10. В качестве примера предыдущих преобразований и в то же время в качестве важного случая их применения мы введем теперь относительные координаты $x,y,z$, отнесенные к внутреннему началу $x_n,y_n,z_{\Vert }$, т. е. положим:
$$x_i=x_{{\prime }_i}+x_{\prime \prime },y_i=y_{r_i}+y_{\prime \prime },z_i=z_{{\prime }_i}+z_n$$

и аналогичным образом
$$a_i=a_i+a_n,b_i=b_i+b_n,c_i=c_{c_i}+c_n,$$

совместно с дифференциальными выражениями
$$x_i^{\prime }=x_i^{\prime }+x_n^{\prime },y_i^{\prime }=y_{{}_i}^{\prime }+y_n^{\prime },z_i^{\prime }=z_{{}_i}^{\prime }+z_n^{\prime }$$

и
$$a_i^{\prime }=a_{{\prime }_i}^{\prime }+a_n^{\prime },b_i^{\prime }=b_{{\prime }_i}^{\prime }+b_n^{\prime },c_i^{\prime }=c_{{}_i}^{\prime }+c_l^{\prime }.$$

Введя выражения (42) для прямоугольных компонентов скорости в равенство (4), мы найдем, что значение живой силы $2T$ распадается на три следующие части :
$$\begin{array}{rl}2T=\mathrm{\Sigma }& m(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2})=\mathrm{\Sigma }m(x_{\prime }^{\prime 2}+y_{\prime }^{\prime 2}+z_{\prime }^{\prime 2})+\\ & +2(x_{\prime \prime }^{\prime }\mathrm{\Sigma }m{x}_{\prime }^{\prime }+y_{\prime \prime }^{\prime }\mathrm{\Sigma }m{y}_{\prime }^{\prime }+z_{\prime \prime }^{\prime }\mathrm{\Sigma }m{z}_{\prime }^{\prime })+(x_{\prime \prime }^{\prime 2}+y_{\prime \prime }^{\prime 2}+z_{\prime \prime }^{\prime 2})\mathrm{\Sigma }m,\end{array}$$

и тогда, установив, как мы вправе сделать, три уравнения условий
$$\mathrm{\Sigma }mx=0,\mathrm{\Sigma }my=0,\mathrm{\Sigma }mz=0;$$

которые посредством равенств (40) дают
$$x_n=\frac{\mathrm{\Sigma }mx}{\mathrm{\Sigma }m},y_n=\frac{\mathrm{\Sigma }my}{\mathrm{\Sigma }m},z_n=\frac{\mathrm{\Sigma }mz}{\mathrm{\Sigma }m},$$

где $x_n,y_n,z_n$ являются координатами точки, называемой центром тяжести системы, можем свести функцию $T$ к форме
$$T=T,+T_n,$$

в которой
$$T_{,}=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }m(x^{\prime 2}+y_{,}^{\prime 2}+z_{\prime }^{\prime 2})$$

и
$$T_{\prime \prime }=\frac{1}{2}(x_n^{\prime 2}+y_n^{\prime 2}+z_n^{\prime 2}){\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m.$$

Посредством этого известного разложения полная живая сила $2T$ системы распадается на две части $2T$, и $2T$, первая из которых, $2T$, может быть названа относительной живой силой, так как она получается исключительно из относительных скоростей точек системы в их движениях вокруг общего центра тяжести $x_n,y_n,z_n$, в то время как вторая часть, $2T_n$, получается только из абсолютного движения этого центра тяжести в пространстве и будет такой, как если бы все массы системы были объединены в этом общем центре. В то же время закон живой силы $T=U+H$ (6) с помощью закона движения центра тяжести распадается на два следующих отдельных уравнения :

и
$$T,=U+H,$$
$$T_n=H_n,$$

причем $H$, и $H_n$ представляют собой две новые постоянные, независимые от времени $t$, и притом такие, что.
$$H,+H_n=H\text{. }$$

Подобным же образом мы можем разложить действие или накопленную живую силу $V$, которая равна определенному интегралу ${\int }_0^{t}2Tdt$, на две следующие аналогичные части :
$$V=V_1+V_n,$$

определяемые двумя уравнениями :
$$V_1={\int }_0^{t}2T,dt$$

и
$$V_n={\int }_0^{t}2T_{n}dt$$

Последнее уравнение при помсщи равенства (51) приводится к виду
$$V_{\text{»}}=2H_{\text{»}}t\text{, }$$

т. е. результат, который согласно закону движения центра тяжести может быть выражен таким образом [77] :
$$V_n=\sqrt{{(x_n-a_n)}^2+{(y_n-b_n)}^2+{(z_n-c_n)}^2}\cdot \sqrt{2H_n{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m},$$

где $a_n,b_n,c_n$ представляют собой начальные координаты центра тяжести, так что
$$a_n=\frac{\mathrm{\Sigma }ma}{\mathrm{\Sigma }m},b_l=\frac{\mathrm{\Sigma }mb}{\mathrm{\Sigma }m},c_l=\frac{\mathrm{\Sigma }mc}{\mathrm{\Sigma }m}.$$

Для вариации $\delta V$ полной функции $V$ получим
$$\begin{array}{l}\delta V={\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m(x^{\prime },\delta x_{,}-a^{\prime }\delta a_1+y^{\prime },\delta y_{,}-b^{\prime }\delta b_{,}+z^{\prime }\delta z_{,}-c^{\prime },\delta c_{\prime })+\\ +(x_n^{\prime }\delta x_n-a_n^{\prime }\delta a_n+y_{n\prime }^{\prime }\delta y_n-b_n^{\prime }\delta b_n+z_{\prime \prime }^{\prime }\delta z_n-c_{n\prime }^{\prime }\delta c_n)\sum m+\\ +t\delta H+{\lambda }_1\mathrm{\Sigma }m\delta x,+{\lambda }_2\mathrm{\Sigma }m\delta y_1+{\lambda }_3\mathrm{\Sigma }m\delta z_1+{\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m\delta a_1+\\ +{\mathrm{\Lambda }}_2\mathrm{\Sigma }m\delta b,+{\mathrm{\Lambda }}_3\mathrm{\Sigma }m\delta c_1.\end{array}$$

В то время как вариация части $V_{\text{», }}$, определяемой уравнением $\left({\mathrm{H}}^1\right)$, как легко можно показать, имеет вид:
$$\delta V_l=(x_n^{\prime }\delta x_n-a_n^{\prime }\delta a_n+y^{\prime }\delta y_n-b_{l\prime }^{\prime }\delta b_n+z_n^{\prime }\delta z_n-c_n^{\prime }\delta c_n){\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m+t\delta H_n,$$

вариация части $V$, может быть выражена таким образом :
$$\begin{array}{l}\delta V_{\prime }={\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m(x^{\prime },\delta x,-a^{\prime }\delta a_{,}+y^{\prime }\delta y_{,}-b^{\prime }\delta b_{\prime }+z^{\prime }\delta z_{,}-c^{\prime }\delta c,)+\\ +t\delta H,+{\lambda }_1\mathrm{\Sigma }m\delta x,+{\lambda }_2{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m\delta y,+{\lambda }_3\mathrm{\Sigma }m\delta z,+{\mathrm{\Lambda }}_1\mathrm{\Sigma }m\delta a,+\\ +{\mathrm{\Lambda }}_2\mathrm{\Sigma }m\delta b,+{\mathrm{\Lambda }}_3\mathrm{\Sigma }m\delta c.\end{array}$$

Она распадается на следующие отдельные выражения, в которых часть $V$, рассматривается как функция $6n+1$ величин $x_i^{\prime },y_i^{\prime },z_i,a_i,b_i^{\prime },c_i,H_{\prime }$. Однако только $6n-5$ из них действительно являются независимыми.
Таким образом, имеем первую группу:
$$\begin{array}{lll}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_1}=m_1{x}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\lambda }_1{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_n}=m_n{x}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\lambda }_1{m}_n;\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_1}=m_1{y}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\lambda }_2{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{,n}}=m_n{y}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\lambda }_2{m}_n;\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_1}=m_1{z}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\lambda }_3{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{\prime n}}=m_n{z}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\lambda }_3{m}_n\end{array}\}$$

и вторую группу
$$\begin{array}{lll}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_1}=-m_1{a}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_1{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{,n}}=-m_n{a}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_1{m}_n;\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_1}=-m_1{b}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_2{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{,n}}=-m_n{b}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_2{m}_n;\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_1}=-m_1{c}_{{\prime }_1}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_3{m}_1,& \dots ,& \frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{,n}}=-m_n{c}_{{\prime }_n}^{\prime }+{\mathrm{\Lambda }}_3{m}_n.\end{array}\}$$

Наконец,
$$\frac{\delta V^{\prime }}{\delta H,}=t$$

Для шести множителей ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2,A_3$, которые были введены тремя конечными уравнениями условий (45) и тремя аналогичными начальными уравнениями условий
$$\mathrm{\Sigma }ma,=0,\mathrm{\Sigma }m{b}_{ı}=0,\mathrm{\Sigma }m{c}_{ı}=0,$$

мы, продифференцировав эти уравнения, получаем

и
$$\mathrm{\Sigma }m{x}_{\prime }^{\prime }=0,\mathrm{\Sigma }‘m{y}_{\prime }^{\prime }=0,\mathrm{\Sigma }‘m{z}_{\prime }^{\prime }=0$$
$$\mathrm{\Sigma }m{a}^{\prime }=0,\mathrm{\Sigma }m{b}_{\prime }^{\prime }=0,\mathrm{\Sigma }m{c}_{\prime }^{\prime }=0.$$

Следовательно,
$${\lambda }_1=\frac{\sum \frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_{\prime }}}{\sum m},{\lambda }_2=\frac{\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{\prime }}}{\sum m},{\lambda }_3=\frac{\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{\prime }}}{\sum m}$$

и
$${\mathrm{\Lambda }}_1=\frac{\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{\prime }}}{\mathrm{\Sigma }m},{\mathrm{\Lambda }}_2=\frac{\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{\prime }}}{\mathrm{\Sigma }m},{\mathrm{\Lambda }}_3=\frac{\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V{l}^{\prime }}{\delta c^{\prime }}}{\mathrm{\Sigma }m}.$$
11. В качестве примера определения этих множителей мы можем предположить, что часть $V$, полного действия $V$ была выражена до дифференцирования как функция $H$, и следующих $6n-6$ независимых величин:
$$\begin{array}{llll}{x}_1-x_n={\xi }_1,& x_{{\prime }_2}-x_n={\xi }_2,& \dots ,& x_{{\prime }_{n-1}}-x_n={\xi }_{n-1};\\ y_{{\prime }_1}-y_n={\eta }_1,& y_{{\prime }_2}-y_{{\prime }_n}={\eta }_2,& \dots ,& y_{{\prime }_{n-1}}-y_{{\prime }_n}={\eta }_{n-1};\\ z_{{\prime }_1}-z_n={\zeta }_1,& z_{{\prime }_2}-z_n={\zeta }_2,& \dots ,& z_{n-1}-z_n={\zeta }_{n-1}\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}{a}_1-a_{{\prime }_n}={\alpha }_1,a_{{\prime }_2}-a_{{\prime }_n}=a_2,\dots ,a_{{\prime }_{n-1}}-a_{{\prime }_n}={\alpha }_{n-1};\\ b_{r_1}-b_{{\prime }_n}={\beta }_1,b_{{\prime }_2}-b_{{\prime }_n}={\beta }_2,\dots ,b_{{\prime }_{n-1}}-b_{{\prime }_n}={\beta }_{n-1}\text{; }\\ c_{\prime }-c_{\prime }={\gamma }_1,c_{{\prime }_2}-c_{\prime }={\gamma }_2,\dots ,c_{n-1}-c_n={\gamma }_{n-1},\end{array}$$
т. е. разностей центробарических координат $\left[{}^{78}\right]$, или, другими словами, как функция координат (начальных и конечных) $n-1$ точек системы, отнесенных к $n$-й точке как внутреннему или подвижному началу, так как центробарические координаты $x_{{\prime }_i},y_{{\prime }_i},z_{{\prime }_i},a_{{\prime }_i},b_{{\prime }_i},c_{{\prime }_i}$ посредством уравнений условий могут быть сами выражены как их функции, а именно:
$$x_{{\prime }_i}={\xi }_i-\frac{\mathrm{\Sigma }m\xi }{\mathrm{\Sigma }m},y_i={\eta }_i-\frac{\mathrm{\Sigma }m\eta }{\mathrm{\Sigma }m},z_i={\zeta }_i-\frac{\mathrm{\Sigma }m\zeta }{\mathrm{\Sigma }m};$$

подобным же образом
$$a_i=a_i-\frac{\mathrm{\Sigma }ma}{\mathrm{\Sigma }m},b_i={\beta }_i-\frac{\mathrm{\Sigma }m\beta }{\mathrm{\Sigma }m},c_i={\gamma }_i-\frac{\mathrm{\Sigma }m\gamma }{\mathrm{\Sigma }m},$$

относительно которых надо отметить, что шесть величин ${\xi }_n,{\eta }_n,{\zeta }_n,{\alpha }_n,{\beta }_n,{\gamma }_n$ должны рассматриваться как обращающиеся в нуль независимо одна от другой. Когда $V$, , таким образом, выражена как функция центробарических координат, включающая только их разности, она, очевидно, будет удовлетворять шести уравнениям в частных производных [79] :
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_r}=0,\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{\prime }}=0,\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_r}=0,\\ \mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{\prime }}=0,\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{\prime }}=0,\mathrm{\Sigma }\frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{\prime }}=0;\end{array}$$

поэтому после подстановки такой функции $V$ шесть множителей, определенных посредством (58) и (59), исчезнут, так что мы получим
$${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=0,{\mathrm{\Lambda }}_1=0,{\mathrm{\Lambda }}_2=0,{\mathrm{\Lambda }}_3=0,$$

а группы ( ${\mathrm{M}}^1$ ) и ( ${\mathrm{N}}^1$ ) сведутся к двум следующим группам :
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_1}=m_1{x}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_2}=m_2{x}_{{\prime }_2}^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_{,n}}=m_n{x}_{{\prime }_n}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_1}=m_1{y}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_2}=m_2{y}_{{\prime }_2}^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{1n}}=m_n{y}_{{\prime }_n}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{{\prime }_1}}=m_1{z}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{{\prime }_2}}=m_2{z}_{{\prime }_2},\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_n}=m_n{z}_{\prime }^{\prime }\end{array}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_1}=-m_1{a}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{{\prime }_2}}=-m_2{a}_{{\prime }_2}^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{1n}}=-m_n{a}_{{\prime }_n}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_1}=-m_1{b}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{{\prime }_2}}=-m_2{b}_{{\prime }_2}^{\prime },\dots ,\frac{\delta V,}{\delta b_{,n}}=-m_n{b}_{{\prime }_n}^{\prime },\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{{\prime }_1}}=-m_1{c}_{{\prime }_1}^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{{\prime }_2}}=-m_2{c}_{{\prime }_2}^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{,n}}=-m_n{c}_{{\prime }_n}^{\prime },\end{array}$$

во всех отношениях аналогичным группам (C) и (D). Следовательно, для относительного движения системы около ее собственного центра тяжести мы находим уравнения того же вида, как те, которые мы получили раньше для абсолютного движения той же системы точек в пространстве. Мы видим также, что, исследуя только такое относительное движение, полезно ограничиться частью $V$, нашей полной характеристической функции, т. е. относительным действием системы или накопленной живой силой движения вокруг центра тяжести, и рассматривать эту часть как характеристическую функцию такого относительного движения в смысле, аналогичном тому, который уже был расъяснен ранее.

Однако это относительное действие, или часть $V$, может быть выражено другим способом и даже бесконечно разнообразными способами с помощью шести уравнений условий, которые связывают $6n$ центробарических координат; каждая другая его форма даст другую группу значений для шести множителей ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2,{\mathrm{\Lambda }}_3$. Например, мы можем при помощи предыдущего способа исключить из выражения $V$, шесть центробарических координат точки $m_n$, с тем чтобы это выражение включало только центробарические координаты других $n-1$ точек системы, и тогда мы будем иметь
$$\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_{,n}}=0,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{,n}}=0,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{,n}}=0,\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta a_{,n}}=0,\frac{\delta \delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta b,n}=0,\frac{‘\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta c_{,n}}=0,$$

после чего посредством шести последних уравнений групп ( ${\mathrm{M}}^1$ ) и ( ${\mathrm{N}}^1$ ) эти множители примут значения :
$${\lambda }_1=-x_{{\prime }_n}^{\prime },{\lambda }_2=-y_{{\prime }_n}^{\prime },{\lambda }_3=-z_{{\prime }_n}^{\prime },{\mathrm{\Lambda }}_1=a_{{\prime }_n}^{\prime },{\mathrm{\Lambda }}_2=b_{{\prime }_n}^{\prime },{\mathrm{\Lambda }}_3=c_{{\prime }_n}^{\prime },$$

и посредством равенств (60) и (61) предыдущие $6n-6$ уравнений тех же групп ( ${\mathrm{M}}^1)$ и ( ${\mathrm{N}}^1$ ) сведутся к виду:
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta x_{{\prime }_1}}=m_1{\xi }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta x_{{\prime }_2}}=m_2{\xi }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta x_{r_{n-1}}}=m_{n-1}{\xi }_{n-1}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta y_{{\prime }_1}}=m_1{\eta }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta y_{{\prime }_2}}=m_2{\eta }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta y_{{\prime }_{n-1}}}=m_{n-1}{\eta }_{n-1}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{{\prime }_1}}=m_1{\zeta }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta z_{{\prime }_2}}=m_2{\zeta }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta z_{n-1}}=m_{n-1}{\zeta }_{n-1}^{\prime }\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{{\prime }_1}}=-m_1{\alpha }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{{\prime }_2}}=-m_2{\alpha }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta a_{n-1}}=-m_{n-1}{a}_{n-1}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{{\prime }_1}}=-m_1{\beta }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{{\prime }_2}}=-m_2{\beta }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta b_{n-1}}=-m_{n-1}{\beta }_{n-1}^{\prime };\\ \frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta c_{{\prime }_1}}=-m_1{\gamma }_1^{\prime },\frac{\delta V_{\prime }^{\prime }}{\delta c_{{\prime }_2}}=-m_2{\gamma }_2^{\prime },\dots ,\frac{\delta V_{\prime }}{\delta c_{n-1}}=-m_{n-1}{\gamma }_{n-1}^{\prime }\cdot \end{array}\}$$
12. Мы можем также выразить относительное действие $V$, как функцию не центробарических, но каких-то других внутренних координат или отметок относительного положения. Мы можем, например, выразить $V$, и ее вариацию как функции уже упомянутых $6n-6$ независимых внутренних координат $\xi ,\eta ,\zeta ,\alpha ,\beta ,\gamma$ и их вариаций, определяя их, совершенно безотносительно к центру тяжести, уравнениями
$$\begin{array}{lll}{\xi }_i=x_i-x_n,& {\eta }_i=y_i-y_n,& {\zeta }_i=z_i-z_n,\\ a_i=a_i-a_n,& {\beta }_i=b_i-b_n,& {\gamma }_i=c_i-c_n.\end{array}\}$$

Для всех таких преобразований $\delta V$, легко установить правило или закон, который можно назвать законом относительного переменного действия (в точности аналогично правилу (B’)), а именно:

Это означает, что мы выразим половину $T$, относительной живой силы системы как функцию скоростей ${\eta }^{\prime }$ любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию $T$ относительно ${\eta }^{\prime }$, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения; вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций $\phi$, и $\mathrm{\Phi }$, , которые входят в уравнения условий ${\phi }_t=0,\mathrm{\Phi },=0$ (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители $\lambda ,{\mathrm{\Lambda }}_{\text{, }}$; наконец, приравняем полный результат величине $\delta V$, — $\delta H$, где $H$, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а $V$, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила ( ${\mathrm{V}}^1$ ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения.

Для того чтобы представить пример его применения, вернемся к уже упоминавшейся задаче, заключающейся в том, чтобы изобразить $\delta V$, посредством $6n-5$ независимых вариаций $\delta {\xi }_i,\delta {\eta }_i,\delta {\zeta }_i,\delta {\alpha }_i,\delta {\beta }_i,\delta {\gamma }_i,\delta H$, Для этой цели мы используем известную преобразованую форму живой силы $2T$, помноженную на сумму масс системы, а именно :
$$2T,\mathrm{\Sigma }m=\sum m_i{m}_k\{{(x_i^{\prime }-x_k^{\prime })}^2+{(y_i^{\prime }-y_k^{\prime })}^2+{(z_i^{\prime }-z_k^{\prime })}^2\},$$

причем знак суммирования $\mathrm{\Sigma }$ во втором члене распространяется на все попарные сочетания точек, которые могут быть образованы без повторения. Это преобразование посредством (66) дает
$$\begin{array}{rl}2T,\mathrm{\Sigma }m=m_n\mathrm{\Sigma },m({\xi }^{\prime 2}& +{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2})+\\ & +\mathrm{\Sigma },m_i{m}_k\{{({\xi }_i^{\prime }-{\xi }_k^{\prime })}^2+{({\eta }_i^{\prime }-{\eta }_k^{\prime })}^2+{({\zeta }_i^{\prime }-{\zeta }_k^{\prime })}^2\},\end{array}$$

где знак суммирования $\mathrm{\Sigma }$, распространяется только на первые $n-1$ точек системы. Применяя, следовательно, наше общее правило, или закон переменного относительного действия, и следя за тем, чтобы $6n—6$ внутренних координат $\xi ,\eta ,\zeta ,\alpha ,\beta ,\gamma$ были независимы, мы найдем следующее новое выражение :
$$\begin{array}{l}\delta V,=t\delta H,+\frac{m_n}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma },m({\xi }^{\prime }\delta \xi -{\alpha }^{\prime }\delta \alpha +{\eta }^{\prime }\delta \eta -{\beta }^{\prime }\delta \beta +{\zeta }^{\prime }\delta \zeta -{\gamma }^{\prime }\delta \gamma )+\\ +\frac{1}{\mathrm{\Sigma }m}{\mathrm{\Sigma }}^{\prime },m_i{m}_k\{({\xi }_i^{\prime }-{\xi }_k^{\prime })(\delta {\xi }_i-\delta {\xi }_k)+({\eta }_i^{\prime }-{\eta }_k^{\prime })(\delta {\eta }_i-\delta {\eta }_k)+\\ +(\delta {\zeta }_i^{\prime }-\delta {\zeta }_k^{\prime })(\delta {\zeta }_i-\delta {\zeta }_k)\}-\frac{1}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma },m_i{m}_k\{({\alpha }_i^{\prime }-{\alpha }_k^{\prime })(\delta {\alpha }_i-\delta {\alpha }_k)+\\ +({\beta }_i^{\prime }-{\beta }_k^{\prime })(\delta {\beta }_i-\delta {\beta }_k)+({\gamma }_i^{\prime }-{\gamma }_k^{\prime })(\delta {\gamma }_i-\delta {\gamma }_k)\},\end{array}$$

которое помимо уравнения ( ${\mathrm{O}}^1$ ) даст следующие группы :
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V,}{\delta {\xi }_i}=\frac{m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\xi }_i^{\prime }-{\xi }^{\prime })=m_i({\xi }_i^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\xi }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m}),\\ \frac{\delta V}{\delta {\eta }_i}=\frac{m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\eta }_i^{\prime }-{\eta }^{\prime })=m_i({\eta }_t^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\eta }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m}),\\ \frac{\delta V,}{\delta {\zeta }_i}=\frac{m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\zeta }_i^{\prime }-{\zeta }^{\prime })=m_i({\zeta }_i^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\zeta }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m})\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{\delta V^{\prime }}{\delta {\alpha }_i}=\frac{-m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\alpha }_i^{\prime }-{\alpha }^{\prime })=-m_i({\alpha }_i^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\alpha }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m}),\\ \frac{\delta V^{\prime }}{\delta {\beta }_i}=\frac{-m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\beta }_i^{\prime }-{\beta }^{\prime })=-m_i({\beta }_i^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\beta }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m}),\\ \frac{\delta V_i}{\delta {\gamma }_i}=\frac{-m_i}{\mathrm{\Sigma }m}\mathrm{\Sigma }m({\gamma }_i^{\prime }-{\gamma }^{\prime })=-m_i({\gamma }_i^{\prime }-\frac{\mathrm{\Sigma },m{\gamma }^{\prime }}{\mathrm{\Sigma }m}).\end{array}\}$$

Эти результаты могут быть суммированы следующим образом :
$$\begin{array}{rl}\delta V_{\prime }=t\delta H_{,}+& \mathrm{\Sigma },m({\xi }^{\prime }\delta \xi -{\alpha }^{\prime }\delta \alpha +{\eta }^{\prime }\delta \eta -{\beta }^{\prime }\delta \beta +{\zeta }^{\prime }\delta \zeta -{\gamma }^{\prime }\delta \gamma )-\\ & -\frac{1}{\mathrm{\Sigma }m}(\mathrm{\Sigma },m{\xi }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \xi +{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m{\eta }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \eta +\mathrm{\Sigma },m{\zeta }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \zeta )+\\ & +\frac{1}{\mathrm{\Sigma }m}(\mathrm{\Sigma },m{\alpha }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \alpha +\mathrm{\Sigma },m{\beta }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \beta +\mathrm{\Sigma },m{\gamma }^{\prime }\mathrm{\Sigma },m\delta \gamma )\end{array}$$

они могли бы быть выведены из нашего правила иным способом при помощи другого известного преобразования
$$T_1=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma },m({\xi }^{\prime 2}+{\eta }^{\prime 2}+{\zeta }^{\prime 2})-\frac{{(\mathrm{\Sigma },m{\xi }^{\prime })}^2+{(\mathrm{\Sigma },m{\eta }^{\prime })}^2+{\left({\mathrm{\Sigma }}^{\prime }m{\zeta }^{\prime }\right)}^2}{2\mathrm{\Sigma }m}.$$

Для того же чтобы получить для любой группы внутренних или относительных отметок положения два уравнения в частных производных, которым должна удовлетворять характеристическая функция $V$, относительного движения и которые представляют (как мы убедимся далее) главный способ раскрытия ее формы, а именно уравнения, аналогичные тем, которые обозначены (F) и (G), нам только нужно исключить приращения отметок положения системы, которые определяют конечные и начальные компоненты относительных скоростей ее точек согласно закону переменного относитель-

ного действия, исходя из конечных и начальных выражений закона относительной живой силы, а именно из следующих уравнений :
$$T,=U+H$$

и
$$T_{,0}=U_0+H,$$

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (P) ], также всегда может быть выражен в относительных координатах; он поможет нам раскрыть форму характеристической функции $V$, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом $6n-9$ ), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина $H$, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы $n$ точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции $V$, зависящей от $6n-9$ внутренних или относительных координат [80] и от величины $H$, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда $t=0$, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем частная производная $\frac{\delta V\text{ I }}{\delta H}$ исчезает. При этом в момент времени, отстоящий на бесконечно малую величину от начального, дифференциальные изменения координат имеют коэффициенты, связанные посредством закона переменного относительного действия с другими частными производными характеристической функции $V$,. Здесь можно отметить, что хотя рассмотрение точки, обычно называемой центром тяжести, весьма просто подсказывается процессом, описанным в десятом параграфе, тем не менее, этот внутренний центр еще проще определяется нашими более ранними выводами из закона переменного действия. Эти выводы показывают, что компоненты относительных конечных скоростей в любой системе притягивающихся или отталкивающихся точек могут быть выражены при помощи разностей величин вида $\frac{1}{m}\frac{\delta V}{\delta x},\frac{1}{m}\cdot \frac{\delta V}{\delta y},\frac{1}{m}\frac{\delta V}{\delta z}$. Следовательно, при вычислении этих относительных скоростей выгодно ввести в выражение характеристической функции $V$, среди отметок крайних положений системы конечные суммы $\mathrm{\Sigma }mx,\mathrm{\Sigma }my$, $\mathrm{\Sigma }mz$ и аналогично также начальные суммы $\mathrm{\Sigma }ma,\mathrm{\Sigma }mb,\mathrm{\Sigma }mc$, так как при дифференцировании этого выражения для вычисления относительных скоростей эти суммы могут рассматриваться как постоянные.