37. Когда мы проинтегрируем дифференциальные уравнения переменных элементов ( $\mathrm{S}^{2}$ ), то сможем вычислить переменные относительные координаты $\xi, \eta, \zeta$ для какой-либо двойной системы ( $m, M$ ) с помощью законов невозмущенного движения, выраженных уравнениями ( $\left.\mathrm{J}^{2}\right),\left(\mathrm{Q}^{2}\right)$ или посредством
следующих формул:
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=r\left(\cos \theta+\frac{\lambda}{k} \sin (\theta-
u) \sin
u\right), \\
\eta=r\left(\sin \theta-\frac{\lambda}{k} \sin (\theta-
u) \cos v\right), \\
\zeta=\frac{r}{k} \sqrt{2 \lambda k-\lambda^{2}} \sin (\theta-v) .
\end{array}\right\}
\]
В этих формулах расстояние $r$ определяется как функция времени $t$ и элементов $\tau, k, \mu$ посредством пятого уравнения ( $\left.\mathrm{Q}_{2}\right)$. В уравнениях ( $\mathrm{V}^{2}$ ) имеем $\left[{ }^{124}\right]$
\[
\theta=\omega+\int_{q}^{r} \frac{\sqrt{\frac{M+m}{M}} \cdot \frac{d r}{\sqrt{d r^{2}}} \cdot \frac{k}{r^{2}} \cdot d r}{\sqrt{\left\{2 \mu+2 M f(r)-\frac{M+m}{M} \cdot \frac{k^{2}}{r^{2}}\right.}},
\]
где $q$ по-прежнему выражает минимум $r$, когда орбита рассматривается как постоянная, и по-прежнему связано с элементами $k, \mu$, согласно первому уравнению условий (186). С астрономической точки зрения, $M$ – это Солнце ; $m$ – планета; $\xi, \eta, \zeta$ – гелиоцентрические прямоугольные координаты ; $r$ – радиус-вектор ; $\theta$ – долгота по орбите ; $\omega$ – долгота перигелия; $v$ – долгота точки пересечения орбит; $\theta$ – $\omega$ – действительная аномалия ; $\theta-v$ – угол (argument) широты ; $\mu$ – неизменная часть половины квадрата невозмущенной гелиоцентрической скорости, уменьшенной в отношении массы Солнца ( $M$ ) к суммарной массе Солнца и планеты $(M+m) ; k$ – двойная секториальная скорость, уменьшенная в том же отношении ; $\frac{\lambda}{k}$ – обратный синус наклона орбиты; $q$ – расстояние перигелия и $\tau$ – время прохождения перигелия. Закон притяжения и отталкивания остается здесь неопределенным. По закону Ньютона $\mu$ является массой Солнца, деленной на большую ось орбиты, взятую с отрицательным знаком, а $k$ – квадратный корень из половины параметра, умноженный на массу Солнца и деленный на квадратный корень из суммы масс Солнца и планеты.
Изменяющийся эллипс или другая орбита, требуемая предшествующими формулами, соответственно (хотя и немного) отличается от орбиты, используемой до сих пор астрономами.
Это происходит потому, что она правильно дает гелиоцентрические координаты, но не гелиоцентрические компоненты скорости без дифференцирования элементов при вычислении.
Поэтому наша орбита (по существу) не касается, но пересекает (хотя и под очень малым углом) подлинную гелиоцентрическую орбиту, описываемую под влиянием всех возмущающих сил.
38. Из рассмотренной теории следует, что если мы дифференцируем выражения (V) для гелиоцентрических координат, не дифференцируя элементов, а затем определяем по отношению к ним новые переменные элементы, то их значения являются функциями времени, полученными из уравнений ( $\mathbf{S}^{2}$ ).
Компоненты центробарической скорости мы выводим согласно формулам ( $\left.\mathrm{J}^{2}\right)$ или следующим из них :
\[
x^{\prime}=\frac{M \xi^{\prime}}{M+m}, \quad y^{\prime}=\frac{M \eta^{\prime}}{M+m}, \quad z^{\prime}=\frac{M \zeta^{\prime}}{M+m} .
\]
Тогда эти центробарические компоненты будут теми же функциями времени и новых переменных элементов, которые могли быть выведены иначе посредством исключения из интегралов $\left(Q^{2}\right)$. Они будут строго представлять (путем распространения теории на эти ранее упоминавшиеся интегралы) компоненты скорости возмущенной планеты $m$ относительно центра тяжести всей солнечной системы. Мы предпочли (и это вполне соответствует общему направлению нашего метода), чтобы эти центробарические компоненты скорости были вспомогательными переменными, объединяемыми с гелиоцентрическими координатами. Их возмущенные значения были в этом случае строго выражены формулами невозмущенного движения. Этот выбор сделал необходимым видоизменить эти последние формулы и определить орбиту, существенно отличающуюся теоретически (хотя мало отличающуюся практически) от орбиты, так блестяще разработанной Лагранжем. Орбита, которую он себе представлял, была более просто связана с гелиоцентрическим движением единственной планеты, следовательно, она давала для такого гелиоцентрического движения как скорость, так и положение (планеты). Орбита, которую мы избрали, быть может, более тесно связана с концепцией множественной системы, движущейся относительно ее общего центра тяжести и подверженной в каждой ее части влиянию со стороны всех остальных. Қакая бы орбита ни была в будущем принята астрономами, следует помнить, что обе они одинаково пригодны для описания небесных явлений, если числовые элементы каждой системы будут соответствующим образом определены при наблюдениях, а элементы другой системы орбит будут выведены из результатов наблюдения в процессе вычисления. Тем временем математики решат: пожертвовать ли частично простотой той геометрической концепции, исходя из которой выведены теории Лагранжа и Пуассона для простоты другого рода (которая хотя еще не введена, но была бы желательна для этих превосходных теорий), получаемой благодаря нашим достижениям в строгом выражении дифференциалов всех наших собственных новых переменных элементов через посредство единственной функции (поскольку до сих пор казалось необходимым употреблять одну функцию для Земли, возмущенной Венерой, и другую функцию для Венеры, возмущенной Землей).
