1. Остроградский в мемуаре о дифференциальных уравнениях, относящихся к вопросу об изопериметрах (Mémoire sur les équations différenteilles relatives au problème des isoperimètres, 1848. Mémoires de l’académie de St.-Petersbourg, VI série. Sciences math. et phys., т. IV, стр. 42), изложив общий способ находить уравнения, выражающие условие, что вариация данной интегрируемой функции должна быть точным дифференциалом, и указав, что в этих уравнениях содержатся как частный случай уравнения динамики, высказывает мнение, что анализ, которым Лагранж выводит уравнения динамики из начала наименьшего действия, не верен и что нельзя получить эти уравнения, требуя, чтобы варьяция интеграла, выражающего действие, была равна нулю, или, что то же, требуя, чтобы варьяция подынтегрального выражения была точным дифференциалом, потому что (как думает Остроградский) при этом варьяции координат или главных переменных, заменяющих координаты, обусловливаются уравнением, происходящим от варьяции уравнения живой силы; между тем как для вывода изопериметрических уравнений, содержащих в себе уравнения динамики, необходимо рассматривать эти варьяции как величины совершенно независимые. После того Остроградский в подтверждение своего мнения показывает, что если приложим общий способ разыскания относительных max или min к интегралу, выражающему действие или, что то же, к разысканию условия, что варьяция подынтегральной функции есть точный дифференциал, соединив с этой варьяциею посредством неопределенного множителя условное уравнение, происходящее от варьяции живой силы, то получаются уравнения, отличающиеся от уравнений динамики.

Ни Гамильтон, ни Якоби, столь блистательно усовершенствовавшие общую теорию динамики, основание которой положил Лагранж, не видят неточности в анализе Лагранжа, указываемой Остроградским, и Якоби в своих лекциях о динамике (Vorlesungen über Dynamik, Berlin, 1886, стр. 49), изменив несколько прием Лагранжа для доказательства, что уравнения динамики содержатся в начале наименьшего действия, приходит совершенно к тому же результату, как и Лагранж. Упомянутый же выше прием, которым Остроградский хочет доказать, что уравнения динамики не могут вытекать из начала наименьшего действия, был уже употреблен с противной целью Родригом (O1. Rodrigues, Correspondence sur l’école polytéchnique, т. III, 1819), и Родриг вывел из начала наименьшего действия уравнения динамики в том общем виде, как они даны Лагранжем в аналитической механике. Это кажущееся несогласие результатов Родрига и Остроградского зависит только от того, что Остроградский не заботится об определении множителя, посредством которого условное уравнение соединено с варьяциею подынтегральной функции, а Родриг его находит, с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла. При этом Родриг не усматривает никакой неточности в приеме Лагранжа и предлагает вместо него свой с тою только целью, чтобы дать новый замечательный пример употребления множителей при разыскании наибольших и наименьших величин и окончательного определения таких множителей с помощью уравнений, относящихся к пределам.

Приведенное мною мнение Остроградского было сообщено отчасти вместе с другими воззрениями профессору Брашману в 1853 г. в письме, которое было напечатано с некоторыми пропусками в первом томе Московского математического сборника в 1866 г. После того появилось в нашей литературе несколько рассуждений о начале наименьшего действия; одни утверждали справедливость мнения Остроградского, что начало наименьшего действия в том виде, как его дает Лагранж, не имеет места; другие, что начало верно, но анализ Лагранжа ошибочен; наконец, третьи, что начало верно, что нет никакой ошибки в лагранжевом доказательстве. Присоединяясь к тем, которые утверждают последнее мнение, я постараюсь показать в этой записке источник того недоразумения, которое побудилоОстроградского к вышесказанному обвинению Лагранжа в неточности анализа, и подтвердить новыми разъяснениями справедливость заключения, что в начале наименьшего действия (в том смысле, как понимает его Лагранж) в самом деле содержатся все уравнения динамики.
2. Сущность лагранжева доказательства (Mécanique analytique, Paris, 1853, т. I, стр. 279), что из начала наименьшего действия выводятся уравнения динамики, состоит в следующем: варьяция интеграла, выражающего действие, преобразовывается в интеграл от момента потерянных сил относительно возможных перемещений, и этот момент полагается равным нулю на основании того, что варьяция действия должна быть равна нулю ; отсюда Лагранж заключает, что начало наименьшего действия дает общее уравнение динамики, выражающее равновесие потерянных сил. Далее в члене сороковом Лагранж говорит, что из этого уравнения выводятся все уравнения, необходимые для решения вопроса, а в следующем члене, сорок первом, замечает, что прямоугольные прямолинейные координаты могут быть заменены другими переменными, и для примера заменяет полярными; от такого замечания получается линейное уравнение относительно варьяций новых переменных, откуда можно выводить все уравнения, необходимые для решения вопроса, приведя сперва все варьяции к наименьшему числу и составив отдельные уравнения из членов, заключающих каждую варьяцию: «еt on en tirera les équations nécessaires pour la solution du problème, en réduisant d’abord toutes les variations du plus petit nombre possible, faisant ensuite des équations séparées des termes affectés de chacune des variations»*). Неполнота лагранжева доказательства, состоящая в том, что он не выводит на самом деле уравнений динамики, была, как кажется, главным поводом к недоразумению, в которое впал Остроградский. Подводя лагранжев вопрос об отыскании условий, при котором варьяция действия равна нулю, под свой взгляд, по которому требуются условия интегрируемости выражения $\delta(T d t)$, где $T$ есть сумма произведений масс на квадраты скоростей (по нынешним понятиям двойная живая сила), Остроградский (стр. 42 его мемуара) уверяет, что «Јагранж, исходя от интегрируемости $\delta(T d t)$, получает уравнения (9)

и (14) (заключающие в себе уравнения динамики), но анализ великого геометра неточен» и что будто существо этого анализа (измененного сообразно со взглядом Остроградского) состоит в следующем : «варьяция $\delta(T d t)$ есть точный дифференциал; но $\left.T=V-\theta^{*}\right)$, следовательно, $\delta(V d t)$ $-\delta(\theta d t)$ или, по причине $\theta=-h, \delta(V d t)-d \delta(h t)$ также есть точный дифференциал» ; но $d \delta(h t)$, очевидно, интегрируется, а потому $\delta(V d t)$ будет также интегрируема. Отыскивая же условия интегрируемости $\delta(V d t)$, мы получим уравнения (9) и (14) (т. е. уравнения динамики). Но можно их получить не иначе, как освободив варьяции $\delta x$ от всякой между ними зависимости, а этого мы не достигнем, если положим

Все это, однакож, мало похоже на то, что говорит Лагранж в Аналитической механике, в 40-м члене второй части. Уравнение (а), или $\delta \frac{1}{2} T=$ $=\delta U+\delta h$, не представляет никакой связи между варьяциями $\delta x$ главных переменных, приведенных к наименьшему числу, потому что оно, кроме этих варьяций, содержит еще $\delta d t$, которая, как сам Остроградский полагает, не равна нулю; следовательно, можно взять варьяции $\delta x$ совершенно произвольно, лишь бы при этом было взято для $\delta d t$ соответственное значение, выведенное из уравнения (а). Варьяции $\delta x$ в таком только случае будут связаны между собою уравнение (a), когда $\delta d t=0$; но этого Лагранж не предполагает, что ясно видно из формулы, находящейся в конце стр. 275 (Mécan. analytique, Paris, 1853); следовательно, варьяции, находящиеся в упомянутом выше результате Лагранжа, не обусловлены уравнением (а). Но они обусловлены иначе,.а именно тем, что варьяции переменной, к которой отнесено интегрирование, в интеграле, выражающем действие, равны нулю, потому что Лагранж в самом начале своего доказательства $\delta \int$ заменяет $\int \delta$ и через то предполагает, что пределы интеграла остаются без варьяции ; следовательно, он мысленно относит интегрирование к такой переменной, варьяция которой равна нулю как для пределов интеграла, так и для промежуточных значений. Эта переменная не есть время, потому что $d \delta t$ не равен нулю; но можно для нее взять одну из координат, как делает Якоби, или некоторую определенную функцию главных переменных, заменяющих координаты. Вследствие этого варьяции этих переменных будут связаны линейным уравнением, помощью которого можно исключить из момента потерянных сил, находящегося под знаком интеграла в результате Лагранжа, одну варьяцию, после чего мы вправе будем приравнять нулю коэффициенты у остальных варьяций ; от этого получатся уравнения, число которых будет одним меньше числа всех уравнений динамики ; но это недостающее уравнение дополняется уравнением живых сил. То же заключение относится и к результату, получаемому Якоби (Vorlesungen über Dynamik, стр. 49). Якоби для большей легкости исключает дифференциал времени под знаком интеграла, выражающего действие, помощью уравнения живой силы и относит интегрирование к одной из координат. Такое преобразование интеграла, выражающего действие, было доказано Лиувиллем**) прежде появления в свет лекций Якоби о динамике. Хотя оно способ-

ствует и уяснению начала наименьшего действия, однакож не составляет необходимости. Относя интегрирование ко времени и изменяя предел интеграла, можно получить самое общее выражение варьяции действия и вывести из него как частный случай Лагранжа начало наименьшего действия. Помощью того же выражения, не прибегая к приему Родрига, легко доказать, что в начале наименьшего действия содержатся все уравнения динамики, и получить эти уравнения под каноническим видом.
3. Пусть будет $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ – система материальных точек, свободных, или связанных так, что условные уравнения, происходящие от связей, не содержат явно время. Помощью этих уравнений, как известно, можно выразить координаты всех точек в функции нескольких между собою независимых величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, которые мы будем называть главными переменными. В случае свободных точек для этих переменных можно взять координаты какого-либо рода. Произвольные функции времени $t$, взятые для $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, определят одно из возможных движений системы, т. е. движение, допускаемое связями. Изменив бесконечно мало эти функции на $q_{1}+\omega_{1}, q_{2}+\omega_{2}, \ldots, q_{n}+\omega_{n}$, мы изменим бесконечно мало и движение на другое, также возможное. Положим, что точки ( $M, M^{\prime}, \ldots$ ) представляют положение системы во время $t$ в первом движении, а $\left(\mu, \mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}, \ldots\right)$ – во втором. Бесконечно малая величина $\omega_{k}$ будет варьяцией \”переменной $q_{k}$, происходящей от перемещения системы $M \mu, M^{\prime} \mu^{\prime}, \ldots$; но эта варьяция есть только частная, взятая так, что время $t$ остается без варьяции. Переменная $q_{k}$ может получить варьяцию $\delta q_{k}$ от перемещения системы из положения $\left(M, M^{\prime}, \ldots\right)$ в положение $\left(v,
u^{\prime}, \ldots\right)$, которое примут точки $\left(\mu, \mu^{\prime}, \ldots\right)$ во втором движении во время $t+\delta t$, причем $\delta t$ – произвольная бесконечно малая величина. Перемещение ( $M v, M^{\prime}
u^{\prime}, \ldots$ ) есть сложное из перемещения $\left(M \mu, M^{\prime} \mu^{\prime}, \ldots\right)$ и перемещения ( $\left.\mu v, \mu^{\prime}
u^{\prime}, \ldots\right)$; вследствие первого из этих составляющих перемещений $q_{k}$ переменится на $q_{k}+\omega_{k}$, а это, вследствие второго составляющего перемещения, обратится в $q_{k}+\omega_{k}+\frac{d q_{k}}{d t} \delta t+\frac{d \omega_{k}}{d t} \delta t$; отсюда, пренебрегая бесконечно малою высшего порядка $\frac{d \omega_{k}}{d t} \delta t$, получим $\delta q_{k}=\omega_{k}+q_{k}^{\prime} \delta t$, где $q_{k}^{\prime}=\frac{d q_{k}}{d t}$. Мы подчиним $\delta q_{k}$ условию, что данная функция $\alpha=f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$, не содержащая явно ни времени $t$, ни производной $q_{k}^{\prime}$, остается без варьяции от перемещения ( $M v, M^{\prime}
u^{\prime}, \ldots$ ); тогда варьяции $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$ будут связаны линейным уравнением
\[
\frac{d \alpha}{d q_{1}} \delta q_{1}+\frac{d \alpha}{d q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{d \alpha}{d q_{n}} \delta q_{n}=0 .
\]

Рассматривая движение от времени $t_{1}$ до времени $t_{2}$, положим, что
\[
\left(M_{1}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right),\left(\mu_{1}, \mu_{2}^{\prime}, \ldots\right)
\]

представляют положения точек
\[
\left(M, M^{\prime}, \ldots\right), \quad\left(\mu, \mu^{\prime}, \ldots\right)
\]

во время $t_{1}$, а
\[
\left(M_{2}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right),\left(\mu_{2}, \mu_{2}^{\prime}, \ldots\right)
\]
– положения тех же точек во время $t_{2}$, и пусть $\left(v_{1}, v_{2}^{\prime}, \ldots\right),\left(v_{2} v_{2}^{\prime}, \ldots\right)$ будут положения точек $\left(v, v^{\prime}, \ldots\right)$, соответствующие положениям $\left(M_{1}, M_{1}^{\prime}, \ldots\right.$ ) и $\left(M_{2}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right)$ точек $\left(M, M^{\prime}, \ldots\right)$. Траектории точек в первоначальном движении
\[
M_{1} M M_{2}, \quad M_{1}^{\prime} M^{\prime} M_{2}^{\prime}
\]

можно взять произвольно и потом положить какую-либо зависимость между $t$ и переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Уравнения траекторий (2) можно получить следующим образом: возьмем для $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ произвольные функции $\alpha$; от этого координаты всех точек сделаются известными функциями $\alpha$; из уравнений, выражающих в функции $\alpha$ три координаты одной точки $M$, выключим $\alpha$; это даст два уравнения траектории $M_{1} M M_{2}$; так же найдем уравнения прочих траекторий (2). Подобным образом помощью функций $\alpha$, выражающих $q_{k}+\delta q_{k}$, найдем траектории
\[
\mu_{1} \mu \mu_{2}, \mu_{1}^{\prime} \mu^{\prime} \mu_{2}^{\prime}, \ldots
\]

или
\[

u_{1}
u
u_{2}, \quad
u_{1}^{\prime}
u^{\prime} v_{2}^{\prime}, \ldots
\]

и установим потом между $t$ и $q_{k}+\omega_{k}$ или между $t+\delta t$ и $q_{k}+\delta q_{k}$ такую зависимость, которая при $\omega_{k}=0$ или при $\delta q_{k}=0$ давала бы зависимость между $t$ и $q_{k}$ в первоначальном движении. После этих предварительных понятий о варьяциях, известных, впрочем, из начал варьяционного исчисления, предложим себе найти варьяцию интеграла, называемого действием.
4. Если означим через $v, \boldsymbol{v}^{\prime}, \boldsymbol{v}^{\prime \prime}, \ldots$ скорости масс $m, m^{\prime}, m^{\prime \prime}, \ldots$ во время $t$ в первоначальном движении, то $T=\frac{1}{2} \sum m v^{2}=\frac{1}{2}\left(m v^{2}+m^{\prime} v^{2}+\ldots\right)$ будет живая сила системы, и, как известно, она выразится однородною функциею второй степени относительно производных $q_{k}^{\prime}=\frac{d q_{k}}{d t}$, которою пусть будет $T=\frac{1}{2} Z a_{r s} q_{r}^{\prime} q_{s}^{\prime}$, где коэффициенты $a_{r s}$ суть известные функции переменных $q_{k}$, не содержащие явно время. Интеграл
\[
A=\int_{t_{1}}^{t_{\mathbf{i}}} 2 T d t
\]

называется действием (action). Если переменим функции времени $q_{k}$, определяющие первоначальное движение на $q_{k}+\omega_{k}$, то $T$ переменится на $T+$ $+\delta_{1} T$, что представит живую силу в измененном движении во время $t$, т. е. когда система будет иметь положение ( $\mu_{1}, \mu_{1}^{\prime}, \ldots$ ), а величина $A$ переменится на
\[
A+\delta_{1} A=\int_{t_{1}}^{4} 2\left(T+\delta_{1} T\right) d t
\]

и будет относиться к движению от положения $\left(\mu_{1}, \mu_{1}^{\prime}, \ldots\right)$ до $\left(\mu_{2}, \mu_{2}^{\prime}, \ldots\right)$. Разность величин (2) и (1), пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
\[
\delta_{1} A=\int_{t_{1}}^{t_{2}} 2 \delta_{1} T d t,
\]

будет варьяция действия, взятая в том предположении, что время $t$ остается без варьяции. Она существенно различна от варьяции по знаку $\delta$, т. е. от
\[
\delta A=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} 2 T d t
\]

которая равна разности
\[
\int_{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{2}+\delta t_{2}} 2\left(T+\delta_{1} T\right) d t-\int_{t_{1}}^{t_{2}} 2 T d t
\]

где $t_{1}+\delta t_{1}$ есть время, когда точки $\left(\mu, \mu^{\prime}, \ldots\right)$ будут в $\left(v, v_{1}^{\prime}, \ldots\right)$ и $t_{2}+\delta t_{2}-$ время, когда они придут в $\left(v_{2}, v_{2}^{\prime}, \ldots\right)$. Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим
\[
\delta A=\int_{t_{1}}^{t_{0}} 2 \delta_{1} T d t+2 T_{2} \delta t_{2}-2 T_{1} \delta t_{1}=\delta_{1} A+2 T_{2} \delta t_{2}-2 T_{1} \delta t_{1} ;
\]

где $T_{1}$ и $T_{2}$ суть значения $T$, соответствующие $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$.
Можно проверить эту величину $\delta A$, переменив в $A$ интегрирование по $t$ на интегрирование по $a$. Тогда
\[
A=\int_{a_{1}}^{a_{1}} 2 T \frac{d t}{d \alpha} d \alpha
\]

где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ суть значения $\alpha$ для крайних положений $\left(M_{1}, M_{1}^{\prime}, \ldots\right)$ и $\left(M_{2}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right)$ и
\[
\delta A=\int_{a_{1}}^{a_{2}} \delta\left(2 T \frac{d t}{d \alpha}\right) d \alpha=\int_{a_{1}}^{a_{3}}\left[\delta(2 T) \frac{d t}{d \alpha}+2 T \delta \frac{d t}{d \alpha}\right] d \alpha ;
\]

но
\[
\delta(2 T)=\delta_{1}(2 T)+\frac{\frac{d 2 T}{d \alpha}}{\frac{d t}{d \alpha}} \delta t \quad \text { и } \quad \delta \frac{d t}{d \alpha}=\frac{d \delta t}{d \alpha},
\]

потому что $\delta \alpha=0$, следовательно,
\[
\delta A=\int_{a_{1}}^{a_{2}}\left[\delta_{1}(2 T) \frac{d t}{d \alpha}+\frac{d 2 T}{d \alpha} \delta t+2 T \frac{d \delta t}{d \alpha}\right] d \alpha=\int_{a_{1}}^{a_{1}} \delta_{1} 2 T \frac{d t}{d \alpha} d \alpha+\int_{a_{1}}^{a_{9}} \frac{d(2 T \delta t)}{d \alpha} d \alpha .
\]

Переменив опять интегрирование по $\alpha$ на интегрирование по $t$, будем иметь
\[
\delta A=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \delta_{1}(2 T) d t+\int_{t_{1}}^{t_{4}} \frac{d(2 T \delta t)}{d t} d t=\delta_{1} A+2 T_{2} \delta t_{2}-2 T_{1} \delta t_{1},
\]

что согласно с формулою (4).
Зависимость между $t$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ в первоначальном движении установим уравнением
\[
T=U+h,
\]

где $U$ – данная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, не содержащая явно $t$, и $h$ – постоянное количество ; отсюда получим
\[
t=t_{1}+\int_{a_{1}}^{a_{2}} \sqrt{\frac{\sum a_{r s} \frac{d q_{r}}{d a} \frac{d q_{s}}{d \alpha}}{2(U+h)}} d \alpha .
\]

Мы допустим такую же зависимость между $t$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и в измененном движении, переменив только постоянную $h$ на $h+\delta h$, где $\delta h-$ бесконечно малая величина.
От этого получим уравнение
\[
\delta T=\delta U+\delta h,
\]

связывающее $\delta q_{k}$ с $\delta d t$ и $d \delta t$. Оно равносильно с тем, которое получим, взяв варьяцию уравнения (6), а именно:
\[
\delta t=\delta t_{1}+\int_{\alpha_{i}}^{a_{s}} \sqrt{\frac{\sum \alpha_{r s} \frac{d q_{r}}{d \alpha} \frac{d q_{s}}{d \alpha}}{2(U+h)}} d \alpha .
\]

Это уравнение, как мы заметили в члене 2, не обусловливает варьяций $\delta q_{k}$, а дает возможность определить $\delta t$, соответствующее произвольным значениям $\delta q_{k}$.

Приняв во внимание уравнения (5) и (6), раскроем выражение (4). Означая, как обыкновенно принято, через $p_{k}$ вспомогательные величины Пуассона $\frac{d T}{d q_{k}^{\prime}}$, вследствие однородности $T$ относительно $q_{k}^{\prime}$ имеем $2 T=\Sigma p_{k} q_{k}^{\prime}$ и
\[
2 \delta_{1} T=\sum p_{k} \delta_{1} q_{k}^{\prime}+\Sigma q_{k}^{\prime} \delta_{1} p_{k} .
\]

Так как варьяция $\delta_{1} q_{k}^{\prime}$ взята при условии, что $t$ и $d t$ остаются без варьяции, то $\delta_{1} q_{k}^{\prime}=\frac{d \delta_{1} q_{k}}{d t}$, а потому
\[
p_{k} \delta_{1} q_{k}^{\prime}=p_{k} \cdot \frac{d \delta_{1} q_{k}}{d t}=\frac{d\left(p_{k} \delta_{1} q_{k}\right)}{d t}-p_{k}^{\prime} \delta_{1} q_{k}
\]

и, следовательно,
\[
2 \delta_{1} T=\sum \frac{d\left(p_{k} \delta_{1} q_{k}\right)}{d t}+\sum q_{k}^{\prime} \delta_{1} p_{k}-\sum p_{k}^{\prime} \delta_{1} q_{k} .
\]

С другой стороны, если мы выразим $T$ в функции переменных $q_{k}$ и $p_{k}$ и возьмем варьяции по знаку $\delta_{1}$, то получим
\[
\delta_{1} T=\sum \frac{d T}{d q_{k}} \delta_{1} q_{k}+\sum \frac{d T}{d p_{k}} \delta_{1} p_{k},
\]

а так как
\[
\frac{d T}{d p_{k}}=q_{k}^{\prime},
\]

To
\[
\delta_{1} T=\sum \frac{d T}{d q_{k}} \delta_{1} q_{k}+\sum q_{k}^{\prime} \delta_{1} p_{k}
\]

и вследствие уравнения (7), в котором должно положить $\delta t=0$, чтобы перейти от варьяций $\delta$ к $\delta_{1}$, получим
\[
\delta_{1} T=\sum \frac{d U}{d q_{k}} \delta_{1} q_{k}+\delta h .
\]

Сравнив это с выражением (9), найдем
\[
\sum q_{k} \delta p_{k}=\sum\left(\frac{d U}{d q_{k}}-\frac{d T}{d q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k}+\delta h
\]

или
\[
\sum q_{k}^{\prime} \delta_{1} p_{k}=-\sum \frac{d H}{d q_{k}}+\delta h,
\]

где положено $H=T-U$, как принято в начале Гамильтона. Поэтому выражение (8) приводится к следующему:
\[
2 \delta_{1} T=\sum \frac{d\left(p_{k} \delta_{1} q_{k}\right)}{d t}-\sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k} .
\]

Подставив это в формулу (3) и интегрируя по частям, получим
\[
\delta_{1} A=\left.\right|_{t_{1}} ^{t_{2}} \Sigma\left(p_{k} \delta_{1} q_{k}\right)-\int_{i_{2}}^{t_{2}} \sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k} d t+\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h .
\]

Чтобы перейти отсюда к выражению (4), стоит только прибавить
\[
2 T_{2} \delta t_{2}-2 T_{1} \delta t_{1}=\left.\right|_{t_{1}} ^{t_{2}} \Sigma p_{k} q_{k}^{\prime} \delta t
\]

следовательно,
\[
\delta A=\left.\right|_{t_{1}} ^{t_{2}} \sum p_{k}\left(\delta_{1} q_{k}+q_{k}^{\prime} \delta t\right)-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k} d t+\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h .
\]

Здесь имеем
\[
\delta_{1} q_{k}+q_{k}^{\prime} \delta t=\omega_{k}+q_{k}^{\prime} \delta t=\delta q_{k}
\]

и
\[
\sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k}=\sum\left(p_{k}^{\prime}-\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta q_{k}-\sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) q_{k}^{\prime} \delta t,
\]

и так как
\[
\sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d h}{d q_{k}}\right) q_{k}^{\prime}=\sum\left(\frac{d T}{d p} p_{k}^{\prime}+\frac{d T}{d q_{k}} q_{k}^{\prime}-\frac{d U}{d q_{k}} q_{k}^{\prime}\right)=\frac{d T}{d t}-\frac{d U}{d t}=0,
\]

To
\[
\sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta_{1} q_{k}=\sum\left(p_{k}^{\prime}-\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta q_{k}
\]

и формула (11) приведется к следующей :
\[
\delta A=\left.\right|_{t_{1}} ^{t_{2}} \sum p_{k} \delta q_{k}-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta q_{k} d t+\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h .
\]

Эти формулы одного вида с формулою (10).
Положим теперь, что первоначальное движение происходит от действия сил, имеющих потенциалом функцию $U$; тогда переменные $q_{k}$ определяются уравнениями
\[
q_{k}^{\prime}=\frac{d H}{d p_{k}}, \quad p_{k}^{\prime}=-\frac{d H}{d q_{k}} \quad(\text { при } k=1,2, \ldots, k),
\]

в которых заключается и уравнение (5); вследствие же уравнения (14) варьяции (10) и (13) освобождаются от знака интеграла и приводятся к следующим выражениям :
\[
\begin{aligned}
\delta_{1} A & =\left(\sum p_{k} \omega_{k}\right)_{2}-\left(\Sigma p_{k} \omega_{k}\right)_{1}+\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h, \\
\delta A & =\left(\sum p_{k} \delta q\right)_{2}-\left(\sum p_{k} \delta q_{k}\right)_{1}+\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h,
\end{aligned}
\]

где $\left(\Sigma p_{k} \omega_{k}\right)_{1}$ и $\left(\Sigma p_{k} \delta q\right)_{1}$ суть значения $\Sigma p_{k} \omega_{k}$ и $\Sigma p_{k} \delta q$ для положения системы $\left(M_{1}, M_{1}^{\prime}, \ldots\right)$, а ( $\left.\Sigma p_{k} \omega_{k}\right)_{2}$ и $\left(\Sigma p_{k} \delta q_{k}\right)_{2}$ – значения тех же функций для положения ( $\left.M_{2}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right)$.

Если эти два крайних положения системы не изменяются; то соответственные им значения варьяций $\delta q_{k}$ равны нулю, т. е. точки $\left(v_{1}, v_{1}^{\prime}, \ldots\right)$ и $\left(v_{2}, v_{2}^{\prime}, \ldots\right)$ совпадают соответственно с точками $\left(M_{1}, M_{1}^{\prime}, \ldots\right)$ и $\left(M_{2}, M_{2}^{\prime}, \ldots\right)$; в таком случае $\left(\Sigma p_{k} \delta q_{k}\right)_{1}=0,\left(\Sigma p_{k} \delta q_{k}\right)_{1}=0$ и, следовательно,
\[
\delta A=\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h .
\]

Здесь $\delta h=\delta T-\delta U=\delta H$, а потому
\[
\delta A=\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta H,
\]
т.е. когда крайние положения системы не изменяются, тогда варьяця действия равна времени движения, умноженному на варьяцю разности живой силы и потенциала, если только в измененном движении имеет место уравнение живой силы. Когда потенциал $U$ способен иметь значение maxim. и $U_{1}$ есть самое большое из них, то $U_{1} \longrightarrow U$ будет то, что Rankin (Ранкин) называет потенциальною энергиею, а $E=T+U_{1}-U$ (сумма активной энергии $T$ с потенциальною) – полною энергиею. Так как $\delta U_{1}=0$, то $\delta E=\delta h$, и уравнение (17) дает $\delta A=\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta E$, т. е. варьяция действия равна времени движения на варьяци полной энергии.

В этой теореме, самой по себе замечательной, содержится как частный случай лагранжево начало наименьшего действия, которое получим, положив $\delta h$ или $\delta E$ равным нулю. Тогда $\delta A=0$, т. е. если истинное движение изменится бесконечно мало на другое, так что крайние положения не изменяются и в новом двшжении имеет место закон сохранения полной энергии, причем первая варьяция полной энергии равна нулю, то и первая варьяция действия равна нулю. Вот, кажется, самое определительное понятие о начале наименьшего действия как теореме аналитической механики.

Условие, что $\delta q_{k}=0$ для крайних положений, дает $\omega_{k}+q_{k}^{\prime} \delta t=0$, т. е. $\omega_{k}=-q_{k}^{\prime} \delta t$, а потому в рассматриваемом случае формула (15) приводится к следующей :
\[
\delta_{1} A=-\left(\sum p_{k} q_{k}^{\prime}\right)_{2} \delta t_{2}+\left(\sum p_{k} q_{k}^{\prime}\right)_{1} \delta t_{1}=-2 T_{2} \delta t_{2}+2 T_{1} \delta t_{1}=\left(t_{2}-t_{1}\right) \delta h .
\]

Из этого видно, что если $\delta h=0$, то $\delta_{1} A$ равно нулю; это, впрочем, получается прямо из формулы (4), если положить $\delta A=0$. Итак, $\delta A$ и $\delta_{1} A$ вместе не равны нулю, и было бы ошибочно выразить начало наименьшего действия уравнением $\delta_{1} A=0$.
5. Перейдем теперь к доказательству лагранжевой теоремы, что в начале наименьшего действия содержатся все уравнения динамики.

Положив, как требует это начало, $\delta h=0$ и для крайних положений $\delta q_{k}=0$, по формуле (13) будем иметь
\[
\delta A=-\int_{t_{1}}^{t_{3}} \sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta q_{k} d t .
\]

Надобно показать, что из условия $\delta A=0$ или
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum\left(p_{k}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{k}}\right) \delta q_{k} d t=0
\]

можно вывести уравнения динамики под каноническим видом.

Вместе с уравнением (18) имеем условное уравнение
\[
\delta \alpha=\frac{d \alpha}{d q_{1}} \delta q_{1}+\frac{d \alpha}{d q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{d \alpha}{d q_{n}} \delta q_{n}=0 .
\]

Здесь $\alpha$ есть функция произвольного вида относительно переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Для избежания исключительных случаев мы положим, что она содержит все эти переменные, и для простоты возьмем для него линейную функцию
\[
\alpha=a_{1} q_{1}+\alpha_{2} q_{2}+\ldots+a_{n} q_{n},
\]

где ни один из коэффициентов $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ не равен нулю ; в таком случае условное уравнение (19) приводится к следующему:
\[
\alpha_{1} \delta q_{1}+\alpha_{2} \delta q_{2}+\ldots+\alpha_{n} \delta q_{n}=0 .
\]

Положим, что все варьяции, исключая $\delta q_{r}$ и $\delta q_{s}$, равны нулю; тогда уравнение (20) можно удовлетворить, положив $\delta q_{r}=\alpha_{s} \beta, \delta q_{s}=-a_{r} \beta$ и взяв для $\beta$ произвольную величину; от этого по уравнению (18) получим
\[
\int_{t_{1}}^{r_{2}}\left[\left(p_{r}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{r}}\right) a_{s}-\left(p_{s}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{s}}\right) a_{r}\right] \beta d t=0
\]

и, следовательно,
\[
p_{r}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{r}}=0
\]

для всякого значения $r$. Итак, уравнение (18) заменяется системой уравнений
\[
p_{1}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{1}^{\prime}}=0, \quad p_{2}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{2}^{\prime}}=0, \ldots, \quad p_{n}^{\prime}+\frac{d H}{d q_{n}^{\prime}}=0,
\]

что вместе с системою
\[
q_{1}^{\prime}=\frac{d H}{d p_{1}}, \quad q_{2}^{\prime}=\frac{d H}{d p_{2}}, \ldots, \quad q_{n}^{\prime}=\frac{d H}{d p_{n}},
\]

вытекающею из формулы
\[
q_{n}^{\prime}=\frac{d T}{d p_{n}}=\frac{d(T-U)}{d p_{n}},
\]

представляет полную систему уравнений динамики под каноническим видом. Уравнения (23) приводятся к лагранжевым уравнениям:
\[
p_{1}^{\prime}=\frac{d T}{d q_{1}}+\frac{d U}{d q_{1}}, \ldots, \quad p_{n}^{\prime}=\frac{d T}{d q_{n}}+\frac{d U}{d q_{n}},
\]

если подставим $T-U$ вместо $H$ и заменим частную производную $\frac{d T}{d q_{r}}$, взятую в том предположении, что $T$ есть функция величин $q_{r}$ и $p_{r}$, частною производною $-\frac{d T}{d q_{r}}$, где
\[
T=\frac{1}{2} \sum \alpha_{r s} q_{r}^{\prime} q_{s}^{\prime} .
\]

Изложенное нами в этом параграфе может быть применено к результату Лагранжа (Méc. an., 1853, стр. 279)
\[
\int d t S\left(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots+\delta x d \frac{d x}{d t^{2}}+\delta y d \frac{d y}{d t^{2}}+\delta z d \frac{d z}{d t^{2}}\right)=0
\]

после того, как $p, q, r, \ldots, x, y, z, \ldots$ будут выражены в функции величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Бертран на то, что Лагранж говорит об этом уравнении, делает следующее замечание: «Il n’est pas absolument exact de dire que cette équation a lieu pour toutes les variations possibles, car les équations de la liaison doivent toujours être satisfaites. La suppression de l’intégration par rapport au temps semblerait devoir être justifiée d’un autre maniére, en remarquant par example que les valeurs de $t$ entre lesquelles elle est prise sont arbitraires»*). Лагранж не упускает из виду условий связей, потому что в конце члена $41 \mathrm{oH}$ говорит о приведении помощью этих условий всех варьяций $\delta x, \delta y, \delta z, \ldots$ к наименьшему числу. Мнение же Бертрана, что можно освободить предыдущее уравнение от знака интеграла на том основании, что пределы интеграла произвольны, несправедливо. Эти пределы не произвольны, а определены крайними положениями системы. Допустить в интеграле произвольные пределы значило бы допустить, что положение системы во всякое время остается неизменяемым или что варьяции $\delta x, \delta y, \delta z$ равны нулю для всякого времени, а это обращало бы подынтегральное выражение тождественно в нуль и, следовательно, не привело бы к требуемому результату. Подынтегральное выражение в лагранжевой формуле полагается равным нулю на другом основании, которое указано во всяком руководстве к варьяционному исчислению, а именно, на основании произвола значений независимых варьяций, в функции которых выражаются все варьяции $\delta p, \delta q, \ldots, \delta x, \delta y, \ldots$ Если бы подынтегральное выражение не было равно нулю тождественно относительно произвольных варьяций, то для последних можно было бы взять такие значения, при которых все элементы интеграла были бы положительные и, следовательно, самый интеграл не равнялся бы нулю.
6. Скажу несколько слов об уравнении
\[
\delta \int(T+U) d t=0,
\]

заменяющем лагранжево начало наименьшего действия, без тех ограничений в $T, U$ и варьяциях $\delta q_{r}$, какие требует последнее. Вследствие того, что Остроградский в письме к Брашману указывает на необходимость рассматривать minimum интеграла $\int(T+U) d t$ вместо minimum $\int T d t$, некоторые из наших математиков стали называть начало, заключающееся в уравнении (а), началом Остроградского ; между тем как Якоби, Кирхгоф, Нейман и другие известные иностранные математики называют его гамильтоновым, так как оно прямо вытекает из гамильтонова выражения варьяции главной функции $S=\int(T+U) d t$. (Philosophical Transactions of the Royal So iety of London, 1835, ч. I, Second Essay on a General Method in Dynamics.) Гамильтоново же начало варьяции главной функции имеет основанием уравнение, данное Лагранжем в мемуаре: Sur la théorie générale des variations des constantes arbitaires dans tous les problèmes de la mécanique; Mémoires de l’Institut national, 1808, а именно:
\[
\frac{d}{d t}\left(d r \frac{d Z}{d r^{\prime}}+d s \frac{d Z}{d s^{\prime}}+\ldots\right)=\delta Z
\]

где $Z$ есть $T+U ; r, s, \ldots$ – главные переменные и $r^{\prime}, s^{\prime}, \ldots$ – их производные по времени. Взяв интеграл, получим прямо гамильтоново выражение главной функции
\[
\delta S=\delta \int Z d t=\left(\delta r \frac{d Z}{d r^{\prime}}+\ldots\right)_{2}-\left(\delta r \frac{d Z}{d r^{\prime}}+\ldots\right)_{1},
\]

где знаки 1 и 2 показывают, что выражение в скобках относится к пределам интеграла. Уравнение (b) служит основанием тому воззрению на уравнение динамики, которое Остроградский высказывает в конце своего письма к Брашману, что эти уравнения суть условия интегрируемости варьяции $\delta Z=\delta T+\delta U$.
С.-Петербург
25 января 1871 г.