Пусть (Ss – некоторая конечная или бесконечная непрерывная группа; тогда можно достигнуть того, что тождественному преобразованию будут соответствовать нулевые значения параметров $\varepsilon$ или соответственно произвольных функций $\left.p(x)^{*}\right)$. Следовательно, наиболее общее преобразование будет иметь вид :
\[
\left.\begin{array}{r}
y_{i}=A_{i}\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right)=x_{i}+\Delta x_{i}+\ldots, \\
v_{i}\left(y_{i}\right)=B_{i}\left(x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right)=u_{i}+\Delta u_{i}+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

где $\Delta x_{i}, \Delta u_{i}$ обозначают члены низшего измерения относительно $\varepsilon$, соответственно $p(x)$ и их производных; следует принять, что они здесь входят линейно. Как выяснится далее, это не является ограничением общности.

Пусть теперь интеграл $I$ будет инвариантом по отношению к $\mathfrak{S}$, следовательно, будет удовлетворяться соотношение (1). В частности, тогда $I$ будет также инвариантом по отношению к содержащемуся в \&5 бесконечно малому преобразованию:
\[
y_{i}=x_{i}+\Delta x_{i}, \quad v_{i}(y)=u_{i}+\Delta u_{i} ;
\]

для этого случая соотношение (1) переходит в такое:
\[
0=\Delta I=\int \ldots \int f\left(y, v(y), \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots\right) d y-\int \ldots \int f\left(x, u(x), \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots\right) d x,
\]

где первый интеграл распространяется на область $x+\Delta x$, соответствующую области $x$. Это интегрирование может быть, впрочем, также преобразовано в интегрирование по области $x$ при помощи следующего преобразования, имеющего силу для бесконечно малых $\Delta x$ :
\[
\begin{aligned}
\int \ldots \int f(y, v(y) & \left., \frac{\partial v}{\partial y}, \ldots\right) d y= \\
& =\int \ldots \int f\left(x, v(u), \frac{\partial v}{\partial x}, \ldots\right) d x+\int \ldots \int \operatorname{Div}(f, \Delta x) d x .
\end{aligned}
\]

Таким образом, если вместо бесконечно малого преобразования $\Delta u$ написать вариацию
\[
\bar{\delta} u_{i}=v_{i}(x)-u_{i}(x)=\Delta u_{i}-\sum \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda}} \Delta x_{\lambda},
\]

то уравнения (7) и (8) переходят в следующее:
\[
0=\int \ldots \int\{\delta f+\operatorname{Div}(f \cdot \Delta x)\} d x .
\]

Правая часть есть известная формула одновременного варьирования зависимых и независимых переменных. Так как соотношение (10) удовлетворяется при интегрировании по любой области, то подынтегральное выражение должно исчезать тождественно ; итак, дифференциальные уравнения Ли в случае инвариантности $I$ принимают вид соотношения
\[
\ddot{\delta} f+\operatorname{Div}(f \cdot \Delta x)=0 .
\]

Если здесь на основании (3) представить $\delta f$ через выражения Лагранжа, то получается:
\[
\sum \psi_{i} \bar{\delta} u_{i}=\operatorname{Div} B \quad(B=A-f \cdot \Delta x),
\]

и это соотношение представляет собой для каждого инвариантного интеграла I тождество относительно всех входящих в него аргументов; это и есть искомая форма дифференциальных уравнений Ли для $\left.I^{*}\right)$.

Будем считать сначала \&S конечной непрерывной группой; так как, по предположению, $\Delta u$ и $\Delta x$ линейны относительно параметров $\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{e}$, то на основании (9) то же самое имеет место и для вариации $\delta u$ и ее производных; таким образом, $A$ и $B$ линейны относительно $\varepsilon$. Поэтому, если я положу
\[
B=B^{(1)} \varepsilon_{1}+\ldots+B^{(\varrho)} \varepsilon_{q}, \quad \overrightarrow{\delta u}=\overline{\delta u^{(1)}} \varepsilon_{1}+\ldots+\overline{\delta u^{(e)}} \varepsilon_{\ell},
\]

где, следовательно, $\vec{\delta} u^{(1)}, \ldots$ являются функциями от $x, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots$, то из уравнения (12) вытекают искомые соотношения дивергенций:
\[
\sum \psi_{i} \overrightarrow{\delta u_{i}^{(1)}}=\operatorname{Div} B^{(1)}, \quad \ldots, \Sigma \psi_{i} \overline{\left.u_{i}^{(}\right)}=\operatorname{Div} B^{(\varrho)} .
\]

Итак, е линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений переходят в дивергенции; линейная независимость следует из того, что согласно равенству (9) из условий $\bar{\delta} u=0, \Delta x=0$ вытекало бы, что $\Delta u=0$, $\Delta x=0$, и поэтому между бесконечно малыми преобразованиями существовала бы зависимость. Но по условию она не имеет места ни для какого значения параметра, ибо иначе группа $\oiint_{e}$, вновь получаемая посредством интегрирования из бесконечно малых преобразований, зависела бы от меньшего, чем $\varrho$, числа существенных параметров. Другая же возможность $\bar{\delta} u=0$, $\operatorname{Div}(f \cdot \Delta x)=0$ была исключена. Эти заключения сохраняют еще силу также и в предельном случае бесконечно большого числа параметров.

Пусть теперь $\mathbb{S}$ – бесконечная непрерывная группа $\mathfrak{S}_{\infty \varrho}$; тогда опять $\bar{\delta} u$ и ее производные, а следовательно, и $B$ будут линейными относительно произвольных функций $p(x)$ и их производных**); предположим, что путем

подстановки значений $\bar{\delta} u$ все еще независимо от (12) получается:
\[
\begin{aligned}
\sum \psi_{i} \bar{\delta} u_{i}=\sum_{\lambda, i} \psi_{i}\left\{a_{i}^{(\lambda)}(x, u, \ldots) p^{(\lambda)}(x)+b_{i}^{(\lambda)}(x, u, \ldots) \frac{\partial p^{(\lambda)}}{\partial x}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+c_{i}^{(\lambda)}(x, u, \ldots) \frac{\partial^{\sigma} p(\lambda)}{\partial x^{\sigma}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Теперь на основании тождества
\[
\varphi(x, u \ldots) \frac{\partial^{\tau} p(x)}{\partial x^{\tau}}=(-1)^{\tau} \frac{\partial^{\tau} \varphi}{\partial x^{\tau}} p(x) \bmod \operatorname{Div}\left[{ }^{215}\right]
\]

можно аналогично формуле интегрирования по частям заменить производные от $p$ самими функциями $p$ и дивергенциями, которые становятся линейными относительно $p$ и их производных; таким образом получается:
\[
\sum \psi_{i} \delta u_{i}=\sum_{\lambda}\left\{\left(a_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(b_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)+\ldots+(-1)^{\sigma} \frac{\partial^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}}\left(c_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)\right\} p^{(\lambda)}+\operatorname{Div} \Gamma
\]

и в соединении с (12)
\[
\sum\left\{\left(a_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(b_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)+\ldots+(-1)^{\sigma} \frac{\partial^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}}\left(c_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)\right\} p^{(\lambda)}=\operatorname{Div}(B-\Gamma) .
\]

Теперь я образую $n$-кратный интеграл от (15), распространенный на какуюлибо область ; выбираю функции $p(x)$ так, чтобы они исчезали на границе вместе со всеми производными, входящими в ( $B-\Gamma)$. Так как интеграл от дивергенции сводится к интегралу, взятому по границе области, то исчезает также и интеграл от левой части уравнения (15) для произвольных функций $p(x)$, подчиненных только одному условию, чтобы они исчезали вместе с достаточным числом их производных на границе; отсюда известным путем вытекает исчезновение подынтегрального выражения для каждой функции $p(x)$, а значит, имеют место $\rho$ следующих соотношений:
\[
\sum\left\{\left(a_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(b_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)+\ldots+(-1)^{\sigma} \frac{\partial^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}}\left(c_{i}^{(\lambda)} \psi_{i}\right)\right\}=0 \quad(\lambda=1,2, \ldots, \varrho) .
\]

Это – искомые зависимости между выражениями Лагранжа и их производными при инвариантности интеграла I относительно $\aleph_{\infty}$; линейная независимость обнаруживается так же, как и выше, ибо обращение приводит обратно к равенству (12), а от бесконечно малых преобразований можно делать заключение обратно к конечным, как это будет подробнее развито в § 4. Поэтому для $\mathbb{\infty}_{\infty}$ уже среди бесконечно малых преобразований всегда появляются $\varrho$ произвольных преобразований. Из уравнений (15) и (16). следует еще
\[
\operatorname{Div}_{\iota}^{*}(B-\Gamma)=0 .
\]

Если в соответствии со «смешанной группой» предположить, что $\Delta x$ и $\Delta u$ линейны относительно $\varepsilon$ и $p(x)$, то можно видеть, полагая один раз все $p(x)$, а другой раз все $\varepsilon$ равными нулю, что в этом случае имеют место как соотношения дивергенций (13), так и зависимости (16).