Мы собираемся здесь добавить к рассмотренной в предыдущем сообщении кеплеровой задаче несколько других примеров. При этом взяты лишь простейшие случаи, поскольку мы пока ограничиваемся классической механикой и не вводим магнитного поля*).
1. Планковский осциллятор. Вопросы вырождения Рассмотрим прежде всего одномерный осциллятор. Пусть координата $q$ будет отклонением, умноженным на корень квадратный из массы. Тогда оба выражения кинетической энергии будут иметь вид
\[
\bar{T}=\frac{1}{2} \dot{q}^{2}, \quad T=\frac{1}{2} p^{2} .
\]

Потенциальная энергия будет равна
\[
V(q)=2 \pi^{2} v_{0}^{2} q^{2},
\]

где $v_{0}$ – собственная частота в механическом смысле. Уравнение (18) в этом случае примет форму :
\[
\frac{d^{2} \psi}{d q^{2}}+\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}}\left(E-2 \pi^{2} v_{0}^{2} q^{2}\right) \psi=0 .
\]

Положим для сокращения
\[
a=\frac{8 \pi^{2} E}{h^{2}}, \quad b=\frac{16 \pi^{2} v_{1}^{2}}{h^{2}},
\]

тогда вместо уравнения (22) получится
\[
\frac{d^{2} \psi}{d q^{2}}+\left(a-b q^{2}\right) \psi=0 .
\]

Введем в качестве независимой переменной величину
\[
x=q \sqrt[4]{b}
\]

после чего получаем
\[
\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+\left(\frac{a}{\sqrt{b}}-x^{2}\right) \psi=0 .
\]

Собственные значения и собственные функции этого уравнения известны**). Собственные значения в используемых обозначениях равны
\[
\frac{a}{\sqrt{b}}=1,3,5, \ldots,(2 n+1) \ldots
\]

Собственными функциями являются ортогональные функции Эрмита:
\[
e^{-\frac{x^{2}}{2}} H_{n}(x) \text {, }
\]

причем $n$-й полином Эрмита $H_{n}(x)$ может быть определен как
\[
H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n} e^{-x^{2}}}{d x^{n}},
\]

или в явном виде как
\[
H_{n}(x)=(2 x)^{n}-\frac{n(n-1)}{1 !}(2 x)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2 !}(2 x)^{n-4}-\ldots
\]

Первые из этих полиномов равны:
\[
\begin{array}{c}
H_{0}(x)=1, \quad H_{1}(x)=2 x, \quad H_{2}(x)=4 x^{2}-2, \quad H_{3}(x)=8 x^{3}-12 x, \\
H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12 \ldots
\end{array}
\]

Рассматривая сначала собственные значения, согласно равенствам (25) и (23) получаем
\[
E_{n}=\frac{2 n+1}{2} h
u_{0}, \quad n=0,1,2,3, \ldots
\]

В качестве квантовых уровней получаются, таким образом, так называемые «полуцелые» кратные «энергетического кванта», характерного для осциллятора, т. е. нечетные кратные величины $\frac{h}{2} v_{0}$. Расстояния между уровнями, определяющие излучение, получаются такими же, что и в существующей теории. Замечательным образом наши квантовые уровни точно равны уровням, полученным по теории Гейзенберга! Для теории теплоемкостей полученное отличие от существующих теорий имеет известное значение, в особенности тогда, когда из-за теплового расширения изменяется собственная частота $v_{0}$. Формально при этом дело идет о старом вопросе нулевой энергии, вставшем уже ранее в связи с дилеммой: какое из истолкований планковской теории, первое или второе, считать правильным. Дополнительный член $\frac{h v_{0}}{2}$ изменяет также закон границ спектральных полос.

Вид собственных функций (26), если вновь ввести переменную $q$, будет следующий :
\[
\psi_{n}(q)=e^{-\frac{2 \pi^{2} v_{0} q^{2}}{h}} H_{n}\left(2 \pi q \sqrt{\frac{
u_{0}}{h}}\right) .
\]

Рассмотрение формулы (27′) показывает, что первая собственная функция представляет собой гауссовский «закон распределения вероятностей», вторая собственная функция в начале координат обращается в нуль и совпадает при положительных $x$ с двумерным максвелловым законом распределения по скоростям, который продолжается в сторону отрицательных $x$ нечетным образом. Третья собственная функция вновь является четной, кроме того, она отрицательна в начале координат и имеет два симметричных нуля в точках $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ и т. д. Качественное поведение остальных функций легко поддается рассмотрению. При этом следует заметить, что корни каждого последующего полинома разделяют корни предыдущего. Из формулы (26) следует, что характеристические точки собственных функций, как, например, полуширина (для $n=0$ ), нули, максимумы, лежат преимущественно в области, доступной и для классического осциллятора, поскольку, как легко получить, классическая амплитуда $n$-го колебания равна
\[
q_{n}=\frac{\sqrt{E_{n}}}{2 \pi v_{0}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{h}{v_{0}}} \sqrt{\frac{2 n+1}{2}} .
\]

Однако точное значение абсциссы классической точки поворота не соответствует какой-либо особенности в поведении собственной функции, как это мөжно было бы предположить, так как точки поворота имеют для фазовых волн тот смысл, что в них квадрат скорости распространения становится бесконечным, а при еще большем отклонении отрицательным. В дифференциальном уравнении (22) классической точке поворота соответствует лишь обращение в нуль коэффициента при $\psi$, что не приводит к появлению какой-либо сингулярности.

Я должен здесь отметить, что подобное обращение в нуль коэффициента при $\psi$ и появление мнимых значений скорости распространения имеют место и в общем случае, а не только для осциллятора. Это – как раз аналитическая причина того, что посредством задания одного условия ограниченности искомой функции выделяются точные собственные значения. Рассмотрим вопрос подробнее. Волновое уравнение с вещественной скоростью распространения, как известно, означает следующее: чем меньше значение функции в какой-либо точке среднего значения в окрестности этой точки, тем быстрее возрастает значение функции, и наоборот. Тем самым в данном случае, аналогично более наглядному сходному результату для уравнения теплопроводности, с течением времени происходит сглаживание и невозможен неограниченный рост функции. Волновое уравнение с мнимой скоростью распространения означает как раз обратное: значения функции, большие, чем ее среднее значение в окрестности рассматриваемой точки, ускоренно возрастают (а убывают замедленно). Таким образом ясно, что удовлетворяющая этому уравнению функция легко может оказаться неограниченно возрастающей. Чтобы избежать подобного роста, приходится использовать значительные ограничения, что уже приводит к точным собственным значениям. В самом деле, уже на рассмотренном в первом сообщении примере видно, что требование существования точных собственных значений становится сразу невыполнимым, если только выбрать там величину $E$ положительной, благодаря чему становится действительной во всем пространстве волновая скорость распространения.

Вернемся после этого отступления к осциллятору и выясним вопрос, что изменится, если у нашего осциллятора будет не одна, а две или более степени свободы (пространственный осциллятор, твердое тело). Если каждой координате соответствуют различные механические собственные частоты (значения $v_{0}$ ), то все останется по-прежнему. При этом достаточно представить $\psi$ в виде произведения функций от каждой из координат, чтобы вся проблема распалась на столько же задач рассмотренного типа, сколько имеется координат. Собственные функции будут произведением ортогонаљьых функций Эрмита, собственные значения всей задачи будут суммами собственных значений, полученных для каждого измерения, во всех возможных сочетаниях. Ни одно собственное значение (всей системы) не будет кратным, если считать, что никакие из значений $v_{0}$ не находятся в рациональном отношении.

Если же, наоборот, последнее имеет место, то указанный метод рассмотрения, хотя и останется возможным, но уже, наверное, не будет единственным. Появятся кратные собственные значения, и рассмотренное выше «разделение» может быть также произведено и в других системах координат, например в случае однородного трехмерного осциллятора, в пространственных полярных координатах*). Получающиеся собственные значения будут,

однако, в каждом случае точно одними и теми же уже потому, что имеется доказательство «полноты» каждой из этих систем собственных функций. Нетрудно увидеть при этом полную аналогию с известными соотношениями, которые в существующей квантовой теории встречаются в случае вырождения. Лишь в одном пункте имеется формальное различие, не являющееся, однако, неприятным. Если применить квантовые условия ЗоммерфельдаЭйнштейна, пренебрегая возможным вырождением, то хотя и получаются такие же энергетические уровни, тем не менее допустимые траектории оказываются различными, в зависимости от различного выбора системы координат. В нашем случае это не имеет места. Правда, мы приходим к совершенно различным системам собственных функций, если, например, решать задачу о колебаниях, соответствующую невозмущенной кеплеровой проблеме, не в полярных координатах, как это делалось в первом сообщении, а в параболических. Но возможным колебательным состоянием следует считать не отдельное собственное колебание, а их любую конечную или бесконечную линейную комби нацию. Таким образом, всегда можно линейно выразить полученные одним способом собственные функции через другую систему собственных функций, если только последняя является полной.

Нельзя, конечно, совершенно обойти молчанием не упоминавшийся до сих пор вопрос о том, как в действительности распределяется энергия по собственным колебаниям в каком-либо из конкретных случаев. В соответствии с существующей квантовой теорией следует склониться к тому предположению, что определенное заданное значение энергии в вырожденном случае в отличие от случая отсутствия вырождения должно иметь лишь совокупность собственных колебаний, принадлежащих некоторому собственному значению, а не каждое колебание в отдельности. Я этот вопрос должен пока оставить совершенно открытым; в частности, остается нерешенным, являются ли вообще найденные «энергетические уровни» в действительности последовательными значениями энергии колебательного процесса или они имеют лuшb смысл частот. Для установления точных частот излучения, если принять теорию биений, вообще более не обязательно истолковывать собственные значения как уровни энергии.

2. Ротатор с закрепленной осью

Из-за отсутствия потенциальной энергии в случае евклидова линейного элемента этот пример является простейшим, мыслимым в волновой теории. Пусть $A$ – момент инерции и $\varphi$ – угол вращения, тогда волновое уравнение, очевидно, принимает вид
\[
\frac{1}{A} \frac{d^{2} \psi}{d \varphi^{2}}+\frac{8 \pi^{2} E}{h^{2}} \psi=0 .
\]

Оно имеет решение :
\[
\psi=\sin \left[\sqrt{\frac{8 \pi^{2} E A}{h^{2}}} \varphi\right] .
\]

Аргумент должен быть здесь целым кратным $\varphi$ уже по той простой причине,

что функция $\psi$ иначе не будет в области изменения аргумента ни однозначной, ни непрерывной, поскольку значение $\varphi+2 \pi$ эквивалентно значению $\varphi$. Это условие приводит к известному результату
\[
E_{n}=\frac{n^{2} h^{2}}{8 \pi^{2} A}
\]

в полном соответствии с существующей теорией.
Данный результат не может быть, однако, использован для исследования спектральных полос, так как ниже выяснится то своеобразное обстоятельство, что теория ротатора со свободной осью приводит к совершенно другим выводам. Подобное положение имеет место в общем случае. При применении волновой механики нельзя считать для упрощения вычислений число степеней свободы меньшим действительного даже тогда, когда из интегралов механических уравнений следует, что при некоторых движениях системы определенные степени свободы не проявляются. В микромеханике система основных механических уравнений становится совершенно непригодной, и определяемые этой системой траектории самостоятельно не существуют. Волновой процесс заполняет все фазовое пространство. Известно, что для волнового процесса существенно даже число измерений, в которых он протекает.

3. Твёрдый ротатор со свободной осью

Если ввести в качестве координат полярные углы $\vartheta$ и $\varphi$ осевой линии, то кинетическая энергия как функция импульсов примет вид
\[
T=\frac{1}{2 A}\left(p_{v}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}\right) .
\]

По форме выражение (32) аналогично кинетической энергии материальной точки, движущейся по сфере. Входящий в (18) дифференциальный оператор будет поэтому совпадать с зависящей от полярных углов частью пространственного оператора Лапласа, так что уравнение (18\”) примет вид
\[
\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial \psi}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{8 \pi A E}{h^{2}} \psi=0 .
\]

Требование однозначности и непрерывности $\psi$ на сфере приводит, как известно; к собственным значениям
\[
\frac{8 \pi^{2} A}{h^{2}} E=n(n+1) \quad(n=0,1,2,3 \ldots) .
\]

Собственными функциями будут, очевидно, сферические функции. Энергетические уровни имеют вид
\[
E_{n}=\frac{n(n+1) h^{2}}{8 \pi^{2} A} \quad(n=0,1,2,3 \ldots) .
\]

Это выражение отличается от всех предыдущих (кроме, быть может, гейзенберговского). Экспериментальные данные говорят, однако, в пользу того, что в формулу (31) по различным основаниям нужно подставлять «полуцелые» значения $n$. Очевидно, что (34′) приводит практически к тем же результатам, что и выражение (31) при полуцелых $n$, так как
\[
n(n+1)=\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4} .
\]

Разница заключается; таким образом, лишь в малой аддитивной постоянной; расстояния между уровнями в случае формулы (34′) остаются такими же, как и при «полуцелом квантовании. Этот результат сохраняет также силу и для коротковолновой области, в которой момент инерции в начальном и конечном состояниях различается из-за «электронных скачков», так как при этом самое большее ко всем линиям из одной серии добавляется лишь малое постоянное слагаемое, незаметное в больших «электронных термах» или в термах, связанных с колебаниями ядер. Отметим, что из произведенного до сих пор анализа с определенностью не следует возможность учитывать это малое дополнительное слагаемое посредством использования выражения
\[
\frac{1}{4} \frac{h^{2}}{8 \pi^{2}}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{A^{\prime}}\right) \text {. }
\]

Представление о моменте инерции, определяемом с помощью «квантовых условий» для движения электронов и колебаний ядер, выходит из рассматриваемого круга идей. В следующем примере мы покажем, что приближенно можно одновременные колебания ядер и вращение в двухатомных молекулах рассматривать как некоторый синтез разобранных в примерах 1 и 3 случаев *). Можно еще упомянуть, что значению $n=0$ соответствует равенство функции $\psi$ не нулю, а некоторой постоянной величине, т. е. при этом получается некоторое колебание с постоянной амплитудой на всей поверхности сферы.

4. Упругий ротатор (двухатомная молекула)

Согласно сделанному в конце п. 2 замечанию, мы должны здесь с самого начала считать, что имеется шесть степеней свободы, как это имеет место на самом деле. Возьмсм сначала дскартовы координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}$ обеих молекул, массы которых положим равными $m_{1}$ и $m_{2}$. Пусть $r$ будет расстоянием между ними, а $V$ – потенциальной энергией, равной
\[
V=2 \pi^{2} v_{0}^{2} \mu\left(r-r_{0}\right)^{2},
\]

где $r=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}$.
Здесь
\[
\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]

является «приведенной массой», $v_{0}$ – механической собственной частотой колебания ядер вдоль соединяющей их оси, а $r_{0}$ представляет собой расстояние, при котором потенциальная энергия принимает минимальное значение. При этом все пока рассматривается в смысле обычной механики.
Колебательное уравнение (18′) принимает здесь следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{m_{1}}\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z_{1}^{2}}\right)+\frac{1}{m_{2}}\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y_{3}^{2}}+\frac{\hat{\sigma}^{2} \psi}{\partial z_{2}^{2}}\right)+ \\
+\frac{8 \pi^{2}}{h^{2}}\left[E-2 \pi^{2} v_{0}^{2} \mu\left(r-r_{0}\right)^{2}\right] \psi=0 .
\end{array}
\]

Введем в качестве новых независимых переменных величины $x, y, z, \xi, \eta, \zeta$ :
\[
\left.\begin{array}{ll}
x=x_{1}-x_{2}, & \left(m_{1}+m_{2}\right) \xi=m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}, \\
y=y_{1}-y_{2}, & \left(m_{1}+m_{2}\right) \eta=m_{1} y_{1}+m_{2} \dot{y}_{2}, \\
z=z_{1}-z_{2}, & \left(m_{1}+m_{2}\right) \zeta=m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2} .
\end{array}\right\}
\]

После их подстановки получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z^{2}}\right)+\frac{1}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}}\right. & \left.+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \eta^{2}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \xi^{2}}\right)+ \\
& +\left[a^{\prime \prime}-b^{\prime}\left(r-r_{0}\right)^{2}\right] \psi=0,
\end{aligned}
\]

где для сокращения положено
\[
a^{\prime \prime}=\frac{8 \pi^{2} E}{\hbar^{2}}, \quad b^{\prime}=\frac{16 \pi^{4} v_{0}^{2} \mu}{h^{2}} .
\]

Мы теперь можем представить функцию $\psi$ в виде произведения функции, зависящей от относительных координат $x, y, z$, на функцию, зависящую от координат центра тяжести $\xi, \eta, \zeta$ :
\[
\psi=f(x, y, z) g(\xi, \eta, \zeta) .
\]

Для определения функции $g$ получается уравнение
\[
\frac{1}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{\partial^{2} g}{\partial \xi^{2}}+\frac{\hat{\sigma}^{2} g}{\partial \eta^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial \xi^{2}}\right)+\text { const } \times g=0,
\]

имеющее тот же вид, что и уравнение свободного движения материальной точки с массой $m_{1}+m_{2}$. Константа имеет в этом случае следующий смысл :
\[
\text { const }=\frac{8 \pi^{2} E_{t}}{h^{2}},
\]

где $E_{t}$ – трапсляционная энергия даной материальной точки. Подставим значение константы (42) в (41). Собственные значения параметра $E_{t}$ зависят теперь от того, требуется ли вводить в какой-либо части всего пространства дополнительные слагаемые в потенциальной энергии или нет. Если это не требуется, то можно брать все положительные значения $E_{t}$, в то время как все отрицательные значения недопустимы. В самом деле, в этом случае уравнение (41) имеет решения, не равные нулю тождественно и ограниченные во всем пространстве тогда и только тогда, когда $E_{t}$ положительно. Если же молекула находится в каком-либо «ящике», то это равносильно введению для функции соответствующих граничных условий или, говоря последовательнее, резкому изменению уравнения (41) на поверхности ящика из-за появления новых членов в потенциальной энергии. Тем самым выделяется спектр дискретных собственных значений $E_{t}$, т. е. происходит «квантование трансляционного движения». Это обстоятельство было недавно мною рассмотрено в общих чертах, причем также было показано, что подобное квантование приводит к теории газов Эйнштейна *). .

Зависящий от координат относительного движения частиц $x, y, z$ множитель $f$ из волновой функции $\psi$ определяется теперь уравнением
\[
\frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right)+\left[a^{\prime}-b^{\prime}\left(r-r_{0}\right)^{2}\right] f=0,
\]

где для сокращения положено
\[
a^{\prime}=\frac{8 \pi^{2}\left(E-E_{t}\right)}{h^{2}} .
\]

Введем теперь вместо координат $x, y, z$ полярные координаты $r, \vartheta, \varphi$ (что

согласуется с использованным ранее значением $r$ ). После умножения на $\mu$ получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}-\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\left\{\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial f}{\partial \vartheta}\right)\right. & \left.+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} f}{\partial \varphi^{2}}\right\}+ \\
& +\left[\mu a^{\prime}-\mu b^{\prime}\left(r-r_{0}\right)^{2}\right] f=0 .
\end{aligned}
\]

Представим функцию $f$ также в виде произведения функций. Множитель, зависящий от полярных углов, будет представлять собой сферическую функцию $n$-го порядка и выражение, стоящее в фигурных скобках, равно $-n(n+1) f$.

Предположим, что это значение подставлено в формулу (43′) и для простоты сохраним для зависящего от $r$ множителя обозначение $f$. Введем затем в качестве новой искомой функции величину
\[
\chi=r f
\]

и в качестве независимой переменной величину
\[
\varrho=r-r_{0} \text {. }
\]

После подстановки получаем
\[
\frac{\partial^{2} \chi}{\partial \varrho^{2}}+\left[\mu a^{\prime}-\mu b^{\prime} \varrho^{2}-\frac{n(n+1)}{\left(r_{0}+\varrho\right)^{2}}\right] \chi=0 .
\]

До сих пор вычисления удавалось проводить строго. Сделаем теперь известное приближение, причем я отмечаю, что приведенное ниже обоснование этого приближения нельзя считать полным. Сравним уравнение (46) со сходным по строению уже рассмотренным уравнением (22′), которое отличается от (46) лишь появлением у коэффициента перед неизвестной функцией дополнительных слагаемых, имеющих относительный порядок величины $\frac{\varrho}{r_{0}}$. Это можно увидеть, если разложить в ряд выражение
\[
\frac{n(n+1)}{\left(r_{0}+\varrho\right)^{2}}=\frac{n(n+1)}{r_{0}^{2}}\left(1-\frac{2 \varrho}{r_{0}}+\frac{3 \varrho^{2}}{r_{0}^{2}}-\ldots\right),
\]

подставить его в (46), сгруппировать члены с одинаковыми степенями $\frac{\varrho}{r_{0}}$ и ввести вместо $\varrho$ новую переменную $\varrho^{\prime}$, отличающуюся от $\varrho$ на малую величину:
\[
\varrho^{\prime}=\varrho-\frac{n(n+1)}{r_{0}^{3}\left(\mu b^{\prime}+\frac{3 n(n+1)}{r_{0}^{4}}\right)} .
\]

Уравнение (46) примет при этом вид
\[
\frac{\partial^{2} \chi}{\partial \varrho^{\prime 2}}+\left(a-b \varrho^{\prime 2}+\left[\frac{\varrho^{\prime}}{r_{0}}\right]\right) \chi=0,
\]

где для сокращения положено:
\[
\left.\begin{array}{l}
a=\mu a^{\prime}-\frac{n(n+1)}{r_{0}^{2}}\left(1-\frac{n(n+1)}{r_{0}^{4} \mu b^{\prime}+3 n(n+1)}\right), \\
b=\mu b^{\prime}+\frac{3 n(n+1)}{r_{0}^{4}} .
\end{array}\right\}
\]

Символ $\left[\frac{e^{\prime}}{r_{0}}\right]$ в формуле (46) обозначает слагаемые более высокого порядка относительно величины $\frac{\varrho^{\prime}}{r_{0}}$, чем наименьшие оставляемые члены.

Об уравнении (22′), с которым мы сейчас сравниваем уравнение ( $46^{\prime}$ ), нам известно, что его первая собственная функция заметно отлична от нуля лишь в некоторой малой области по обе стороны от начала координат. Только при более высоких порядковых числах эта область постепенно расшіряется. При небольших порядковых числах соответствующая область для уравнения (46′) будет в действительности меньше $r_{0}$, если подставить порядок величин молекулярных констант и отбросить член $\left[\frac{\varrho^{\prime}}{r_{0}}\right]$. Отсюда мы выводим то, как я повторяю, нестрогое заключение, что для первой собственной функции, а также первого собственного значения подобным образом получается приемлемое приближение в области, где эта первая собственная функция вообще заметно отлична от нуля. Из прежнего условия для собственных значений (25) с помощью несложного вычисления после возвращения к старым обозначениям вместо (49), (39) и (39′) и введения для сокращения новой малой величины
\[
\varepsilon=\frac{n(n+1) h^{2}}{16} \frac{n(n+1)}{\pi^{4} v_{0}^{2} \mu^{2} r_{0}^{4}}=\frac{h^{2}}{16} \frac{\pi^{4} \overline{v_{0}^{2}} A^{2}}{}
\]

получаются следующие уровни энергии :
\[
\begin{array}{c}
E=E_{t}+\frac{n(n+1) h^{2}}{8 \pi^{2} A}\left(1-\frac{\varepsilon}{1+3 \varepsilon}\right)+\frac{2 l+1}{2} h v_{0} \sqrt{1+3 \varepsilon} \\
(n=0,1,2, \ldots ; \quad l=0,1,2, \ldots),
\end{array}
\]

где, кроме того, использована запись момента инерции в виде
\[
A=\mu r_{0}^{2} \text {. }
\]

Говоря языком классической механики, величина $\varepsilon$ представляет собой квадрат отношения частоты вращения к частоте колебания $v_{0}$ и является поэтому в случае молекулы действительно малой величиной, так что формула (51) имеет обычное строение, если пренебречь связанными с $\varepsilon$ малыми поправками и отмеченными ранее неточностями. Эта формула является синтезом формул (25′) и (34), причем еще добавляется слагаемое трансляционной энергии $E_{t}$. Следует подчеркнуть, что качество приближения определяется не только малостью $\varepsilon$, малой должна также быть и величина $l$. Практически $l$ действительно оказывается обычно небольшим числом.

Связанные с $\varepsilon$ поправки в (51) еще не учитывают отклонение ядерных колебаний от чисто гармонического типа. Поэтому сравнение с формулой Кратцера (см. Зоммерфельд, цит. соч.) или с экспериментом еще невозможно. Я привел данный случай только как пример того, каким образом сохраняется в волновой механике наглядное понятие равновесной конфигурации системы ядер, лишь в малой окрестности которой волновая амплитуда заметно отличается от нуля. Непосредственная интерпретация нашей волновой функции, зависящей от шести переменных, в трехмерном пространстве встречается с очевидными трудностями.

K вращательно-колебательной задаче для двухатомной молекулы при учете ангармонических членов в энергии связи придется поэтому еще возвратиться. Красивый прием, избранный Кратцером при классическом рассмотрении задачи, является простейшим также и в случае волновой механики. При этом, однако, чтобы дойти до вычисления деталей полосатых

спектров, приходится применить теорию возмущения собственных значений и собственных функций, т. е. учесть в этих значениях и функциях изменения, которые происходят, когда в коэффициенте перед неизвестной в дифференциальном уравнении добавляется малый «возмущающий член». Эта «теория возмущений» вполне аналогична соответствующей теории классической механики, причем проблема в данном случае более проста по той причине, что в волновой механике пользуются только линейными соотношениями. В первом приближении оправдывается утверждение, что возмущенные собственные значения равны «усредненному по невозмущенному движению» члену возмущения.

Теория возмущений значительно расширяет границы, в которых возможно аналитическое использование новой теории. Я могу уже здесь указать тот практически важный результат, что найденное выражение для эффекта Штарка первого порядка действительно совпадает с формуллой Эпштейна, подтвержденной экспериментом.

Цюрих, Физический институт университета (поступило 23 февраля 1926 г.)