Принцип наименьшего действия в гамильтоновой форме выражается в классической динамике следующим образом :
t. \”Динамические уравнения могут быть выведены из того, что интеграл $\int_{t}^{t *} L d t$, взятый в фиксированных пределах времени для начальных и конеч$i_{1}$
ных значений, задаваемых параметрами $q_{i}$, определяющими состояние системы, имеет стационарное значение». По определению, $L$ называют функцией Лагранжа и предполагают, что она зависит от переменных $q_{i}$ и $\dot{q}_{i}=\frac{d q_{i}}{d t}$.
Таким образом, имеем
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0 .
\]

Известным методом вариационного исчисления отсюда выводятся так называемые уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_{i}},
\]

число которых равно числу переменных $q_{i}$.
Остается определить функцию $L$. Классическая динамика полагает. функцию $L$ равной разности кинетической и потенциальной энергии :
\[
L=E_{\text {кин }}-E_{\text {пот }} .
\]

Дальше мы увидим, что релятивистская динамика применяет другое выражение для $L$.

Перейдем теперь к принципу наименьшего действия в форме Мопертюи. Для этого заметим сначала, что уравнения Лагранжа в своей общей форме, приведенной выше, допускают первый интеграл, так называемую «энергию системы», равную
\[
W=-L+\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i},
\]

при условии, однако, что функция $L$ не зависит явно от времени, что мы и будем предполагать в дальнейшем. Действительно, при этом получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d W}{d t}=-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \ddot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} \ddot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \dot{q}_{i}= \\
=\sum_{i} \dot{q}_{i}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right],
\end{array}
\]

что согласно уравнениям Лагранжа равно нулю. Таким образом,
\[
W=\text { const } .
\]

Применим теперь принцип Гамильтона ко всем «варьированным» траекториям, которые переводят систему из начального состояния $A$ в конечное состояние $B$ и которые соответствуют определенному значению энергии $W$. Поскольку $W, t_{1}$ и $t_{2}$ – константы, можно написать
\[
\delta \int_{i_{1}}^{t_{2}} L d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}(L+W) d t=0,
\]

или
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i_{j}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i} d t=\delta \int_{A}^{B} \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d q_{i}=0,
\]

причем последний интеграл распространяется на все значения $q_{i}$ в пределах между значениями, определяющими состояния $A$ и $B$, таким образом, чтобы время при этом исключалось. Тогда для полученной новой формы не приходится вводить никаких ограничений, относящихся ко времени. Однако варьированные траектории должны всегда соответствовать одному и тому же значению $W$ энергии.

Согласно классической записи канонических уравнений примем: $p_{i}=$ $=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}$. Импульсы $p_{i}$ являются каноническими сопряженными переменных $q_{i}$. Принцип Мопертюи напишется в классической динамике так:
\[
\delta \int_{A}^{B} \sum_{i} p_{i} d q_{i}=0,
\]

где $L=E_{\text {кин }}-E_{\text {пот }}$; причем $E_{\text {пот }}$ не зависит от $\dot{q}_{i,}$ а $E_{\text {кии }}$ является однородной квадратичной функцией $\dot{q}_{i}$. В силу теоремы Эйлера
\[
\sum_{i}^{2} p_{i} d q_{i}=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t=2 E_{\text {кин }} d t .
\]

Для материальной точки $E_{\text {кин }}=\frac{1}{2} m v^{2}$, и принцип наименьшего действия принимает форму, которая была известна ранее всех других:
\[
\delta \int_{A}^{B} m v d l \stackrel{\bullet}{=} 0,
\]

где $d l$-элемент траектории.