24. Если три отметки положения ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ движущейся точки представляют собой прямоугольные координаты и если функция $U$ имеет форму
$$U=-g{\eta }_3-\frac{1}{2}\{{\mu }^2({\eta }_1^2+{\eta }_2^2)+u^2{\eta }_3^2\},$$

причем $g,\mu ,v$ являются постоянными, то выражение
$$H=\frac{1}{2}({\overline{\omega }}_1^2+{\overline{\omega }}_2^2+{\overline{\omega }}_3^2)+g{\eta }_3+\frac{1}{2}\{{\mu }^2({\eta }_1^2+{\eta }_2^2)+u^2{\eta }_3^2\}$$

должно быть подставлено в общие формы (83) для того, чтобы образовать шесть дифференциальных уравнений движения первого порядка, а именно :
$$\begin{array}{lll}\frac{d{\eta }_1}{dt}={\overline{\omega }}_1,& \frac{d{\eta }_2}{dt}={\overline{\omega }}_2,& \frac{d{\eta }_3}{dt}={\overline{\omega }}_3,\\ \frac{d{\overline{\omega }}_1}{dt}=-{\mu }^2{\eta }_1,& \frac{d{\overline{\omega }}_2}{dt}=-{\mu }^2{\eta }_2,& \frac{d{\overline{\omega }}_3}{dt}=-g-u^2{\eta }_3.\end{array}\}$$

Эти дифференциальные уравнения имеют в качестве своих точных интегралов шесть следующих выражений [114]:
$$\begin{array}{l}{\eta }_1=e_1\cos \mu t+\frac{p_1}{\mu }\sin \mu t,\\ {\eta }_2=e_2\cos \mu t+\frac{p_2}{\mu }\sin \mu t,\\ {\eta }_3=e_3\cos vt+\frac{p_3}{v}\sin vt-\frac{g}{v_2}\mathrm{vers}vt,\end{array}$$

и
$$\begin{array}{l}{\overline{\omega }}_1=p_1\cos \mu t-\mu e_1\sin \mu t,\\ {\overline{\omega }}_2=p_2\cos \mu t-\mu e_2\sin \mu t,\\ {\overline{\omega }}_3=p_3\cos vt-(v{e}_3+\frac{g}{v})\sin vt,\end{array}\}$$

причем $e_1,e_2,e_3,p_1,p_2,p_3$ по-прежнему представляют собой начальные значения функций ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\overline{\omega }}_1,{\overline{\omega }}_2,{\overline{\omega }}_3$.

Применяя эти интегральные уравнения для вычисления функции $S$, т. е. для вычисления с помощью формул (85) и (110) определенного интеграла
$$S={\int }_0^t(\frac{{\overline{\omega }}_1^2+{\overline{\omega }}_2^2+{\overline{\omega }}_3^2}{2}+U)dt$$

мы находим :
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}({\overline{\omega }}_1^2+{\overline{\omega }}_2^2+{\overline{\omega }}_3^2)=\frac{1}{4}\{p_1^2+p_2^2+p_3^2+{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)+{(v{e}_3+\frac{g}{v})}^2\}+\\ +\frac{1}{4}\{p_1^2+p_2^2-{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)\}\cos 2\mu t-\frac{1}{2}\mu (e_1{p}_1+e_2{p}_2)\sin 2\mu t+\\ +\frac{1}{4}\{p_3^2-{(v{e}_3+\frac{g}{v})}^2\}\cos 2vt-\frac{1}{2}(v{e}_3+\frac{g}{v})p_3\sin 2vt\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}U=& \frac{g^2}{2v^2}-\frac{1}{4}\{p_1^2+p_2^2+p_3^2+{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)+{(v{e}_3+\frac{g}{v})}^2\}+\\ & +\frac{1}{4}\{p_1^2+p_2^2+{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)\}\cos 2\mu t-\frac{1}{2}\mu (e_1{p}_1+e_2{p}_2)\sin 2\mu t+\\ & +\frac{1}{4}\{p_3^2-{(v{e}_3+\frac{g}{v})}^2\}\cos 2vt-\frac{1}{2}(v{e}_3+\frac{g}{v})p_3\sin 2vt\end{array}$$

и отсюда
$$\begin{array}{rl}S=\frac{g^{2}t}{2v^2}+\{p_1^2& +p_2^2-{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)\frac{\sin 2\mu t}{4\mu }-\frac{1}{2}(e_1{p}_1+e_2{p}_2)\text{ vers }2\mu t+\\ & +\{p_3^2-{(v{e}_3+\frac{g}{v})}^2\}\frac{\sin 2vt}{4v}-\frac{1}{2}{p}_3(e_3+\frac{g}{v^2})\text{ vers }2vt.\end{array}$$

Однако для того, чтобы выразить эту функцию $S$, как это предполагается нашим общим методом, в терминах конечных и начальных координат и времени, мы должны применить аналогичные выражения для постоянных $p_1,p_2,p_3$, выведенные из интегралов (113):
$$\begin{array}{l}{p}_1=\frac{\mu {\eta }_1-\mu e_1\cos \mu t}{\sin \mu t},\\ p_2=\frac{\mu {\eta }_2-\mu e_2\cos \mu t}{\sin \mu t},\\ p_3=\frac{v{\eta }_3+\frac{g}{v}-(v{e}_3-\frac{g}{v})\cos vt}{\sin vt};\end{array}$$

тогда находим
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{g^{2}t}{2v^2}+\frac{\mu }{2}\cdot \frac{{({\eta }_1-e_1)}^2+{({\eta }_2-e_2)}^2}{\mathrm{tg}\mu t}+\frac{u}{2}\cdot \frac{{({\eta }_3-e_3)}^2}{\mathrm{tg}v}-\\ & -\mu ({\eta }_1{e}_1+{\eta }_2{e}_2)\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2}-v({\eta }_3+\frac{g}{v^2})(e_3+\frac{g}{v^2})\mathrm{tg}\frac{ut}{2}.\end{array}\}$$

Эта главная функция $S$ удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных производных первого порядка вида (86) :
$$\begin{array}{l}\frac{\delta S}{\delta t}+\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S}{\delta {\eta }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S}{\delta {\eta }_3}\right)}^2\}=-g{\eta }_3-\frac{{\mu }^2}{2}({\eta }_1^2+{\eta }_2^2)-\frac{v^2}{2}{\eta }_3^2,\\ \frac{\delta S}{\delta t}+\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S}{\delta e_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S}{\delta e_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S}{\delta e_3}\right)}^2\}=-g{e}_3-\frac{{\mu }^2}{2}(e_1^2+e_2^2)-\frac{v^2}{2}{e}_3^2,\end{array}\}$$

и если ее форма была ранее найдена при помощи этих двух уравнений или каким-нибудь другим способом, то тогда из нее можно (при помощи нашего общего метода) вывести интегралы уравнений движения в форме:
$$\begin{array}{l}{\overline{\omega }}_1=\frac{\delta S}{\delta {\eta }_1}=\mu ({\eta }_1-e_1)\mathrm{ctg}\mu t-\mu e_1\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ {\overline{\omega }}_2=\frac{\delta S}{\delta {\eta }_2}=\mu ({\eta }_2-e_2)\mathrm{ctg}\mu t-\mu e_2\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ {\overline{\omega }}_3=\frac{\delta S}{\delta {\eta }_3}=u({\eta }_3-e_3)\mathrm{ctg}vt-(u{e}_3+\frac{g}{v})\mathrm{tg}\frac{ut}{2}\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}{p}_1=-\frac{\delta S}{\delta e_1}=\mu ({\eta }_1-e_1)\mathrm{ctg}\mu t+\mu {\eta }_1\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ p_2=-\frac{\delta S}{\delta e_2}=\mu ({\eta }_2-e_2)\mathrm{ctg}\mu t+\mu {\eta }_2\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ p_3=-\frac{\delta S}{\delta e_3}=v({\eta }_3-e_3)\mathrm{ctg}vt+(v{\eta }_3+\frac{g}{v})\mathrm{tg}\frac{ut}{2},\end{array}\}$$

причем последние две группы уравнений совпадают с группой (119) или (113) и в сочетании с первой группой (122) приводят к другой, ранее данной группе интегралов (114).
25. Предположим теперь для иллюстрации теории возмущения, что постоянные $\mu$ и v малы и что после разделения выражения (111) для $H$ на две части :
$$H_1=\frac{1}{2}({\overline{\omega }}_1^2+{\overline{\omega }}_2^2+{\overline{\omega }}_3^2)+g{\eta }_3$$

и
$$H_2=\frac{1}{2}\{{\mu }^2({\eta }_1^2+{\eta }_2^2)+u^2{\eta }_3^2\},$$

мы сперва пренебрегаем малой частью $H_2$ и таким образом посредством (88) образуем более простые дифференциальные уравнения движения, которые мы назовем невозмущенными:
$$\begin{array}{l}\frac{d{\eta }_1}{dt}={\overline{\omega }}_1,\frac{d{\eta }_2}{dt}={\overline{\omega }}_2,-\frac{d{\eta }_3}{dt}={\overline{\omega }}_3,\\ \frac{d{\omega }_1}{dt}=0,-\frac{d{\overline{\omega }}_2}{dt}=0,\frac{d{\overline{\omega }}_3}{dt}=-g.\end{array}$$

Эти новые уравнения имеют в качестве своих точных интегралов вида (94) и (95) следующие выражения :
$${\eta }_1=e_1+p_{1}t,{\eta }_2=e_2+p_{2}t,{\eta }_3=e_3+p_{3}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

и
$${\overline{\omega }}_1=p_1,{\overline{\omega }}_2=p_2,{\overline{\omega }}_3=p_3-gt,$$

а главная функция $S_1$ того же невозмущенного движения будет согласно (89)
$$\begin{array}{rl}{S}_1={\int }_0^t(\frac{{\overline{\omega }}_1^2+{\overline{\omega }}_2^2+{\overline{\omega }}_3^2}{2}-g{\eta }_3)dt& ={\int }_0^t(\frac{p_1^2+p_2^2+p_3^2}{2}-g{e}_3-2g{p}_{3}t+g^2{t}^2)dt=\\ & =(\frac{p_1^2+p_2^2+p_3^2}{2}-g{e}_3)t-g{p}_3{t}^2+\frac{1}{3}{g}^2{t}^3\end{array}$$

или, наконец, согласно (127)
$$S_1=\frac{{({\eta }_1-e_1)}^2+{({\eta }_2-e_2)}^2+{({\eta }_3-e_3)}^2}{2t}-\frac{1}{2}gt({\eta }_3+e_3)-\frac{1}{24}{g}^2{t}^3.$$

Эта функция удовлетворяет, как и должно быть, следующим двум уравнениям в частных производных :
$$\begin{array}{l}\frac{\delta S_1}{\delta t}+\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_3}\right)}^2\}=-g{\eta }_3,\\ \frac{\delta S_1}{\delta t}+\frac{1}{8}\{{\left(\frac{\delta S_1}{\delta e_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_1}{\delta e_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_1}{\delta e_3}\right)}^2\}=-g{e}_3.\end{array}\}$$

Если при помощи этих двух уравнений или любым другим путем мы находим форму (130) главной функции $S_1$, то из нее при помощи нашего общего метода можно вывести интегральные уравнения (127) и (128) в следующем виде:
$$\begin{array}{l}{\overline{\omega }}_1=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_1}=\frac{{\eta }_1-e_1}{t},\\ {\overline{\omega }}_2=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_2}=\frac{{\eta }_2-e_2}{t},\\ {\overline{\omega }}_3=\frac{\delta S_1}{\delta {\delta }_3}=\frac{{\eta }_3-e_3}{t}-\frac{1}{2}gt\end{array}$$

и
$$\begin{array}{l}{p}_1=-\frac{\delta S_1}{\delta e_1}=\frac{{\eta }_1-e_1}{t},\\ p_2=-\frac{\delta S_1}{\delta e_2}=\frac{{\eta }_2-e_2}{t},\\ p_3=-\frac{\delta S_1}{\delta e_3}=\frac{{\eta }_3-e_3}{t}+\frac{1}{2}gt,\end{array}$$

причем последняя из этих групп совпадает с выражением (127), а первая группа с выражением (128).
26. Возвращаясь теперь от этого более простого движения к упомянутому ранее более сложному движению и обозначая через $S_2$ ту возмущающую часть, или функцию, которая должна быть прибавлена к $S_1$, для того чтобы составить полную главную функцию $S$ этого более сложного движения, мы получаем путем ирименения нашего общего метода следующее строгое выражение для этой возмущающей функции :
$$S_2=-{\int }_0^t{H}_{2}dt+{\int }_0^t\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_3}\right)}^2\}dt,$$

в котором мы можем пренебречь вторым определенным интегралом и вычислить первый посредством уравнений невозмущенного движения. Таким образом, посредством (125), (127) мы находим приближенно
$$-H_2=-\frac{{\mu }^2}{2}\{{(e_1+p_{1}t)}^2+{(e_2+p_{2}t)}^2\}-\frac{u^2}{2}{(e_3+p_{3}t-\frac{1}{2}g{t}^2)}^2$$

и отсюда путем интегрирования [115] находим
$$\begin{array}{rl}{S}_2=& -\frac{1}{2}\{{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)+v^2{e}_3^2\}t-\frac{1}{2}\{{\mu }^2(e_1{p}_1-e_2{p}_2)+v^2{e}_3{p}_3\}{t}^2-\\ & -\frac{1}{2}\{{\mu }^2(p_1^2+p_2^2)+v^2(p_3^2-g{e}_3)\}{t}^3+\frac{1}{8}{v}^{2}g{p}_3{t}^4-\frac{1}{40}{v}^2{g}^2{t}^5,\end{array}$$

или при помощи формул (133) —
$$\begin{array}{rl}{S}_2=-\frac{{\mu }^{2}t}{6}({\eta }_1^2+e_1{\eta }_1+e_1^2+{\eta }_2^2+e_2{\eta }_2& +e_2^2)-\frac{u^{2}t}{6}\{{\eta }_3^2+e_3{\eta }_3+e_3^2+\\ & +\frac{1}{4}g({\eta }_3+e_3)t^2+\frac{1}{40}{g}^2{t}^4\}.\end{array}$$

Здесь ошибка будет четвертого порядка по отношению к малым величинам $\mu$ и $u$. Если мы пренебрежем этой малой ошибкой, то можем с помощью нашего общего метода вывести приближенные формы для интегралов воз-

мущенного движения из корректированной функции $S_1+S_2$ в виде.:
$$\begin{array}{l}{\overline{\omega }}_1=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_1}+\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_1}=\frac{{\eta }_1-e_1}{t}-\frac{{\mu }^{2}t}{3}({\eta }_1+\frac{1}{2}{e}_1),\\ {\overline{\omega }}_2=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_2}+\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_2}=\frac{{\eta }_2-e_2}{t}-\frac{{\mu }^{2}t}{3}({\eta }_2+\frac{1}{2}{e}_2),\\ {\overline{\omega }}_3=\frac{\delta S_1}{\delta {\eta }_3}+\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_3}=\frac{{\eta }_3-e_3}{t}-\frac{1}{2}gt-\frac{v^{2}t}{3}({\eta }_3+\frac{1}{2}{e}_3\frac{1}{8}g{t}^2)\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}{p}_1=-\frac{\delta S_1}{\delta e_1}-\frac{\delta S_2}{\delta e_1}=\frac{{\eta }_1-e_1}{t}+\frac{{\mu }^{2}t}{3}(e_1+\frac{1}{2}{\eta }_1),\\ p_2=-\frac{\delta S_1}{\delta e_2}-\frac{\delta S_2}{\delta e_2}=\frac{{\eta }_2-e_2}{t}+\frac{{\mu }^{2}t}{3}(e_2+\frac{1}{2}{\eta }_2),\\ p_3=-\frac{\delta S_1}{\delta e_3}-\frac{\delta S_2}{\delta e_3}=\frac{{\eta }_3-e_3}{t}+\frac{1}{2}gt+\frac{u^{2}t}{3}(e_3+\frac{1}{2}{\eta }_3+\frac{1}{8}g{t}^2),\end{array}\}$$

или при том же порядке приближения :
$$\begin{array}{l}{\eta }_1=e_1+p_{1}t-\frac{1}{2}{\mu }^2{t}^2(e_1+\frac{1}{3}{p}_{1}t),\\ {\eta }_2=e_2+p_{2}t-\frac{1}{2}{\mu }^2{t}^2(e_2+\frac{1}{3}{p}_{2}t),\\ {\eta }_2=e_3+p_{3}t-\frac{1}{2}g{t}^2-\frac{1}{2}{v}^2{t}^2(e_3+\frac{1}{3}{p}_{3}t-\frac{1}{12}g{t}^2)\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{l}{\overline{\omega }}_1=p_1-{\mu }^{2}t(e_1+\frac{1}{2}{p}_{2}t),\\ {\overline{\omega }}_2=p_2-{\mu }^{2}t(e_2+\frac{1}{2}{p}_{2}t),\\ {\overline{\omega }}_3=p_3-gt-v^{2}t(e_3+\frac{1}{2}{p}_{3}t-\frac{1}{6}g{t}^2)\cdot \end{array}\}$$

В соответствии с этим, если мы развернем строгие интегралы возмущенного движения (113) и (114) вплоть до квадратов малых величин $\mu$ и $v$ включительно, то придем к этим приближенным интегралам; если же мы развернем выражение (120) главной функции такого движения с той же степенью точности, то получим сумму двух выражений (130) и (137).
27. Для того чтобы еще дальше проиллюстрировать на данном примере наш общий метод последовательного приближения, пусть $S_3$ обозначает небольшую неизвестную поправку приближенного выражения (137), так что теперь мы будем иметь для данного возмущенного движения строго
$$S=S_1+S_2+S_3,$$

где $S_1$ и $S_2$ определяются по формулам (130) и (137). Подставляя $S_1+S_2$ вместо $S_1$ в общее преобразование (87), мы находим для данной задачи [116]:
$$\begin{array}{rl}{S}_3=-{\int }_0^t\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_2}\right)}^2& +{\left(\frac{\delta S_2}{\delta {\eta }_3}\right)}^2\}dt+\\ & +{\int }_0^t\frac{1}{2}\{{\left(\frac{\delta S_3}{\delta {\eta }_1}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_3}{\delta {\eta }_2}\right)}^2+{\left(\frac{\delta S_3}{\delta {\eta }_3}\right)}^2\}dt,\end{array}$$

и поэтому имеет следующее первое приближенное значение, полученное благодаря тому, что мы рассматриваем элементы $k_1,k_2,k_3,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ қак постоянные и равные их начальным значениям $e_1,e_2,e_3,p_1,p_2,p_3$ :
$$\begin{array}{rl}C=& -\frac{t}{2}\{{\mu }^2(e_1^2+e_2^2)+v^2{e}_3^2\}+\frac{t^3}{6}[{\mu }^2(p_1^2+p_2^2)+v^2{p}_3^2]-\\ & -\frac{t^4}{8}{u}^{2}g{p}_3+\frac{t^5}{40}{v}^2{g}^2.\end{array}$$

Подобным же образом мы имеем в качестве первых приближений того же типа, который выражен общей формулой ( $Z^1)$, следующие результаты, выведенные из уравнений (151):
$$\begin{array}{l}{\lambda }_1=p_1-{\mu }^2(e_{1}t+\frac{1}{2}{p}_1{t}^2),\\ {\lambda }_2=p_2-{\mu }^2(e_{2}t+\frac{1}{2}{p}_2{t}^2),\\ {\lambda }_3=p_3-u^2(e_{3}t+\frac{1}{2}{p}_3{t}^2-\frac{1}{6}g{t}^3),\end{array}$$

и, следовательно, в качестве приближений того же рода:
$$\begin{array}{l}{e}_1=-\frac{1}{2}{p}_{1}t-\frac{{\lambda }_1-p_1}{{\mu }^{2}t},\\ e_2=-\frac{1}{2}{p}_{2}t-\frac{{\lambda }_2-p_2}{{\mu }^{2}t},\\ e_3=-\frac{1}{2}{p}_{3}t+\frac{1}{6}g{t}^2-\frac{{\lambda }_3-p_3}{v^{2}t}.\end{array}\}$$

Подставляя эти значения вместо начальных постоянных $e_1,e_2,e_3$ в приближенное значение (154) функции элементов $C$, мы получаем следующее приближенное выражение $C_1$ для этой функции, имеющее форму, которая вытекает из нашей теории :
$$\begin{array}{rl}{C}_1=& -\frac{1}{2t}\{\frac{{({\lambda }_1-p_1)}^2+{({\lambda }_2-p_2)}^2}{{\mu }^2}+\frac{{({\lambda }_3-p_3)}^2}{v^2}\}-\\ & -\frac{t}{2}\{({\lambda }_1-p_1)p_1+({\lambda }_2-p_2)p_2+({\lambda }_3+p_3)(p_3-\frac{1}{3}gt)\}+\\ & +\frac{t^3}{24}\{({\mu }^2(p_1^2+p_2^2)+v^2{p}_3^2\}-\frac{t^4}{24}{v}^{2}g{p}_3+\frac{t^5}{90}{v}^2{g}^2\end{array}$$

В данном случае в соответствии с принципами, изложенными в восемнадцатом параграфе, точная функция $C$ должна удовлетворять уравнению в частных производных :
$$\frac{\delta C}{\delta t}=\frac{{\mu }^2}{2}\{{(\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_1}+{\lambda }_{1}t)}^2+{(\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_2}+{\lambda }_{2}t)}^2\}+\frac{v^2}{2}{(\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_3}+{\lambda }_{3}t-\frac{1}{2}g{t}^2)}^2,$$

и если написать ее в форме ( ${\mathrm{U}}^1)$
$$C=C_1+C_2,$$

то $C_1$ представляет собой первое приближение, которое, по предположению, исчезает со временем, и тогда поправка $C_2$ должна строго удовлетворять

условию
$$\begin{array}{c}{C}_2={\int }_0^t\{-\frac{\delta C_1}{\delta t}+\frac{{\mu }^2}{2}{(\frac{\delta C_1}{\delta {\lambda }_1}+{\lambda }_{1}t)}^2+\frac{{\mu }^2}{2}{(\frac{\delta C_1}{\delta {\lambda }_1}+{\lambda }_{2}t)}^2+\frac{u^2}{2}(\frac{\delta C_1}{\delta {\lambda }_3}+{\lambda }_{3}t-\\ {-\frac{1}{2}g{t}^2)}^2\}dt-\frac{1}{2}{\int }_0^t\{{\mu }^2{\left(\frac{\delta C_2}{\delta {\lambda }_1}\right)}^2+{\mu }^2{\left(\frac{\delta C_2}{\delta {\overline{\lambda }}_2}\right)}^2+u^2{\left(\frac{\delta C_2}{\delta {\lambda }_3}\right)}^2\}dt.\end{array}$$

Переходя ко второму приближению, мы можем пренебречь вторым определенным интегралом и можем вычислить первый при помощи приближенных уравнений (155), после чего получим
$$\begin{array}{rl}{C}_2=& -{\int }_0^t\{{({\lambda }_1-p_1)}^2+{({\lambda }_2-p_2)}^2+{({\lambda }_3-p_3)}^2\}dt+\\ & +\frac{{\mu }^2}{2}{\int }_0^t\{{\lambda }_1({\lambda }_1-p_1)+{\lambda }_2({\lambda }_2-p_2)\}dt+\frac{v^2}{2}{\int }_0^t({\lambda }_3-\frac{2}{3}gt)({\lambda }_3-p_3)t^{2}dt=\\ =& -\frac{t}{3}\{{({\lambda }_1-p_1)}^2+{({\lambda }_2-p_2)}^2+{({\lambda }_3-p_3)}^2\}+\\ & +\frac{t^3}{24}\{{\mu }^2{p}_1({\lambda }_1-p_1)+{\mu }^2{p}_2({\lambda }_2-p_2)+v^2{p}_3({\lambda }_3-p_3)\}-\\ & -\frac{t^4}{45}{u}^{2}g({\lambda }_3-p_3)+\frac{t^5}{240}({\mu }^4{p}^2+{\mu }^4{p}_2^2+v^4{p}_3^2)-\frac{t^6}{240}{u}^{4}g{p}_3+\frac{t^7}{945}{u}^4{g}^2.\end{array}$$

Мы можем подобным же образом усовершенствовать это второе приближение, вычислив новый определенный интеграл $C_3$ с помощью следующих более приближенных форм соотношений между переменными элементами ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ и начальными постоянными, выведенными посредством нашего общего метода :
$$\begin{array}{rl}{e}_1=& -\frac{\delta C_1}{\delta p_1}-\frac{\delta C_2}{\delta p_1}=-\frac{{\lambda }_1-p_1}{{\mu }^{2}t}(1+\frac{{\mu }^2{t}^2}{6}+\frac{{\mu }^4{t}^4}{24})-\frac{t{p}_1}{2}(1+\frac{{\mu }^2{t}^2}{12}+\frac{{\mu }^4{t}^4}{60}),\\ e_2=& -\frac{\delta C_1}{\delta p_2}-\frac{\delta C_2}{\delta p_2}=-\frac{{\lambda }_2-p_2}{{\mu }^{2}t}(1+\frac{{\mu }^2{t}^2}{6}+\frac{{\mu }^4{t}^4}{24})-\frac{t{p}_2}{2}(1+\frac{{\mu }^2{t}^2}{12}+\frac{{\mu }^4{t}^4}{60}),\\ e_3=& -\frac{\delta C_1}{\delta p_3}-\frac{\delta C_2}{\delta p_3}=-\frac{{\lambda }_3-p_3}{u^{2}t}(1+\frac{u^2{t}^2}{6}+\frac{u^4{t}^4}{24})-\frac{t{p}_3}{2}(1+\frac{u^2{t}^2}{12}+\frac{{\mu }^4{t}^4}{60})+\\ & +\frac{g{t}^2}{6}(1+\frac{7v^2{t}^2}{60}+\frac{u^4{t}^4}{40})\end{array}$$

в которых мы можем рассчитывать только на члены до второго порядка, но которые, когда они освобождены от малых делителей, позволяют довести точность до четвертого порядка, и тогда [117]
$$\begin{array}{l}{\lambda }_1=p_1-{\mu }^{2}t(e_1+\frac{1}{2}{p}_{1}t)+\frac{1}{6}{\mu }^4{t}^3(e_1+\frac{1}{4}{p}_{1}t),\\ {\lambda }_2=p_2-{\mu }^{2}t(e_2+\frac{1}{2}{p}_{2}t)+\frac{1}{6}{\mu }^4{t}^3(e_2+\frac{1}{4}{p}_{2}t),\\ {\lambda }_3=p_3-v^{2}t(e_3+\frac{1}{2}{p}_{3}t-\frac{1}{6}g{t}^2)+\frac{1}{6}{u}^4{t}^3(e_3+\frac{1}{4}{p}_{3}t-\frac{1}{20}g{t}^2).\end{array}$$

Однако, если мы уделим немного внимания природе этого процесса, то увидим, что все последующие поправки, к которым он приводит, могут

быть только рациональными, целыми и однородными функциями второй степени величин ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,p_1,p_2,p_3,g$ и что все они могут быть выражены в форме их суммы или в форме полной искомой функции $C$ :
$$\begin{array}{rl}C& ={\mu }^{-2}{a}_{\mu }{({\lambda }_1-p_1)}^2+b_{\mu }{p}_1({\lambda }_1-p_1)+{\mu }^2{c}_{\mu }{p}_1^2+\\ & +{\mu }^{-2}{a}_{\mu }{({\lambda }_2-p_2)}^2+b_{\mu }{p}_2({\lambda }_2-p_2)+{\mu }^2{c}_{\mu }{p}_2^2+\\ & +u^{-2}{a}_v{({\lambda }_3-p_3)}^2+b_v{p}_3({\lambda }_3-p_3)+u^2{c}_u{p}_3^2+\\ & +f_{v}g({\lambda }_3-p_3)+u^2{h}_{v}g{p}_3+u^2{i}_v{g}^2\end{array}$$

причем, поскольку коэффициенты $a_{\mu },a_u$ и т. д. являются функциями малых величин $\mu$ и $v$, а также времени, то остается только раскрыть их форму. Отсюда, обозначая их дифференциалы, взятые по времени, в виде
$$d{a}_{\mu }=a_{\mu }^{\prime }dt,d{a}_v=a_v^{\prime }dt,$$

и подставляя выражение (162) в точное уравнение в частных производных (158), мы приходим к шести уравнениям в обычных дифференциалах первого порядка
$$\begin{array}{rl}2a_r^{\prime }={(2a_v+v^{2}t)}^2;& b_v^{\prime }=(2a_v+v^{2}t)(b_v+t);c_v^{\prime }=\frac{1}{2}{(b_v+t)}^2;\\ f_v^{\prime }=(2a_v+v^{2}t)(f_u-\frac{1}{2}{t}^2);& h_v^{\prime }=(b_v+t)(f_v-\frac{1}{2}{t}^2);i_v^{\prime }=\frac{1}{2}{(f_v-\frac{1}{2}{t}^2)}^2\end{array}\}$$

и к следующим условиям для определения шести произвольных постоянных, введенных при интегрировании :
$$a_0=\frac{1}{2t};b_0=-\frac{t}{2};f_0=\frac{t^2}{6};c_0=\frac{t^3}{24};h_0=-\frac{t^4}{24};t_0=\frac{t^5}{90}.$$

Таким образом, отмечая, что $a_{\mu },b_{\mu },c_{\mu }$ могут быть получены из $a_r,b_v,c_v$ заменой $u$ на $\mu$, мы без труда находим
$$\begin{array}{ll}{a}_v=-\frac{1}{2}{v}^{2}t-\frac{1}{2}v\mathrm{ctg}vt,& a_{\mu }=-\frac{1}{2}{\mu }^{2}t-\frac{1}{2}\mu \mathrm{ctg}\mu t,\\ b_u=-t+\frac{1}{v}\mathrm{tg}\frac{vt}{2},& b_{\mu }=-t+\frac{1}{\mu }\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ c_v=-\frac{1}{2y^2}+\frac{1}{v^3}\mathrm{tg}\frac{vt}{2},& c_{\mu }=-\frac{1}{2{\mu }^2}+\frac{1}{{\mu }^3}\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ j_v=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{v^2}+\frac{t}{v}\mathrm{ctg}vt,& \\ h_v=-\frac{t^2}{2v^2}-\frac{t}{v^2}\mathrm{tg}\frac{vt}{2},\\ i_v=\frac{t}{2v^4}-\frac{t^3}{6v^2}-\frac{t^2}{2v^3}\mathrm{ctg}vt.& \end{array}$$

Таким образом, форма функции $C$ полностью известна, и мы имеем

следующее строгое выражение для этой функции элементов:
$$\begin{array}{rl}C=& -\frac{{({\lambda }_1-p_1)}^2+{({\lambda }_2-p_2)}^2}{2\mu \mathrm{tg}\mu t}-\frac{{({\lambda }_3-p_3)}^2}{2v\mathrm{tg}vt}-\\ & -\frac{t}{2}\{{({\lambda }_1-p_1)}^2+{({\lambda }_2-p_2)}^2+{({\lambda }_3-p_3)}^2\}-\\ & -t\{p_1({\lambda }_1-p_1)+p_2({\lambda }_2-p_2)+p_3({\lambda }_3-p_3)\}-\\ & -\frac{t}{\mu }\{p_1({\lambda }_1-p_1)+p_2({\lambda }_2-p_2)\}\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2}+\frac{1}{\lambda }{p}_3({\lambda }_3-p_3)\mathrm{tg}\frac{vt}{2}-\\ & -\frac{t}{2}(p_1^2+p_2^2+p_3^2)+\frac{1}{\mu }(p_1^2+p_2^2)\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2}+\frac{1}{v}{p}_3^2\mathrm{tg}\frac{vt}{2}+\\ & +(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{v^2}+\frac{t}{v}\mathrm{ctg}vt)g({\lambda }_3-p_3)+(\frac{t^2}{2}+\frac{t}{v}\mathrm{tg}\frac{vt}{2})g{p}_3+\\ & +(\frac{t}{2v^2}-\frac{t^3}{6}-\frac{t^2}{2v}\mathrm{ctg}vt)g^2,\end{array}$$

которое может быть преобразовано разными способами и при помощи нашего общего метода дает следующие системы строгих интегралов дифференциальных уравнений переменных элементов (150) и (151):
$$\begin{array}{l}{e}_1=-\frac{\delta C}{\delta p_1}=-\frac{{\lambda }_1-p_1}{\mu \sin \mu t}-\frac{p_1}{\mu }\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ e_2=-\frac{\delta C}{\delta p_2}=-\frac{{\lambda }_2-p_2}{\mu \sin \mu t}-\frac{p_2}{\mu }\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2},\\ e_3=-\frac{\delta C}{\delta p_3}=-\frac{{\lambda }_3-p_3}{u\sin vt}-\frac{p_3}{v}\mathrm{tg}\frac{vt}{2}+\frac{g}{u}(\frac{t}{\sin vt}-\frac{1}{v})\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{r}{k}_1=\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_1}=-({\lambda }_1-p_1)(t+\frac{1}{\mu }\mathrm{ctg}\mu t)+p_1(-t+\frac{1}{\mu }\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2}),\\ k_2=\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_2}=-({\lambda }_2-p_2)(t+\frac{1}{\mu }\mathrm{ctg}\mu t)+p_2(-t+\frac{1}{\mu }\mathrm{tg}\frac{\mu t}{2}),\\ k_3=\frac{\delta C}{\delta {\lambda }_3}=-({\lambda }_3-p_3)(t+\frac{1}{v}\mathrm{ctg}vt)+p_3(-t+\frac{1}{u}\mathrm{tg}\frac{vt}{2})+\\ +g(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{v^2}+\frac{t}{v}\mathrm{ctg}vt),\end{array}\}$$
T. e.
$$\begin{array}{l}{\lambda }_1=p_1\cos \mu t-e_1\mu \sin \mu t\\ {\lambda }_2=p_2\cos \mu t-e_2\mu \sin \mu t\\ {\lambda }_3=p_3\cos vt-e_{3}u\sin vt+g(t-\frac{1}{v}\sin vt)\end{array}\}$$

и
$$\begin{array}{r}{k}_1=e_1(\cos \mu t+\mu t\sin \mu t)+p_1(\frac{1}{\mu }\sin \mu t-t\cos \mu t),\\ k_2=e_2(\cos \mu t+\mu t\sin \mu t)+p_2(\frac{1}{\mu }\sin \mu t-t\cos \mu t),\\ k_3=e_3(\cos vt+vt\sin vt)+p_3(\frac{1}{v}\sin vt-t\cos vt)-\\ -g(\frac{\mathrm{vers}vt}{u^2}-\frac{t}{v}\sin vt+\frac{t^2}{2}).\end{array}\}$$

Соответственно эти строгие выражения шести переменных элементов в данной динамической проблеме согласуются с результатами, полученными из шести обыкновенных дифференциальных уравнений (150) и (151) при помощи обычных методов интегрирования и с теми, которые получены путем исключения из уравнений (113), (114), (147).