Пусть два Упругих Тела, Массы которых равны $A$ и $B$, движутся в одну и ту же сторону со скоростями $a$ и $b$, но $A$ движется быстрее, чем $B$, так что оно догонит $B$ и толкнет его; пусть $\alpha$ и $\beta$ – скорости тел после удара; сумма или разность этих скоростей после удара остается той же, какой она была до него.
Изменение, произведенное во Вселенной, состоит в том, что тело $A$, которое двигалось со скоростью $a$ и которое за некоторое время пробегало пространство, равное $a$, движется уже только со скоростью $\alpha$ и пробегает только пространство $\alpha$; тело $B$, которое двигалось только со скоростью $b$ и пробегало пространство, равное $b$, движется со скоростью $\beta$ и пробегает пространство $\beta$.
Это изменение является, следовательно, тақим же, какое произошло бы, если бы пока тело $A$ двигалось со скоростью $a$ и пробегало пространство, равное $a$, оно увлекалось бы назад нематериальной плоскостью, двигающейся со скоростью $a$ – $\alpha$, на расстояние, равное $a-\alpha$; и пока тело $B$ двигалось бы со скоростью $b$ и пробегало пространство $b$, оно увлекалось бы вперед нематериальной плоскостью, двигающейся со скоростью $\beta-b$, на расстояние $\beta-b$.
Итак, если тела $A$ и $B$ движутся с собственными скоростями на подвижных плоскостях или, если они находятся на них в покое, а движение этих нагруженных плоскостей является таким же, то Количества Действия, произведенные в Природе, будут равны $A(a-\alpha)^{2}$ и $B(b-\beta)^{2}$, сумма которых должна быть наименьшей возможной. Следовательно, имеем
\[
A a a-2 A a \alpha-A \alpha \alpha+B \beta \beta-2 b b \beta+B b b=\text { Minimum }
\]
или
\[
-2 A a d \alpha+2 A \alpha d \alpha+2 B \beta d \beta-2 B b d \beta=0 .
\]
Но для Упругих Тел относительная скорость после удара остается той же самой, как и до него, поэтому имеем $\beta-\alpha=a-b$ или $\beta=\alpha+a-b$ и $d \beta=d \alpha$, что после подстановки в предыдущее уравнение дает для скоростей
\[
\alpha=\frac{A a-B a+2 B b}{A+B} \text { и } \beta=\frac{2 A a-A b+B b}{A+B} .
\]
Если тела движутся навстречу друг другу, легко применить то же самое рассуждение: достаточно при этом рассматривать $b$ как отрицательную
величину относительно $a$; тогда скорости будут
\[
\alpha=\frac{A a-B a-2 B b}{A+B} \text { и } \beta=\frac{2 A a+A b-B b}{A+B} .
\]
Если одно из тел до удара находится в покое, то $b=0$, и скорости будут
\[
\alpha=\frac{A a-B a}{A+B} \quad \text { и } \beta=\frac{2 A a}{A+B} .
\]
Если одним из тел является непоколебимое препятствие, то, рассматривая это препятствие как тело $B$ с бесконечной Массой в покое, получим, что скорость $\alpha=-a$, т. е. тело $A$ будет отброшено с той же скоростью, которую оно имело, ударяясь о препятствие.
Если возьмем сумму живых Сил, то увидим, что после удара она остается такой же, какой была до него, т. е.
\[
A \alpha \alpha+B \beta \beta=A a a+B b b .
\]
Здесь сумма Живых Сил сохраняется после удара, но это сохранение имеет место только для Упругих Тел, а не для Твердых Тел. Общим принципом, который распространяется и на те и на другие, является то, что Количество Действия, необходимое для того, чтобы произвести некоторое изменение в Природе, является наименьшим возможным.
Этот принцип является таким универсальным и таким плодотворным, что из него вытекает Закон Покоя или Равновесия. Очевидно, при этом нет различия между Твердыми и Упругими Телами.
