Я называю движение системы обратимым в том случае, если ряд положений, которые система занимала при прямом движении, может быть пройден в обратном порядке без приложения других сил и за те же промежутки времени, соответствующие каждой паре одних и тех же положений. Обращение возможно, если значение кинетического потенциала не меняется при изменении знака у всех $q_{i}$. Но если в выражение кинетического потенциала входят произведения или степени нечетного измерения, как это, например, бывает при наличии скрытых движений (§1), то движение будет обратимым только в том случае, если возможно с механической точки зрения сделать отрицательными также и часть постоянных (скорости скрытого движения) так, чтобы при одновременном изменении знака у этих постоянных и у всех $q_{i}$ величина $H$ не меняла своего значения. Этот результат легко получается из рассмотрения уравнений движения (4), если принять во внимание, что при обращении гвижения и $d t$ меняет знак на противоположный.
Закон взаимности
В моих акустических исследованиях**) я доказал закон взаимности, который в своих лекциях обычно легко распространял на малые колебания любой колеблющейся механической системы около положения устойчивого равновесия. Но этот закон имеет еще бо́льшую общность и остается в силе для любой движущейся системы, которая подчиняется закону наименьшего действия и движется обратимым способом.

Пусть изменение первоначального движения состоит в том, что в момент времени $t_{0}$ все начальные положения остаются без изменения, а один из импульсов $\mathfrak{\xi}_{1}$ увеличиватся на $\mathfrak{\mathfrak { s }}_{1}$. Пусть вследствие этого координата $p_{2}$ в момент времени $t_{1}$ получает приращение р $_{2}$. Тогда, если в обращенном движении в положении, соответствующем значениям $p_{i}$ координат, изменить импульс $s_{2}$ настолько же, насколько раньше был изменен импульс $\mathfrak{\xi}_{1}$, то по истечении времени $t=t_{1}-t_{0}$ координата $\mathfrak{p}_{1}$ получт такое же приращение, как в первом случае координата $p_{2}$.
Так как все $d t$ и $d \mathfrak{p}_{i}$ должны быть равны нулю, то мы имеем
\[
d \mathfrak{\xi}_{i}=\sum_{j}\left(\frac{\partial \mathfrak{s}_{i}}{\partial p_{j}} d p_{j}\right) .
\]

Из величин $d \mathfrak{s}_{i}$ только $d \mathfrak{s}_{1}$ должна быть отлична от нуля. Для краткости введем такое обозначение :
\[
\sigma_{i, j}=\frac{\partial \xi_{i}}{\partial p_{j}}=-\frac{\partial s_{j}}{\partial p_{i}} .
\]

Согласно уравнениям (61) величины $\sigma_{i, j}$ равны величинам $\sigma_{j, i}$. Обозначим через $D(\sigma)$ определитель величин $\sigma_{i, j}$. Если он не равен тождественно нулю, то из уравнений (69) при сделанном ограничении следует
\[
d p_{2}=\frac{\partial \ln D(\sigma)}{\partial \sigma_{1,2}} d \mathfrak{\xi}_{1} .
\]

Если мы, наоборот, потребуем, чтобы все $d p_{i}$, а также и все $d s_{i}$, за исключением $d s_{2}$, равнялись нулю, то мы получим для прямого движения, принимая во внимание соотношение (70), соответствующее уравнение
\[
d \mathfrak{p}_{i}=\frac{\partial \ln D(-\sigma)}{\partial\left(-\sigma_{1,2}\right)} d s_{2} .
\]

Для обращенного движения знаки импульсов, а также и знаки величин $\sigma_{i, j}$ меняются на обратные, и для обращенного движения мы получаем
\[
d \mathfrak{p}_{i}=\frac{\partial \ln D(\sigma)}{\partial \sigma_{1,2}} d s_{2} .
\]

Из уравнений (71) и (72) следует равенство
\[
d p_{2}: d \Xi_{1}=d p_{1}: d s_{2},
\]

которым доказывается высказанный выше закон.
Что касается исключительного случая, когда определитель $D(\sigma)$ равен тождественно нулю, то в этом случае приращения $d p_{j}$ не были бы непременно равны нулю, хотя бы и все без исключения $d \mathfrak{s}_{i}$ равнялись нулю. Движение системы должно было бы быть вполне определено и тем самым должны были бы быть однозначно определены все значения $p_{i}$ по истечении времени $t$, если бы были даны все начальные положения $\mathfrak{p}_{i}$ и начальные скорости для начала промежутка времени $t$. Поэтому упомянутый исключительный случай мог бы иметь место только при том условии, что $\mathfrak{D}_{i}$ не определяются полностью значениями величин $\mathfrak{\xi}_{i}$, что исключено замечаниями, сделанными в конце § 1. Следовательно, нет надобности рассматривать этот исключительный случай.

Предположенные здесь внезапные изменения значений $\mathfrak{s}_{i}$ и $s_{i}$, при которых сами координаты не испытывают изменения значений, могли бы быть вызваны механически тем, что мы заставили бы силы $P_{i}$ действовать в тече-

ние очень малого времени, но весьма интенсивно. При этом можно предположить, что скорости изменяются так, что даже наибольшая достигнутая скорость не будет иметь достаточно времени, чтобы заметно изменить положение. При таком допущении из уравнения (1) следует
\[
-\int P_{i} d t=s_{1}-s_{0} .
\]

Так как $P_{i}$ в принятых там обозначениях есть сила, с которой движущаяся система действует на внешние объекты, то – $P_{i}$ есть внешняя противодействующая сила, которая необходима для совершения требуемого изменения движения.

Мы будем такое действие сил называть по примеру У. Томсона ударом в направлении координаты $p_{i}$. При этом следует заметить, что, вообще говоря, силы $P_{i}$ являются агрегатами составляющих сил, которые действуют на различные части системы и так распределены, что агрегат сил $P_{i}$ не совершает работы при изменении каких-либо других координат, кроме $p_{i}$. Так как, далее, нам приходится различать прямое и обратное движения, то оказывается целесообразным считать положительными те приращения $d \mathfrak{s}_{i}$, которые увеличивают прямой импульс $\mathfrak{s}_{i}$, равно как считать положительными те перемещения $d p_{i}$, которые увеличивают расстояние $p_{i}-\mathfrak{p}_{i}$; наоборот, для обратного движения следует рассматривать также и отрицательные значения $d s_{i}$, которые увеличивают обратный импульс ( $-s_{i}$ ) и отрицательные перемещения ( $d \mathfrak{p}_{i}$ ), которые увеличивают расстояния $\mathfrak{p}_{i}-p_{i}$, эквивалентными положительным изменениям $d \mathfrak{s}_{i}$ и $d p_{i}$ при прямом движении.
Тогда закон взаимности может быть выражен следующим образом: Если удар, который увеличивает только импульс $\mathfrak{\xi}_{i}$ в начальном положении при прямом движении на величину да , $_{i}$ увеличил координату $p_{j}$ в конечном положении на $d p_{j}$, то эквивалентный обратный удар, который увеличивает настолько же обратный импульс – $s_{j}$ в прежнем конечном положении, вызовет по истечении времени $t$ эквивалентное обратное изменение координаты $\mathfrak{p}_{i}$.