I. В предыдущей заметке я исследовал форму, которую должна принять нить, совершенно гибкая или обладающая известной степенью жесткости, под действием каких-либо сил, направленных к неподвижным точкам, число которых может быть каким угодно; там я нашел выражения; значение которых для фигуры равновесия является наименьшим; таким образом, если бы были известны откуда-нибудь эти выражения, можно было бы по методу maxima и minima найти фигуру равновесия такой нити, не принимая непосредственно во внимание принципов механики, на которых это отыскание основывается. Уже давно философы придерживаются с достаточным основанием того мнения, что природа во всех своих творениях стремится постоянно к некоторому минимуму; Мопертюи только что поставил этот взгляд вне всяких сомнений в нескольких заметках, относящихся как к состоянию равновесия тел, так и к их движению. Поэтому мы считаем, что мы в состоянии найти этот минимум для форм нитей, находящихся под действием каких-либо сил. Но, если я пришел к познанию этого минимума a posteriori, то теперь речь идет о том, чтобы провести рассуждения, которые могут привести нас к тому же познанию a priori, иначе говоря, нужно найти принципы, из которых можно было бы сделать вывод об этом минимуме, даже если бы мы не знали еще кривой, форму которой принимает нить в действительности. Эти принципы, коль скоро они были бы открыты, не замедлили бы пролить свет на законы, которые природа соблюдает в бесконечном числе других своих явлений, для объяснения которых механика еще не достигла достаточной степени совершенства; нет сомнения в том, что метафизика сможет получить из этого открытия значительное количество разъяснений 0 способе действия сил вообще.
II. Чтобы обеспечить больший успех этому исследованию, следует начать с того же соображения, которым воспользовался Мопертюи, для установления общего закона покоя : это соображение приведет нас к более точному и более плодотворному пониманию того, что разумеют под количеством действия сил. Мы увидим, что то, что обозначается этим термином, имеет первостепенное значение в вопросах о действии сил, независимо от того, находятся ли тела, на которые действуют силы, в покое, или же они приведены в движение; это я покажу при помощи ряда весьма убедительных доказательств. После этого легко будет согласиться с тем, что это количество действия сил должно входить во все выражения, значения которых являются наименьшими при том эффекте, который производят эти силы. То, что природа во всех своих творениях употребляет наименьшее возможное количество действия, является общепризнанным правилом; но до сих пор в большинстве случаев было в высшей степени трудно точно определить это количество действия, об экономии которого так заботится природа. Но как только мы образуем понятие, несколько отличающееся от понятия действия сил, которое Мопертюи так удачно открыл для изучавшегося им случая равновесия, сейчас же будет устранено большинство других трудностей, которые, по-видимому, связаны с рядом разнообразных случаев, и мы будем вынуждены признать, что это понятие может быть приложено повсюду как в механике, так и вообще в физике. Но если бы даже кто-либо не одобрил доказательств, при помощи которых я применяю это понятие к ряду эффектов, производимых теми или иными силами, все же он был бы вынужден признать основательность этого понятия благодаря многочисленным случаям, которые могут быть проверены при помощи обычных принципов механики.
III. Главным предметом исследований Мопертюи, при открытии им общего закона покоя, в «Mémoires de l’Académie royale des sciences de Paris», 1740, была форма, которую должна принять жидкая масса, все частицы которой находятся под действием каких-либо сил. Я также буду рассматривать жидкую массу, все частицы которой притягиваются к неподвижным центрам, число которых может быть каким угодно, силами, пропорциональными некоторым функциям расстояний от этих центров; прежде всего я займусь отысканием формы, которую должна принять эта жидкая масса для того, чтобы она была в покое, или в равновесии. Затем я постараюсь найти, что́ в этой форме равновесия будет иметь максимум или минимум, для того чтобы быть в состоянии определить, что́ следует понимать под наименованием количества действия приложенных сил; в заключение путем некоторых рассуждений я дам почувствовать первостепенную важность этого понятия во всех изысканиях, относящихся к эффектам, производимым какими-либо силами. Прежде всего очевидно, что для того, чтобы такая жидкая масса была в равновесии, необходимо, чтобы среднее направление сил, действующих на каждую частицу, находящуюся на поверхности, было перпендикулярно к поверхности; в самом деле, если бы среднее направление сил было наклонно к поверхности, частица, которая находится под действием этих сил, пришла бы в движение в направлении проекции этой наклонной на касательную плоскость, а следовательно, масса никак не была бы в равновесии. Чтобы подойти к этому исследованию, я начну с общего опреде ления положения прямой, перпендикулярной к какой-либо поверхности.
IV. 3 адача r. Дана некоторая поверхность, на которой находится точка $Z$. Найти положение прямой $ZP$, перпендикулярной к этой поверхности в точке $Z$.

Решение. Чтобы определить вид этой поверхности, я выбираю пронзвольно три оси $AB,AC$ и $AD$ (рис. 1), перпендикулярные между собой ; из них пусть $AB$ и $AC$ лежат в плоскости чертежа, а третья ось $AD$ — перпендикулярна к ней. Из какой-либо точки $Z$ поверхности я опускаю перпендикуляр $ZY$ на плоскость $BAC$, а из точки $Y$-перпендикуляр $YX$ на ось $AB$, так что положение точки $Z$ будет определяться тремя координатами $AX$, $XY$ и $YZ$, которые я назову $AX=x,XY=y$ и $YZ=z$. Теперь, после того как вид поверхности выражен некоторым уравнением между этими тремя координатами $x,y,z$, мне остается только рассмотреть дифференциал
$$Xdx+Ydy+Zdz=0,$$

где $X,Y,Z$ обозначают некоторые функции координат $x,y,z$, которые могут быть найдены дифференцированием конечного уравнения поверхности. Теперь я рассматриваю прежде всего фигуру $EZ$, которая получается при пересечении данной поверхности плоскостью $IYZ$, параллельной плоскости $BAD$. Вид этой кривой $EZ$ будет выражен данным уравнением, если положить $XY=y$ постоянной, а следовательно, ее дифференциал $dy=0$, так что для этой кривой $EZ$ мы будем иметь уравнение
$$Xdx+Zdz=0,$$

связывающее две координаты $IY=x$ и $YZ=z$. Пусть прямая $ZM$ будет перпендикулярна к этому сечению $EZ$; тогда известно, что субнормаль $YM$ будет равняться $z\frac{dz}{dx}$; отсюда, так как $\frac{dz}{dx}=-\frac{X}{Z}$, мы будем иметь $YM=$ $=-\frac{Xz}{Z}$. Проведем на плоскости $BAC$, к которой секущая плоскость $IYZ$ перпендикулярна, через точку $M$ прямую $MP$, перпендикулярную к $YM$; ясно, что все прямые, проведенные через точку $Z$ и пересекающие эту прямую $MP$, также будут перпендикулярны к сечению $EZ$. Следовательно, среди этих прямых будет ита прямая $ZP$, которая перпендикулярна не только к сечению $EZ$, но также и к самой данной поверхности. Чтобы найти этот искомый перпендикуляр, я подобным же образом пересекаю данную поверхность плоскостью $XYZ$, параллельной плоскости $CAD$; предположим, что $FZ$ — полученное сечение; его вид будет определяться общим уравнением, в котором $AX=x$ положено постоянной величиной, а следовательно, $dx=0$. Тогда для сечения $FZ$ получим уравнение
$$Ydy+Zdz=0,$$

связывающее координаты $XY=y$ и $YZ=z$. Проведем также и к этому сечению $FZ$ перпендикуляр $ZN$; тогда, очевидно, субнормаль будет
$$YN=\frac{zdz}{dy}=-\frac{Yz}{Z}.$$

Если через точку $N$ провести перпендикуляр $NP$ к прямой $YN$ в плоскости $BAC$, к которой перпендикулярно сечение $FZ$, то все прямые, проходящие через точку $Z$ и пересекающие прямую $NP$, будут также перпендикулярны к сечению FZ. Следовательно, если из точки $P$ пересечения прямых $MP$ и $NP$ мы проведем прямую $PZ$, она будет перпендикулярна к самой данной поверхности $EZF$. Итак, точку $P$, в которой искомый перпендикуляр встречает плоскость $BAC$, мы найдем, если возьмем $YM=-\frac{Xz}{Z}$ и $YN=-\frac{Yz}{Z}$ и если на этих отрезках построим параллелограмм $YMPN$; четвертая вершина его, $P$, будет искомой точкой. Итак, очевидно, что, имея для поверхности дифференциальное уравнение $Xdx+Ydy+Zdz=0$, можно получить из него длины отрезков $YM$ и $YN$ в конечном виде. Это и требовалось найти.
V. 3 адача II. Найти силы, которые могут действовать на точку $Z$ заданной поверхности, при условии, что их среднее направление перпендикулярно к этой поверхности.

Решение. Пусть, как и раньше, $Xdx+Ydy+Zdz=0$ — дифференциальное уравнение, которое определяет вид заданной поверхности в координатах $AX=x,XY=y$ и $YZ=z$. Қакие бы силы ни действовали на точку $Z$, они всегда могут быть приведены к трем силам, направления которых параллельны трем осям $AB,AC$ и $AD$. Пусть $Q$ — сила, действующая в направлении, параллельном $AB,R$ — сила, действующая в направлении $AC$ и $S$ — в направлении $AD$ таким образом, что эти силы стремятся увели-

читъ значения переменных $x,y,z$. Так как среднее направление этих сил $\left[{}^{15}\right]$ должно быть перпендикулярно к поверхности, то оно совпадает с прямой $ZP$, положение которой мы только что определили, найдя $YM=-\frac{Xz}{Z}$ и $YN=-\frac{Yz}{Z}$. Пусть $P-$ сила, которая, действуя в направлении $ZP$, эквивалентна трем заданным силам $Q,R,S$. Поэтому эта сила $P$, будучи разложена по направлениям $ZY$ и $YP$, даст в направлении $ZY$ силу, равную $\frac{YP}{ZP}P$, а в направлении, параллельном $YP$, — силу, равную $\frac{YP}{ZP}P$; эту последнюю мы разложим е ще по направлениям $YM$ и $YN$ и получим в направлении $YM$ силу $\frac{YM}{ZP}P$, а в направлении $YN$ — силу, равную $\frac{YN}{ZP}P$. Итак, сила $P$ будет разложена на три силы по направлениям, параллельным трем осям $AB,AC,AD$; из них первая, которая действует параллельно $AB$, будет равна $\frac{YM}{ZP}P$, вторая, которая действует параллельно $AC$, будет равна $\frac{YN}{ZP}P$, третья, которая действует параллельно $AD$, будет равна $-\frac{YZ}{ZP}P$, потому что направление $ZY$ последней противоположно направлению оси $AD$, к которой мы ее относим. Итак, чтобы сила $P$, направленная перпендикулярно к поверхности по $ZP\left[{}^{16}\right]$, была эквивалентна данным силам $Q$, $R,S$, необходимо, чтобы эти последние были соответственно равны тем трем силам, на которые мы только что разложили силу $P$. Следовательно, мы получаем следующие равенства :
$$Q=\frac{YM}{ZP}P,R=\frac{YN}{ZP}P\text{ и }S=-\frac{YZ}{ZP}P.$$

Так қак мы нашли
$$YM=-\frac{Xz}{Z}\text{ и }YN=-\frac{Yz}{Z},$$

то вследствие того, что $YZ=z$, мы будем иметь [17]:
$$YP=\frac{z}{Z}\sqrt{XX+YY}\text{ и }ZP=\frac{z}{Z}\sqrt{XX+YY+ZZ}.$$

Положим для сокращения
$$\sqrt{XX+YY+ZZ}=W;$$

тақ как
$$ZP=\frac{Wz}{Z},$$

то три найденных равенства заменяются такими :
$$Q=-\frac{X}{W}P,R=-\frac{Y}{W}P\text{ и }S=-\frac{Z}{W}P.$$

Следовательно, три силы $Q,R,S$, которые действуют по направлениям трех координат $x,y,z$, будут относиться как величины $X,Y,Z$, которые входят в дифференциальное уравнение
$$Xdx+Ydy+Zdz=0,$$

выражающее вид поверхности. Что и требовалось найти.
VI. 3адача III. Найти форму, которую примет жидкая масса, если на все её частицы действуют какие-либо силы.

Решение иусть $Z$ — точка на поверхности той жидкой массы, форму [18] которой мы ищем, или, что сводится к тому же, речь идет о том, чтобы найти уравнение, связывающее три координаты $AX=x,XY=y$ и $YZ=z$, которое выражает вид поверхности данной жидкой массы. Пусть дифференциал уравнения, которое мы ищем, будет
$$Xdx+Ydy+Zdz=0.$$

Теперь, какие бы силы ни действовали на точку $Z$, их можно будет свести к силам вдоль наших трех координат. Итак, пусть $Q$ будет сила, которая действует в направлении, параллельном $AX;R$ — сила, которая действует в направлении, параллельном $XY$, и $S$ — сила, которая действует в направлении $YZ$. Если так, то для равновесия жидкой массы необходимо, чтобы среднее направление этих трех сил было перпендикулярно к поверхности. Поэтому, если через $P$ обозначить силу, эквивалентную трем данным силам $Q,R$ и $S$, которая должна действовать перпендикулярно к поверхности, и положить для сокращения $W=\sqrt{XX+YY+ZZ}$, то решение предыдущей задачи даст нам следующие уравнения:
$$Q=-\frac{X}{W}P,R=-\frac{Y}{W}P,S=-\frac{Z}{W}P.$$

Из этих уравнений мы находим
$$X=-\frac{W}{P}Q,Y=-\frac{W}{P}R,Z=-\frac{W}{P}S.$$

Если эти значения подставить в уравнение
$$Xdx+Ydy+Zdz=0,$$

которое должно выражать искомую форму, то мы получим уравнение:
$$Qdx+Rdy+Sdz=0.$$

Отсюда видно, что, зная силы $Q,R,S$, которые действуют на каждую точку жидкой массы по направлениям трех координат $x,y,z$, нет ничего проще, как составить дифференциальное уравнение, выражающее ту форму жидкой массы, которую нужно было найти. Тогда сила, эквивалентная трем силам $Q,R,S$, которые действуют совместно на точку $Z$, будет равна
$$P=\sqrt{QQ+RR+SS}$$

и будет иметь направление перпендикуляра к поверхности. Чтобы найти это направление, нужно только взять $YM=-\frac{Qz}{S}$ и $YN=-\frac{Rz}{S}$ и построить на этих отрезках прямоугольник $YMPN$; его вершина $P$ даст положение точки $P$, в которой перпендикуляр $ZP$ к поверхности встречает плоскость $BAC$. Сверх того, надо заметить, что для того, чтобы форма была возможна, силы $Q,R,S$ должны быть такими функциями координат $x,y$, $z$, чтобы уравнению
$$Qdx+Rdy+Sdz=0$$

можно было придать конечный вид.
VII. Известно, что уравнение, которое содержит только два переменных, всегда возможно интегрировать, т. е. всегда существует такое конечное уравнение между этими двумя переменными, которое, будучи продифференцировано, даст данное дифференциальное уравнение, хотя очень часто мы не в состоянии найти это, служащее интегралом, конечное уравнение. Не так обстоит дело с дифференциальными уравнениями, которые содержат три

переменных количества, как-то : $x,y$ и $z$; в ряде случаев совершенно невозможно получить такое уравнение путем дифференцирования какого-то конечного уравнения. Примером может служить уравнение
$$xdx+ydy+xdz=0.$$

В самом деле, так как два піервых члена $xdx+ydy$ интегрируемы сами по себе, то невозможно найти такой множитель, после умножения на который уравнение стало бы интегрируемым.

Получены даже условия, при которых такое уравнение оказывается возможным или невозможным. Клеро и Даламбер доказали, что уравнение вида
$$Qdx+Rdy+Sdz=0$$

возможно только в том случае, если будет
$$Q(\frac{\partial R}{\partial z}-\frac{\partial S}{\partial y})+R(\frac{\partial S}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial z})-S(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial R}{\partial x})=0.$$

В этом уравнении выражение $\frac{\partial R}{\partial z}$ означает производную функции $R$ в предположении, что только $z$ является переменным, так что его дифференциал $dz$ уничтожается знаменателем $dz$. Подобным же образом значение $\frac{\partial S}{\partial y}$ найдется в предположении; что только $y$ является переменным при дифференцировании функции $S$, а чтобы найти значение $\frac{\partial S}{\partial x}$, дифференцируя $S$, следует считать переменным только $x$; таким образом, выражения $\frac{\partial R}{\partial z},\frac{\partial S}{\partial y},\frac{\partial S}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}$ и т. д. будут содержать только конечные количества, потому что знаменатели уничтожают дифференциалы в числителях. Итак, всякий раз когда функции $Q,R,S$ не обладают свойством, выражаемым этим уравнением, уравнение
$$Qdx+Rdy+Sdz=0$$

будет невозможно, и в этих случаях жидкая масса никогда не сможет прийти в состояние равновесия, как очень хорошо покзал Клеро в своем сочинении о фигуре Земли.
VIII. Наиболее очевидный случай, для которого уравнение
$$Qdx+Rdy+Sdz=0$$

оказывается возможным, имеет место, если $Q$ есть функция $x,R$ — функция $y$ и $S$ — функция $z$, ибо тогда каждый член уравнения интегрируется в отдельности. Итак, если на каждую частицу жидкой массы действуют три силы $Q,R$ и $S$ по направлениям трех осей $AB,AC$ и $AD$, или трех координат $x,y$ и $z$ и если сила $Q$, действующая в направлении $x$, выражается какой-то функцией $x$, сила $R$, действующая в направлении $y$ — функцией $y$ и сила $S$ — функцией $z$, то вследствие интегрируемости дифференциала
$$Qdx+Rdy+Sdz=0,$$

форма жидкой массы выразится следующим интегралом :
$$\int Qdx+\int Rdy+\int Sdz=A,$$

где $A$ обозначает постоянную величину, определяемую количеством жидкости. Следовательно, в этом случае жидкая масса будет приведена к состоя-

нию равновесия, и в каждой точке поверхности значение выражения
$$\int Qdx+\int Rdy+\int Sdz$$

будет одно и то же. Если же мы будем рассматривать вообще природу равновесия, мы легко заметим, что она требует повсюду равенства действия сил, хотя бы мы заранее и не знали, как следует оценить это действие сил. Но видя в указанном случае, что количество
$$\int Qdx+\int Rdy+\int Sdz$$

остается повсюду одним и тем же, мы отсюда заключим с большой вероятностью, что именно это выражение представляет количество действия сил, которое при равновесии повсюду должно быть одним и тем же. Итак, количество действия сил $Q,R$ и $\mathcal{S}$, которые действуют на точку $Z$ таким образом, как я только что предположил, будет равно
$$\int Qdx+\int Rdy+\int Sdz$$

это выражение совершенно согласно с принципами Мопертюи, всю силу и важность которых я с большей ясностью покажу в следующих рассуждениях.
IX. За да ч а IV. Жидкая масса притягивается к нескольким неподвижным центрам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ силами, пропорциональными некоторым функциям расстояний. Найти форму, которую примет эта жидкая масса.

Решение. Пусть будет $Z$ — какая-либо точка поверхности данной жидкой массы (рис. 2); расстояния этой точки от неподвижных центров $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ пусть будут : $CZ=v,C^{\prime }Z=v^{\prime },C^{\prime \prime }Z=v^{\prime \prime }$, а силы, которыми эта точка $Z$ притягивается к этим центрам, пусть будут какими-то функциями $V,V^{\prime }$ и ${}_i^{\prime \prime }{V}^{\prime \prime }$ этих расстояний. Сила $V$, которая тянет в направлении $ZC$, есть некоторая функция $v$, сила $V^{\prime }$ в направлении $Z{C}^{\prime }$ — функция $v^{\prime }$ и сила $V^{\prime \prime }$ в направлении $Z{C}^{\prime \prime }$ — функция $v^{\prime \prime }$. После этого выберем, как и раньше, три взаимно перпендикулярные оси и проведем через точку $Z$ три прямые $ZQ,ZR,ZY$, параллельные этим осям. По этим прямым мы разложим силы $V$, $V^{\prime },V^{\prime \prime }$, которые действуют на точку $Z$.
Рис. 2. Для этого достаточно представить себе плоскости, параллельные плоскости $QZR$, которые проходят через точки $C$, $C^{\prime },C^{\prime \prime }$; эти плоскости пересекаются перпендикулярной к ним прямой $ZY$ в точках $Y,Y^{\prime },Y^{\prime \prime }$, и в этих плоскостях мы проведем прямые $CX,C^{\prime }{X}^{\prime }$, $C^{\prime \prime }{X}^{\prime \prime }$, параллельные $ZQ$ и перпендикулярные к ним прямые $YX,Y^{\prime }{X}^{\prime }$, $Y^{\prime \prime }{X}^{\prime \prime }$, которые будут параллельны $ZR$. Теперь мы будем иметь для каждого центра $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ три координаты, которые мы обозначим так: для центра $C:CX=x,XY=y$ и $YZ=z;$ для центра $C^{\prime }:C^{\prime }{X}^{\prime }=x^{\prime },X^{\prime }{Y}^{\prime }=y^{\prime }$, $Y^{\prime }{Z}^{\prime }=z^{\prime };$ и для центра $C^{\prime \prime }:C^{\prime \prime }{X}^{\prime \prime }=x^{\prime \prime },X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }$ и $Y^{\prime \prime }{Z}^{\prime \prime }=z^{\prime \prime }$. Для этих координат мы прежде всего получим такие уравнения:
$$\begin{array}{c}vv=xx+yy+zz,\\ v^{\prime }{v}^{\prime }=x^{\prime }{x}^{\prime }+y^{\prime }{y}^{\prime }+z^{\prime }{z}^{\prime }\end{array}$$

и
$$v^{\prime \prime }{v}^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }+z^{\prime \prime }{z}^{\prime \prime }\text{. }$$

Так как переменные $x,x^{\prime },x^{\prime \prime }$ отличаются только постоянными количествами, то их дифференциалы будут равны между собой, откуда мы будем иметь $dx=d{x}^{\prime }=d{x}^{\prime \prime }$; на том же основании $dy=d{y}^{\prime }=d{y}^{\prime \prime }$ и $dz=d{z}^{\prime }=d{z}^{\prime \prime }$.

Если теперь силу $ZC=V$ разложить по направлениям $ZQ,ZR$ и $ZY$, то получатся следующие три силы:
$$ZQ=\frac{Vx}{v},ZR=\frac{Vy}{v},ZY=\frac{Vz}{v},$$

из силы $Z{C}^{\prime }$ получатся силы :
$$ZQ=\frac{V^{\prime }{x}^{\prime }}{v^{\prime }},ZR=\frac{V^{\prime }{y}^{\prime }}{v^{\prime }},ZY=\frac{V^{\prime }{z}^{\prime }}{v^{\prime }},$$

и из силы $Z{C}^{\prime \prime }$ — силы
$$ZQ=\frac{V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }},ZR=\frac{V^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }},ZY=-\frac{V^{\prime \prime }{z}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}.$$

В результате совместного действия этих трех сил на точку $Z$ будет действовать :
по направлению $ZQ$ сила $\frac{Vx}{v}+\frac{V^{\prime }{x}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}$,
по направлению $ZR$ сила $\frac{Vy}{v}+\frac{V^{\prime }{y}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}$,
по направлению $ZY$ сила $\frac{Vz}{v}+\frac{V^{\prime }{z}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{z}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}$.

Поскольку эти силы действуют в направлениях, противоположных тем, которые мы придали силам $Q,R$ и $S$ в предыдущей задаче, мы получим:
$$\begin{array}{l}Q=-\frac{Vx}{v}-\frac{V^{\prime }{x}^{\prime }}{v^{\prime }}-\frac{V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }},\\ R=-\frac{Vy}{v}-\frac{V^{\prime }{y}^{\prime }}{v^{\prime }}-\frac{V^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }},\\ S=-\frac{Vz}{v}-\frac{V^{\prime }{z}^{\prime }}{v^{\prime }}-\frac{V^{\prime \prime }{z}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}.\end{array}$$

Но форма поверхности этой жидкой массы будет выражаться таким уравнением :
$$Qdx+Rdy+Sdz=0.$$

Подставляя сюда найденные выражения для $Q,R,S$, мы получим после изменения знаков следующее уравнение:
$$\begin{array}{c}\frac{Vxdx}{v}+\frac{V^{\prime }{x}^{\prime }d{x}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}+\frac{Vydy}{v}+\frac{V^{\prime }{y}^{\prime }d{y}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}+\\ +\frac{Vzdz}{v}+\frac{V^{\prime }{z}^{\prime }d{z}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{z}^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}=0.\end{array}$$

Прежние формулы, которые выражают расстояния $v,v^{\prime },v^{\prime \prime }$, дают:
$$\begin{array}{l}xdx+ydy+zdz=vdv,\\ x^{\prime }d{x}^{\prime }+y^{\prime }d{y}^{\prime }+z^{\prime }d{z}^{\prime }=v^{\prime }d{v}^{\prime },\\ x^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+z^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }=v^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }.\end{array}$$

Следовательно, форма жидкой массы будет выражаться уравнением
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=0,$$

в котором каждый член интегрируем сам по себе, а поэтому мы будем иметь

для искомой формы следующий интеграл :
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\cdot \int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=\text{ const },$$

что и требовалось найти.
X. То же самое уравнение может быть найдено независимо от расположения трех осей, которое является произвольным и на конечном уравнении не отражается. Нужно только рассматривать бесконечно малый линейный элемент $Zz$, который мы берем произвольным образом от точки $Z$ на поверхности жидкой массы. Ясно, что для того, чтобы точка $Z$ могла быть в равновесии, или оставаться в покое, необходимо, чтобы силы, которые действуют на точку $Z$ по направлению $Zz$, исчезали после того, как действующие на нее силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ разложены на составляющие по направлению $Zz$ и по направлению, перпендикулярному к нему. Если бы силы вдоль $Zz$ не уничтожались взаимно, ничто не препятствовало бы тому, чтобы точка $Z$ двигалась фактически по этому направлению, а следовательно, жидкая масса не была бы в равновесии. Силы, которые получаются при этом разложении в направлении элемента $Zz$, называют касательными ; эти-то касательные силы и должны взаимно уничтожаться, или их сумма должна быть равна нулю. Чтобы найти эти касательные силы, я провожу через точку $z$ к прямым $CZ,C{Z}^{\prime },C{Z}^{\prime \prime }$ перпендикуляры $zt,z{t}^{\prime },z{t}^{\prime \prime }$; полагая $Zz=ds$, мы будем иметь
$$Zt=-dv,Z{t}^{\prime }=-d{v}^{\prime },Z{t}^{\prime \prime }=-d{v}^{\prime \prime }.$$

Подобие элементарных треугольников $Zzt,Zz{t}^{\prime },Zz{t}^{\prime \prime }$ треугольникам, которые получают, опуская перпендикуляры из точек $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ на касательную, или на продолжение элемента $Zz$, дает касательные силы, получающиеся от разложения каждой из сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, а именно, от разложения силы $V$ мы получим касательную силу, равную $-\frac{Vdv}{ds}$, сила $V^{\prime }$ даст касательную силу — $\frac{V^{\prime }d{v}^{\prime }}{ds}$, сила $V^{\prime \prime }$ — касательную силу $-\frac{V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{ds}$. Так как сумма касательных сил должна быть равна нулю, то мы получим для формы жидкой массы уравнение
$$-\frac{Vdv}{ds}-\frac{V^{\prime }d{v}^{\prime }}{ds}-\frac{V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{ds}=0,$$

или же
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=0,$$

интегралом которого будет уравнение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=C,$$

а это как раз то уравнение, к которому нас привело предыдущее решение.
XI. Итак, только что рассмотренная жидкая масса, находящаяся под действием сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, придет в состояние равновесия, а форма, которую она примет при этом, будет обладать тем свойством, что для каждой точки $Z$ поверхности значение выражения
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

будет повсюду одно и то же. Итак, вследствие того, что состояние равновесия требует со всех сторон равного действия, прежде всего ясно, что именно это выражение нам даст количество действия, которое уравновешивается со всех сторон, и не приходится сомневаться в том, что это выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

является истинной мерой количества действия сил, действующих на жидкую

массу; это не подлежало бы сомнению даже в том случае, если бы не было других оснований, которые позволили бы нам определить эту меру. Но Мопертюи в своей прекрасной статье о законах равновесия разъяснил принципы, из которых он вывел точно ту же самую меру количества действия сил; эти принципы дали ему для рассмотренного случая равновесия жидкой массы то же самое выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

причем ему не пришлось прибегать к обычным принципам механики. Отсюда можно вывести следующее правило для нахождения количества действия сил, которые приложены к какой-либо точке $Z:$ каждую силу $V$ следует умножить на дифференциал линии $ZC=v$, в направлении которой действует эта сила, взять интеграл от произведения $V\mathrm{dv}$, и сумма всех этих интегралов
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

даст количество действия всех этих сил на точку $Z$. Это правило, которое вытекает непосредственно из принципов Мопертюи, таким образом, вполне согласуется с решением, которое я только что вывел из обычных принципов механики.
XII. Мопертюи в своих рассуждениях по этому вопросу пошел еще дальше и высказал мнение, что количество действия сил, которые действуют на частицы поверхности жидкой массы, не только повсюду одно и то же, но что его значение является наименьшим из всех возможных. Это свойство, столь согласное с общими законами природы, которая стремится постоянно получить известный эффект наименьшей ценой, является также вполне естественным следствием из решения, которое я только что нашел. В самом деле, так как значение этого выражения
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

повсюду одно и то же, то его дифференциал равен нулю, или
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=0.$$

Но известно, что для того, чтобы переменная величина была наибольшей или наименьшей, нужно, чтобы ее дифференциал был равен нулю. Обратно, так как для формы жидкой массы дифференциал
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

равен нулю, то можно сказать, что его интеграл является минимумом. Правда, это обращение не всегда справедливо ; например, хотя для круга, который выражается уравнением
$$xx+yy=aa,$$

дифференциал количества $xx+yy$ и равен нулю, но мы не могли бы сказать, что количество $xx+yy$ здесь является максимумом или минимумом. Общий принцип природы требует, чтобы количество действия
$$\int V_1^{n}dv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

было минимумом, так что исключение, получающееся в приведенном примере с кругом, здесь не может иметь места; я сейчас докажу этот вывод при помощи совершенно частного случая, который непосредственно очевиден.
XIII. Предположим, что жидкая масса уменьшается до бесконечности, так что она сокращается до одной точки $Z$; спрашивается, где должна быть помещена эта точка $Z$, чтобы она, находясь под притяжением к центрам сил

$C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$, была в равновесии. Прежде всего мы убедимся, что это место равновесия точки $Z$ будет там, где количество действия сил, или значение выражения
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

будет наименьшим. Когда я это докажу, будет совсем нетрудно признать, что для случая жидкой массы конечной протяженности имеет место то же самое рассуждение и так как дифференциал того же самого выражения таюже равен нулю, то значение этого выражения будет минимумом. Ибо, если бы это заключение не было справедливо в случае жидкой массы, то оно так же не было бы справедливо и в случае, когда жидкая масса сократилась в одну точку. Но от случая состояния равновесия точки, находящейся под действием каких-либо сил, который я только что рассмотрел, зависят первые основания статики, а именно, сложение и разложение сил, истинность которого поэтому тем менее подвергается сомнениям; впрочем, доказательства, которыми обычно тут пользуются, недостаточно точны, ибо в них привносится рассмотрение движения, которое представляется совершенно чуждым в том случае, когда идет речь о состоянии покоя. Николай Бернулли хорошо показал этот общий недостаток в I томе записок Петербургской академии, где он дал прекрасное доказательство этого принципа статики, являющееся весьма остроумным и в то же время чисто геометрическим, основанным на неоспоримых аксиомах.
XIV. Bсе же я льщу себя надеждой, что следующее доказательство того же принципа, которое я сейчас дам, будет признано в равной мере убедительным, хотя оно и основывается на некотором принципе, взятом из метафизики. Пусть $Z$-какая-нибудь точка, которая под действием трех сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, действующих по направлениям $ZC,Z{C}^{\prime },Z{C}^{\prime \prime }$, находится в данное время в равновесии; можно утверждать, что тогда эти три силы относятся между собой, как синусы противоположных углов $C^{\prime }Z{C}^{\prime \prime },CZ{C}^{\prime \prime },CZ{C}^{\prime }$ (рис.3). Чтобы доказать эту истину, на которой основывается вся статика, я буду рассматривать вместо сил упругие нити, равные между собой, которые, будучи прикреплены к линиям $AB,A^{\prime }{B}^{\prime }$, $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$ и оттянуты к неподвижным стенкам $EF$, $E^{\prime }{F}^{\prime },E^{\prime \prime }{F}^{\prime \prime }$, действуют на точку $Z$ посредством стержней $ZC,Z{C}^{\prime },Z{C}^{\prime \prime }$ точно так же, как и данные силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$. Пусть сила, с которой каждая упругая нить стремится сократиться, будет равна единице, а число нитей, которые прикреплены к линии $AB$ и стремятся приблизить ее к стенке $EF$, пусть будет равно $V$, с тем, чтобы полная сила этих упругих нитей была равна $V$ и чтобы на точку $Z$, таким образом, действовала та же сила $V$ в направлении $ZC$. Пусть точно так же число подобных нитей, прикрепленных к линии $A^{\prime }{B}^{\prime }$, будет равно $V^{\prime }$, и число нитей, прикрепленных к линии $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$, равно $V^{\prime \prime }$, с тем, чтобы на точку $Z$ в направлениях $Z{C}^{\prime }$ и $Z{C}^{\prime \prime }$ действовали силы $V^{\prime }$ и $V^{\prime \prime }$.
XV. При таких условиях ясно, что эти силы действуют лишь поскольку упругие нити стремятся сократиться, и точка $Z$ могла бы находиться в покое лишь при невозможности дальнейшего сокращения длин всех этих нитей одновременно. Поэтому со мной легко согласятся, что точка $Z$ будет тогда в равновесии, когда нити сократились насколько это возможно, или когда сумма длин всех нитей, взятых вместе, будет наименьшей; в самом деле,

если бы точка $Z$ могла быть оттянута в другое место $z$, в котором сокращение длин нитей, рассматриваемых вместе, было еще значительнее, то не было бы сомнения в том, что силы перенесли бы точку в это место, прежде чем наступило бы состояние равновесия. Этот принцип столь очевиден, что достаточно очень немного поразмыслить, чтобы быть убежденным в его истинности; в самом деле, нити фактически будут укорачиваться, пока будет возможно дальнейшее их сокращение и они не прекратят своего действия, пока не встретят непреодолимых препятствий, которые сделают невозможным еще большее сокращение. Итак, если мы обозначим длины упругих нитей так: $AG=x,A^{\prime }{G}^{\prime }=x^{\prime }$ и $A^{\prime \prime }{G}^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }$, то общая длина всех нитей, взятых вместе, будет равна
$$Vx+V^{\prime }{x}^{\prime }+V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }$$

и эта длина будет, следовательно, наименьшей, когда точка $Z$ придет в состояние равновесия.
XVI. Поэтому, если точка $Z$ будет смещена бесконечно мало из положения равновесия, то значение выражения
$$Vx+V^{\prime }{x}^{\prime }+V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }$$

останется тем же самым, или его дифференциал
$$Vdx+V^{\prime }d{x}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }$$

будет равен нулю; ибо я здесь буду рассматривать силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ как постоянные, так что они не увеличиваются и не уменьшаются, когда упругие нити удлиняются или сокращаются; я здесь делаю это предположение, чтобы иметь дело со случаем более очевидным и менее запутанным; после этого нетрудно рассмотреть и случай, когда силы $V,V^{\prime }$ и $V^{\prime \prime }$ сами персменные. Итак, предположим, что точка $Z$ смещена на бесконечно малое расстояние $Zz$, а так как это изменение может быть произведено бесчисленным множеством способов, я выберу тот, при котором точка $z$ так же удалена от $AB$, как и точка $Z$, так что при этом смещении нити $AG$ и $BH$ не претерпевают никакого изменения. Но так как точка $Z$ этим перемещением $Zz$ приближается к $E^{\prime }{F}^{\prime }$ и удаляется от $E^{\prime \prime }{F}^{\prime \prime }$, то нити $A^{\prime }{G}^{\prime }$ и $B^{\prime }{H}^{\prime }$ укорачиваются, а нити $A^{\prime \prime }{G}^{\prime \prime }$ и $B^{\prime \prime }{H}^{\prime \prime }$ удлиняются; следовательно, линия $A^{\prime }{B}^{\prime }$, к которой прикреплены нити, перейдет в положение $a^{\prime }{b}^{\prime }$, а линия $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }$ — в $a^{\prime \prime }{b}^{\prime \prime }$, поэтому сокращение одних нитей будет равно $A^{\prime }{a}^{\prime }$, удлинение других — $A^{\prime \prime }{a}^{\prime \prime }$. Но по свойству бесконечно малых общее удлинение $V^{\prime \prime }{A}^{\prime \prime }{a}^{\prime \prime }$ с одной стороны должно быть равно полному сокращению длин [19] с другой стороны. Проведем линии $z{c}^{\prime }$ и $z{c}^{\prime \prime }$, равные и параллельные линиям $Z{C}^{\prime }$ и $Z{C}^{\prime \prime }$, и опустим перпендикуляры $Zq$, $zp$; тогда сокращение длины $A^{\prime }{a}^{\prime }$ будет равно $Zp$, а удлинение $A^{\prime \prime }{a}^{\prime \prime }$ равно $zq$; поэтому мы будем иметь
$$V^{\prime }Zp=V^{\prime \prime }zq$$

откуда получается пропорция
$$V^{\prime }:V^{\prime \prime }=zq:Zp.$$

Но, если принять $Zz$ за полный синус [20], то $zq$ будет синусом угла $zZq$ или угла $CZ{C}^{\prime \prime }$, так как углы $CZz$ и $C^{\prime \prime }Zq$ прямые ; точно так же $Zp$ будет косинусом угла $zZp$, а следовательно, синусом угла $CZ{C}^{\prime }$; отсюда следует, что силы $V^{\prime }$ и $V^{\prime \prime }$ относятся между собой, как синусы углов $CZ{C}^{\prime \prime }$ и $CZ{C}^{\prime }$, а из этого можно вывести известную пропорцию:
сила $ZC$ : сила $Z{C}^{\prime }$ : сила $Z{C}^{\prime \prime }=\sin C^{\prime }Z{C}^{\prime \prime }:\sin CZ{C}^{\prime \prime }:\sin CZ{C}^{\prime }$.
XVII. Это новое доказательство общего принципа статики, в силу которого три силы, приложенные в одной точке, находятся в равновесии, когда

эти силы относятся между собой, как синусы противоположных углов, убеждает нас не только в том, что дифференциальное выражение
$$Vdx+V^{\prime }d{x}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }$$

должно равняться нулю, но и в том, что значение конечного выражения
$$Vx+V^{\prime }{x}^{\prime }+V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }$$

в этом случае является наименьшим. Я предположил здесь силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ постоянными, или что они остаются теми же самыми, каким бы изменениям ни подвергались упругие нити, которыми я их заменил ; но дифференциальное выражение останется прежним, хотя бы силы и были переменными. С этой целью достаточно обозначить расстояние $ZC=v,Z{C}^{\prime }=v^{\prime },Z{C}^{\prime \prime }=v^{\prime \prime }$. Тогда имеем : $dx=-dv,d{x}^{\prime }=-d{v}^{\prime },d{x}^{\prime \prime }=-d{v}^{\prime \prime }$. Кроме того, если силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ суть какие-то функции этих расстояний $v,v^{\prime },v^{\prime \prime }$, то состояние равновесия точки $Z$ все-таки определится тем же дифференциальным уравнением
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

которое было найдено при решении задачи, и теперь нет никакого сомнения, что его интеграл
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

будет иметь также минимальное значение. Но, если это выражение будет минимумом в случае, когда силы действуют только на одну единственную точку $Z$, то оно подобным же образом будет минимумом и в случае какойлибо жидкой массы, которая находится под действием тех же сил. Следовательно, мы имеем самые большие основания утверждать, что количество действия сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ на некоторую точку $Z$ должно иметь выражение
$$\int Vd{v}^{\prime }+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

и далее, что это выражение имеет место независимо от того, будем ли мы рассматривать точку как единственную, или же как принадлежащую какойлибо жидкой массе. Вот та несокрушимая опора, на которой основывается вышеуказанное правило определения количества действия каких-либо сил на данную точку $\left[{}^{21}\right]$.
XVIII. Последующие рассуждения еще лучше разъяснят понятие количества действия сил, и мы поймем более ясно, почему количество действия сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ на точку $Z$ должно выражаться как раз формулой
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}_i^{\prime \prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }.$$

В предыдущем исследовании, где я вместо сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ брал равные между собой упругие нити, действие каждой силы, приложенной к точке $Z$, представлялось суммой длин всех упругих нитей, которые заменяют силы; в самом деле, мы видели, что если обозначить длину $AG$ всех упругих нитей, заменяющих силу $V$, через $x$, и если $V$ означает число этих нитей (силу каждой мы полагаем равной единице), то общая сумма всех этих нитей равна $Vx$; так получается количество $Vx$, которое представляет действие силы $V$ на точку $Z$, ибо $Vx$ выражает действительное состояние сокращения упругих нитей, от которого зависит действие силы $V$. Тогда, полагая все расстояние от точки $Z$ до неподвижных стенок равным $EF=v$, а постоянное расстояние $ZC$ равным $a$, мы будем иметь $x=v-a$, и действие силы $V$ будет равно $V(v-a)$ в предположении, что сила $V$ постоянна, или что ее величина вовсе не зависит от расстояния $v$. В случае же, когда сила $V$ зависит от расстояния $v$ или, что сводится к тому же, от длины $x$ упругих нитей, число $V$ нитей было бы переменным и их общая длина более не была бы $Vx$, или $V(x-a)$, но, как легко заметить, для получения этой общей длины нужно было бы

взять интеграл от $Vdx$ или $Vdv$, так как $V$ является переменной. Теперь уже $\int Vdv$ будет выражать полную длину всех упругих нитей, замещающих силу $V$, а следовательно, очевидно, что то же выражение $\int Vdv$ представит также и количество действия силы $V$ на точку $Z$; понятно также, что количество действия многих сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ будет равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }.$$
XIX. Более того, выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

не только имеет столь большое применение в состоянии покоя, но от него также принципиально зависит определение движения. В самом деле, предположим, что тело, находящееся под действием сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, направленных к центрам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$, прошло уже дугу $AZ$ некоторой кривой, начав свое движение из состояния покоя в точке $A$; пусть $u$ — скорость, которую тело приобретет в точке $Z$, а $u+du$ — та скорость, которую оно будет иметь в точке $z$, пройдя элементарную дугу $Zz=ds$ (рис. 4). Обозначим через $CZ=v,C^{\prime }Z=v^{\prime },C^{\prime \prime }Z=v^{\prime \prime }$ расстояния тела, находящегося в $Z$, от центров $C,C^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }$, а через $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ — силы, которыми тело притягивается к этим центрам. Опускаем перпендикуляры $zt,z{t}^{\prime },z{t}^{\prime \prime }$ из точки $z$ на прямые $CZ,C^{\prime }Z$, $C^{\prime \prime }Z$; тогда будем иметь: $Zt=-dv,Z{t}^{\prime }=-d{v}^{\prime },Z{t}^{\prime \prime }=-d{v}^{\prime \prime }$, откуда получаем касательные силы $-\frac{Vdv}{ds},-\frac{V^{\prime }d{v}^{\prime }}{ds},-\frac{V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{ds}$ и, следовательно, движение тела, при котором оно проходит элемент $Zz=ds$, будет ускоряться силой $-\frac{Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{ds}$; если умножить ее на расстояние $ds$, то получится произведение скорости $u$ на ее дифференциал, таким образом, мы получим уравнение
$$udu=-Vdv-V^{\prime }d{v}^{\prime }-V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

интеграл которого будет
$$\frac{1}{2}uu=C-\int Vdv-\int V^{\prime }d{v}^{\prime }-\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

где постоянная $C$ должна быть выбрана из того условия, чтобы в точке $A$ скорость обращалась Pinc. 4. в нуль. Итак, половина квадрата скорости в точке $Z$, или, что то же, высота, соответствующая этой скорости, будет представляться выражением
$$C-\int Vdv-\int V^{\prime }d{v}^{\prime }-\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

состояцим из двух частей, из которых первая часть $C$ зависит исключительно от точки $A$, из которой началось движение ; вторая же часть
$$-\int Vdv-\int V^{\prime }d{v}^{\prime }-\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

зависит исключительно от точки $Z$, в которую тело пришло. Следовательно, выражение
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

которое в состоянии покоя показывает количество действия сил на точку $Z$, выражает также и в состоянии движения ту часть квадрата скорости, которая зависит от точки $Z$, так что это выражение имеет первостепенную важность как в состоянии покоя, так и в состоянии движения.

XX. Установив, таким образом, истинное понятие количества действия каких-либо сил на данную точку, находится ли она в покое или в движении, я покажу более ясно обширное применение этого понятия, рассматривая несколько неподвижных центров $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д., которые одновременно притягивают силами $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ и т. д., пропорциональными каким-то функциям расстояний $v,v^{\prime },v^{\prime \prime }$ и т. д. таким образом, что количество действия этих сил на точку $Z$, расстояние которой от этих центров суть $v,v^{\prime },v^{\prime \prime }$ и т. д., равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots$$

Сначала мы найдем между этими центрами сил место, где надо поместить тело, рассматриваемое как точка, чтобы оно оставалось в покое, или в равновесии ; я только что показал, что искомая точка $Z$ будет там, где значение выражения
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

или количества действия является наименьшим. С помощью этого свойства мы легко найдем место точки $Z$, перемещая эту точку на бесконечно малое расстояние $Zz$ и полагая дифференциал
$$Vdv+V^{\prime }d{v}^{\prime }+V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

равным нулю так, как я это показал в случае, когда на точку $Z$ действовали три силы. В этом состоит сложение и разложение сил, которое является основой всей статики; отсюда видно, что один принцип количества действия составляет фундамент этой науки.
XXI. Затем, рассматривая жидкую массу, все частицы которой притягиваются к центрам сил $\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д., найдем еще форму, которую примет эта жидкая масса, пользуясь только количеством действия. Для этого нужно, как я показал, чтобы количество действия сил было одним и тем же повсюду, в каждой точке поверхности жидкой массы ; отсюда, вид этой поверхности будет выражаться таким уравнением :
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots =\text{ const. }$$

Иначе говоря, эта жидкая масса может быть в покое только в таком месте и при такой форме, для которых полное количество действия будет наименьшим возможным, т. е. чтобы жидкая масса была в равновесии, необходимо, чтобы значение выражения
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots$$

было минимальным. На этом принципе основывается вся гидростатика, или теория равновесия жидкостей. В самом деле, если мы будем рассматривать только одну центральную силу, чтобы иметь случай естественного притяжения, мы будем иметь для состояния равновесия жидкой массы уравнение $\int Vdv=C$, а так как $V$ есть функция $v$, то расстояние $v$ будет постоянным ; поэтому все точки поверхности жидкости должны быть одинаково удалены от центра земли, т. е. поверхность жидкости будет горизонтальной.
XXII. Не только количество действия сил на одну-единственную точку $Z$ должно быть наименьшим, но легко убедиться в том, что и в жидкой массе, находящейся в состоянии равновесия, полная сумма всех количеств действия сил на все элементы жидкой массы должна быть минимумом. Поэтому, если обозначить через $dS$ какую-либо частицу жидкой массы и если количество действия сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ и т. д. на эту частицу будет равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ,$$

поскольку она рассматривается как точка, ясно, что количество действия

на элемент $dS$ будет равно
$$dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ),$$

где $dS$ уже рассматривается как собрание многих точек, для каждой из которых количество действия сил равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ,$$

так что это количество должно быть умножено на число точек элемента $dS$, т. е. на самый элемент $dS$, чтобы иметь количество действия сил на этот элемент $dS$. Следовательно, количество действия сил на всю массу жидкости будет равно
$$\int dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ).$$

Значение именно этого интегрального выражения и должно быть наименьшим, потому что оно содержит полную сумму всех количеств действия сил на все частицы жидкой массы. Отсюда легко получить следующее общее правило для нахождения состояния равновесия какого-либо тела, находящегося под действием каких-либо сил: Следует умножить каждый элемент тела на количество действия сил, которые на него действуют; интеграл этого произведения, который будет полным количеством действия на все тело, должен быть минимумом. Всякий, кто поймет значение понятия количества действия сил на одну точку, которое я только что обосновал при помощи весьма веских доводов, согласится без труда с тем, что во всех случаях равновесия сумма всех количеств действия должна быть наименьшей.
XXIII. Если все тело, состояние равновесия которого мы ищем, бесконечно мало, так что $dS$ выражает все это тепо, то полное количество действия будет равно
$$dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots );$$

это количество будет минимумом, если
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots$$

будет иметь наименьшее значение, так как $dS$ постоянно; это — случай, который я разобрал уже выше. Но если данное тело есть жидкая масса, элементом которой является $dS$, уже не так ясно, что фигура, для которой выражение
$$\int dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots )$$

имеет минимум, будет той же самой, которую я нашел раньше и которая обладала тем свойством, что в каждой точке поверхности количество действия
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

имело постоянное значение. Дело в том, что вообще в высшей степени трудно найти такую форму тела, для которой выражение
$$\int dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots )$$

имеет максимум или минимум, ибо этот метод достаточно разработан только для фигур на плоскости.

Итак, чтобы подкрепить справедливость этого общего правила и показать, что оно ведет к тому же решению, которое я нашел, я рассмотрю жидкую массу, бесконечно тонкую, расположенную в плоскости, причем все частицы этой массы притягиваются к нескольким неподвижным центрам $\mathcal{C},C^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д., расположенным в той же плоскости.

XXIV. Пусть $AM$ — поверхность этой жидкой массы, когда она находится в равновесии (рис. 5); чтобы найти ее форму, возьмем координаты $CX=x,XM=y$, а для других центров подобными координатами пусть будут: $C^{\prime }{X}^{\prime }=x^{\prime },X^{\prime }M=y^{\prime },C^{\prime \prime }{X}^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }$, $X^{\prime \prime }M=y^{\prime \prime };$ мы будем иметь $dx=d{x}^{\prime }=d{x}^{\prime \prime }$ и $dy=d{y}^{\prime }=d{y}^{\prime \prime }$. Но прежде чем рассматривать точку $M$, нужно найти количество действия на элемент $XxmM$ площади $CXMA$, которая у нас представляет жидкую массу. Для этой цели возьмем какуюлибо частицу $Yy$ этого элемента XxmM и положим $XY=y,X^{\prime }Y=y^{\prime },X^{\prime \prime }Y=y^{\prime \prime }$; частицу $Yy$ возьмем равной $dxdy$. Теперь пусть расстояния от этой частицы до центров сил будут $CY=v,C^{\prime }Y=v^{\prime },C^{\prime \prime }Y=v^{\prime \prime }$, а сами силы, как и до сих пор, $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, так что мы имеем
$$vv=xx+yy,v^{\prime }{v}^{\prime }=x^{\prime }{x}^{\prime }+y^{\prime }{y}^{\prime },v^{\prime \prime }{v}^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }.$$

Тогда, если количество действия этих сил на точку $Y$ будет
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

то количество действия на частицу $Yy$ будет равно
$$dxdy(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime });$$

интеграл от этого выражения в предположении, что $x$ является постоянным, даст количество действия сил на весь элемент $XxmM$ при условии, что точку $Y$ продвигают до $M$ и что смысл обозначений $y,y^{\prime }$ и $y^{\prime \prime }$ остается тот же, какой был им придан вначале. Следовательно, количество действия сил на весь элемент площади $XxmM$ будет равно
$$dx\int dy(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots );$$

если предположить, что в этом интеграле абсцисса $x$ постоянна, и меняется только апликата $y$. Я обозначу для сокращения этот интеграл, который получается в предположении постоянства $x$, через $U$ :
$$\int dy(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots )=U,$$

так что дифференциал функции $U$, взятый все еще в предположении постоянства $x$, будет
$$dy(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ),$$

или, если положить вообще
$$dU=Mdx+Ndy,$$

то мы будем иметь
$$N=\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots$$
XXV. После того как найдено таким образом количество действия на элемент $XxmM$, равное $Udx$, ясно, что количество действия на всю площадь $CXMA$ будет равно $\int Udx$. Следовательно, это количество $\int Udx$ должно быть наименьшим между всеми формами, которые эта площадь могла бы принять; дело идет, следовательно, о том, чтобы найти среди всех фигур с одной и той же площадью $\int ydx$ такую, для которой значение выражения $\int Udx$ — наименьшее. Эта задача сводится к такой, как если бы среди воз-

можных кривых искали кривую, для которой выражение
$$\alpha \int ydx+\int Udx\text{ или }\int dx(U+\alpha y)$$

имеет минимум. Для этого, следуя моему методу, сравним это выражение с $\int Zdx$, полагая
$$dZ=Mdx+Ndy+Pdp+\dots$$

Искомая кривая тогда будет

Но так как
$$\begin{array}{c}N-\frac{\partial P}{\partial x}=0.\\ Z=U+\alpha y\end{array}$$

и $U$ содержит только переменные $x$ и $y$, мы будем иметь
$$N=0$$

или, иначе, дифференциал выражения $U+\alpha y$, взятый в предположении, что переменным является только $y$, должен быть равен нулю. Следовательно, так как дифференциал функции $U$, взятый в предположении, что меняется только $y$, равен
$$dy(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }),$$

а дифференциал $\alpha y$ равен $\alpha dy$, мы получим для искомой кривой $AM$ уравнение
$$\alpha +\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=0,$$

или, иначе, количество действия сил на каждую точку кривой $AM$ должно быть одним и тем же, совершенно так, как это было найдено при помощи других принципов. Такое прекрасное согласие нашего общего принципа в этих случаях не оставляет ни малейшего сомнения в том, что он будет подобным же образом согласовываться и во всех других случаях.
XXVI. Мы убедимся еще более в истинности этого общего принципа, если заметим, что выражение, наименьшее значение которого соответствует фигуре равновесия гибких нитей, в совершенстве согласуется с этим принципом. В самом деле, пусть $AM$ будет фигурой равновесия совершенно гибкой нити, каждый из элементов которой притягивается к центрам $C,C^{\prime }$, $C^{\prime \prime }$ силами $V,V^{\prime }$ и $V^{\prime \prime }$. Согласно нашему принципу нить останется в покое, если сумма всех действий сил на нить $AM$ будет наименьшей. Чтобы найти эту сумму, следует искать количество действия на элемент $Mm=ds$; если обозначить расстояния $CM=v,C^{\prime }M=v^{\prime },C^{\prime \prime }M=v^{\prime \prime }$, то количество действия на точку $M$ равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

действие на элемент $Mm=ds$ будет равно
$$ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }),$$

и следовательно, суммой всех действий на часть нити $AM$ будет интеграл
$$\int ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }).$$

Минимальное значение этого выражения даст нам фигуру равновесия нити. Определив в предыдущей статье фигуру равновесия такой нити при помощи обычных принципов механики, я уже заметил, что эта фигура находится, если искать кривую, для которой значение этого же выражения
$$\int ds(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime })$$

является наименьшим.

XXVII. Я не могу обойти молчанием одно по истине прекрасное свойство фигуры равновесия совершенно гибкой нити, имеющей повсюду одинаковую плотность, свойство, к которому приводит это решение. Пусть $AM$ (рис. 6) совершенно гибкая нить, повсюду одинаковой плотности, и пусть каждая точка этой нити притягивается к трем центрам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ силами $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, которые являются какими-то функциями расстояний $CM=v,C{M}^{\prime }=v^{\prime },C{M}^n=v^{\prime \prime }$. Обозначим абсциссы следующим образом: $CX=x,C^{\prime }{X}^{\prime }=-x^{\prime },C^{\prime \prime }{X}^{\prime \prime }=-x^{\prime \prime }$, апликаты $XM=y,X^{\prime }M=y^{\prime },X^{\prime \prime }M=y^{\prime \prime };$ так как $dx=d{x}^{\prime }=d{x}^{\prime \prime }$ и $dy=d{y}^{\prime }=d{y}^{\prime \prime }$, то элемент $Mm$ кривой будет
$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}.$$

Пусть будет теперь
$$dy=pdx$$

и
Рис. 6.
$$dp=qdx.$$

Тогда метод максимумов и минимумов дает для кривой равновесия нити $AM$ следующее уравнение:
$$\begin{array}{rl}\frac{V(y-px)}{v}+\frac{V^{\prime }(y^{\prime }-p{x}^{\prime })}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }(y^{\prime \prime }-p{x}^{\prime \prime })}{v^{\prime \prime }}& =\\ & =\frac{q}{1+pp}(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }),\end{array}$$

где
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }$$

выражает количество действия на точку $M$. Разделим обе части уравнения на
$$\sqrt{1+pp}\text{. }$$

Так как радиус развертки
$$MO=\frac{(1+pp)\sqrt{1+pp}}{q},$$

то мы будем иметь уравнение
$$\frac{\int Vdx+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{MO}=\frac{V(y-px)}{v\sqrt{1+pp}}+\frac{V^{\prime }(y^{\prime }-p{x}^{\prime })}{v^{\prime }\sqrt{1+pp}}+\frac{V^{\prime \prime }(y^{\prime \prime }-p{x}^{\prime \prime })}{v^{\prime \prime }\sqrt{1+pp}}.$$

Ho
$$\frac{y-px}{\sqrt{1+pp}}=\frac{ydx-xdy}{ds}$$

выражает перпендикуляр $CT$, опущенный из центра $C$ на касательную $MT$; в самом деле, опуская из точки $X$ на ту же касательную перпендикуляр $XP$ и $CQ$ — на $XP$, мы видим сначала, что
$$XP=\frac{ydx}{ds}$$

и
$$XQ=\frac{xdy}{ds},$$

так что
$$CT=\frac{ydx-xdy}{ds}=\frac{y-px}{\sqrt{1+pp}}.$$

Если из других центров $C^{\prime },C^{\prime \prime }$ опустить подобным же образом перпендикуляры $C^{\prime }{T}^{\prime }$ и $C^{\prime \prime }{T}^{\prime \prime }$ на касательную, то написанное уравнение примет вид
$$\frac{\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }}{MO}=\frac{V}{v}\cdot CT+\frac{V^{\prime }}{v^{\prime }}{C}^{\prime }{T}^{\prime }+\frac{V^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}{C}^{\prime \prime }{T}^{\prime \prime }.$$

Умножим это уравнение почленно на $МO$. Тогда
$$\frac{CT\cdot MO}{v}=\frac{CT\cdot MO}{CM}$$

выразит линию $MR$, после того как из точки $O$ на продолжение линии $CM$ опущен перпендикуляр $OR$. Отсюда мы выводим следующее свойство: Если из центра о соприкасающегося круга в точке $M$ провести перпендикуляры $OR,O{R}^{\prime },O{R}^{\prime \prime }$ на продолжения растояний $CM,C^{\prime }M,C^{\prime \prime }M$, то количество действия сил на точку $M$, т. е.

будет равно
$$\begin{array}{c}\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }\\ V\cdot MR+V^{\prime }\cdot M{R}^{\prime }+V^{\prime \prime }\cdot M{R}^{\prime \prime }.\end{array}$$
XXVIII. Наш принцип оказывается еще более общим и распространяется также и на упругие нити, как я это показал в моей предыдущей статье : дело только в том, чтобы привести эффект упругости к понятию количества действия. Сохраним все обозначения предыдущего случая, в котором каждая частица нити $AM$ притягивается к центрам $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ силами $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$, и пусть радиус развертки, от которого зависит сила упругости, равен
$$MO=r=\frac{{(d{x}^2+d{y}^2)}^{\frac{3}{2}}}{dxdy};$$

силу упругости обычно полагают равной $\frac{A}{r}$, или $\frac{S}{r}$, если нить не имеет повсюду одну и ту же плотность, так что упругость в одном месте больше или меньше, чем в другом. Чтобы придать решению бо́льшую общность, я предположу, что в точке $M$ упругость равна $T$, где буква $T$ обозначает какую-то функцию от $r$, которая содержит также длину нити в случае, когда последняя имеет переменную упругость. После этого принципы механики дают нам для фигуры равновесия упругой нити следующее уравнение :
$$\begin{array}{l}T=+\int dy\int ds(\frac{Vx}{v}+\frac{V^{\prime }{x}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}+\dots )-\\ -\int dx\int ds(\frac{Vy}{v}+\frac{V^{\prime }{y}^{\prime }}{v^{\prime }}+\frac{V^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }}{v^{\prime \prime }}+\dots ).\end{array}$$

Для того чтобы найти то же самое уравнение методом максимумов и минимумов, необходимо к количеству действия сил $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ на точку $M$, равному
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ,$$

приђавить количество действия упругости, которую я выше обозначил через $T$. Вводя обозначение $\frac{1}{r}=t$, так что $t$ пропорционально кривизне, мы легко

сообразим, что подобно тому, как сила $V$ производит действие $\int Vdv$, так же сила $T$ дает действие $\int Tdt$. Следовательно, если обозначить массу элемента нити через $Mm=dS$, то полная сумма всех действий на часть нити $AS$ будет равна
$$\int dS(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots +\int Tdt$$

и эта сумма будет наименьшей, когда нить находится в равновесии; это свойство должно иметь место в силу нашего принципа не только, когда центры сил $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ находятся в одной плоскости с фигурой нити, но также и в. том случае, когда они имеют любое расположение.
XXIX. Но, установив общий принцип, что при всяком состоянии равновесия сумма всех действий сил для всех частиц тела, находящегося в равновесии, имеет минимум, я замечу сверх того, что тот же самый принцип имеет место при всех свободных движениях тел, какие бы силы на них ни действовали. Пусть тело, после того как оно получило какое-то движение, притягивается постоянно к нескольким центрам сил $C,C^{\prime },C^{\prime \prime }$ и т. д. (рис. 7) и пусть силы $V,V^{\prime },V^{\prime \prime }$ выражаются какими-то функциями расстояний $CM=v,C^{\prime }M=v^{\prime },C^{\prime \prime }M=v^{\prime \prime }$; это тело каждое мгновение будет испытывать другое количество действия этих сил, и в момент, когда оно находится в $M$, количество действия равно
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime },$$

Рис. 7.
как я показал в начале этого рассуждения. Тогда, если обозначить элемент времени через $dt$, мгновенное количество действия, которое испытывает тело в течение этого элемента времени $dt$, будет равно
$$dt(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ),$$

а, следовательно, сумма всех мгновенных действий, которым подвергается тело за конечное время $t$, будет равна
$$\int dt(\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }+\dots ).$$

Теперь совершенно естественно, что тело изберет тот путь, при котором сумма всех мгновенных действий имеет минимум. Вот — новый общий принцип для свободного движения тел, находящихся под действием любых сил, истинность которого становится очевидной, как только мы задумаемся над понятием количества действия, которое я установил.
XXX. Пользуясь этим принципом, мы найдем в действительности те же кривые для движения тел, находящихся под действием любых сил, к которым нас приводят обычные принципы механики. В самом деле, этот принцип вовсе не отличается от того, которым я пользовался для определения этих же кривых по методу максимумов и минимумов : я там показал совсем как этого требует принцип Мопертюи, что, если обозначить через $Mm=ds$

элемент кривой, а скорость тела в точке $M$ — через $u$, то значение выражения
$$\int uds$$

всегда будет иметь максимум. Я заметил там, что количество действия
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+{\int }_1^{\prime }{V}^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime };$$

будучи отнято от некоторого постоянного количества, дает квадрат скорости $u$, так что
$$\int Vdv+\int V^{\prime }d{v}^{\prime }+\int V^{\prime \prime }d{v}^{\prime \prime }=C-uu.$$

Но, согласно нашему новому принципу, выражение

или
$$\begin{array}{l}\int dt(C-uu),\\ Ct-\int utdt,\end{array}$$

будет иметь минимум, или, иначе, в течение того же времени $t$ значение выражения $\int uudt$, или, на основании равенства $ds=udt$, значение выражения $\int uds$ должно иметь максимум, совершенно так, как я это доказал в моем «Traité de Maximis et Minimis».