24. Если три отметки положения $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ движущейся точки представляют собой прямоугольные координаты и если функция $U$ имеет форму
\[
U=-g \eta_{3}-\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}\right)+
u^{2} \eta_{3}^{2}\right\},
\]

причем $g, \mu, v$ являются постоянными, то выражение
\[
H=\frac{1}{2}\left(\bar{\omega}_{1}^{2}+\bar{\omega}_{2}^{2}+\bar{\omega}_{3}^{2}\right)+g \eta_{3}+\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}\right)+
u^{2} \eta_{3}^{2}\right\}
\]

должно быть подставлено в общие формы (83) для того, чтобы образовать шесть дифференциальных уравнений движения первого порядка, а именно :
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=\bar{\omega}_{1}, & \frac{d \eta_{2}}{d t}=\bar{\omega}_{2}, & \frac{d \eta_{3}}{d t}=\bar{\omega}_{3}, \\
\frac{d \bar{\omega}_{1}}{d t}=-\mu^{2} \eta_{1}, & \frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=-\mu^{2} \eta_{2}, & \frac{d \bar{\omega}_{3}}{d t}=-g-
u^{2} \eta_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Эти дифференциальные уравнения имеют в качестве своих точных интегралов шесть следующих выражений [114]:
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1}=e_{1} \cos \mu t+\frac{p_{1}}{\mu} \sin \mu t, \\
\eta_{2}=e_{2} \cos \mu t+\frac{p_{2}}{\mu} \sin \mu t, \\
\eta_{3}=e_{3} \cos v t+\frac{p_{3}}{v} \sin v t-\frac{g}{v_{2}} \operatorname{vers} v t,
\end{array}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=p_{1} \cos \mu t-\mu e_{1} \sin \mu t, \\
\bar{\omega}_{2}=p_{2} \cos \mu t-\mu e_{2} \sin \mu t, \\
\bar{\omega}_{3}=p_{3} \cos v t-\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right) \sin v t,
\end{array}\right\}
\]

причем $e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ по-прежнему представляют собой начальные значения функций $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}, \bar{\omega}_{1}, \bar{\omega}_{2}, \bar{\omega}_{3}$.

Применяя эти интегральные уравнения для вычисления функции $S$, т. е. для вычисления с помощью формул (85) и (110) определенного интеграла
\[
S=\int_{0}^{t}\left(\frac{\bar{\omega}_{1}^{2}+\bar{\omega}_{2}^{2}+\bar{\omega}_{3}^{2}}{2}+U\right) d t
\]

мы находим :
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left(\bar{\omega}_{1}^{2}+\bar{\omega}_{2}^{2}+\bar{\omega}_{3}^{2}\right)=\frac{1}{4}\left\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)+\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right)^{2}\right\}+ \\
+\frac{1}{4}\left\{p_{1}^{2}+\right.\left.p_{2}^{2}-\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)\right\} \cos 2 \mu t-\frac{1}{2} \mu\left(e_{1} p_{1}+e_{2} p_{2}\right) \sin 2 \mu t+ \\
+\frac{1}{4}\left\{p_{3}^{2}-\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right)^{2}\right\} \cos 2 v t-\frac{1}{2}\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right) p_{3} \sin 2 v t
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
U= & \frac{g^{2}}{2 v^{2}}-\frac{1}{4}\left\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)+\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\frac{1}{4}\left\{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)\right\} \cos 2 \mu t-\frac{1}{2} \mu\left(e_{1} p_{1}+e_{2} p_{2}\right) \sin 2 \mu t+ \\
& +\frac{1}{4}\left\{p_{3}^{2}-\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right)^{2}\right\} \cos 2 v t-\frac{1}{2}\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right) p_{3} \sin 2 v t
\end{aligned}
\]

и отсюда
\[
\begin{aligned}
S=\frac{g^{2} t}{2 v^{2}}+\left\{p_{1}^{2}\right. & +p_{2}^{2}-\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right) \frac{\sin 2 \mu t}{4 \mu}-\frac{1}{2}\left(e_{1} p_{1}+e_{2} p_{2}\right) \text { vers } 2 \mu t+ \\
& +\left\{p_{3}^{2}-\left(v e_{3}+\frac{g}{v}\right)^{2}\right\} \frac{\sin 2 v t}{4 v}-\frac{1}{2} p_{3}\left(e_{3}+\frac{g}{v^{2}}\right) \text { vers } 2 v t .
\end{aligned}
\]

Однако для того, чтобы выразить эту функцию $S$, как это предполагается нашим общим методом, в терминах конечных и начальных координат и времени, мы должны применить аналогичные выражения для постоянных $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, выведенные из интегралов (113):
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\frac{\mu \eta_{1}-\mu e_{1} \cos \mu t}{\sin \mu t}, \\
p_{2}=\frac{\mu \eta_{2}-\mu e_{2} \cos \mu t}{\sin \mu t}, \\
p_{3}=\frac{v \eta_{3}+\frac{g}{v}-\left(v e_{3}-\frac{g}{v}\right) \cos v t}{\sin v t} ;
\end{array}
\]

тогда находим
\[
\left.\begin{array}{rl}
S & =\frac{g^{2} t}{2 v^{2}}+\frac{\mu}{2} \cdot \frac{\left(\eta_{1}-e_{1}\right)^{2}+\left(\eta_{2}-e_{2}\right)^{2}}{\operatorname{tg} \mu t}+\frac{
u}{2} \cdot \frac{\left(\eta_{3}-e_{3}\right)^{2}}{\operatorname{tg} v}- \\
& -\mu\left(\eta_{1} e_{1}+\eta_{2} e_{2}\right) \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}-v\left(\eta_{3}+\frac{g}{v^{2}}\right)\left(e_{3}+\frac{g}{v^{2}}\right) \operatorname{tg} \frac{
u t}{2} .
\end{array}\right\}
\]

Эта главная функция $S$ удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных производных первого порядка вида (86) :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta S}{\delta t}+\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta \eta_{3}}\right)^{2}\right\}=-g \eta_{3}-\frac{\mu^{2}}{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}\right)-\frac{v^{2}}{2} \eta_{3}^{2}, \\
\frac{\delta S}{\delta t}+\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S}{\delta e_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta e_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta e_{3}}\right)^{2}\right\}=-g e_{3}-\frac{\mu^{2}}{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)-\frac{v^{2}}{2} e_{3}^{2},
\end{array}\right\}
\]

и если ее форма была ранее найдена при помощи этих двух уравнений или каким-нибудь другим способом, то тогда из нее можно (при помощи нашего общего метода) вывести интегралы уравнений движения в форме:
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}}=\mu\left(\eta_{1}-e_{1}\right) \operatorname{ctg} \mu t-\mu e_{1} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
\bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{2}}=\mu\left(\eta_{2}-e_{2}\right) \operatorname{ctg} \mu t-\mu e_{2} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
\bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{3}}=
u\left(\eta_{3}-e_{3}\right) \operatorname{ctg} v t-\left(
u e_{3}+\frac{g}{v}\right) \operatorname{tg} \frac{
u t}{2}
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{1}=-\frac{\delta S}{\delta e_{1}}=\mu\left(\eta_{1}-e_{1}\right) \operatorname{ctg} \mu t+\mu \eta_{1} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
p_{2}=-\frac{\delta S}{\delta e_{2}}=\mu\left(\eta_{2}-e_{2}\right) \operatorname{ctg} \mu t+\mu \eta_{2} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
p_{3}=-\frac{\delta S}{\delta e_{3}}=v\left(\eta_{3}-e_{3}\right) \operatorname{ctg} v t+\left(v \eta_{3}+\frac{g}{v}\right) \operatorname{tg} \frac{
u t}{2},
\end{array}\right\}
\]

причем последние две группы уравнений совпадают с группой (119) или (113) и в сочетании с первой группой (122) приводят к другой, ранее данной группе интегралов (114).
25. Предположим теперь для иллюстрации теории возмущения, что постоянные $\mu$ и v малы и что после разделения выражения (111) для $H$ на две части :
\[
H_{1}=\frac{1}{2}\left(\bar{\omega}_{1}^{2}+\bar{\omega}_{2}^{2}+\bar{\omega}_{3}^{2}\right)+g \eta_{3}
\]

и
\[
H_{2}=\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}\right)+
u^{2} \eta_{3}^{2}\right\},
\]

мы сперва пренебрегаем малой частью $H_{2}$ и таким образом посредством (88) образуем более простые дифференциальные уравнения движения, которые мы назовем невозмущенными:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \eta_{1}}{d t}=\bar{\omega}_{1}, \quad \frac{d \eta_{2}}{d t}=\bar{\omega}_{2}, \quad-\frac{d \eta_{3}}{d t}=\bar{\omega}_{3}, \\
\frac{d \omega_{1}}{d t}=0, \quad-\frac{d \bar{\omega}_{2}}{d t}=0, \quad \frac{d \bar{\omega}_{3}}{d t}=-g . \\
\end{array}
\]

Эти новые уравнения имеют в качестве своих точных интегралов вида (94) и (95) следующие выражения :
\[
\eta_{1}=e_{1}+p_{1} t, \quad \eta_{2}=e_{2}+p_{2} t, \quad \eta_{3}=e_{3}+p_{3} t-\frac{1}{2} g t^{2}
\]

и
\[
\bar{\omega}_{1}=p_{1}, \quad \bar{\omega}_{2}=p_{2}, \quad \bar{\omega}_{3}=p_{3}-g t,
\]

а главная функция $S_{1}$ того же невозмущенного движения будет согласно (89)
\[
\begin{aligned}
S_{1}=\int_{0}^{t}\left(\frac{\bar{\omega}_{1}^{2}+\bar{\omega}_{2}^{2}+\bar{\omega}_{3}^{2}}{2}-g \eta_{3}\right) d t & =\int_{0}^{t}\left(\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}{2}-g e_{3}-2 g p_{3} t+g^{2} t^{2}\right) \quad d t= \\
& =\left(\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}{2}-g e_{3}\right) t-g p_{3} t^{2}+\frac{1}{3} g^{2} t^{3}
\end{aligned}
\]

или, наконец, согласно (127)
\[
S_{1}=\frac{\left(\eta_{1}-e_{1}\right)^{2}+\left(\eta_{2}-e_{2}\right)^{2}+\left(\eta_{3}-e_{3}\right)^{2}}{2 t}-\frac{1}{2} g t\left(\eta_{3}+e_{3}\right)-\frac{1}{24} g^{2} t^{3} .
\]

Эта функция удовлетворяет, как и должно быть, следующим двум уравнениям в частных производных :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}\right)^{2}\right\}=-g \eta_{3}, \\
\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+\frac{1}{8}\left\{\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3}}\right)^{2}\right\}=-g e_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Если при помощи этих двух уравнений или любым другим путем мы находим форму (130) главной функции $S_{1}$, то из нее при помощи нашего общего метода можно вывести интегральные уравнения (127) и (128) в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}=\frac{\eta_{1}-e_{1}}{t}, \\
\bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}=\frac{\eta_{2}-e_{2}}{t}, \\
\bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \delta_{3}}=\frac{\eta_{3}-e_{3}}{t}-\frac{1}{2} g t
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}=\frac{\eta_{1}-e_{1}}{t}, \\
p_{2}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}=\frac{\eta_{2}-e_{2}}{t}, \\
p_{3}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3}}=\frac{\eta_{3}-e_{3}}{t}+\frac{1}{2} g t,
\end{array}
\]

причем последняя из этих групп совпадает с выражением (127), а первая группа с выражением (128).
26. Возвращаясь теперь от этого более простого движения к упомянутому ранее более сложному движению и обозначая через $S_{2}$ ту возмущающую часть, или функцию, которая должна быть прибавлена к $S_{1}$, для того чтобы составить полную главную функцию $S$ этого более сложного движения, мы получаем путем ирименения нашего общего метода следующее строгое выражение для этой возмущающей функции :
\[
S_{2}=-\int_{0}^{t} H_{2} d t+\int_{0}^{t} \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3}}\right)^{2}\right\} d t,
\]

в котором мы можем пренебречь вторым определенным интегралом и вычислить первый посредством уравнений невозмущенного движения. Таким образом, посредством (125), (127) мы находим приближенно
\[
-H_{2}=-\frac{\mu^{2}}{2}\left\{\left(e_{1}+p_{1} t\right)^{2}+\left(e_{2}+p_{2} t\right)^{2}\right\}-\frac{
u^{2}}{2}\left(e_{3}+p_{3} t-\frac{1}{2} g t^{2}\right)^{2}
\]

и отсюда путем интегрирования [115] находим
\[
\begin{aligned}
S_{2}= & -\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)+v^{2} e_{3}^{2}\right\} t-\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(e_{1} p_{1}-e_{2} p_{2}\right)+v^{2} e_{3} p_{3}\right\} t^{2}- \\
& -\frac{1}{2}\left\{\mu^{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+v^{2}\left(p_{3}^{2}-g e_{3}\right)\right\} t^{3}+\frac{1}{8} v^{2} g p_{3} t^{4}-\frac{1}{40} v^{2} g^{2} t^{5},
\end{aligned}
\]

или при помощи формул (133) –
\[
\begin{aligned}
S_{2}=-\frac{\mu^{2} t}{6}\left(\eta_{1}^{2}+e_{1} \eta_{1}+e_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+e_{2} \eta_{2}\right. & \left.+e_{2}^{2}\right)-\frac{
u^{2} t}{6}\left\{\eta_{3}^{2}+e_{3} \eta_{3}+e_{3}^{2}+\right. \\
& \left.+\frac{1}{4} g\left(\eta_{3}+e_{3}\right) t^{2}+\frac{1}{40} g^{2} t^{4}\right\} .
\end{aligned}
\]

Здесь ошибка будет четвертого порядка по отношению к малым величинам $\mu$ и $
u$. Если мы пренебрежем этой малой ошибкой, то можем с помощью нашего общего метода вывести приближенные формы для интегралов воз-

мущенного движения из корректированной функции $S_{1}+S_{2}$ в виде.:
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{1}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}=\frac{\eta_{1}-e_{1}}{t}-\frac{\mu^{2} t}{3}\left(\eta_{1}+\frac{1}{2} e_{1}\right), \\
\bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{2}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}=\frac{\eta_{2}-e_{2}}{t}-\frac{\mu^{2} t}{3}\left(\eta_{2}+\frac{1}{2} e_{2}\right), \\
\bar{\omega}_{3}=\frac{\delta S_{1}}{\delta \eta_{3}}+\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3}}=\frac{\eta_{3}-e_{3}}{t}-\frac{1}{2} g t-\frac{v^{2} t}{3}\left(\eta_{3}+\frac{1}{2} e_{3} \frac{1}{8} g t^{2}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{1}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{1}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{1}}=\frac{\eta_{1}-e_{1}}{t}+\frac{\mu^{2} t}{3}\left(e_{1}+\frac{1}{2} \eta_{1}\right), \\
p_{2}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{2}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{2}}=\frac{\eta_{2}-e_{2}}{t}+\frac{\mu^{2} t}{3}\left(e_{2}+\frac{1}{2} \eta_{2}\right), \\
p_{3}=-\frac{\delta S_{1}}{\delta e_{3}}-\frac{\delta S_{2}}{\delta e_{3}}=\frac{\eta_{3}-e_{3}}{t}+\frac{1}{2} g t+\frac{
u^{2} t}{3}\left(e_{3}+\frac{1}{2} \eta_{3}+\frac{1}{8} g t^{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

или при том же порядке приближения :
\[
\left.\begin{array}{l}
\eta_{1}=e_{1}+p_{1} t-\frac{1}{2} \mu^{2} t^{2}\left(e_{1}+\frac{1}{3} p_{1} t\right), \\
\eta_{2}=e_{2}+p_{2} t-\frac{1}{2} \mu^{2} t^{2}\left(e_{2}+\frac{1}{3} p_{2} t\right), \\
\eta_{2}=e_{3}+p_{3} t-\frac{1}{2} g t^{2}-\frac{1}{2} v^{2} t^{2}\left(e_{3}+\frac{1}{3} p_{3} t-\frac{1}{12} g t^{2}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\omega}_{1}=p_{1}-\mu^{2} t\left(e_{1}+\frac{1}{2} p_{2} t\right), \\
\bar{\omega}_{2}=p_{2}-\mu^{2} t\left(e_{2}+\frac{1}{2} p_{2} t\right), \\
\bar{\omega}_{3}=p_{3}-g t-v^{2} t\left(e_{3}+\frac{1}{2} p_{3} t-\frac{1}{6} g t^{2}\right) \cdot
\end{array}\right\}
\]

В соответствии с этим, если мы развернем строгие интегралы возмущенного движения (113) и (114) вплоть до квадратов малых величин $\mu$ и $v$ включительно, то придем к этим приближенным интегралам; если же мы развернем выражение (120) главной функции такого движения с той же степенью точности, то получим сумму двух выражений (130) и (137).
27. Для того чтобы еще дальше проиллюстрировать на данном примере наш общий метод последовательного приближения, пусть $S_{3}$ обозначает небольшую неизвестную поправку приближенного выражения (137), так что теперь мы будем иметь для данного возмущенного движения строго
\[
S=S_{1}+S_{2}+S_{3},
\]

где $S_{1}$ и $S_{2}$ определяются по формулам (130) и (137). Подставляя $S_{1}+S_{2}$ вместо $S_{1}$ в общее преобразование (87), мы находим для данной задачи [116]:
\[
\begin{aligned}
S_{3}=-\int_{0}^{t} \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}\right. & \left.+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta \eta_{3}}\right)^{2}\right\} d t+ \\
& +\int_{0}^{t} \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\delta S_{3}}{\delta \eta_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{3}}{\delta \eta_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{3}}{\delta \eta_{3}}\right)^{2}\right\} d t,
\end{aligned}
\]

и поэтому имеет следующее первое приближенное значение, полученное благодаря тому, что мы рассматриваем элементы $k_{1}, k_{2}, k_{3}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ қак постоянные и равные их начальным значениям $e_{1}, e_{2}, e_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ :
\[
\begin{aligned}
C= & -\frac{t}{2}\left\{\mu^{2}\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}\right)+v^{2} e_{3}^{2}\right\}+\frac{t^{3}}{6}\left[\mu^{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+v^{2} p_{3}^{2}\right]- \\
& -\frac{t^{4}}{8}
u^{2} g p_{3}+\frac{t^{5}}{40} v^{2} g^{2} .
\end{aligned}
\]

Подобным же образом мы имеем в качестве первых приближений того же типа, который выражен общей формулой ( $\left.Z^{1}\right)$, следующие результаты, выведенные из уравнений (151):
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=p_{1}-\mu^{2}\left(e_{1} t+\frac{1}{2} p_{1} t^{2}\right), \\
\lambda_{2}=p_{2}-\mu^{2}\left(e_{2} t+\frac{1}{2} p_{2} t^{2}\right), \\
\lambda_{3}=p_{3}-
u^{2}\left(e_{3} t+\frac{1}{2} p_{3} t^{2}-\frac{1}{6} g t^{3}\right),
\end{array}
\]

и, следовательно, в качестве приближений того же рода:
\[
\left.\begin{array}{l}
e_{1}=-\frac{1}{2} p_{1} t-\frac{\lambda_{1}-p_{1}}{\mu^{2} t}, \\
e_{2}=-\frac{1}{2} p_{2} t-\frac{\lambda_{2}-p_{2}}{\mu^{2} t}, \\
e_{3}=-\frac{1}{2} p_{3} t+\frac{1}{6} g t^{2}-\frac{\lambda_{3}-p_{3}}{v^{2} t} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя эти значения вместо начальных постоянных $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ в приближенное значение (154) функции элементов $C$, мы получаем следующее приближенное выражение $C_{1}$ для этой функции, имеющее форму, которая вытекает из нашей теории :
\[
\begin{aligned}
C_{1}= & -\frac{1}{2 t}\left\{\frac{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}}{\mu^{2}}+\frac{\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}}{v^{2}}\right\}- \\
& -\frac{t}{2}\left\{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right) p_{1}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right) p_{2}+\left(\lambda_{3}+p_{3}\right)\left(p_{3}-\frac{1}{3} g t\right)\right\}+ \\
& +\frac{t^{3}}{24}\left\{\left(\mu^{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+v^{2} p_{3}^{2}\right\}-\frac{t^{4}}{24} v^{2} g p_{3}+\frac{t^{5}}{90} v^{2} g^{2}\right.
\end{aligned}
\]

В данном случае в соответствии с принципами, изложенными в восемнадцатом параграфе, точная функция $C$ должна удовлетворять уравнению в частных производных :
\[
\frac{\delta C}{\delta t}=\frac{\mu^{2}}{2}\left\{\left(\frac{\delta C}{\delta \lambda_{1}}+\lambda_{1} t\right)^{2}+\left(\frac{\delta C}{\delta \lambda_{2}}+\lambda_{2} t\right)^{2}\right\}+\frac{v^{2}}{2}\left(\frac{\delta C}{\delta \lambda_{3}}+\lambda_{3} t-\frac{1}{2} g t^{2}\right)^{2},
\]

и если написать ее в форме ( $\left.\mathrm{U}^{1}\right)$
\[
C=C_{1}+C_{2},
\]

то $C_{1}$ представляет собой первое приближение, которое, по предположению, исчезает со временем, и тогда поправка $C_{2}$ должна строго удовлетворять

условию
\[
\begin{array}{c}
C_{2}=\int_{0}^{t}\left\{-\frac{\delta C_{1}}{\delta t}+\frac{\mu^{2}}{2}\left(\frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{1}}+\lambda_{1} t\right)^{2}+\frac{\mu^{2}}{2}\left(\frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{1}}+\lambda_{2} t\right)^{2}+\frac{
u^{2}}{2}\left(\frac{\delta C_{1}}{\delta \lambda_{3}}+\lambda_{3} t-\right.\right. \\
\left.\left.-\frac{1}{2} g t^{2}\right)^{2}\right\} d t-\frac{1}{2} \int_{0}^{t}\left\{\mu^{2}\left(\frac{\delta C_{2}}{\delta \lambda_{1}}\right)^{2}+\mu^{2}\left(\frac{\delta C_{2}}{\delta \bar{\lambda}_{2}}\right)^{2}+
u^{2}\left(\frac{\delta C_{2}}{\delta \lambda_{3}}\right)^{2}\right\} d t .
\end{array}
\]

Переходя ко второму приближению, мы можем пренебречь вторым определенным интегралом и можем вычислить первый при помощи приближенных уравнений (155), после чего получим
\[
\begin{aligned}
C_{2}= & -\int_{0}^{t}\left\{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}\right\} d t+ \\
& +\frac{\mu^{2}}{2} \int_{0}^{t}\left\{\lambda_{1}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)+\lambda_{2}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)\right\} d t+\frac{v^{2}}{2} \int_{0}^{t}\left(\lambda_{3}-\frac{2}{3} g t\right)\left(\lambda_{3}-p_{3}\right) t^{2} d t= \\
= & -\frac{t}{3}\left\{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}\right\}+ \\
& +\frac{t^{3}}{24}\left\{\mu^{2} p_{1}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)+\mu^{2} p_{2}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)+v^{2} p_{3}\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)\right\}- \\
& -\frac{t^{4}}{45}
u^{2} g\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)+\frac{t^{5}}{240}\left(\mu^{4} p^{2}+\mu^{4} p_{2}^{2}+v^{4} p_{3}^{2}\right)-\frac{t^{6}}{240}
u^{4} g p_{3}+\frac{t^{7}}{945}
u^{4} g^{2} .
\end{aligned}
\]

Мы можем подобным же образом усовершенствовать это второе приближение, вычислив новый определенный интеграл $C_{3}$ с помощью следующих более приближенных форм соотношений между переменными элементами $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ и начальными постоянными, выведенными посредством нашего общего метода :
\[
\begin{aligned}
e_{1}= & -\frac{\delta C_{1}}{\delta p_{1}}-\frac{\delta C_{2}}{\delta p_{1}}=-\frac{\lambda_{1}-p_{1}}{\mu^{2} t}\left(1+\frac{\mu^{2} t^{2}}{6}+\frac{\mu^{4} t^{4}}{24}\right)-\frac{t p_{1}}{2}\left(1+\frac{\mu^{2} t^{2}}{12}+\frac{\mu^{4} t^{4}}{60}\right), \\
e_{2}= & -\frac{\delta C_{1}}{\delta p_{2}}-\frac{\delta C_{2}}{\delta p_{2}}=-\frac{\lambda_{2}-p_{2}}{\mu^{2} t}\left(1+\frac{\mu^{2} t^{2}}{6}+\frac{\mu^{4} t^{4}}{24}\right)-\frac{t p_{2}}{2}\left(1+\frac{\mu^{2} t^{2}}{12}+\frac{\mu^{4} t^{4}}{60}\right), \\
e_{3}= & -\frac{\delta C_{1}}{\delta p_{3}}-\frac{\delta C_{2}}{\delta p_{3}}=-\frac{\lambda_{3}-p_{3}}{
u^{2} t}\left(1+\frac{
u^{2} t^{2}}{6}+\frac{
u^{4} t^{4}}{24}\right)-\frac{t p_{3}}{2}\left(1+\frac{
u^{2} t^{2}}{12}+\frac{\mu^{4} t^{4}}{60}\right)+ \\
& +\frac{g t^{2}}{6}\left(1+\frac{7 v^{2} t^{2}}{60}+\frac{
u^{4} t^{4}}{40}\right)
\end{aligned}
\]

в которых мы можем рассчитывать только на члены до второго порядка, но которые, когда они освобождены от малых делителей, позволяют довести точность до четвертого порядка, и тогда [117]
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=p_{1}-\mu^{2} t\left(e_{1}+\frac{1}{2} p_{1} t\right)+\frac{1}{6} \mu^{4} t^{3}\left(e_{1}+\frac{1}{4} p_{1} t\right), \\
\lambda_{2}=p_{2}-\mu^{2} t\left(e_{2}+\frac{1}{2} p_{2} t\right)+\frac{1}{6} \mu^{4} t^{3}\left(e_{2}+\frac{1}{4} p_{2} t\right), \\
\lambda_{3}=p_{3}-v^{2} t\left(e_{3}+\frac{1}{2} p_{3} t-\frac{1}{6} g t^{2}\right)+\frac{1}{6}
u^{4} t^{3}\left(e_{3}+\frac{1}{4} p_{3} t-\frac{1}{20} g t^{2}\right) .
\end{array}
\]

Однако, если мы уделим немного внимания природе этого процесса, то увидим, что все последующие поправки, к которым он приводит, могут

быть только рациональными, целыми и однородными функциями второй степени величин $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, g$ и что все они могут быть выражены в форме их суммы или в форме полной искомой функции $C$ :
\[
\begin{aligned}
C & =\mu^{-2} a_{\mu}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+b_{\mu} p_{1}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)+\mu^{2} c_{\mu} p_{1}^{2}+ \\
& +\mu^{-2} a_{\mu}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}+b_{\mu} p_{2}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)+\mu^{2} c_{\mu} p_{2}^{2}+ \\
& +
u^{-2} a_{v}\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}+b_{v} p_{3}\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)+
u^{2} c_{
u} p_{3}^{2}+ \\
& +f_{v} g\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)+
u^{2} h_{v} g p_{3}+
u^{2} i_{v} g^{2}
\end{aligned}
\]

причем, поскольку коэффициенты $a_{\mu}, a_{
u}$ и т. д. являются функциями малых величин $\mu$ и $v$, а также времени, то остается только раскрыть их форму. Отсюда, обозначая их дифференциалы, взятые по времени, в виде
\[
d a_{\mu}=a_{\mu}^{\prime} d t, \quad d a_{v}=a_{v}^{\prime} d t,
\]

и подставляя выражение (162) в точное уравнение в частных производных (158), мы приходим к шести уравнениям в обычных дифференциалах первого порядка
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 a_{r}^{\prime}=\left(2 a_{v}+v^{2} t\right)^{2} ; & b_{v}^{\prime}=\left(2 a_{v}+v^{2} t\right)\left(b_{v}+t\right) ; \quad c_{v}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(b_{v}+t\right)^{2} ; \\
f_{v}^{\prime}=\left(2 a_{v}+v^{2} t\right)\left(f_{
u}-\frac{1}{2} t^{2}\right) ; & h_{v}^{\prime}=\left(b_{v}+t\right)\left(f_{v}-\frac{1}{2} t^{2}\right) ; \quad i_{v}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(f_{v}-\frac{1}{2} t^{2}\right)^{2}
\end{array}\right\}
\]

и к следующим условиям для определения шести произвольных постоянных, введенных при интегрировании :
\[
a_{0}=\frac{1}{2 t} ; \quad b_{0}=-\frac{t}{2} ; \quad f_{0}=\frac{t^{2}}{6} ; \quad c_{0}=\frac{t^{3}}{24} ; \quad h_{0}=-\frac{t^{4}}{24} ; \quad t_{0}=\frac{t^{5}}{90} .
\]

Таким образом, отмечая, что $a_{\mu}, b_{\mu}, c_{\mu}$ могут быть получены из $a_{r}, b_{v}, c_{v}$ заменой $
u$ на $\mu$, мы без труда находим
\[
\begin{array}{ll}
a_{v}=-\frac{1}{2} v^{2} t-\frac{1}{2} v \operatorname{ctg} v t, & a_{\mu}=-\frac{1}{2} \mu^{2} t-\frac{1}{2} \mu \operatorname{ctg} \mu t, \\
b_{
u}=-t+\frac{1}{v} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}, & b_{\mu}=-t+\frac{1}{\mu} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
c_{v}=-\frac{1}{2 y^{2}}+\frac{1}{v^{3}} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}, & c_{\mu}=-\frac{1}{2 \mu^{2}}+\frac{1}{\mu^{3}} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
j_{v}=\frac{1}{2} t^{2}-\frac{1}{v^{2}}+\frac{t}{v} \operatorname{ctg} v t, & \\
h_{v}=-\frac{t^{2}}{2 v^{2}}-\frac{t}{v^{2}} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}, \\
i_{v}=\frac{t}{2 v^{4}}-\frac{t^{3}}{6 v^{2}}-\frac{t^{2}}{2 v^{3}} \operatorname{ctg} v t . &
\end{array}
\]

Таким образом, форма функции $C$ полностью известна, и мы имеем

следующее строгое выражение для этой функции элементов:
\[
\begin{aligned}
C= & -\frac{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}}{2 \mu \operatorname{tg} \mu t}-\frac{\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}}{2 v \operatorname{tg} v t}- \\
& -\frac{t}{2}\left\{\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)^{2}\right\}- \\
& -t\left\{p_{1}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)+p_{2}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)+p_{3}\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)\right\}- \\
& -\frac{t}{\mu}\left\{p_{1}\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)+p_{2}\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)\right\} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}+\frac{1}{\lambda} p_{3}\left(\lambda_{3}-p_{3}\right) \operatorname{tg} \frac{v t}{2}- \\
& -\frac{t}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\frac{1}{\mu}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}+\frac{1}{v} p_{3}^{2} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}+ \\
& +\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{v^{2}}+\frac{t}{v} \operatorname{ctg} v t\right) g\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)+\left(\frac{t^{2}}{2}+\frac{t}{v} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}\right) g p_{3}+ \\
& +\left(\frac{t}{2 v^{2}}-\frac{t^{3}}{6}-\frac{t^{2}}{2 v} \operatorname{ctg} v t\right) g^{2},
\end{aligned}
\]

которое может быть преобразовано разными способами и при помощи нашего общего метода дает следующие системы строгих интегралов дифференциальных уравнений переменных элементов (150) и (151):
\[
\left.\begin{array}{l}
e_{1}=-\frac{\delta C}{\delta p_{1}}=-\frac{\lambda_{1}-p_{1}}{\mu \sin \mu t}-\frac{p_{1}}{\mu} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
e_{2}=-\frac{\delta C}{\delta p_{2}}=-\frac{\lambda_{2}-p_{2}}{\mu \sin \mu t}-\frac{p_{2}}{\mu} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}, \\
e_{3}=-\frac{\delta C}{\delta p_{3}}=-\frac{\lambda_{3}-p_{3}}{
u \sin v t}-\frac{p_{3}}{v} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}+\frac{g}{
u}\left(\frac{t}{\sin v t}-\frac{1}{v}\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{r}
k_{1}=\frac{\delta C}{\delta \lambda_{1}}=-\left(\lambda_{1}-p_{1}\right)\left(t+\frac{1}{\mu} \operatorname{ctg} \mu t\right)+p_{1}\left(-t+\frac{1}{\mu} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}\right), \\
k_{2}=\frac{\delta C}{\delta \lambda_{2}}=-\left(\lambda_{2}-p_{2}\right)\left(t+\frac{1}{\mu} \operatorname{ctg} \mu t\right)+p_{2}\left(-t+\frac{1}{\mu} \operatorname{tg} \frac{\mu t}{2}\right), \\
k_{3}=\frac{\delta C}{\delta \lambda_{3}}=-\left(\lambda_{3}-p_{3}\right)\left(t+\frac{1}{v} \operatorname{ctg} v t\right)+p_{3}\left(-t+\frac{1}{
u} \operatorname{tg} \frac{v t}{2}\right)+ \\
+g\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{v^{2}}+\frac{t}{v} \operatorname{ctg} v t\right),
\end{array}\right\}
\]
T. e.
\[
\left.\begin{array}{l}
\lambda_{1}=p_{1} \cos \mu t-e_{1} \mu \sin \mu t \\
\lambda_{2}=p_{2} \cos \mu t-e_{2} \mu \sin \mu t \\
\lambda_{3}=p_{3} \cos v t-e_{3}
u \sin v t+g\left(t-\frac{1}{v} \sin v t\right)
\end{array}\right\}
\]

и
\[
\left.\begin{array}{r}
k_{1}=e_{1}(\cos \mu t+\mu t \sin \mu t)+p_{1}\left(\frac{1}{\mu} \sin \mu t-t \cos \mu t\right), \\
k_{2}=e_{2}(\cos \mu t+\mu t \sin \mu t)+p_{2}\left(\frac{1}{\mu} \sin \mu t-t \cos \mu t\right), \\
k_{3}=e_{3}(\cos v t+v t \sin v t)+p_{3}\left(\frac{1}{v} \sin v t-t \cos v t\right)- \\
-g\left(\frac{\operatorname{vers} v t}{
u^{2}}-\frac{t}{v} \sin v t+\frac{t^{2}}{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Соответственно эти строгие выражения шести переменных элементов в данной динамической проблеме согласуются с результатами, полученными из шести обыкновенных дифференциальных уравнений (150) и (151) при помощи обычных методов интегрирования и с теми, которые получены путем исключения из уравнений (113), (114), (147).