Возьмем систему функций $\theta_{s}(s=1,2, \ldots, s)$ от $p$ и $q$, таких, что детерминант

не обращается в нуль в слабом смысле, что предполагает четное $s$. Пусть $c_{s s^{\prime}}$ обозначает множитель при $\left[\theta_{s}, \theta_{s^{\prime}}\right]$, деленный на $\Delta$, так что

и
\[
\left.\begin{array}{c}
c_{s s^{\prime}} \equiv-c_{s^{\prime} s} \\
c_{s s^{\prime}}\left[\theta_{s}, \theta_{s^{\prime}}\right] \equiv \delta_{s s^{\prime}} .
\end{array}\right\}
\]

Тогда можно определить новую скобку Пуассона $[\xi, \eta]^{*}$ для каждых двух величин $\xi$ и $\eta$ :
\[
[\xi, \eta]^{*} \equiv[\xi, \eta]+\left[\xi, \theta_{s}\right] c_{s s^{\prime}}\left[\theta_{s^{\prime}}, \eta\right] .
\]

Легко видеть, что новая С. П. удовлетворяет первым двум законам (15). Путем непосредственных вычислений можно показать, что новая С. П. удовлетворяет также тождеству Пуассона (см. приложение). Для новой С. П. имеет место равенство:
\[
\left[\xi, \theta_{s}\right]^{*} \equiv\left[\xi, \theta_{s}\right]+\left[\xi, \theta_{s^{\prime}}\right] c_{s^{\prime} s^{\prime \prime}}\left[\theta_{s^{\prime \prime}}, \theta_{s}\right] \equiv\left[\xi, \theta_{s}\right]-\left[\xi, \theta_{s^{\prime}}\right] \delta_{s^{\prime} s} \equiv 0
\]

для произвольного $\xi$.
Чтобы понять смысл новой С. П., рассмотрим случай, когда величины $\theta$ состоят из $s / 2$ координат $q$ и им сопряженных $p$. Мы видим, что новые С. П. получаются из старых опусканием членов, содержащих дифференцирование по этим $p$ и $q$ в выражении (14). Таким образом, новая С. П. относится к системе с $N-\frac{s}{2}$ степенями свободы. |Если мы будем считать, что $\theta$ – произвольные функции от некоторых $p$ и $q$, то мы получим эту же самую новую С. П. В этом общем случае новая С. П. будет отнесена к системе с $N-\frac{s}{2}$ степенями свободы, но уменьшение числа степеней свободы производится более сложно, чем в предыдущем случае. Предположим, что $\theta$ принадлежат к $\Phi$ и $\chi$ ( $\Phi$ должны быть второго класса, так как иначе $\Delta=0$ ). Тогда имеем $\left[\theta_{s}, H\right]=0$ для всех $s$ и отсюда
\[
[\mathrm{g}, H]^{*}=[\mathrm{g}, H]=\dot{\mathrm{g}}
\]

для любого $g$, зависящего от $q$ и $p$. Таким образом, новая С.П. может быть использована для получения гамильтоновых уравнений движения. Мы получим таким способом более простой вид уравнений движения, содержащий меньшее число эффективных степеней свободы. Все $\theta$ обращаются в нуль в слабом смысле: Если мы работаем только с новой С. П., то можно считать, что каждое из $\theta$ равно нулю в сильном смысле, не впадая в противоречие, так как на основании (37) С. П. от $\theta$ и любой величины равна нулю.

Тогда, пользуясь уравнением $\theta_{s} \equiv 0$, мы можем упростить гамильтониан. Будем говорить, что $\chi$ относится к первому классу, если С. П. от всех $\Phi$ и $\chi$ равны нулю, в противоположном же случае отнесем ее ко второму классу. Произведем линейное преобразование
\[
\chi_{k}^{*}=\gamma_{k k^{\prime}} \chi_{k}+\gamma_{k m}^{\prime} \Phi_{m},
\]

где $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ – любые функции от $q$, $p$, такие, что $\left|\gamma_{m n}\right|
eq 0$. Тогда новые $\chi$ эквивалентны старым в рамках нашей теории. С помощью этого преобразования переведем максимальное число $\chi$ в первый класс, причем $\chi$ первого класса обозначим $\chi_{a}$, а второго $\chi_{\beta}$. Примем за $\theta$ все $\chi_{\beta}$ и $\Phi_{\beta}$. Тогда $\Delta$ не обращается в нуль. Доказательство совершенно эквивалентно приведенному выше доказательству теоремы о ранге матрицы (29). Предполагая, что ранг $\Delta-T<s$ и конструируя детерминант вида

принадлежащий к $\Phi$ или $\chi$ первого класса и линейный относительно $\Phi_{\beta}$ и $\chi_{\beta}$, приходим к противоречию с предположением, что никакие $\Phi$ и $\chi$ не могут уже быть преобразованы в первый класс. Выбирая таким образом $\theta$, мы

получаем максимальное упрощение этого метода. Мы получаем новую схему, в которой все $\Phi_{\beta^{-}}$и $\chi_{\beta}$-уравнения сильные. Эти уравнения можно использовать для исключения всех $q$ и $p$ из теории. Новая схема не однозначна, так как $\Phi_{\beta}$ и $\chi_{\beta}$ не единственно возможные.

Заменяя $\Phi_{\beta}$ и $\chi_{\beta}$ их линейной комбинацией, мы не изменили окончательной формы гамильтоновой схемы. Однако, добавляя к $\Phi_{\beta}$ и $\chi_{\beta}$ произвольные функции от $\Phi_{a}$ и от $\Phi_{a}$ и $\chi_{a}$ соответственно, что не меняет ни $\Delta$, ни $c_{s s^{\prime}}$, но, вообще говоря, меняет $[\xi, \eta]^{*}$, мы увидим, что гамильтонова схема не сохраняется при таком преобразовании. Различные формы схемы, разумеется, эквивалентны, так как они приводят к одинаковым уравнениям движения.

В качестве приложения изложенного метода рассмотрим случай лагранжиана, не содержащего некоторых скоростей. Предположим, что $L$ не содержит $\dot{q}_{j}(j=1,2, \ldots, J<N)$. Тогда каждое $p_{j}$ равно нулю в слабом смысле и $Ф$ – в сильном смысле. Предположим, что никакая линейная форма от $p_{j}$ не принадлежит к первому классу. Тогда можно рассматривать $p_{j}$ как $\Phi_{\beta}$.

Будем теперь считать половину общего числа величин $\theta$ – $p_{j}$, а другую половину $\Phi$ или $\chi$ второго класса, выбранными таким образом, чтобы $\Delta$ не обращался в нуль. Назовем эти последние $\theta_{j}$. Выбирая таким образом $\theta$, легко видеть, что новая С. П. может быть получена из определения (14), примененного только к тем степеням свободы, для которых $q$ не является $q_{j}$, причем каждое $p_{j}$ считается сильно равным нулю, а каждое $q_{j}$ сильно равным функции от других $q$ и $p$, заданной уравнениями $\theta_{j} \equiv 0$.

Таким образом, мы получили новую гамильтонову схему (не обязательно с максимальным упрощением, так как могут быть и другие $\Phi_{\beta}$ и $\chi_{\beta}$, не входящие в число $\theta$ ), в которой $q_{j}$ и $p_{j}$ не являются независимыми динамическими переменными.

Можно ирийти к новой схеме более прямым путем, если с самого начала не считать $q_{j}$ координатами и не вводить сопряженных импульсов. Посмотрим, какие изменения это внесет в теорию.

Определим $n$ таким образом, чтобы оно принимало значения, при которых $q$ не принадлежит к $q_{j}$, т. е. значения $J+1, J+2, \ldots, N$. Тогда (2) и (5) по-прежнему удовлетворяются, а (6) может быть заменено выражением
\[
\delta H=\dot{q}_{n} \delta p_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial q_{n}}\right) \delta q_{n}-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) \delta \dot{q}_{j} .
\]

Уравнения
\[
\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)=0
\]

будем считать дополнительными условиями в данном методе. Выражение (41) сводится к (6). Отсюда можно заключить, что $H$ имеет форму (20), где $\Phi_{m}$ – функции от $q_{n}$ и $p_{n}$, независимые от $q_{j}$ и равные нулю при учете уравнений (2). В остальном теория развивается, как раньше в терминах $\Phi$ и $\chi$, не включающих $q_{j}$. Уравнения $\Phi$ и $\chi$, включающие $q_{j}$, можно рассматривать как уравнения, выражающие $q_{i}$ через другие переменные и поэтому не играющие никакой роли. В этой теории мы имеем лагранжиан $L$, содержащий $q_{j}$, включающие импульсы. Появление импульсов в лагранжиане совершенно .аналогично появлению скоростей $v_{\alpha}$ в гамильтониане.