10. В качестве примера предыдущих преобразований и в то же время в качестве важного случая их применения мы введем теперь относительные координаты $x, y, z$, отнесенные к внутреннему началу $x_{n}, y_{n}, z_{\|}$, т. е. положим:
\[
x_{i}=x_{\prime_{i}}+x_{\prime \prime}, \quad y_{i}=y_{r_{i}}+y_{\prime \prime}, \quad z_{i}=z_{\prime_{i}}+z_{n}
\]

и аналогичным образом
\[
a_{i}=a_{i}+a_{n}, \quad b_{i}=b_{i}+b_{n}, \quad c_{i}=c_{c_{i}}+c_{n},
\]

совместно с дифференциальными выражениями
\[
x_{i}^{\prime}=x_{i}^{\prime}+x_{n}^{\prime}, \quad y_{i}^{\prime}=y_{{ }_{i}}^{\prime}+y_{n}^{\prime}, \quad z_{i}^{\prime}=z_{{ }_{i}}^{\prime}+z_{n}^{\prime}
\]

и
\[
a_{i}^{\prime}=a_{\prime_{i}}^{\prime}+a_{n}^{\prime}, \quad b_{i}^{\prime}=b_{\prime_{i}}^{\prime}+b_{n}^{\prime}, \quad c_{i}^{\prime}=c_{{ }_{i}}^{\prime}+c_{l}^{\prime} .
\]

Введя выражения (42) для прямоугольных компонентов скорости в равенство (4), мы найдем, что значение живой силы $2 T$ распадается на три следующие части :
\[
\begin{aligned}
2 T=\Sigma & m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)=\Sigma m\left(x_{\prime}^{\prime 2}+y_{\prime}^{\prime 2}+z_{\prime}^{\prime 2}\right)+ \\
& +2\left(x_{\prime \prime}^{\prime} \Sigma m x_{\prime}^{\prime}+y_{\prime \prime}^{\prime} \Sigma m y_{\prime}^{\prime}+z_{\prime \prime}^{\prime} \Sigma m z_{\prime}^{\prime}\right)+\left(x_{\prime \prime}^{\prime 2}+y_{\prime \prime}^{\prime 2}+z_{\prime \prime}^{\prime 2}\right) \Sigma m,
\end{aligned}
\]

и тогда, установив, как мы вправе сделать, три уравнения условий
\[
\Sigma m x=0, \quad \Sigma m y=0, \quad \Sigma m z=0 ;
\]

которые посредством равенств (40) дают
\[
x_{n}=\frac{\Sigma m x}{\Sigma m}, \quad y_{n}=\frac{\Sigma m y}{\Sigma m}, \quad z_{n}=\frac{\Sigma m z}{\Sigma m},
\]

где $x_{n}, y_{n}, z_{n}$ являются координатами точки, называемой центром тяжести системы, можем свести функцию $T$ к форме
\[
T=T,+T_{n},
\]

в которой
\[
T_{,}=\frac{1}{2} \Sigma m\left(x^{\prime 2}+y_{,}^{\prime 2}+z_{\prime}^{\prime 2}\right)
\]

и
\[
T_{\prime \prime}=\frac{1}{2}\left(x_{n}^{\prime 2}+y_{n}^{\prime 2}+z_{n}^{\prime 2}\right) \Sigma^{\prime} m .
\]

Посредством этого известного разложения полная живая сила $2 T$ системы распадается на две части $2 T$, и $2 T$, первая из которых, $2 T$, может быть названа относительной живой силой, так как она получается исключительно из относительных скоростей точек системы в их движениях вокруг общего центра тяжести $x_{n}, y_{n}, z_{n}$, в то время как вторая часть, $2 T_{n}$, получается только из абсолютного движения этого центра тяжести в пространстве и будет такой, как если бы все массы системы были объединены в этом общем центре. В то же время закон живой силы $T=U+H$ (6) с помощью закона движения центра тяжести распадается на два следующих отдельных уравнения :

и
\[
T,=U+H,
\]
\[
T_{n}=H_{n},
\]

причем $H$, и $H_{n}$ представляют собой две новые постоянные, независимые от времени $t$, и притом такие, что.
\[
H,+H_{n}=H \text {. }
\]

Подобным же образом мы можем разложить действие или накопленную живую силу $V$, которая равна определенному интегралу $\int_{0}^{t} 2 T d t$, на две следующие аналогичные части :
\[
V=V_{1}+V_{n},
\]

определяемые двумя уравнениями :
\[
V_{1}=\int_{0}^{t} 2 T, d t
\]

и
\[
V_{n}=\int_{0}^{t} 2 T_{n} d t
\]

Последнее уравнение при помсщи равенства (51) приводится к виду
\[
V_{\”}=2 H_{\”} t \text {, }
\]

т. е. результат, который согласно закону движения центра тяжести может быть выражен таким образом [77] :
\[
V_{n}=\sqrt{\left(x_{n}-a_{n}\right)^{2}+\left(y_{n}-b_{n}\right)^{2}+\left(z_{n}-c_{n}\right)^{2}} \cdot \sqrt{2 H_{n} \Sigma^{\prime} m},
\]

где $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ представляют собой начальные координаты центра тяжести, так что
\[
a_{n}=\frac{\Sigma m a}{\Sigma m}, \quad b_{l}=\frac{\Sigma m b}{\Sigma m}, \quad c_{l}=\frac{\Sigma m c}{\Sigma m} .
\]

Для вариации $\delta V$ полной функции $V$ получим
\[
\begin{array}{l}
\delta V=\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime}, \delta x_{,}-a^{\prime} \delta a_{1}+y^{\prime}, \delta y_{,}-b^{\prime} \delta b_{,}+z^{\prime} \delta z_{,}-c^{\prime}, \delta c_{\prime}\right)+ \\
+\left(x_{n}^{\prime} \delta x_{n}-a_{n}^{\prime} \delta a_{n}+y_{n \prime}^{\prime} \delta y_{n}-b_{n}^{\prime} \delta b_{n}+z_{\prime \prime}^{\prime} \delta z_{n}-c_{n \prime}^{\prime} \delta c_{n}\right) \sum m+ \\
+t \delta H+\lambda_{1} \Sigma m \delta x,+\lambda_{2} \Sigma m \delta y_{1}+\lambda_{3} \Sigma m \delta z_{1}+\Lambda_{1} \Sigma^{\prime} m \delta a_{1}+ \\
+\Lambda_{2} \Sigma m \delta b,+\Lambda_{3} \Sigma m \delta c_{1} . \\
\end{array}
\]

В то время как вариация части $V_{\text {\”, }}$, определяемой уравнением $\left(\mathrm{H}^{1}\right)$, как легко можно показать, имеет вид:
\[
\delta V_{l}=\left(x_{n}^{\prime} \delta x_{n}-a_{n}^{\prime} \delta a_{n}+y^{\prime} \delta y_{n}-b_{l \prime}^{\prime} \delta b_{n}+z_{n}^{\prime} \delta z_{n}-c_{n}^{\prime} \delta c_{n}\right) \Sigma^{\prime} m+t \delta H_{n},
\]

вариация части $V$, может быть выражена таким образом :
\[
\begin{array}{l}
\delta V_{\prime}=\Sigma^{\prime} m\left(x^{\prime}, \delta x,-a^{\prime} \delta a_{,}+y^{\prime} \delta y_{,}-b^{\prime} \delta b_{\prime}+z^{\prime} \delta z_{,}-c^{\prime} \delta c,\right)+ \\
+t \delta H,+\lambda_{1} \Sigma m \delta x,+\lambda_{2} \Sigma^{\prime} m \delta y,+\lambda_{3} \Sigma m \delta z,+\Lambda_{1} \Sigma m \delta a,+ \\
+\Lambda_{2} \Sigma m \delta b,+\Lambda_{3} \Sigma m \delta c . \\
\end{array}
\]

Она распадается на следующие отдельные выражения, в которых часть $V$, рассматривается как функция $6 n+1$ величин $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}, a_{i}, b_{i}^{\prime}, c_{i}, H_{\prime}$. Однако только $6 n-5$ из них действительно являются независимыми.
Таким образом, имеем первую группу:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{1}}=m_{1} x_{\prime_{1}}^{\prime}+\lambda_{1} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{n}}=m_{n} x_{\prime_{n}}^{\prime}+\lambda_{1} m_{n} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{1}}=m_{1} y_{\prime_{1}}^{\prime}+\lambda_{2} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{, n}}=m_{n} y_{\prime_{n}}^{\prime}+\lambda_{2} m_{n} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{1}}=m_{1} z_{\prime_{1}}^{\prime}+\lambda_{3} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{\prime n}}=m_{n} z_{\prime_{n}}^{\prime}+\lambda_{3} m_{n}
\end{array}\right\}
\]

и вторую группу
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{1}}=-m_{1} a_{\prime_{1}}^{\prime}+\Lambda_{1} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{, n}}=-m_{n} a_{\prime_{n}}^{\prime}+\Lambda_{1} m_{n} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{1}}=-m_{1} b_{\prime_{1}}^{\prime}+\Lambda_{2} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{, n}}=-m_{n} b_{\prime_{n}}^{\prime}+\Lambda_{2} m_{n} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{1}}=-m_{1} c_{\prime_{1}}^{\prime}+\Lambda_{3} m_{1}, & \ldots, & \frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{, n}}=-m_{n} c_{\prime_{n}}^{\prime}+\Lambda_{3} m_{n} .
\end{array}\right\}
\]

Наконец,
\[
\frac{\delta V^{\prime}}{\delta H,}=t
\]

Для шести множителей $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \Lambda_{1}, \Lambda_{2}, A_{3}$, которые были введены тремя конечными уравнениями условий (45) и тремя аналогичными начальными уравнениями условий
\[
\Sigma m a,=0, \quad \Sigma m b_{\imath}=0, \quad \Sigma m c_{\imath}=0,
\]

мы, продифференцировав эти уравнения, получаем

и
\[
\Sigma m x_{\prime}^{\prime}=0, \quad \Sigma ‘ m y_{\prime}^{\prime}=0, \quad \Sigma ‘ m z_{\prime}^{\prime}=0
\]
\[
\Sigma m a^{\prime}=0, \quad \Sigma m b_{\prime}^{\prime}=0, \quad \Sigma m c_{\prime}^{\prime}=0 .
\]

Следовательно,
\[
\lambda_{1}=\frac{\sum \frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{\prime}}}{\sum m}, \quad \lambda_{2}=\frac{\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{\prime}}}{\sum m}, \quad \lambda_{3}=\frac{\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{\prime}}}{\sum m}
\]

и
\[
\Lambda_{1}=\frac{\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{\prime}}}{\Sigma m}, \quad \Lambda_{2}=\frac{\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{\prime}}}{\Sigma m}, \quad \Lambda_{3}=\frac{\Sigma \frac{\delta V l^{\prime}}{\delta c^{\prime}}}{\Sigma m} .
\]
11. В качестве примера определения этих множителей мы можем предположить, что часть $V$, полного действия $V$ была выражена до дифференцирования как функция $H$, и следующих $6 n-6$ независимых величин:
\[
\left.\begin{array}{llll}
x_{1}-x_{n}=\xi_{1}, & x_{\prime_{2}}-x_{n}=\xi_{2}, & \ldots, & x_{\prime_{n-1}}-x_{n}=\xi_{n-1} ; \\
y_{\prime_{1}}-y_{n}=\eta_{1}, & y_{\prime_{2}}-y_{\prime_{n}}=\eta_{2}, & \ldots, & y_{\prime_{n-1}}-y_{\prime_{n}}=\eta_{n-1} ; \\
z_{\prime_{1}}-z_{n}=\zeta_{1}, & z_{\prime_{2}}-z_{n}=\zeta_{2}, & \ldots, & z_{n-1}-z_{n}=\zeta_{n-1}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
a_{1}-a_{\prime_{n}}=\alpha_{1}, \quad a_{\prime_{2}}-a_{\prime_{n}}=a_{2}, \ldots, \quad a_{\prime_{n-1}}-a_{\prime_{n}}=\alpha_{n-1} ; \\
b_{r_{1}}-b_{\prime_{n}}=\beta_{1}, \quad b_{\prime_{2}}-b_{\prime_{n}}=\beta_{2}, \ldots, \quad b_{\prime_{n-1}}-b_{\prime_{n}}=\beta_{n-1} \text {; } \\
c_{\prime}-c_{\prime}=\gamma_{1}, \quad c_{\prime_{2}}-c_{\prime}=\gamma_{2}, \ldots, \quad c_{n-1}-c_{n}=\gamma_{n-1}, \quad \\
\end{array}
\]
т. е. разностей центробарических координат $\left[{ }^{78}\right]$, или, другими словами, как функция координат (начальных и конечных) $n-1$ точек системы, отнесенных к $n$-й точке как внутреннему или подвижному началу, так как центробарические координаты $x_{\prime_{i}}, y_{\prime_{i}}, z_{\prime_{i}}, a_{\prime_{i}}, b_{\prime_{i}}, c_{\prime_{i}}$ посредством уравнений условий могут быть сами выражены как их функции, а именно:
\[
x_{\prime_{i}}=\xi_{i}-\frac{\Sigma m \xi}{\Sigma m}, \quad y_{i}=\eta_{i}-\frac{\Sigma m \eta}{\Sigma m}, \quad z_{i}=\zeta_{i}-\frac{\Sigma m \zeta}{\Sigma m} ;
\]

подобным же образом
\[
a_{i}=a_{i}-\frac{\Sigma m a}{\Sigma m}, \quad b_{i}=\beta_{i}-\frac{\Sigma m \beta}{\Sigma m}, \quad c_{i}=\gamma_{i}-\frac{\Sigma m \gamma}{\Sigma m},
\]

относительно которых надо отметить, что шесть величин $\xi_{n}, \eta_{n}, \zeta_{n}, \alpha_{n}, \beta_{n}, \gamma_{n}$ должны рассматриваться как обращающиеся в нуль независимо одна от другой. Когда $V$, , таким образом, выражена как функция центробарических координат, включающая только их разности, она, очевидно, будет удовлетворять шести уравнениям в частных производных [79] :
\[
\begin{array}{l}
\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{r}}=0, \quad \Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{\prime}}=0, \quad \Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{r}}=0, \\
\Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{\prime}}=0, \quad \Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{\prime}}=0, \quad \Sigma \frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{\prime}}=0 ; \\
\end{array}
\]

поэтому после подстановки такой функции $V$ шесть множителей, определенных посредством (58) и (59), исчезнут, так что мы получим
\[
\lambda_{1}=0, \quad \lambda_{2}=0, \quad \lambda_{3}=0, \quad \Lambda_{1}=0, \quad \Lambda_{2}=0, \Lambda_{3}=0,
\]

а группы ( $\mathrm{M}^{1}$ ) и ( $\mathrm{N}^{1}$ ) сведутся к двум следующим группам :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{1}}=m_{1} x_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{2}}=m_{2} x_{\prime_{2}}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{, n}}=m_{n} x_{\prime_{n}}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{1}}=m_{1} y_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{2}}=m_{2} y_{\prime_{2}}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{1 n}}=m_{n} y_{\prime_{n}}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{\prime_{1}}}=m_{1} z_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{\prime_{2}}}=m_{2} z_{\prime_{2}}, \quad \ldots, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{n}}=m_{n} z_{\prime}^{\prime} \\
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{1}}=-m_{1} a_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{\prime_{2}}}=-m_{2} a_{\prime_{2}}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{1 n}}=-m_{n} a_{\prime_{n}}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{1}}=-m_{1} b_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{\prime_{2}}}=-m_{2} b_{\prime_{2}}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V,}{\delta b_{, n}}=-m_{n} b_{\prime_{n}}^{\prime}, \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{\prime_{1}}}=-m_{1} c_{\prime_{1}}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{\prime_{2}}}=-m_{2} c_{\prime_{2}}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{, n}}=-m_{n} c_{\prime_{n}}^{\prime}, \\
\end{array}
\]

во всех отношениях аналогичным группам (C) и (D). Следовательно, для относительного движения системы около ее собственного центра тяжести мы находим уравнения того же вида, как те, которые мы получили раньше для абсолютного движения той же системы точек в пространстве. Мы видим также, что, исследуя только такое относительное движение, полезно ограничиться частью $V$, нашей полной характеристической функции, т. е. относительным действием системы или накопленной живой силой движения вокруг центра тяжести, и рассматривать эту часть как характеристическую функцию такого относительного движения в смысле, аналогичном тому, который уже был расъяснен ранее.

Однако это относительное действие, или часть $V$, может быть выражено другим способом и даже бесконечно разнообразными способами с помощью шести уравнений условий, которые связывают $6 n$ центробарических координат; каждая другая его форма даст другую группу значений для шести множителей $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \Lambda_{1}, \Lambda_{2}, \Lambda_{3}$. Например, мы можем при помощи предыдущего способа исключить из выражения $V$, шесть центробарических координат точки $m_{n}$, с тем чтобы это выражение включало только центробарические координаты других $n-1$ точек системы, и тогда мы будем иметь
\[
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{, n}}=0, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{, n}}=0, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{, n}}=0, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta a_{, n}}=0, \frac{\delta \delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta b, n}=0, \frac{‘ \delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta c_{, n}}=0,
\]

после чего посредством шести последних уравнений групп ( $\mathrm{M}^{1}$ ) и ( $\mathrm{N}^{1}$ ) эти множители примут значения :
\[
\lambda_{1}=-x_{\prime_{n}}^{\prime}, \quad \lambda_{2}=-y_{\prime_{n}}^{\prime}, \quad \lambda_{3}=-z_{\prime_{n}}^{\prime}, \quad \Lambda_{1}=a_{\prime_{n}}^{\prime}, \quad \Lambda_{2}=b_{\prime_{n}}^{\prime}, \quad \Lambda_{3}=c_{\prime_{n}}^{\prime},
\]

и посредством равенств (60) и (61) предыдущие $6 n-6$ уравнений тех же групп ( $\left.\mathrm{M}^{1}\right)$ и ( $\mathrm{N}^{1}$ ) сведутся к виду:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta x_{\prime_{1}}}=m_{1} \xi_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta x_{\prime_{2}}}=m_{2} \xi_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta x_{r_{n-1}}}=m_{n-1} \xi_{n-1}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta y_{\prime_{1}}}=m_{1} \eta_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta y_{\prime_{2}}}=m_{2} \eta_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta y_{\prime_{n-1}}}=m_{n-1} \eta_{n-1}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{\prime_{1}}}=m_{1} \zeta_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta z_{\prime_{2}}}=m_{2} \zeta_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta z_{n-1}}=m_{n-1} \zeta_{n-1}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{\prime_{1}}}=-m_{1} \alpha_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{\prime_{2}}}=-m_{2} \alpha_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta a_{n-1}}=-m_{n-1} a_{n-1}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{\prime_{1}}}=-m_{1} \beta_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{\prime_{2}}}=-m_{2} \beta_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta b_{n-1}}=-m_{n-1} \beta_{n-1}^{\prime} ; \\
\frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta c_{\prime_{1}}}=-m_{1} \gamma_{1}^{\prime}, \frac{\delta V_{\prime}^{\prime}}{\delta c_{\prime_{2}}}=-m_{2} \gamma_{2}^{\prime}, \ldots, \frac{\delta V_{\prime}}{\delta c_{n-1}}=-m_{n-1} \gamma_{n-1}^{\prime} \cdot
\end{array}\right\}
\]
12. Мы можем также выразить относительное действие $V$, как функцию не центробарических, но каких-то других внутренних координат или отметок относительного положения. Мы можем, например, выразить $V$, и ее вариацию как функции уже упомянутых $6 n-6$ независимых внутренних координат $\xi, \eta, \zeta, \alpha, \beta, \gamma$ и их вариаций, определяя их, совершенно безотносительно к центру тяжести, уравнениями
\[
\left.\begin{array}{lll}
\xi_{i}=x_{i}-x_{n}, & \eta_{i}=y_{i}-y_{n}, & \zeta_{i}=z_{i}-z_{n}, \\
a_{i}=a_{i}-a_{n}, & \beta_{i}=b_{i}-b_{n}, & \gamma_{i}=c_{i}-c_{n} .
\end{array}\right\}
\]

Для всех таких преобразований $\delta V$, легко установить правило или закон, который можно назвать законом относительного переменного действия (в точности аналогично правилу (B’)), а именно:

Это означает, что мы выразим половину $T$, относительной живой силы системы как функцию скоростей $\eta^{\prime}$ любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию $T$ относительно $\eta^{\prime}$, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения; вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций $\varphi$, и $\Phi$, , которые входят в уравнения условий $\varphi_{t}=0, \Phi,=0$ (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители $\lambda, \Lambda_{\text {, }}$; наконец, приравняем полный результат величине $\delta V$, – $\delta H$, где $H$, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а $V$, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила ( $\mathrm{V}^{1}$ ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения.

Для того чтобы представить пример его применения, вернемся к уже упоминавшейся задаче, заключающейся в том, чтобы изобразить $\delta V$, посредством $6 n-5$ независимых вариаций $\delta \xi_{i}, \delta \eta_{i}, \delta \zeta_{i}, \delta \alpha_{i}, \delta \beta_{i}, \delta \gamma_{i}, \delta H$, Для этой цели мы используем известную преобразованую форму живой силы $2 T$, помноженную на сумму масс системы, а именно :
\[
2 T, \Sigma m=\sum m_{i} m_{k}\left\{\left(x_{i}^{\prime}-x_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{i}^{\prime}-y_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{i}^{\prime}-z_{k}^{\prime}\right)^{2}\right\},
\]

причем знак суммирования $\Sigma$ во втором члене распространяется на все попарные сочетания точек, которые могут быть образованы без повторения. Это преобразование посредством (66) дает
\[
\begin{aligned}
2 T, \Sigma m=m_{n} \Sigma, m\left(\xi^{\prime 2}\right. & \left.+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}\right)+ \\
& +\Sigma, m_{i} m_{k}\left\{\left(\xi_{i}^{\prime}-\xi_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta_{i}^{\prime}-\eta_{k}^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta_{i}^{\prime}-\zeta_{k}^{\prime}\right)^{2}\right\},
\end{aligned}
\]

где знак суммирования $\Sigma$, распространяется только на первые $n-1$ точек системы. Применяя, следовательно, наше общее правило, или закон переменного относительного действия, и следя за тем, чтобы $6 n–6$ внутренних координат $\xi, \eta, \zeta, \alpha, \beta, \gamma$ были независимы, мы найдем следующее новое выражение :
\[
\begin{array}{l}
\delta V,=t \delta H,+\frac{m_{n}}{\Sigma m} \Sigma, m\left(\xi^{\prime} \delta \xi-\alpha^{\prime} \delta \alpha+\eta^{\prime} \delta \eta-\beta^{\prime} \delta \beta+\zeta^{\prime} \delta \zeta-\gamma^{\prime} \delta \gamma\right)+ \\
\quad+\frac{1}{\Sigma m} \Sigma^{\prime}, m_{i} m_{k}\left\{\left(\xi_{i}^{\prime}-\xi_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \xi_{i}-\delta \xi_{k}\right)+\left(\eta_{i}^{\prime}-\eta_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \eta_{i}-\delta \eta_{k}\right)+\right. \\
\left.\quad+\left(\delta \zeta_{i}^{\prime}-\delta \zeta_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \zeta_{i}-\delta \zeta_{k}\right)\right\}-\frac{1}{\Sigma m} \Sigma, m_{i} m_{k}\left\{\left(\alpha_{i}^{\prime}-\alpha_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \alpha_{i}-\delta \alpha_{k}\right)+\right. \\
\left.\quad+\left(\beta_{i}^{\prime}-\beta_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \beta_{i}-\delta \beta_{k}\right)+\left(\gamma_{i}^{\prime}-\gamma_{k}^{\prime}\right)\left(\delta \gamma_{i}-\delta \gamma_{k}\right)\right\},
\end{array}
\]

которое помимо уравнения ( $\mathrm{O}^{1}$ ) даст следующие группы :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V,}{\delta \xi_{i}}=\frac{m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\xi_{i}^{\prime}-\xi^{\prime}\right)=m_{i}\left(\xi_{i}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \xi^{\prime}}{\Sigma m}\right), \\
\frac{\delta V}{\delta \eta_{i}}=\frac{m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\eta_{i}^{\prime}-\eta^{\prime}\right)=m_{i}\left(\eta_{t}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \eta^{\prime}}{\Sigma m}\right), \\
\frac{\delta V,}{\delta \zeta_{i}}=\frac{m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\zeta_{i}^{\prime}-\zeta^{\prime}\right)=m_{i}\left(\zeta_{i}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \zeta^{\prime}}{\Sigma m}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta V^{\prime}}{\delta \alpha_{i}}=\frac{-m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\alpha_{i}^{\prime}-\alpha^{\prime}\right)=-m_{i}\left(\alpha_{i}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \alpha^{\prime}}{\Sigma m}\right), \\
\frac{\delta V^{\prime}}{\delta \beta_{i}}=\frac{-m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\beta_{i}^{\prime}-\beta^{\prime}\right)=-m_{i}\left(\beta_{i}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \beta^{\prime}}{\Sigma m}\right), \\
\frac{\delta V_{i}}{\delta \gamma_{i}}=\frac{-m_{i}}{\Sigma m} \Sigma m\left(\gamma_{i}^{\prime}-\gamma^{\prime}\right)=-m_{i}\left(\gamma_{i}^{\prime}-\frac{\Sigma, m \gamma^{\prime}}{\Sigma m}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Эти результаты могут быть суммированы следующим образом :
\[
\begin{aligned}
\delta V_{\prime}=t \delta H_{,}+ & \Sigma, m\left(\xi^{\prime} \delta \xi-\alpha^{\prime} \delta \alpha+\eta^{\prime} \delta \eta-\beta^{\prime} \delta \beta+\zeta^{\prime} \delta \zeta-\gamma^{\prime} \delta \gamma\right)- \\
& -\frac{1}{\Sigma m}\left(\Sigma, m \xi^{\prime} \Sigma, m \delta \xi+\Sigma^{\prime} m \eta^{\prime} \Sigma, m \delta \eta+\Sigma, m \zeta^{\prime} \Sigma, m \delta \zeta\right)+ \\
& +\frac{1}{\Sigma m}\left(\Sigma, m \alpha^{\prime} \Sigma, m \delta \alpha+\Sigma, m \beta^{\prime} \Sigma, m \delta \beta+\Sigma, m \gamma^{\prime} \Sigma, m \delta \gamma\right)
\end{aligned}
\]

они могли бы быть выведены из нашего правила иным способом при помощи другого известного преобразования
\[
T_{1}=\frac{1}{2} \Sigma, m\left(\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}\right)-\frac{\left(\Sigma, m \xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma, m \eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\Sigma^{\prime} m \zeta^{\prime}\right)^{2}}{2 \Sigma m} .
\]

Для того же чтобы получить для любой группы внутренних или относительных отметок положения два уравнения в частных производных, которым должна удовлетворять характеристическая функция $V$, относительного движения и которые представляют (как мы убедимся далее) главный способ раскрытия ее формы, а именно уравнения, аналогичные тем, которые обозначены (F) и (G), нам только нужно исключить приращения отметок положения системы, которые определяют конечные и начальные компоненты относительных скоростей ее точек согласно закону переменного относитель-

ного действия, исходя из конечных и начальных выражений закона относительной живой силы, а именно из следующих уравнений :
\[
T,=U+H
\]

и
\[
T_{, 0}=U_{0}+H,
\]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (P) ], также всегда может быть выражен в относительных координатах; он поможет нам раскрыть форму характеристической функции $V$, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом $6 n-9$ ), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина $H$, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы $n$ точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции $V$, зависящей от $6 n-9$ внутренних или относительных координат [80] и от величины $H$, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда $t=0$, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем частная производная $\frac{\delta V \text { I }}{\delta H}$ исчезает. При этом в момент времени, отстоящий на бесконечно малую величину от начального, дифференциальные изменения координат имеют коэффициенты, связанные посредством закона переменного относительного действия с другими частными производными характеристической функции $V$,. Здесь можно отметить, что хотя рассмотрение точки, обычно называемой центром тяжести, весьма просто подсказывается процессом, описанным в десятом параграфе, тем не менее, этот внутренний центр еще проще определяется нашими более ранними выводами из закона переменного действия. Эти выводы показывают, что компоненты относительных конечных скоростей в любой системе притягивающихся или отталкивающихся точек могут быть выражены при помощи разностей величин вида $\frac{1}{m} \frac{\delta V}{\delta x}, \frac{1}{m} \cdot \frac{\delta V}{\delta y}, \frac{1}{m} \frac{\delta V}{\delta z}$. Следовательно, при вычислении этих относительных скоростей выгодно ввести в выражение характеристической функции $V$, среди отметок крайних положений системы конечные суммы $\Sigma m x, \Sigma m y$, $\Sigma m z$ и аналогично также начальные суммы $\Sigma m a, \Sigma m b, \Sigma m c$, так как при дифференцировании этого выражения для вычисления относительных скоростей эти суммы могут рассматриваться как постоянные.