1. Наиболее общее преобразование
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=X_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \\
p_{k}^{\prime}=P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\end{array}\right\}
\]
которое превращает одновременно все совместные системы вида
\[
d x_{k}=\frac{\partial F}{j \partial p_{k}} d t, \quad d p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} d t
\]
в системы того же вида, согласно Якоби и Буру определяется уравнениями
\[
\left(X_{i}, X_{k}\right)=\left(X_{i}, P_{k}\right)=\left(P_{i}, P_{k}\right)=0, \quad\left(P_{k}, X_{k}\right)=1 .
\]
Согласно исследованиям автора по касательным преобразованиям, написанные соотношения одновременно определяют наиболее общую систему величин $X_{i}, P_{i}$, которая удовлетворяет условному уравнению вида
\[
P_{1} d X_{1}+\ldots+P_{n} d X_{n}=p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}=d \Omega .
\]
Работа посвящена отысканию внутреннего основания этой связи между теорией возмущений и теорией касательных преобразований.
Если требуется найти наиболее общее преобразование, которое только одну систему (2) превращает в подобную систему, то соотношения (3) более не являются необходимыми.
Все преобразования, которые удовлетворяют такому требованию, могут быть определены.
2. В теории возмущений решается следующая задача:
Задача I. Определить наиболее общее преобразование
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=X_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \\
p_{k}^{\prime}=P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\end{array}
\]
которое одновременно переводит все совместные системы вида
\[
d x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} d t, \quad d p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} d t
\]
6 системы того же вида.
Якоби и Бур показали, что наиболее общее преобразование требуемого типа определяется уравнениями
\[
\left(X_{i}, X_{k}\right)=\left(X_{i}, P_{k}\right)=\left(P_{i}, P_{k}\right)=0,\left(P_{i}, X_{i}\right)=1 .
\]
С другой стороны, согласно более ранним работам автора в основе теории касательных преобразований лежит следующая задача:
Задач а II. Определить наиболее общим образом $2 n$ величин $X_{1}, \ldots, X_{n}$, $P_{1}, \ldots, P_{n}$ как функции переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ таким образом, чтобы имело место соотношение вида
\[
P_{1} d X_{1}+\ldots+P_{n} d X_{n}=p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}+d V
\]
в предположении, что $V$ рассматривается как неопределенная функция переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$.
Как известно, общее решение этой задачи получается, если взять любую систему величин $X_{k}, P_{k}$, которая удовлетворяет условию (1). Этим была доказана тесная связь между двумя, как казалось, различными задачами. В настоящей работе при помощи аналитических рассуждений выясняется внутреннее основание этого тождества. Одновременно ставятся и решаются аналогичные задачи. В частности, решается следующая новая задача:
3адача III. Определить наиболее общее преобразование, которое заданную систему вида
\[
d x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} d t, \quad d p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} d t
\]
переводит в подобную же систему.
Показывается, что соответствующие преобразования, которые все могут быть определены, вообще говоря, не являются касательными преобразованиями.
