Вернемся к вопросу динамики электрона с релятивистской точки зрения. Слово «электрон» следует понимать в общем смысле как материальную точку; обладающую электрическим зарядом. Предположим, что электрон, помещенный вне поля, обладает собственной массой $m_{0}$; его электрический заряд обозначается через $e$.

Рассмотрим снова пространство-время; пространственные координаты обозначим через $x^{1}, x^{2}$ и $x^{3}$; координату $c t$ через $x^{4}$. Основной инвариант «элемент длины» – выражается соомношением
\[
d s=\sqrt{\left(d x^{4}\right)^{2}-\left(d x^{1}\right)^{2}-\left(d x^{2}\right)^{2}-\left(d x^{3}\right)^{2}} .
\]

В этом и в следующих параграфах мы постоянно будем применять некоторые обозначения тензорного исчисления.

Мировая линия в каждой точке имеет касательную, направление которой определяет вектор мировой скорости, длина которого равиа единице

и контравариантные составляющие которого даются соотношением
\[
u^{i}=\frac{d x^{i}}{d s} . \quad(i=1,2,3,4) .
\]

Отсюда следует, что $u^{i} u_{i}=1$.
Представим себе движущееся тело, описывающее мировую линию; при прохождении через рассматриваемую точку скорость его равна $v=\beta c$ с компонентами $v_{x}, v_{y}, v_{z}$. Компоненты мировой скорости будут
\[
\begin{array}{ll}
u_{1}=-u^{1}=-\frac{v_{x}}{c \sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad u_{2}=-u^{2}=-\frac{v_{y}}{c \sqrt{1-\beta^{2}}}, \\
u_{3}=-u^{3}=-\frac{c_{z}}{c \sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad u_{4}=u^{4}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\end{array}
\]

Чтобы определить электромагнитное поле, следует при помощи уравнений $\varphi_{1}=-\varphi^{r}=-a_{x} ; \quad \varphi_{2}=-\varphi^{2}=-a_{y} ; \quad \varphi_{3}=-\varphi^{3}=-a_{z} ; \quad \varphi_{4}=\varphi^{4}=\frac{1}{c} \psi$
ввести второй мировой вектор, компоненты которого равны функциям вектор-потенциала $\boldsymbol{a}$ и скалярного потенциала $\psi$.

Рассмотрим теперь две точки $P$ и $Q$ пространства-времени, соответствующие заданным значениям координат пространства и времени. Можно рассматривать криволинейный интеграл, взятый по мировой линии, идущей от $P$ к $Q$; интегрируемая функция, естественно, должна быть инвариантной.
Положим, что
\[
\int_{P}^{Q}\left(-m_{0} c-e \varphi_{i} u^{i}\right) d s=\int_{P}^{Q}\left(-m_{0} c u_{i}-e \varphi_{i}\right) u^{i} d s
\]

является этим интегралом. Принцип Гамильтона утверждает, что если мировая линия движущегося тела проходит через $P$ и $Q$, то она имеет такую форму, для которой определенный выше интеграл имеет стационарное значение.
С помощью соотношения
\[
J_{i}=m_{0} c u_{i}+e \varphi_{i} \quad(i=1,2,3,4)
\]

определим третий мировой вектор. Принцип наименьшего действия примет вид
\[
\delta \int_{P}^{Q}\left(J_{1} d x^{1}+J_{2} d x^{2}+J_{3} d x^{3}+J_{4} d x^{4}\right)=\delta \int_{P}^{Q} J_{i} d x^{i}=0 .
\]

Несколько далее мы раскроем физический смысл мирового вектора $J$.
Пока вернемся к обычной форме уравнений динамики, заменив в первой форме интеграла действия величину $d s$ на $c d t \sqrt{1-\beta^{2}}$.
Таким образом получаем
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[-m_{0} c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-e c \varphi_{4}-e\left(\varphi_{1} \dot{v}_{x}+\varphi_{2} v_{y}+\varphi_{3} v_{z}\right)\right] d t=0,
\]

где $t_{1}$ и $t_{2}$ соответствуют точкам $P$ и $Q$ пространства-времени.
Если существует чисто электростатическое поле, то величины $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$ равны нулю и функция Лагранжа примет часто употребляемую форму
\[
L=-m_{0} c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-e \psi .
\]

Поскольку во всех случаях принцип Гамильтона имеет форму $\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0$, он всегда приводит к уравнениям Лагранжа: он всегда приводит к уравнениям Лагранжа :
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2,3) .
\]

Во всех случаях, в которых потенциалы не зависят от времени, мы снова встречаемся с принципом сохранения энергии
\[
W=-L+\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}=\mathrm{const}, \quad p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \quad(i=1,2,3) .
\]

Рассуждая так же, как это было сделано выше, приходим к принципу Мопертюи
\[
\delta \int_{A}^{B} \sum_{i} p_{i} d q^{i}=0
\]

где $A$ и $B$-две точки пространства, соответствующие системе отсчета, применяемой в точках $P$ и $Q$ пространства-времени.

Величины $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, равные частным производным функции $L$ по соответствующим скоростям, могут помочь определить вектор $\boldsymbol{p}$, который мы назовем вектором импульса. Если нет магнитного поля (независимо от того, есть ли электрическое поле), то прямолинейные компоненты этого вектора будут:
\[
p_{x}=\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad p_{y}=\frac{m_{0} v_{y}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad p_{z}=\frac{m_{0} v_{z}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Таким образом, этот вектор тождествен количеству движения, и интеграл действия Мопертюи представляется в простой форме, предложенной самим Мопертюи, с той только разницей, что масса изменяется теперь с изменением скорости по закону Лоренца.

Если есть магнитное поле, то для компонентов вектора импульса находят выражения :
\[
p_{x}=\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e a_{x}, \quad p_{y}=\frac{m_{0} v_{y}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e a_{y}, \quad p_{z}=\frac{m_{0} v_{z}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+e a_{z} .
\]

Теперь уже нет тождества между вектором $\boldsymbol{p}$ и количеством движения; из этого следует, что выражение для интеграла действия становится более сложным.

Рассмотрим помещенное в поле движущееся тело, полная энергия которого задана в каждой точке поля, доступной движущемуся телу; скорость последнего определяется уравнением энергии, но а priori направление его движения может быть любым. Выражения для $p_{x}, p_{y}$ и $p_{z}$ показывают, что вектор импульса имеет одну и ту же величину в любой точке электростатического поля независимо от рассматриваемого направления. Это, однако, не так при существовании магнитного поля: величина вектора $\boldsymbol{p}$ зависит при этом от угла между выбранным направлением и вектор-потенциалом, как это следует из выражения $p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}$. Это замечание нам понадобится в дальнейшем.

Чтобы закончить этот параграф, вернемся к физическому смыслу мирового вектора $J$, от которого зависит интеграл Гамильтона. Мы выразили его как
\[
J_{i}=m_{0} c u_{i}+e \varphi_{i} \quad(i=1,2,3,4) .
\]

С помощью значений $u_{i}$ и $\varphi_{i}$ находим
\[
J_{1}=-p_{x}, \quad J_{2}=-p_{y}, \quad J_{3}=-p_{z}, \quad J_{4}=\frac{W}{c} .
\]

Контравариантные компоненты будут
\[
J^{1}=p_{x}, \quad J^{2}=p_{y}, \quad J^{3}=p_{z}, \quad J^{4}=\frac{W}{c} .
\]

Таким образом, мы имеем дело со знаменитым вектором «мирового импульса», который объединяет энергию и количество движения.
Из выражения
\[
\delta \int_{P}^{Q} J_{i} d x_{i}^{i}=0 \quad(i=1,2,3,4)
\]

можно вывести (если $J_{4}$ постоянно)
\[
\delta \int_{A}^{B} J_{i} d x_{i}^{i}=0 \quad(i=1,2,3) .
\]

Это-наиболее лаконичная форма для перехода от одного способа изложения стационарности действия к другому.