34. Когда невозмущенное расстояние $r$ от $m$ до $M$ может принять минимальное значение $q$, соответствующее времени $\tau$ и удовлетворяющее в это же время условиям
\[
r^{\prime}=0 ; \quad r^{\prime \prime}>0,
\]

тогда интегралы группы ( $\left.\mathrm{J}^{2}\right)$, или известные законы невозмущенного движения $m$ относительно $M$, могут быть представлены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
k=\sqrt{\left\{\left(\xi y^{\prime}+\eta x^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta z^{\prime}-\zeta y^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta x^{\prime}-\xi z^{\prime}\right)^{2}\right\}} ; \\
\lambda=k-\xi y^{\prime}+\eta x^{\prime} \\
\mu=\frac{M+m}{2 M}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)-M f(r) ; \\
v=\operatorname{tg}^{-1} \frac{\eta z^{\prime}-\zeta y^{\prime}}{\xi z^{\prime}-\zeta x^{\prime}} \\
\tau=t-\int_{q}^{r} \frac{\sqrt{\frac{M}{M+m}} \cdot \frac{d r}{\sqrt{d r^{2}}} \cdot d r}{\sqrt{\left\{2 \mu+2 M \cdot f(r)-\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{k^{2}}{r^{2}}\right\}}} ; \\
\omega=v+\sin ^{-1} \cdot \frac{k \cdot \zeta \cdot r^{-1}}{\sqrt{2 k \lambda-\lambda^{2}}}-\int_{q}^{r} \frac{\sqrt{\frac{M+m}{m}} \cdot \frac{d r}{\sqrt{d r^{2}} \cdot \frac{k}{r^{2}}} \cdot d r}{\sqrt{\left\{2 \mu+2 M f(r)-\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{k^{2}}{r^{2}}\right\}}} \cdot \\
\end{array}
\]

Здесь минимальное расстояние $q$ является функцией двух элементов $k, \mu$, которые должны удовлетворять условиям
\[
2 \mu+2 M \cdot f(q)-\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{k^{2}}{q^{2}}=0, \quad M f^{\prime}(q)+\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{k^{2}}{q^{3}}>0,
\]

a $\sin ^{-1} s, \operatorname{tg}^{-1} t$ использованы (согласно написанию сэра Джона Гершеля) $\left[{ }^{120}\right]$, чтобы выразить не косеканс и котангенс, а обратные функции, соответствующие синусу и косинусу или дугам, которые чаще называют $\operatorname{arc}(\sin =s)$, $\operatorname{arc}(\operatorname{tg}=t)$. Следует отметить также, что множитель $\frac{d r}{\sqrt{d r^{2}}}$, который мы ввели под знак интеграла, не является лишним. Оставаясь равным единице по абсолютной величине, он сообщает ей знак плюс или минус в зависимости от того, является ли $d r$ положительным или отрицательным, т. е. соответственно увеличивается $r$ или уменьшается. Это сделано, чтобы придать каждому подынтегральному выражению неизменно положительное значение.

Вообще говоря, по-видимому, это полезное правило (хотя ему не всегда следуют математики) употреблять символ квадратного корня $\sqrt{R}$ только для положительных величин, если впереди специально не поставлен отрицательный знак. Тогда $\frac{r}{\sqrt{r^{2}}}$ будет означать положительную или отрицательную единицу, соответственно тому, является ли $r$ положительным или отрицательным.

Предполагается, что дуга, обозначаемая синусом в выражении элемента $\omega$, избрана таким образом, что она непрерывно увеличивается с течением времени.
35. После этих замечаний относительно символики применим формулу ( $\left.\mathrm{P}^{2}\right)$, чтобы вычислить значения пятнадцати комбинаций вида $\{k, \lambda\}$ шести постоянных величин или элементов $\left(\mathrm{Q}^{2}\right)$.
Так как
\[
r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}
\]

то легко видеть, что шесть комбинаций четырех первых элементов будут
\[
\{k, \lambda\}=0,\{k, \mu\}=0,\{k,
u\}=0,\{\lambda, \mu\}=0,\{\lambda,
u\}=1,\{\mu,
u\}=0 .
\]

Чтобы образовать четыре комбинации этих четырех элементов с $\tau$, нужно принять во внимание, что пятый элемент $\tau$, как это видно из его выражения $\mathrm{B}\left(\mathrm{Q}^{2}\right)$, явно содержит (помимо времени) расстояние $r$ и два элемента $k, \mu$. Определенные выше комбинации показывают, что эти два элемента могут считаться постоянными при образовании четырех искомых комбинаций. Нам следует учесть изменение $r$, и если мы интерпретируем с помощью правила ( $\mathrm{P}^{2}$ ) символы $\{k, r\},\{\lambda, r\},\{\mu, r\},\{v, r\}$ и примем во внимание уравнения ( $\left.\mathrm{J}^{2}\right)$, то увидим, что
\[
\{k, r\}=0,\{\lambda, r\}=0 ;\{\mu, r\}=-\frac{i d r}{d t}, \quad\{v, r\}=0,
\]

где $\frac{d r}{d t}$ является полной производной $r$ при невозмущенном движении, определенном уравнениями ( $\mathrm{J}^{2}$ ). Следовательно,
\[
\{k, \tau\}=0, \quad\{\lambda, \tau\}=0, \quad\{v, \tau\}=0
\]

и
\[
\{\mu, \tau\}=-\frac{\delta \tau}{\delta r} \frac{d r}{d t}=+\frac{d t}{d r} \frac{d r}{d t}=1 .
\]

Очевидно, что в процессе дифференцирования выражений элементов $\left(Q^{2}\right)$ мы можем считать эти элементы постоянными, если заменим дифференциалы $\xi, \eta, \zeta, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ их невозмущенными значениями. Остается вычислить

пять комбинаций пяти рассмотренных элементов с последним элементом $\omega$, который представлен в $\left(\mathrm{Q}^{2}\right.$ ) как функция расстояния $r$, координаты $\zeta$ и четыpex элементов $k, \lambda, \mu, v$. Таким образом, мы можем использовать формулу
\[
\{e, \omega\}=\frac{\delta \omega}{\delta r}\{e, r\}+\frac{\delta \omega}{\delta \zeta}\{e, \zeta\}+\frac{\delta \omega}{\delta k}\{e, k\}+\frac{\delta \omega}{\delta \lambda}\{e, \lambda\}+\frac{\delta \omega}{\delta \mu}\{e, \mu\}+\frac{\delta \omega}{\delta v}\{e,
u\},
\]

если в ней $е$ будет каким-либо из первых пяти элементов или расстоянием $r$. Тогда
\[
\{e, r\}=-\frac{1}{r}\left(\xi \frac{\delta e}{\delta x^{\prime}}+\eta \frac{\delta e}{\delta y^{\prime}}+\zeta \frac{\delta e}{\delta z^{\prime}}\right),\{e, \zeta\}=-\frac{\delta e}{\delta z^{\prime}}, \quad\{e, k\}=0
\]

и
\[
\frac{\delta \omega}{\delta \zeta}=\left(\frac{\delta k}{\delta z^{\prime}}\right)^{-1}, \frac{\delta \omega}{\delta r}=-\frac{d \zeta}{d r} \frac{\delta \omega}{\delta \zeta}, \frac{\delta \omega}{\delta v}=1 .
\]

Формула (192) может быть записана̄ в следующем виде :
\[
\{e, \omega\}=\left\{\frac{z^{\prime}\left(\xi \frac{\delta e}{\delta x^{\prime}}+\eta \frac{\delta e}{\delta y^{\prime}}+\zeta \frac{\delta e}{\delta z^{\prime}}\right)}{\xi x^{\prime}+\eta y^{\prime}+\zeta z^{\prime}}-\frac{\delta e}{\delta z^{\prime}}\right\}\left(\frac{\delta k}{\delta z^{\prime}}\right)^{-1}+\{e,
u\}+\frac{\delta \omega}{\delta \lambda}\{e, \lambda\}+\frac{\delta \omega}{\delta \mu}\{e, \mu\} .
\]

Мы легко найдем с помощью этой формулы, что
\[
\{k, \omega\}=-1 ;\{\lambda, \omega\}=0 ;\{\mu, \omega\}=0 ;\{r, \omega\}=\frac{d r}{d t} \cdot \frac{\delta \omega}{\delta \mu}
\]

и
\[
\{v, \omega\}=-\frac{\delta v}{\delta z^{\prime}} \frac{\delta \omega}{\delta \zeta}-\frac{\delta \omega}{\delta \lambda}=0 .
\]

Формула (195) распространяется также и на комбинацию $\{\tau, \omega\}$, но в процессе вычисления этой последней комбинации мы должны помнить, что $\tau$ определяется уравнениями ( $\mathrm{Q}^{2}$ ) как функция $k, \mu, r$, так что
\[
\frac{\delta \tau}{\delta r}=-\frac{d t}{d r} \text {. }
\]

Таким образом, с помощью уже определенных комбинаций (196), мы видим, что
\[
\{\tau, \omega\}_{2}^{\prime}=-\frac{\delta \tau}{\delta k}-\frac{\delta \omega}{\delta \mu}=\frac{\delta}{\delta k} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r+\frac{\delta}{\delta \mu} \int_{q}^{r} \Omega_{r} d r,
\]

где $\theta_{r}$ и $\Omega_{r}$ – сокращенное обозначение коэффициентов при $d r$ в подынтегральном выражении формул $\left(\mathrm{Q}^{2}\right)$, а именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta_{r}=\sqrt{\frac{M}{M+m}} \frac{d r}{\sqrt{d r^{2}}}\left\{2 \mu+M f(r)-\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k^{2}}{r^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}, \\
\Omega_{r}=\frac{k}{r^{2}} \sqrt{\frac{M+m}{M}} \frac{d r}{\sqrt{d r^{2}}}\left\{2 \mu+2 M f(r)-\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k^{2}}{r^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Эти коэффициенты, очевидно, связаны соотношением
\[
\frac{\delta \theta_{r}}{\delta k}+\frac{\delta \Omega_{r}}{\delta \mu}=0,
\]

которое (после интегрирования) принимает вид
\[
\frac{\delta}{\delta k} \int_{r,}^{r} \theta_{r} d r+\frac{\delta}{\delta \mu} \int_{r,}^{r} \Omega_{r} d r=0 .
\]

Здесь $r$, является величиной, независимой по отношению к элементам $k$ и $\mu$. Мы могли бы, следовательно, сразу заключить с помощью (199), что комбинация $\{\tau, \omega\}$ исчезает, если бы не обнаружилась трудность, заключающаяся в необходимости варьирования нижнего предела $q$, зависящего от этих двух элементов, и в том, что на этом нижнем пределе коэффициенты $\theta_{r}, \Omega_{r}$ становятся бесконечными.

Однако соотношение (202) показывает, что мы можем представить комбинацию $\{\tau, \omega\}$ следующим образом :
\[
\{\tau, \omega\}=\frac{\delta}{\delta k} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r+\frac{\delta}{\delta \mu} \int_{q}^{r} \Omega_{r} d r
\]

где $r$, является вспомогательной и произвольной величиной, которая фактически не может повлиять на результат, но может облегчить вычисление. Другими словами, мы можем придать расстоянию $r$ произвольное значение, не изменяющееся в зависимости от бесконечно малых вариаций $k, \mu$. Это может оказать помощь в процессе вычисления значения формулы (199). Поэтому мы можем предположить, что увеличение расстояния $r-q$ мало́ и соответствует малому положительному интервалу времени $t-\tau$, в течение которого расстояние $r$ и его производная $r^{\prime}$ постоянно увеличиваются. И далее, после первого момента $\tau$ величина
\[
\theta_{r}=\frac{1}{r^{\prime}}
\]

будет постоянно ограничена, положительна и будет уменьшаться в течение того же самого интервала времени, так что ее интеграл должен быть больше, чем в том случае, если бы он имел постоянно свое конечное значение, т. е.
\[
t-\tau=\int_{q}^{r} \theta_{r} d r>(r-q) \theta_{r} .
\]

Следовательно, хотя $\theta_{r}$ стремится к бесконечности, тем не менее $(r-q) \cdot \theta_{r}$ стремится к нулю, когда при уменьшении интервала мы заставляем $r$ стремиться к $q$. Поэтому разность
\[
\int_{q}^{r} \Omega_{r} d r-\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k}{q^{2}} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r=\frac{M+m}{M} \int_{q}^{r}\left(\frac{k}{r^{2}}-\frac{k}{q^{2}}\right) \theta_{r} d r
\]

будет также стремиться к нулю одновременно с ее частной производной первого порядка, взятой по $\mu\left[{ }^{121}\right]$.

Мы находим, таким образом, следующую формулу для $\{\tau, \omega\}$ (приняв во внимание, что, как было показано, эта комбинация не зависит от $r$ ):
\[
\{\tau, \omega\}=\Lambda_{r=q}\left\{\frac{\delta}{\delta k} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r+\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k}{q^{2}} \cdot \frac{\delta}{\delta \mu} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r\right\},
\]

где знак $\Lambda_{r=q}$ означает, что берется предел, к которому стремится это выражение, когда $r$ стремится к $q$.

В последней формуле, как и в (199), интеграл $\int_{q}^{r} \theta_{r} d r$ можно рассматривать как известную функцию от $r, q, k, \mu$ или просто от $r, q, k$, если $\mu$ исключается

с помощью первого условия (186). Следовательно, он исчезает независимо от $k$, когда $r=q$. Это можно обозначить так:
\[
\int_{4}^{r} \theta_{r} d r=\Phi(r, q, k)-\Phi(q, q, k),
\]

причем форма функции $\Phi$ зависит от закона притяжения или отталкивания. Поэтому, когда рассматривается зависимость этого интеграла от $k$ и $\mu$ через посредство зависимости от $k$ и $q$, необходимо, чтобы интеграл не изменялся вместе с $k$ в процессе вычисления $\{\tau, \omega\}$ по формуле (207), потому что его частные производные $\left(\frac{\delta}{\delta k} \int_{q}^{r} \theta_{r} d r\right)$, полученные, когда $q$ считается постоянной, исчезают в пределе при $r=q$. Его изменение с изменением $q$ также не должно иметь места, потому что согласно формуле (186)
\[
\frac{\delta q}{\delta k}+\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k}{q^{2}} \frac{\delta q}{\delta \mu}=0 .
\]

Поэтому рассматриваемый интеграл может считаться постоянным, и мы найдем, наконец,
\[
\{\tau, \omega\}=0 .
\]

Выражения (199) или (203) – оба стремятся к бесконечности, когда $r$ стремится к $q$, но всегда уничтожают друг друга.
36. Объединяя теперь наши результаты и представляя для большей ясности каждую комбинацию в двух формах, в каких она встречается, когда изменяется порядок элементов, мы получаем для каждой двойной системы следующие тридцать выражений [122]:
$\{k, \lambda\}=0,\{k, \mu\}=0, \quad\{k,
u\}=0, \quad\{k, \tau\}=0,\{k, \omega\}=-1$,
$\{\lambda, k\}=0,\{\lambda, \mu\}=0, \quad\{\lambda,
u\}=1, \quad\{\lambda, \tau\}=0,\{\lambda, \omega\}=0$,
$\{\mu, k\}=0,\{\mu, \lambda\}=0,\{\mu,
u\}=0,\{\mu, \tau\}=1,\{\mu, \omega\}=0$,
$\{v, k\}=0,\{v, \lambda\}=-1,\{v, \mu\}=0, \quad\{v, \tau\}=0,\{v, \omega\}=0$,
$\{\tau, k\}=0,\{\tau, \lambda\}=0, \quad\{\tau, \mu\}=-1,\{\tau,
u\}=0,\{\tau, \omega\}=0$,
$\{\omega, k\}=1,\{\omega, \lambda\}=0, \quad\{\omega, \mu\}=0,\{\omega,
u\}=0,\{\omega, \tau\}=0$.
В этой системе три комбинации
\[
\{\mu, \tau\},\{\omega, k\},\{\lambda,
u\}
\]

равны каждая положительной единице ; три обратные комбинации
\[
\{\tau, \mu\}, \quad\{k, \omega\},\{v, \lambda\}
\]

равны каждая отрицательной единице, а все остальные равны нулю. Шесть дифференциальных уравнений первого порядка для шести переменных элементов какой-либо двойной системы ( $m, M$ ) имеют согласно $\left(0^{2}\right)$ следующий вид :
\[
\left.\begin{array}{l}
m \frac{d \mu}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}, \quad m \frac{d \tau}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta \mu}, \\
m \frac{d \omega}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta k}, \quad m \frac{d k}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta \omega}, \\
m \frac{d \lambda}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta v}, \quad m \frac{d v}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta \lambda} .
\end{array}\right\}
\]

Если мы опустим вариацию $t$, то все они могут быть в итоге представлены в следующей форме для вариации $H_{2}$ :
\[
\delta H_{2}=\sum m\left(\mu^{\prime} \delta \tau-\tau^{\prime} \delta \mu+\omega^{\prime} \delta k-k^{\prime} \delta \omega+\lambda^{\prime} \delta
u-
u^{\prime} \delta \lambda\right) .
\]

Эта единственная формула дает возможность вывести все $6 n-6$ дифференциальных уравнений первого порядка для всех переменных элементов всех двойных систем из вариации или из частных производных одной величины $\mathrm{H}_{2}$, выраженной как функция этих элементов.

Если мы решим ввести в уравнение ( $\mathrm{T}^{2}$ ) для $\delta H_{2}$ вариацию времени $t$, то должны только заменить $\delta \tau$ на $\delta \tau-\delta t$, потому что согласно $\left(\mathrm{Q}^{2}\right) \delta t$ входит только в таком виде, т. е. $t$ входит только в форме $t-\tau_{i}$ в выражения $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime}$ как функции времени и этих элементов. Мы имеем поэтому
\[
\frac{\delta H_{2}}{\delta t}=-\Sigma \frac{\delta H_{2}}{\delta \tau}=-\Sigma m \mu^{\prime},
\]

и, следовательно, согласно формулам ( $\left.\mathrm{H}^{2}\right),\left(\mathrm{Q}^{2}\right)$,
\[
H_{1}=\sum m \mu .
\]

Окончательно находим
\[
\frac{d H_{1}}{d t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta t} .
\]

Эта замечательная форма для дифференциала величины $H_{1}$, рассматриваемой как переменный элемент, является общей для всех проблем динамики.

Посредством общего метода она может быть выведена из формул пп. 13 и 14 , которые дают [123] :
\[
\begin{array}{r}
\frac{d H_{1}}{d t}=\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{1}} \sum\left(\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta} \frac{\delta k_{1}}{\delta \omega}-\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}} \frac{\delta k_{1}}{\delta \eta}\right)+\ldots+\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{6 n}} \sum\left(\frac{\delta H_{1}}{\delta \eta} \frac{\delta k_{6 n}}{\delta \bar{\omega}}-\frac{\delta H_{1}}{\delta \bar{\omega}} \frac{\delta k_{6 n}}{\delta \eta}\right)= \\
=\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{1}} \frac{\delta k_{1}}{\delta t}+\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{2}} \frac{\delta k_{2}}{\delta t}+\ldots+\frac{\delta H_{2}}{\delta k_{6 n}} \frac{\delta k_{6 n}}{\delta t}=-\frac{\delta H_{2}}{\delta t},
\end{array}
\]

где $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{6 n}$ являются какими-либо $6 n$ элементами системы, выраженными как функции времени и величин $\eta, \omega$. При специальном и более конкретном разборе мы увидим, что $H_{1}+H_{2}$ является постоянной возмущенного движения и что при взятии первых прог годных от $H_{2}$ по времени эти элементы могут согласно (F1) считаться постоянными. Это также замечательный результат только что рассмотренных общих принципов, но нетрудно проверить, что первая частная производная $\frac{\partial k_{s}}{\partial t}$ какого-либо элемента $k_{s}$, взятая по времени, может быть выражена как функция одного только элемента, не включающая время в явном виде.