Три недели тому назад, анализируя перед вами современное состояние системы теоретической физики и ее вероятное дальнейшее развитие, я старался главным образом показать, что в теоретической физике будущего наиболее важным и окончательным подразделением всех физических явлений будет подразделение их на обратимые и необратимые процессы. В следующих затем лекциях мы видели, что с помощью теории вероятностей и с введением гипотезы элементарного хаоса все необратимые процессы могут быть разложены на элементарные обратимые процессы, другими словами, что необратимость не является элементарным свойством физических явлений, а является исключительно свойством скопления многочисленных однородных элементарных явлений, из которых каждое в отдельности вполне обратимо, и обусловлена особым, именно макроскопическим, способом рассмотрения самого явления. С этой точки зрения можно с полным правом утверждать, что в конце концов все явления природы обратимы. Необратимость явлений, образованных из средних значений элементарных явлений, т.е. макроскопических изменений состояния, не противоречит этому утверждению, – это я подробно излагал в третьей лекции. Я позволю себе здесь сделать одно более общее замечание. Мы привыкли искать в физике объяснения явлений природы путем разложения их на элементы. Мы рассматриваем каждый сложный процесс, как состоящий из элементарных процессов, анализируем его, рассматривая целое как совокупность частей. Этот метод, однако, предполагает, что при таком подразделении характер целого не меняется, совершенно так же, как каждое измерение физического явления происходит в предположении, что введение измерительных инструментов не влияет на ход явления. Здесь мы имеем случай, когда вышеупомянутое условие не выполняется и где прямое заключение о целом по части привело бы к ложным результатам. Действительно, как только мы разложим какойлибо необратимый процесс на элементарные составные части, беспорядок исчезает, и сама необратимость, так сказать, ускользает из-под рук. Таким образом, необратимый процесс останется непонятным тому, кто стоит на той точке зрения, что все свойства целого могут быть выведены из свойств его частей. Мне кажется, что с подобным затруднением мы встречаемся таюже в большинстве вопросов, касающихся духовной жизни человека.

Так как, таким образом, необратимость является как бы исключенной из природы, то становится ясным, что общая элементарная динамика имеет дело с процессами только обратимыми. Мы будем поэтому заниматься исключительно обратимыми процессами. Что в них особенно ценно с теоретической

точки зрения, – это то, что все обратимые процессы, будь они по природе механического, электродинамического или термического характера, – все они подчинены одному и тому же принципу, дающему однозначный ответ на все вопросы, касающиеся хода процесса. Этот закон не есть принцип сохранения энергии, который, хотя и приложим ко всем явлениям, но определяет их ход неоднозначно; это принцип более общий: принцип нашменьшего действия.

Принцип наименьшего действия вырос на почве механики $\left[{ }^{203}\right]$, где он стоит в одном ряду с другими принципами одинаковой важности; эти принципы следующие: принцип Д’Аламбера, принцип возможных перемещений, принцип Гаусса наименьшего принуждения и уравнения Лагранжа первого и второго рода. Все эти принципы эквивалентны друг другу и представляют в сущности различные формулировки одного и того же закона; в одних случаях представляется более удобным применить один, в других случаях – другой принцип. Принцип же наименьшего действия имеет перед ними то очень ценное преимущество, что он в одном уравнении дает соотношение между величинами, имеющими непосредственное значение не только для механики, но и для электродинамики и термодинамики; эти величины: пространство, время и потенциал. Вот почему этот принцип имеет непосредственное применение и к явлениям немеханического характера и, как показывают результаты, применения его к электродинамике и термодинамике действительно приводят к законам, имеющим место в этих науках. Так как мы в нашем изложении имеем в виду объединение системы теоретической физики и наиболее общее представление физических закономерностей, то принцип наименьшего действия должен для нас играть главную роль. Я покажу его применение на нескольких простых примерах.

Вот общая формулировка принципа наименьшего действия в той форме, в какой она была дана Гельмгольцем: между всеми переходами какоголибо подверженного внешним воздействиям физического образа, которые могли быть совершены им в определенное время из определенного начального в определенное конечное положение, переход, в действительности происходящий в природе, подчиняется тому условию, что интеграл
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(\delta H+A) d t=0,
\]

где $\delta$ представляет произвольное изменение независимых координат (и скоростей), а $A$ – бесконечно малое приращение энергии (внешняя работа), получаемое рассматриваемым нами образом при изменении $\delta$, функция же $H$ есть кинетический потенциал. Мы говорили здесь о положениях, координатах и скоростях образа не исключительно в механическом смысле, но имели в виду также совокупность более общих координат и полученных из них величин, которые могут иметь разнообразные значения, например количеств электричества, объемов и т. П. При применениях принципа наименьшего действия следует отличать случаи, когда обобщенные координаты, определяющие положения рассматриваемого образа, входят в конечном числе, от случая, когда они представляют непрерывную совокупность. С этой точки зрения мы и разделим рассматриваемые ниже примеры.

I. Положение (конфигурация) определяется конечным числом координат

В обыкновенной механике этот случай будет иметь место в каждой системе, состоящей из конечного числа материальных точек или твердых тел, между координатами которых существуют неизменяемые уравнения условий.

Если мы назовем через $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ независимые координаты, то внешняя работа будет
\[
A=\Phi_{1} \delta \varphi_{1}+\Phi_{2} \delta \varphi_{2}+\ldots=\delta E
\]

где $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$ – «слагающие внешних сил», соответствующие отдельным координатам, а $E$ – энергия системы. Таким образом, принцип наименьшего действия принимает вид
\[
\int_{t_{\theta}}^{t_{1}} d t \sum\left(\frac{\partial H}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}+\frac{\partial H}{\partial \dot{\varphi}_{i}} \delta \dot{\varphi}_{i}+\Phi_{i} \delta \varphi_{i}\right)=0 ;
\]

отсюда получаются уравнения движения:
\[
\Phi_{i}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial \dot{\varphi}_{i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial \varphi_{i}}=0
\]

и т.д. для всех индексов $1,2, \ldots$ Умножая отдельные уравнения последовательно на $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$, складывая и интегрируя по времени, получим уравнение сохранения энергии, причем энергия $E$ дается уравнением
\[
E=\sum \dot{\varphi}_{i} \frac{\partial H}{\partial \dot{\varphi}_{i}}-H \text {. }
\]

В обыкновенной механике $H=L-U$, где $L-$ кинетическая, а $U-$ потенциальная энергия. Так как $L$ представляет однородную функцию второй степени относительно $\dot{\varphi}$, то из уравнения (5) следует
\[
E=2 L-H=L+U .
\]

Однако это уравнение вообще не имеет места. Мы перейдем теперь к рассмотрению квазистационарного движения системы линейных проводников, по которым протекают простые замкнутые гальванические токи.

Состояние системы определяется положением и скоростью проводников, а также силой тока в каждом из них в отдельности. Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ означают координаты, относящиеся к положению первого проводника; подобные выражения будут иметь место и для остальных проводников. Каково будет приращение энергии или внешней работы, соответствующее возможному изменению всех координат? Системе можно сообщить энергию, действуя на нее механически или электромагнитной индукцией. В первом случае мы будем иметь работу механическую, во втором – электромоторную. Механическая работа будет опять иметь вид
\[
\Phi_{1} \delta \varphi_{1}+\Phi_{1}^{\prime} \delta \varphi_{1}^{\prime}+\ldots+\Phi_{2} \delta \varphi_{2}+\ldots
\]

Обозначим, далее, через $E_{1}, E_{2}$ электродвижущие силы, индуктированные в отдельных проводниках внешними воздействиями (например, движущимися магнитами, непринадлежащими системе); тогда произведенная извне на токи в проводниках нашей системы электромоторная работа будет равна
\[
E_{1} \delta \varepsilon_{1}+E_{2} \delta \varepsilon_{2}+\ldots,
\]

где $\delta \varepsilon_{1}, \delta \varepsilon_{2}, \ldots$ – количества электричества, протекающие при бесконечно малом возможном потоке через сечения проводников. Конечные значения сил токов будем обозначать через $\dot{\varepsilon}_{1}, \dot{\varepsilon}_{2}, \ldots$ Таким образом, электрическое состояние первого проводника будет вообще определяться силой тока $\dot{\varepsilon}_{1}$,

механическое же (положение и скорость) – координатами $\varphi_{1}, \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ и соответствующими скоростями $\dot{\varphi}_{1}, \dot{\varphi}_{1}^{\prime}, \dot{\varphi}_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ Координаты $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$ носят название «циклических», так как состояние определяется не их значением в известный момент, а только их производными по времени, подобно тому қак состояние тела вращения, могущего вращаться вокруг оси симметрии, зависит не от самого угла вращения, а от угловой скорости вращения. Введя вышеуказанные обозначения, мы можем теперь применить принцип наименьшего действия к рассматриваемому нами случаю. Здесь $H=H_{\varphi}+H_{\varepsilon}$, где $H_{\varphi}$ – механический потенциал, зависящий от $\varphi$ и $\dot{\varphi}$, электрокинетический же потенциал имеет следующий вид:
\[
H_{\varepsilon}=\frac{1}{2} L_{11} \dot{\varepsilon}_{1}^{2}+L_{12} \dot{\varepsilon}_{1} \dot{\varepsilon}_{2}+L_{13} \dot{\varepsilon}_{1} \dot{\varepsilon}_{3}+\ldots+\frac{1}{2} L_{22} \dot{\varepsilon}_{2}^{2}+\ldots
\]

Величины $L_{11}, L_{12}, L_{13}, \ldots, L_{22}, \ldots$ – так называемые коэффициенты самоиндукции и взаимной индукции, зависят известным образом от $\varphi_{1}, \varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{1}^{\prime \prime}, \ldots$, $\varphi_{2}, \varphi_{2}^{\prime}, \ldots$

Таким образом, по уравнению (4) для движения первого проводника будем иметь
\[
\Phi_{1}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial \dot{\varphi}_{1}}\right)+\frac{\partial H_{\varphi}}{\partial \varphi_{1}}+\frac{\partial H_{6}}{\partial \varphi_{1}}=0 .
\]

Подобным же образом для $\varphi_{1}^{\prime}, \varphi_{1}^{\prime \prime}, \ldots$ и для протекающего по нему тока
\[
E_{1}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H_{\varepsilon}}{\partial \dot{\varepsilon}_{1}}\right)=0 .
\]

Законы механических (пондеромоторных) действий можно понимать таким образом, что к обыкновенной силе, выражаемой через $\Phi_{1}$, присоединяется для первого проводника механическая сила:
\[
\frac{\partial H_{\varepsilon}}{\partial \varphi_{1}}=\frac{1}{2} \frac{\partial L_{11}}{\partial \varphi_{1}} \dot{\varepsilon}_{1}^{2}+\frac{\partial L_{12}}{\partial \varphi_{1}} \dot{\varepsilon}_{1} \dot{\varepsilon}_{2}+\frac{\partial L_{13}}{\partial \varphi_{1}} \dot{\varepsilon}_{1} \dot{\varepsilon}_{3}+\ldots,
\]

слагающаяся из действия тока на самого себя (первое слагаемое) и из действий на него остальных токов (остальные слагаемые). Законы же электрических действий могут быть выражены таким образом, что, кроме внешней электродвижущей силы $E_{1}$, на первый проводник действует еще электродвижущая сила:
\[
-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H_{\varepsilon}}{\partial \dot{\varepsilon}_{1}}\right)=-\frac{d}{d t}\left(L_{11} \dot{\varepsilon}_{1}+L_{12} \dot{\varepsilon}_{2}+L_{13} \dot{\varepsilon}_{3}+\ldots\right),
\]

в свою очередь слагающаяся из действия тока на самого себя (самоиндукция) и из индуктированных действий остальных токов, и что внешняя электродвижущая сила и результирующая сила, обусловленная всеми индукционными эффектами, уравновешивают друг друга.

Ни гальваническая проводимость, ни гальваническое сопротивление в этих уравнениях не содержатся, так как соответствующая им энергия, теплота Джоуля, возникает с помощью необратимого процесса, а эти процессы не могут быть представлены принципом наименьшего действия. Впрочем, это действие, а также и другие необратимые действия могут быть формально введены в рассмотрение приемом, предложенным Гельмгольцем; для этого нужно в данном случае ввести еще одну внешнюю электродвижу- щую силу сопротивления $w$, действующую в смысле уменьшения энергии системы. Это изменение энергии для бесконечно малого промежутка времени будет
\[
-\left(w_{1} \dot{\varepsilon}_{1}^{2}+w_{2} \dot{\varepsilon}_{2}^{2}+w_{3} \dot{\varepsilon}_{3}^{2}+\ldots\right) d t=-\left(w \dot{\varepsilon}_{1} d \varepsilon_{1}+w_{2} \dot{\varepsilon}_{2} d \varepsilon_{2}+\ldots\right) .
\]

Чтобы внешняя работа $E_{1} d \varepsilon_{1}+E_{2} d \varepsilon_{2}+\ldots$ обнимала также теплоту Джоуля, нужно в электромоторных уравнениях к слагающим внешних сил $E_{1}, E_{2}, \ldots$ присоединить еще добавочные члены – $w_{1} \dot{\varepsilon}_{1},-w_{2} \dot{\varepsilon}_{2}, \ldots$

Особенного интереса заслуживает применение принципа наименьшего действия к процессам термодинамическим, так как здесь с особенной ясностью выступает важность вопроса о выборе обобщенных координат, определяющих состояние образа. С точки зрения чистой термодинамики можно выбрать совершенно произвольно переменные, определяющие положения системы; так, например, для газа с определенными неизменяемыми свойствами можно взять любые две из следующих величин: объем $V$, температуру $T$, давление $p$, энергию $E$, энтропию $S$, остальные же выразить в функции этих двух. Здесь дело обстоит совсем иначе. Действительно, для применения принципа наименьшего действия нужно знать изменение энергии или полную работу $A$, произведенную извне на газ при произвольном бесконечно малом изменении состояния газа. Эта работа равна
\[
A=-p \delta V+T \delta S,
\]

где $T \delta S$ – сообщенная извне теплота, $p \delta V$ – произведенная извне механическая работа. Чтобы согласовать это выражение с общим выражением для внешней работы (2)
\[
A=\Phi_{1} \delta \varphi_{1}+\Phi_{2} \delta \varphi_{2},
\]

удобнее всего принять $\dot{V}$ и $S$ за общие координаты состояния и приравнять их соответственно $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$; тогда $p$ и $T$ будут представлять собой общие слагающие силы $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$. Далее, так как в термодинамике каждое обратимое изменение состояния протекает бесконечно медленно, то слагающие скоростей $\dot{V}$ и $\dot{S}$, а также и остальные производные по времени можно положить равными нулю; тогда принцип наименьшего действия (3) и (4) приведется к уравнению
\[
\Phi+\frac{\partial H}{\partial p}=0,
\]

или в нанем случае
\[
-p+\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{S}=0 \quad \text { и } \quad T+\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{V}=0 .
\]

Далее, по (5)
\[
E=-H .
\]

Что эти уравнения имеют место, видно из того, что они представляют иную форму уравнения:
\[
d S=\frac{d E+p d V}{T} .
\]

Приведенные здесь соображения в сущности те же, что и в энергетике Маха, Оствальда, Хельма, Видебурга. Общие координаты $V$ и $S$ соответствуют «множителям емкости» и их теории, а $p$ и $T$ – «множителям напряжения *). Если ограничиться обратимыми процессами, то не представило бы никаких затруднений довести их точку зрения до конца, а также распространить ее на случай химических явлений.

Совершенно иной характер носит другой метод исследования термодинамических явлений, введенный в физику впервые Гельмгольцем. Одна из общих координат, $V$, удержана, а вместо другой, $S$, введена некоторая циклическая координата, – мы ее будем обозначать, как в предыдущем примере, через $\varepsilon$, но она входит в выражение кинетического потенциала $H$ не сама, а.в виде производной по времени $\dot{\varepsilon}$; эта производная $\dot{\varepsilon}$ представляет температуру $T$. Таким образом, $H$ зависит только от $V$ и $T$. Уравнение для полной внешней работы по (2) будет иметь вид
\[
A=\mp p \delta V+E \delta \varepsilon .
\]

Чтобы это выражение совпадало с термодинамическими, нужно положить $E \delta \varepsilon=T \delta S$, а также
\[
E d \varepsilon=T d S, \quad E d t=d \mathcal{S} .
\]

Уравнения, вытекающие из принципа наименьшего действия (3) и (4), будут иметь вид
\[
-p+\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V}=0 \quad \text { и } \quad E-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V}=0,
\]

или
\[
d\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V}=E d t=d S
\]

и, интегрируя, получим
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V}=S,
\]

причем произвольная постоянная положена равной нулю. Для энергии по уравнению (5) получим
\[
E=\dot{\varepsilon} \frac{\partial H}{\partial \dot{\varepsilon}}-H=T\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{V}-H,
\]

откуда
\[
H=-(E-T S) .
\]

Таким образом, $H$ противоположно по знаку той функции, которую Гельмгольц назвал свободной энергией образа; вышенаписанные уравнения известны из термодинамики.

Точка зрения Гельмгольца может быть также вполне последовательно доведена до конца, и, пока мы ограничиваемся рассмотрением обратимых процессов, трудно отдать одной из них предпочтение. Однако, с принципиальной точки зрения, вывод Гельмгольца имеет то преимущество, что он более удовлетворяет нашему стремлению объединить систему физики. В энергетическом представлении независимые переменные $V$ и $S$ не стоят ни в какой связи друг с другом; теплота есть форма энергии, по существу отличающаяся от энергии механической, к которой она никаким образом не может быть сведена. У Гельмгольца тепловая энергия сведена к движению, а это представляет такой же шаг вперед, как сведение световых волн к электромагнитным.

Правда, для необратимых процессов и теория Гельмгольца оказывается недостаточной; на эту область, как мы об этом подробно говорили раньше, может пролить свет только введение исчисления вероятностей. Этим объясняется, что более строгие энергетики не хотят знать необратимых процессов и либо считают их пока сомнительными, либо вообще игнорируют. В действи-

тельности дело обстоит совсем наоборот: необратимые процессы – единственные, действительно происходящие в природе; обратимые же процессы суть идеальные, имеющие очень важное значение в теории, в природе же они никогда вполне не осуществляются.

II. Обобщенные координаты состояния составляют непрерывное многообразие
Как наиболее простой пример, можно рассмотреть вывод законов бесконечно малых движений абсолютно упругого тела. За координаты состояния можно взять слагающие перемещения $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ материальной точки из ее положения равновесия $(x, y, z)$ как функции координат $x, y, z$. Внешняя работа выражается поверхностным интегралом
\[
A=\int d \sigma\left(X_{v} \delta v_{x}+Y_{v} \delta v_{y}+Z_{v} \delta v_{z}\right)
\]
( $d \sigma$ – элемент поверхности, $v$ – внутренняя нормаль), кинетический потенциал представляется опять в виде разности между кинетической энергией $L$ и потенциальной $U$ :
\[
H=L-U \text {. }
\]

Кинетическая энергия
\[
L=\int \frac{d \tau k}{2}\left(\dot{v}_{x}^{2}+\dot{v}_{y}^{2}+\dot{v}_{z}^{2}\right),
\]

где $d \tau$ – элемент объема, $k$ – объемная плотность. Потенциальная энергия $U$ есть также объемный интеграл, распространенный на некоторую однородную функцию $f$ второй степени, представляющую потенциальную энергию элемента объема. Она зависит, как можно убедиться из чисто геометрических соображений, только от шести величин деформации:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial v_{x}}{\partial x}=x_{x}, \quad \frac{\partial v_{y}}{\partial y}=y_{y}, \quad \frac{\partial v_{z}}{\partial z}=z_{z}, \\
\frac{\partial v_{y}}{\partial z}+\frac{\partial v_{z}}{\partial y}=y_{z}=z_{y}, \quad \frac{\partial v_{z}}{\partial x}+\frac{\partial v_{x}}{\partial z}=z_{x}=x_{z}, \quad \frac{\partial v_{x}}{\partial y}+\frac{\partial v_{y}}{\partial x}=x_{y}=y_{x} .
\end{array}
\]

В общем, следовательно, $f$ содержит 21 не зависящую друг от друга произвольную постоянную, которые характеризуют упругое состояние вещества. Для изотропных субстанций это число в силу симметрии сводится к 2 . Подставив полученные значения в выражение принципа наименьшего действия (3) и (4), получим
\[
\int d t\left[\int d \tau k\left(\dot{v}_{x} \delta \dot{v}_{x}+\ldots\right)-\int d \tau\left(\frac{\partial f}{\partial x_{x}} \delta x_{x}+\frac{\partial f}{\partial x_{y}} \delta x_{y}+\ldots\right)+\int d \sigma\left(X_{v} \delta v_{x}+\ldots\right)\right]=0 \text {. }
\]

Положив для краткости
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial f}{\partial x_{x}}=X_{x}, \quad-\frac{\partial f}{\partial y_{z}}=Y_{z}=Z_{y}, \\
-\frac{\partial f}{\partial y_{y}}=Y_{y}, \quad-\frac{\partial f}{\partial z_{x}}=Z_{x}=X_{z}, \\
-\frac{\partial f}{\partial z_{x}}=Z_{x}, \quad-\frac{\partial f}{\partial x_{y}}=X_{y}=Y_{x},
\end{array}
\]

и приведя интегрированием по частям вариации $\delta \dot{v}_{x}, \delta \dot{v}_{y}, \delta \dot{v}_{z}$, а также вариации $\delta x_{x}, \delta x_{y}, \delta x_{z}, \ldots$ к вариациям $\delta v_{x}, \delta v_{y}, \delta v_{z}$, найдем следующие

уравнения, имеющие место для точек внутри тела:
\[
k \ddot{v}_{x}+\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0, \ldots
\]

и на поверхности
\[
X_{v}=X_{x} \cos v x+X_{y} \cos v y+X_{z} \cos v z, \ldots,
\]

как это известно из теории упругости. Из уравнений на поверхности вытекает механическое значение величин $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ как поверхностных сил.

Приложим, наконец, принцип наименьшего действия к одному специальному случаю из области электродинамики, а именно к электродинамическим явлениям в покоящемся однородном непроводнике, например в пустоте. Этот вывод мало чем отличается от только что приведенного. Единственным отличием будет то, что в электродинамике зависимость потенциальной энергии $U$ от обобщенных координат $v$ несколько иная, чем для упругой среды. Итак, положим опять для внешней работы
\[
A=\int d \sigma\left(X_{
u} \delta v_{x}+Y_{
u} \delta v_{y}+Z_{v} \delta v_{z}\right), \ldots
\]

и для кинетического потенциала
\[
H=L-U,
\]

откуда опять
\[
L=\int d \tau \frac{k}{2}\left(\dot{v}_{x}^{2}+\dot{v}_{y}^{2}+\dot{v}_{z}^{2}\right)=\int d \tau \frac{k}{2}(\dot{v})^{2} .
\]

Между тем здесь мы напишем
\[
U=\int d \tau \frac{h}{2}(\operatorname{curl} v)^{2} .
\]

Этими положениями вполне определяются не только динамические уравнения, но и предельные условия. Действительно, принцип наименьшего действия (1) и (3) дает
\[
\int d t\left[\int d \tau\left(\dot{v}_{x} \delta \dot{v}_{x}+\ldots\right)-\int d \tau h\left(\operatorname{curl}_{x} v \delta \operatorname{curl}_{x} v+\ldots\right) \int d \sigma\left(X_{v} \delta v_{x}+\ldots\right)\right]=0 .
\]

Отсюда таким же путем, как в теории упругости, найдем для точек внутри тела
\[
k \ddot{v}_{x}=h\left(\frac{\partial \operatorname{curl}_{y} v}{\partial z}-\frac{\partial \operatorname{curl}_{z} v}{\partial y}\right), \ldots,
\]

или, короче,
\[
k \ddot{v}=-h \operatorname{curl} \operatorname{curl} v,
\]

и для поверхности
\[
X_{v}=h\left(\operatorname{curl}_{z} v \cos v y-\operatorname{curl}_{y} v \cos v z\right), \ldots
\]

Эти уравнения будут совпадать с известными электродинамическими уравнениями, если положить $L$ равной электрической, а $U$ – магнитной энергии (или наоборот). Действительно, положим
\[
L=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \cdot \varepsilon F^{2} \quad \text { и } \quad U=\frac{1}{8 \pi} \int d \tau \mu \mathfrak{2}^{2}
\]
( $F$ и $\mathfrak{L}$ – силы поля, $\varepsilon$ – диэлектрическая постоянная, $\mu$ – магнитная проницаемость) и сравним эти значения с вышенаписанными выражениями $L$ и $U$; тогда можно написать
\[
\dot{v}=-F \sqrt{\frac{\varepsilon}{4 \pi k}}, \quad \text { curl } v=\mathfrak{Q} \sqrt{\frac{\mu}{4 \pi k}} .
\]

Отсюда прежде всего, исключая $v$, получим
\[
\dot{\mathfrak{Q}}=-\sqrt{\frac{\bar{\varepsilon}}{\mu k}} \operatorname{curl} F,
\]

подставляя далее $v$ и curl $v$ в $k \ddot{v}=-h \operatorname{curl} \operatorname{curl} v$, получим
\[
\dot{F}=\sqrt{\frac{\mu h}{\varepsilon k}} \operatorname{curl} \Omega .
\]

Сравнивая эти выражения с электродинамическими выражениями в так называемых единицах Гаусса:
\[
\mu \dot{\mathfrak{Q}}=-c \operatorname{curl} F, \quad \varepsilon F=c \text { curl } \mathbb{\sim}
\]
( $c$ – скорость распространения света в пустоте), мы видим, что они будут тождественны, если положить
\[
\frac{c}{\mu}=\sqrt{\frac{\varepsilon h}{\mu k}} \quad \text { и } \quad \frac{c}{\varepsilon}=\sqrt{\frac{\mu h}{\varepsilon k}} .
\]

Из этих двух уравнений получается для квадрата скорости распостранения
\[
\frac{h}{k}=\frac{c^{2}}{\varepsilon \mu} .
\]

Из уравнения внешней работы получаем выражение для энергии, поступающей извне,
\[
d t \int d \sigma\left(X_{v} \dot{v}_{x}+Y_{v} \dot{v}_{y}+Z_{v} \dot{v}_{z}\right)
\]

или, имея в виду уравнение для $X_{
u}$ :
\[
d t \int d \sigma h\left[\left(\operatorname{curl}_{2} v \cdot \cos v y-\operatorname{curl}_{y} v \cos v z\right) \dot{v}_{z}+\ldots\right] \text {. }
\]

Это выражение после подстановки из (6) вместо $v$ и curl $v$ их значений будет тождественно с известным выражением Пойнтинга для потока энергии.

Таким образом, применяя принцип наименьшего действия, при надлежащем выборе выражения для кинетического потенциала $H$, мы получили известные уравнения электромагнитного поля Максвелла.

Но сведены ли таким образом электродинамические явления к механическим? Нисколько, ибо вектор $\boldsymbol{V}$, которым мы пользовались, не представляет величины механической. Невозможно также вообще истолковать $v$ механически, например $v$ как перемещение, $\dot{v}$ как скорость, curl $v$ как вращение. Ибо, например, в электростатическом поле $\dot{v}$ постоянно, между тем $v$ растет неопределенно со временем; таким образом, curl $v$ нельзя истолковать как вращение*).

Таким образом, хотя вышеприведенные соображения не доказали возможности механического истолкования электрических явлений, но, с другой стороны, из них несомненно вытекает, что значение принципа наименьшего действия распространяется далеко за пределы механики в узком смысле слова и что этот принцип может быть положен в основание общей динамики, так как он объемлет собою все обратимые процессы.