качестве переменных, то на основании леммы 3 она примет канонический вид:
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial W}{\partial Y_{k}} \delta t, \quad \delta Y_{k}=-\frac{\partial W}{\partial x_{k}} \delta t \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Функция $W$ может быть, очевидно, определена в каждом отдельном случае.
Новые переменные $Y_{i}$ являются частными производными некоторой определенной величины. В самом деле, если положить
\[
\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+\ldots+y_{n}^{2}\right)=\Omega,
\]

To
\[
\Omega=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-q} y_{k}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{k=n-q+1}^{n}\left(\sum_{\varrho=1}^{n-q} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{\varrho}} y_{\varrho}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\right)^{2},
\]

откуда имеем для $r=1, \ldots, n-q$ :
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial y_{r}}=y_{r}+\sum_{k=n=1+1}^{n} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{r}}\left(\sum_{\varrho=1}^{n-q} \cdot \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x_{\varrho}} y_{\varrho}+\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial t}\right),
\]

так что
\[
Y_{1}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{1}}, \ldots, \quad Y_{n-q}=\frac{\partial \Omega}{\partial y_{n-q}} .
\]
11. Если поставить себе целью определить величины $x_{1}, \ldots, x_{n}$ как функции времени таким образом, чтобы интеграл

где
\[
\begin{array}{c}
\int \varphi\left(t_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right) d t, \\
x_{k}^{\prime}=\frac{\delta x_{k}}{\delta t},
\end{array}
\]

имел минимальное значение, то для этого, как известно, нужно, чтобы удовлетворялись уравнения
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}} \delta t-\delta \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}^{\prime}}=0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения вместе с уравнениями
\[
\frac{\delta x_{k}}{\delta t}=x_{k}^{\prime} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

образуют $2 n$-членную совместную систему, которая, согласно Якоби, принимает канонический вид, если ввести в качестве переменных величины
\[
x_{k}, y_{k}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}^{\prime}}, t \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Чтобы просто доказать это фундаментальное предложение, образуем производную по $t$ от выражения $\Sigma y_{k} d x_{k}$ :
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum y_{k} d x_{k}=\sum \frac{\delta y_{k}}{\delta t} d x_{k}+\sum y_{k} d \frac{\delta x_{k}}{\delta t},
\]

откуда находим на основании уравнений (21) и (20)
\[
\frac{\delta}{\delta t} \sum y_{k} d x_{k}=\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}} d x_{k}+\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{k}^{\prime}} d x_{k}^{\prime}, \quad \text { или } \frac{\delta}{\delta t} \sum y_{k} d x_{k}=d \varphi-\frac{\partial \varphi}{\partial t} d t,
\]

что и доказывает требуемое.