Если неварьированное и варьированное движения – периодические, то можно легко представить себе все три движения, о которых шла речь в предыдущем параграфе, а именно неварьированное, варьированное и движение, представляющее собой постепенный переход от первого ко второму, осуществленными во времени последовательно одно за другим.

Пусть $i$ есть период неварьированного, $i+\delta i$ – варьированного движения; тогда можно положить $t_{1}=t_{0}+i, \delta t_{1}=\delta i$. Представим себе, что сперва происходит несколько раз в течение времени $i$ неварьированное движение, затем в течение времени $i$ (или $2 i, 3 i$ ) $v$ точек медленно переме-

щаются, причем действуют также добавочные силы, и, наконец, несколько раз в течение времени $i+\delta i$ протекает варьированное движение. Все эти процессы мыслятся происходящими один за другим во времени, и можно, если угодно, совсем отбросить различие между изменениями во времени и вариациями.

В этом случае, когда как неварьированное, так и варьированное движения – периодические, вариации на обоих пределах делаются равными и
\[
\delta Q=\frac{2}{t_{1}-t_{0}} \delta\left(\int_{t_{0}}^{t_{1}} T d t\right)=\frac{2}{i} \delta(i \bar{T}) ;
\]

отсюда
\[
\frac{\delta Q}{\bar{T}}=2 \frac{\delta(i \bar{T})}{i \bar{T}}=\delta \ln (i T)^{2} .
\]

Налицо почти полная аналогия со вторым законом термодинамики. Будем переходить к новым и новым варьированным путям, причем $v$ точек занимают все новые и новые положения, но движутся относительно $n$ точек бесконечно медленно или, при циклическом движении $n$ точек, может быть, испытывают бесконечно малый скачок по прошествии конечного промежутка времени. Будем постоянно варьировать движение таким образом, пока не получатся конечные изменения всех величин и пока, наконец, не будет совершен полный круговой процесс, т.е. мы возвратимся, в конце концов, к тому же движению $n$ точек, сопровождаемому теми же положениями $v$ точек, однако без простого повторения тех же самых в точности движений $n$ точек и тех же самых положений $v$ точек в обратном порядке.

Общее количество всей энергии, подведенной к $n$ точкам посредством добавочных сил, которое мы будем обозначать просто через $\int d Q$, вообще не будет исчезать для всех этих вариаций состояний, хотя к концу происходит возврат к первоначальному состоянию. Наоборот, $\int \frac{d Q}{\bar{T}}$ всегда будет равняться нулю. В самом деле, $\frac{\delta Q}{\bar{T}}$ по формуле (248) равняется приращению $\ln (i T)^{2}$, следовательно, $\int \frac{d Q}{\bar{T}}$ есть разность значений $\ln (i \bar{T})^{2}$ в начальном и конечном состояниях. Но так как в рассматриваемом случае начальное и конечное состояния тождественны, то эта разность должна быть равна нулю.

Если мы, например (назовем это процессом $A$ ), сначала переместим $
u$ точек, затем ускорим движение $n$ точек, потом возвратим $v$ точек в их старое положение и, наконец, отнимем у $n$ точек столько энергии, а направления скоростей изменим так, чтобы движение этих точек сделалось в точности тождественным со старым, то величина $\int \frac{d Q}{T}$ всегда будет равна нулю. Наоборот, величина $\int d Q$, вообще говоря, не будет равна нулю. Последнее выражение будет, естественно, то же по абсолютному значению, но противоположно по знаку, если какой-либо ряд состояний движения $n$ точек и положений $
u$ точек будет пробегаться в противоположном направлении (процесс $B$ ).

Процессу $A$ соответствует следующий порядок явлений: сначала дают газу расшириться, затем нагревают его, затем сжимают его при повышенной температуре до прежнего объема и, наконец, охлаждают его, пока он не вернется к прежнему состоянию, причем все это происходит обратимым

образом. Непосредственное обращение такого порядка соответствует процессу $B$.

Рассмотренные нами системы отличаются от нагретых тел тем, что их состояние еще никоим образом не определяется их энергией и положением $v$ точек (внешняя обстановка). Так, например, материальная точка $m$ в примере $2 \S 44$ при одной и той же энергии и при одной и той же внешней обстановке может двигаться по кругу или по эллиптической траектории и т.д.

Так как энтропия $\int \frac{d Q}{\bar{T}}$ равняется $2 \ln (i \bar{T})^{2}$ и каждая ее функция, умноженная на интегрирующий множитель, также должна быть интегрирующим множителем, то и $i$ является интегрирующим множителем для $d Q$. Так как $i$ есть время, в течение которого частица совершает полное обращение, то $\frac{1}{i}$ дает число обращений в единицу времени (число целое, правильная или неправильная дробь).

Само собою разумеется, что под периодическим движением мы понимали в этом параграфе такое движение, при котором по истечении периода прямоугольные координаты всех материальных точек возвращаются к своим прежним значениям. В то время как периодические движения показывают полнейшую аналогию со вторым законом, центральное движение по незамкнутой траектории, описанное в конце § 41 [‘ ${ }^{166}$ ] и в § 44 в качестве примера 2 , дает пример непериодического движения, обладающего следующими свойствами: оно очень похоже на движение, рассмотренное в этом параграфе, и даже может быть превращено в подлинно циклическое движение (отнюдь не моноциклическое) путем рассмотрения бесконечно большого числа материальных точек, движущихся в одной и той же плоскости; однако для последнего движения даже при фиксированном положении $v$ точек (магнитов, от которых зависят значения $\lambda$ и $a$ ), а тем более при меняющемся положении $v$ точек интеграл $\int \frac{d Q}{\bar{T}}$, распространенный на полный круговой процесс, уже не исчезает, ибо $\delta Q$, вообще говоря, не имеет интегрирующих множителей.

В этом случае только путем допущения одновременного существования очень многих систем со всеми возможными секторными скоростями, между которыми состояния распределяются по законам теории вероятностей, может быть восстановлена аналогия со вторым законом термодинамики.

Этим же допущением устраняется одно обстоятельство, таюже нарушающее аналогию между нагретыми телами и рассмотренной нами теперь системой $n$ материальных точек. Это обстоятельство заключается в том, что состояние нагретых тел для своего полного определения, помимо указания внешней обстановки, требует задания значения только одной переменной (температуры), в то время как на движение рассмотренных систем, наряду с положением $n$ точек и количеством энергии, могут влиять еще и другие постоянные, определяющие начальное движение $n$ точек и появившиеся в результате интегрирования их дифференциальных уравнений. Однако глубже вникать в это мы здесь не будем.