Вернемся к вопросу динамики электрона с релятивистской точки зрения. Слово «электрон» следует понимать в общем смысле как материальную точку; обладающую электрическим зарядом. Предположим, что электрон, помещенный вне поля, обладает собственной массой $m_0$; его электрический заряд обозначается через $e$.

Рассмотрим снова пространство-время; пространственные координаты обозначим через $x^1,x^2$ и $x^3$; координату $ct$ через $x^4$. Основной инвариант «элемент длины» — выражается соомношением
$$ds=\sqrt{{\left(d{x}^4\right)}^2-{\left(d{x}^1\right)}^2-{\left(d{x}^2\right)}^2-{\left(d{x}^3\right)}^2}.$$

В этом и в следующих параграфах мы постоянно будем применять некоторые обозначения тензорного исчисления.

Мировая линия в каждой точке имеет касательную, направление которой определяет вектор мировой скорости, длина которого равиа единице

и контравариантные составляющие которого даются соотношением
$$u^i=\frac{d{x}^i}{ds}.(i=1,2,3,4).$$

Отсюда следует, что $u^i{u}_i=1$.
Представим себе движущееся тело, описывающее мировую линию; при прохождении через рассматриваемую точку скорость его равна $v=\beta c$ с компонентами $v_x,v_y,v_z$. Компоненты мировой скорости будут
$$\begin{array}{l}{u}_1=-u^1=-\frac{v_x}{c\sqrt{1-{\beta }^2}},u_2=-u^2=-\frac{v_y}{c\sqrt{1-{\beta }^2}},\\ u_3=-u^3=-\frac{c_z}{c\sqrt{1-{\beta }^2}},u_4=u^4=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.\end{array}$$

Чтобы определить электромагнитное поле, следует при помощи уравнений ${\phi }_1=-{\phi }^r=-a_x;{\phi }_2=-{\phi }^2=-a_y;{\phi }_3=-{\phi }^3=-a_z;{\phi }_4={\phi }^4=\frac{1}{c}\psi$
ввести второй мировой вектор, компоненты которого равны функциям вектор-потенциала $\mathit{a}$ и скалярного потенциала $\psi$.

Рассмотрим теперь две точки $P$ и $Q$ пространства-времени, соответствующие заданным значениям координат пространства и времени. Можно рассматривать криволинейный интеграл, взятый по мировой линии, идущей от $P$ к $Q$; интегрируемая функция, естественно, должна быть инвариантной.
Положим, что
$${\int }_P^Q(-m_{0}c-e{\phi }_i{u}^i)ds={\int }_P^Q(-m_{0}c{u}_i-e{\phi }_i)u^{i}ds$$

является этим интегралом. Принцип Гамильтона утверждает, что если мировая линия движущегося тела проходит через $P$ и $Q$, то она имеет такую форму, для которой определенный выше интеграл имеет стационарное значение.
С помощью соотношения
$$J_i=m_{0}c{u}_i+e{\phi }_i(i=1,2,3,4)$$

определим третий мировой вектор. Принцип наименьшего действия примет вид
$$\delta {\int }_P^Q(J_{1}d{x}^1+J_{2}d{x}^2+J_{3}d{x}^3+J_{4}d{x}^4)=\delta {\int }_P^Q{J}_{i}d{x}^i=0.$$

Несколько далее мы раскроем физический смысл мирового вектора $J$.
Пока вернемся к обычной форме уравнений динамики, заменив в первой форме интеграла действия величину $ds$ на $cdt\sqrt{1-{\beta }^2}$.
Таким образом получаем
$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}[-m_0{c}^2\sqrt{1-{\beta }^2}-ec{\phi }_4-e({\phi }_1{\dot{v}}_x+{\phi }_2{v}_y+{\phi }_3{v}_z)]dt=0,$$

где $t_1$ и $t_2$ соответствуют точкам $P$ и $Q$ пространства-времени.
Если существует чисто электростатическое поле, то величины ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3$ равны нулю и функция Лагранжа примет часто употребляемую форму
$$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-{\beta }^2}-e\psi .$$

Поскольку во всех случаях принцип Гамильтона имеет форму $\delta {\int }_{t_1}^{t_2}Ldt=0$, он всегда приводит к уравнениям Лагранжа: он всегда приводит к уравнениям Лагранжа :
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i}(i=1,2,3).$$

Во всех случаях, в которых потенциалы не зависят от времени, мы снова встречаемся с принципом сохранения энергии
$$W=-L+\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i=\mathrm{const},p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}(i=1,2,3).$$

Рассуждая так же, как это было сделано выше, приходим к принципу Мопертюи
$$\delta {\int }_A^B\sum _i{p}_{i}d{q}^i=0$$

где $A$ и $B$-две точки пространства, соответствующие системе отсчета, применяемой в точках $P$ и $Q$ пространства-времени.

Величины $p_1,p_2,p_3$, равные частным производным функции $L$ по соответствующим скоростям, могут помочь определить вектор $\mathit{p}$, который мы назовем вектором импульса. Если нет магнитного поля (независимо от того, есть ли электрическое поле), то прямолинейные компоненты этого вектора будут:
$$p_x=\frac{m_0{v}_x}{\sqrt{1-{\beta }^2}},p_y=\frac{m_0{v}_y}{\sqrt{1-{\beta }^2}},p_z=\frac{m_0{v}_z}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

Таким образом, этот вектор тождествен количеству движения, и интеграл действия Мопертюи представляется в простой форме, предложенной самим Мопертюи, с той только разницей, что масса изменяется теперь с изменением скорости по закону Лоренца.

Если есть магнитное поле, то для компонентов вектора импульса находят выражения :
$$p_x=\frac{m_0{v}_x}{\sqrt{1-{\beta }^2}}+e{a}_x,p_y=\frac{m_0{v}_y}{\sqrt{1-{\beta }^2}}+e{a}_y,p_z=\frac{m_0{v}_z}{\sqrt{1-{\beta }^2}}+e{a}_z.$$

Теперь уже нет тождества между вектором $\mathit{p}$ и количеством движения; из этого следует, что выражение для интеграла действия становится более сложным.

Рассмотрим помещенное в поле движущееся тело, полная энергия которого задана в каждой точке поля, доступной движущемуся телу; скорость последнего определяется уравнением энергии, но а priori направление его движения может быть любым. Выражения для $p_x,p_y$ и $p_z$ показывают, что вектор импульса имеет одну и ту же величину в любой точке электростатического поля независимо от рассматриваемого направления. Это, однако, не так при существовании магнитного поля: величина вектора $\mathit{p}$ зависит при этом от угла между выбранным направлением и вектор-потенциалом, как это следует из выражения $p_x^2+p_y^2+p_z^2$. Это замечание нам понадобится в дальнейшем.

Чтобы закончить этот параграф, вернемся к физическому смыслу мирового вектора $J$, от которого зависит интеграл Гамильтона. Мы выразили его как
$$J_i=m_{0}c{u}_i+e{\phi }_i(i=1,2,3,4).$$

С помощью значений $u_i$ и ${\phi }_i$ находим
$$J_1=-p_x,J_2=-p_y,J_3=-p_z,J_4=\frac{W}{c}.$$

Контравариантные компоненты будут
$$J^1=p_x,J^2=p_y,J^3=p_z,J^4=\frac{W}{c}.$$

Таким образом, мы имеем дело со знаменитым вектором «мирового импульса», который объединяет энергию и количество движения.
Из выражения
$$\delta {\int }_P^Q{J}_{i}d{x}_i^i=0(i=1,2,3,4)$$

можно вывести (если $J_4$ постоянно)
$$\delta {\int }_A^B{J}_{i}d{x}_i^i=0(i=1,2,3).$$

Это-наиболее лаконичная форма для перехода от одного способа изложения стационарности действия к другому.