Пусть (Ss — некоторая конечная или бесконечная непрерывная группа; тогда можно достигнуть того, что тождественному преобразованию будут соответствовать нулевые значения параметров $\epsilon$ или соответственно произвольных функций $p(x{)}^{\ast })$. Следовательно, наиболее общее преобразование будет иметь вид :
$$\begin{array}{r}{y}_i=A_i(x,u,\frac{\partial u}{\partial x},\dots )=x_i+\mathrm{\Delta }{x}_i+\dots ,\\ v_i\left(y_i\right)=B_i(x,u,\frac{\partial u}{\partial x},\dots )=u_i+\mathrm{\Delta }{u}_i+\dots ,\end{array}\}$$

где $\mathrm{\Delta }{x}_i,\mathrm{\Delta }{u}_i$ обозначают члены низшего измерения относительно $\epsilon$, соответственно $p(x)$ и их производных; следует принять, что они здесь входят линейно. Как выяснится далее, это не является ограничением общности.

Пусть теперь интеграл $I$ будет инвариантом по отношению к $\mathfrak{S}$, следовательно, будет удовлетворяться соотношение (1). В частности, тогда $I$ будет также инвариантом по отношению к содержащемуся в \&5 бесконечно малому преобразованию:
$$y_i=x_i+\mathrm{\Delta }{x}_i,v_i(y)=u_i+\mathrm{\Delta }{u}_i;$$

для этого случая соотношение (1) переходит в такое:
$$0=\mathrm{\Delta }I=\int \dots \int f(y,v(y),\frac{\partial v}{\partial y},\dots )dy-\int \dots \int f(x,u(x),\frac{\partial u}{\partial x},\dots )dx,$$

где первый интеграл распространяется на область $x+\mathrm{\Delta }x$, соответствующую области $x$. Это интегрирование может быть, впрочем, также преобразовано в интегрирование по области $x$ при помощи следующего преобразования, имеющего силу для бесконечно малых $\mathrm{\Delta }x$ :
$$\begin{array}{rl}\int \dots \int f(y,v(y)& ,\frac{\partial v}{\partial y},\dots )dy=\\ & =\int \dots \int f(x,v(u),\frac{\partial v}{\partial x},\dots )dx+\int \dots \int \mathrm{Div}(f,\mathrm{\Delta }x)dx.\end{array}$$

Таким образом, если вместо бесконечно малого преобразования $\mathrm{\Delta }u$ написать вариацию
$$\overline{\delta }{u}_i=v_i(x)-u_i(x)=\mathrm{\Delta }{u}_i-\sum \frac{\partial u_i}{\partial x_{\lambda }}\mathrm{\Delta }{x}_{\lambda },$$

то уравнения (7) и (8) переходят в следующее:
$$0=\int \dots \int \{\delta f+\mathrm{Div}(f\cdot \mathrm{\Delta }x)\}dx.$$

Правая часть есть известная формула одновременного варьирования зависимых и независимых переменных. Так как соотношение (10) удовлетворяется при интегрировании по любой области, то подынтегральное выражение должно исчезать тождественно ; итак, дифференциальные уравнения Ли в случае инвариантности $I$ принимают вид соотношения
$$\ddot{\delta }f+\mathrm{Div}(f\cdot \mathrm{\Delta }x)=0.$$

Если здесь на основании (3) представить $\delta f$ через выражения Лагранжа, то получается:
$$\sum {\psi }_i\overline{\delta }{u}_i=\mathrm{Div}B(B=A-f\cdot \mathrm{\Delta }x),$$

и это соотношение представляет собой для каждого инвариантного интеграла I тождество относительно всех входящих в него аргументов; это и есть искомая форма дифференциальных уравнений Ли для $I^{\ast })$.

Будем считать сначала \&S конечной непрерывной группой; так как, по предположению, $\mathrm{\Delta }u$ и $\mathrm{\Delta }x$ линейны относительно параметров ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_e$, то на основании (9) то же самое имеет место и для вариации $\delta u$ и ее производных; таким образом, $A$ и $B$ линейны относительно $\epsilon$. Поэтому, если я положу
$$B=B^{(1)}{\epsilon }_1+\dots +B^{(\varrho )}{\epsilon }_q,\overrightarrow{\delta u}=\overline{\delta u^{(1)}}{\epsilon }_1+\dots +\overline{\delta u^{(e)}}{\epsilon }_{\ell },$$

где, следовательно, $\overrightarrow{\delta }{u}^{(1)},\dots$ являются функциями от $x,u,\frac{\partial u}{\partial x},\dots$, то из уравнения (12) вытекают искомые соотношения дивергенций:
$$\sum {\psi }_i\overrightarrow{\delta u_i^{(1)}}=\mathrm{Div}{B}^{(1)},\dots ,\mathrm{\Sigma }{\psi }_i\overline{u_i^{(})}=\mathrm{Div}{B}^{(\varrho )}.$$

Итак, е линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений переходят в дивергенции; линейная независимость следует из того, что согласно равенству (9) из условий $\overline{\delta }u=0,\mathrm{\Delta }x=0$ вытекало бы, что $\mathrm{\Delta }u=0$, $\mathrm{\Delta }x=0$, и поэтому между бесконечно малыми преобразованиями существовала бы зависимость. Но по условию она не имеет места ни для какого значения параметра, ибо иначе группа ${\text{oiint}}_e$, вновь получаемая посредством интегрирования из бесконечно малых преобразований, зависела бы от меньшего, чем $\varrho$, числа существенных параметров. Другая же возможность $\overline{\delta }u=0$, $\mathrm{Div}(f\cdot \mathrm{\Delta }x)=0$ была исключена. Эти заключения сохраняют еще силу также и в предельном случае бесконечно большого числа параметров.

Пусть теперь $\mathbb{S}$ — бесконечная непрерывная группа ${\mathfrak{S}}_{\mathrm{\infty }\varrho }$; тогда опять $\overline{\delta }u$ и ее производные, а следовательно, и $B$ будут линейными относительно произвольных функций $p(x)$ и их производных**); предположим, что путем

подстановки значений $\overline{\delta }u$ все еще независимо от (12) получается:
$$\begin{array}{r}\sum {\psi }_i\overline{\delta }{u}_i=\sum _{\lambda ,i}{\psi }_i\{a_i^{(\lambda )}(x,u,\dots )p^{(\lambda )}(x)+b_i^{(\lambda )}(x,u,\dots )\frac{\partial p^{(\lambda )}}{\partial x}+\dots \\ \dots +c_i^{(\lambda )}(x,u,\dots )\frac{{\partial }^{\sigma }p(\lambda )}{\partial x^{\sigma }}\}.\end{array}$$

Теперь на основании тождества
$$\phi (x,u\dots )\frac{{\partial }^{\tau }p(x)}{\partial x^{\tau }}=(-1{)}^{\tau }\frac{{\partial }^{\tau }\phi }{\partial x^{\tau }}p(x)mod\mathrm{Div}\left[{}^{215}\right]$$

можно аналогично формуле интегрирования по частям заменить производные от $p$ самими функциями $p$ и дивергенциями, которые становятся линейными относительно $p$ и их производных; таким образом получается:
$$\sum {\psi }_i\delta u_i=\sum _{\lambda }\{\left(a_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(b_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)+\dots +(-1{)}^{\sigma }\frac{{\partial }^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}\left(c_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)\}{p}^{(\lambda )}+\mathrm{Div}\mathrm{\Gamma }$$

и в соединении с (12)
$$\sum \{\left(a_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(b_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)+\dots +(-1{)}^{\sigma }\frac{{\partial }^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}\left(c_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)\}{p}^{(\lambda )}=\mathrm{Div}(B-\mathrm{\Gamma }).$$

Теперь я образую $n$-кратный интеграл от (15), распространенный на какуюлибо область ; выбираю функции $p(x)$ так, чтобы они исчезали на границе вместе со всеми производными, входящими в ( $B-\mathrm{\Gamma })$. Так как интеграл от дивергенции сводится к интегралу, взятому по границе области, то исчезает также и интеграл от левой части уравнения (15) для произвольных функций $p(x)$, подчиненных только одному условию, чтобы они исчезали вместе с достаточным числом их производных на границе; отсюда известным путем вытекает исчезновение подынтегрального выражения для каждой функции $p(x)$, а значит, имеют место $\rho$ следующих соотношений:
$$\sum \{\left(a_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(b_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)+\dots +(-1{)}^{\sigma }\frac{{\partial }^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}\left(c_i^{(\lambda )}{\psi }_i\right)\}=0(\lambda =1,2,\dots ,\varrho ).$$

Это — искомые зависимости между выражениями Лагранжа и их производными при инвариантности интеграла I относительно ${\mathrm{\aleph }}_{\mathrm{\infty }}$; линейная независимость обнаруживается так же, как и выше, ибо обращение приводит обратно к равенству (12), а от бесконечно малых преобразований можно делать заключение обратно к конечным, как это будет подробнее развито в § 4. Поэтому для ${\mathrm{\infty }}_{\mathrm{\infty }}$ уже среди бесконечно малых преобразований всегда появляются $\varrho$ произвольных преобразований. Из уравнений (15) и (16). следует еще
$${\mathrm{Div}}_{\iota }^{\ast }(B-\mathrm{\Gamma })=0.$$

Если в соответствии со «смешанной группой» предположить, что $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }u$ линейны относительно $\epsilon$ и $p(x)$, то можно видеть, полагая один раз все $p(x)$, а другой раз все $\epsilon$ равными нулю, что в этом случае имеют место как соотношения дивергенций (13), так и зависимости (16).