В теории возмущений идет речь о решении следующей задачи :
Задача I. Определить наиболее общее преобразование
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=X_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \\
p_{k}^{\prime}=P_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \quad(k=1, \ldots, n),
\end{array}
\]
которое одновременно переводит все совместные системы вида
\[
d x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} d t, \quad d p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} d t \quad(k=1, \ldots, n)
\]
в системы того же вида между новыми переменными [148].
Якоби и Бур, как известно, нашли, что самое общее преобразование требуемого типа определяется уравнениями
\[
\left(X_{k} X_{i}\right)=\left(X_{k} P_{i}\right)=\left(P_{k} P_{i}\right)=0, \quad\left(P_{k} X_{k}\right)=1 .
\]
С другой стороны, для касательных преобразований, как мною установлено, основной задачей является следующая:
3адача II. Определить наиболее общим образом $2 n$ величин $X_{1}, \ldots$ $\ldots, X_{n}, P_{1}, \ldots, P_{n}$ как функций от $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ так, чтобы имело место соотношение вида
\[
P_{1} d X_{1}+\ldots+P_{n} d X_{n}=p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}+d V
\]
в предположении, что $V$ рассматривается как неопределенная буункция om $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$.
Как я показал, самое общее решение этой задачи получается, если взять любую систему величин $X_{k}, P_{k}$, удовлетворяющую соотношениям (0)*).
Таким путем была открыта точная связь между двумя кажущимися различными задачами. Эта связь при моей синтетической концепции была a priori так ясна, что я в ранее представившемся случае**) назвал задачу II лишь другой формой задачи I. Но теперь я убедился, что даже выдающиеся математики не поняли ясно внутреннего основания этой связи. Поэтому я считаю целесообразным доходчиво доказать путем аналитических рассуждений, что названные задачи действительно могут быть взаимно сведены одна к другой. Одновременно я показываю, что в моих более ранних иссле-
дованиях по касательным преобразованиям решаются две общие задачи, которые следует рассматривать как обобщения задачи I.
В связи с только что указанным я доказываю путем новых рассуждений, что дифференциальные уравнения механики, так же как и дифференциальные уравнения вариационного исчисления, могут быть приведены к канонической форме. Знаменитая теория Гамильтона-Якоби приобретает, быть может, таким путем бо́льшую простоту, чем прежде.
В последнем параграфе я решаю следующую задачу :
Задача III. Определить наиболее общее преобразование, которое заданную систему вида
\[
d x_{k}=\frac{\partial F}{\partial p_{k}} d t, \quad d p_{k}=-\frac{\partial F}{\partial x_{k}} d t \quad(k=1, \ldots, n)
\]
переводит в подобную же систему.
Соответствующие преобразования, которые теперь уже не будут независимыми от вида функции $F$, в общем случае не являются касательными преобразованиями.
Наконец, я указываю, но без доказательства, общий случай, в котором интегрирование заданной совместной системы допускает соответствующие упрощения, подобные тем, которые имеют место в случае канонической системы.
