На основе результатов, найденных Лагранжем, Гамильтоном, Якоби, Остроградским, Ли, возник ряд новых математических и механических проблем.

Еще Якоби**) показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к виду, удобному для исследования.

Основываясь на этом результате, Серре***) в нескольких мемуарах, напечатанных в 1871 – 1879 гг., решил вопрос о минимуме интеграла действия в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования.

Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский*) и затем М. И. Талызин**) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера-Лагранжа и принцип Гамильтона-Остроградского существенно различны. Дело в том, что в принципе Гамильтона вариации координат $\delta q_{i}$ изохронны и время не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера-Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил $T=U+h$. При этом допущении время должно варьироваться.
О.И. Сомов***) также подчеркивает разницу между вариациями в рассматриваемых принципах. И. Д. Соколов, В. П. Ермаков, Г. К. Суслов и Д. К. Бобылев****) исследовали, при каких условиях действие фактически является минимальным. Д. К. Суслов обобщал принцип Гамильтона-Остроградского на случай неголономных связей. Д. К. Бобылев использовал при исследовании вариации действия метод вариации произвольных постоянных. Н. Е. Жуковский*****) посвятил принципу наименьшего – действия две статьи.
Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек, рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного экстремума интеграла действия Слудский сводит к вычислению безусловного экстремума по способу неопределенных множителей Лагранжа, причем неопределенный множитель $\lambda$ определяет по способу Родригеса с помощью уравнений, относящихся к пределам интеграла.

Вывод Слудского представляет развитие способа Родригеса и распространение его на случай, когда координаты точек системы не являются независимыми, а удовлетворяют уравнениям связей. Кроме того, Ф. А. Слудский внес в способ Родригеса ясность и определенность, четко выделив изохронные и полные вариации координат.

Без ссылки на Родригеса и, по-видимому, независимо от него Е. И. Раус, начиная с 1877 r., опубликовал аналогичные исследования******) о принципе наименьшего действия. Раус исходит из основного уравнения, в котором он варьирует также и $t$ :
\[
\begin{aligned}
\delta \int_{i_{0}}^{t_{1}} \Phi d t=\left[\Phi d t+\Sigma \frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}\left(\delta q_{i}\right.\right. & \left.\left.-\dot{q}_{i} \delta t\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}+ \\
& +\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum\left(\frac{\partial \Phi}{\partial q_{i}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \Phi}{\partial \dot{q}_{i}}\right)\left(\delta q_{i}-\dot{q}_{i} \delta t\right) d t,
\end{aligned}
\]

где $\Phi$ есть функция $q, \dot{q}_{i}$ и $t$. Отсюда, во-первых, следует, что если $\Phi=T+U$,
$\qquad$

$\delta t=0$ и на пределах интегрирования $\delta q_{i}=0$, то $\delta \int_{i_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t=0$, т. е. имеют силу уравнения движения, открытые Лагранжем, и наоборот; во-вторых, когда $U$ и уравнения связей определенно не зависимы от времени, то $\Phi=2 T$ и $\delta q_{i}=0$ на пределах интегрирования, а $\delta t$, однако, не равно нулю, так что мы можем построить еще условие для варьирования. В этом случае мы избираем условие, что энергия $T-U$ в момент времени $t$ в действительном движении равна энергии в варьированном движении в соответствующий момент времени $t+\delta t$, иными словами, мы определяем $\delta t$ из уравнения $\delta(T-U)=0$, и тогда легко видеть, что принцип наименьшего действия равнозначен системе уравнений Лагранжа.

Здесь полезно еще раз заметить, что когда вводится условие, что энергия при действительном движении постоянна, то имеется в виду, что $\frac{d h}{d t}=0$, но не обязательно, чтобы было также $\delta h=0$. У Гамильтона в «принципе переменного действия» мы рассматриваем «действие» $V=\int 2 T d t$ при условии, что $\delta h$ не равна нулю и
\[
\delta V=\sum m_{i} \dot{x}_{i} \delta x_{i}+t \delta h .
\]

В принципе же наименьшего действия, наоборот, рассматривается множество движений системы между заданными начальными и конечными положениями, причем здесь каждое движение, кроме естественного, является вынужденным. Процесс варьирования здесь совершенно другой, и поскольку энергия как в ходе каждого отдельного движения, так и в любом движении постоянна, то имеем как $\frac{d h}{d t}=0$, так и $\delta h=0$.

Замечание Рауса, что $\delta x-\dot{x} \delta t$ есть виртуальное перемещение, использовано А.Фоссом*) и М. Рети**) для другого случая, а именно, когда уравнения связей не являются определенно независимыми от времени.

В самом деле, $x=\varphi_{n}\left(q_{i}, t\right)$, где $q_{i}$ – обобщенные координаты, и поскольку $t$ должно варьироваться,
\[
\delta x=\Sigma \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta t .
\]

Следовательно, $\delta x-\frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta d t$ есть виртуальное перемещение. Но и в том случае, когда мы вместо $\delta q_{i}$ пользуемся другими вариациями $q_{i}$, то есть $\delta q_{i}-\dot{q} \delta t$, то
\[
\sum_{i} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}\left(\delta q_{i}-\dot{q}_{i} \delta t\right)==\delta x-\dot{x} \delta t
\]

также есть виртуальное перемещение. Вообще говоря, значение какойлибо функции $y=\varphi(x)$ может изменяться при изменении независимой переменной $x$ на $d x$ (ради краткости мы пользуемся здесь обозначением дифференциального исчисления), так что дифференциал $d y$ будет выражаться так:
\[
d y=\varphi(x+d x)-\varphi(x) .
\]

Значение $y$ может также изменяться, без изменения $t$, благодаря вариации формы функции $\varphi$ (от $\varphi(x)$ до $\varphi_{1}(x)=\varphi(x)+\varepsilon \varphi(x)$, где $\varphi(x)$ – любая функция, $\varepsilon$ – бесконечно малое положительное число).

Оставляя обозначение «вариации» $\delta$ лишь для изменения формы $\varphi$, получим для полного изменения $y: d y+\delta y$, так как $d x=0$, то есть независимая переменная не варьируется, но и не является неизменной и, кроме того, $\delta \frac{d^{n} y}{d x^{n}}=\frac{d^{n} \delta y}{d x^{n}}$.

Тем не менее, Лагранж варьировал также и независимые переменные. Изложение Лагранжем вопроса о варьировании $t$ кажется недостаточно ясным, однако несомненно, что в принципе наименьшего действия он считает $t$ переменным.

Другие механики в основном приняли то понятие вариации, которое дано Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие заключается в следующем. «Вариация» функции имеет место, когда заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в книге «Vorlesungen über Dynamik» утверждает, например, что вариации $\delta q_{i}$ заключают в себе лишь изменения $q_{i}$, которые проистекают от изменений содержащихся в $q_{i}$ произвольных постоянных. В соответствии с этим он делает вывод, что независимые переменные не варьируются, так что $\delta t=0$.

Вопрос о смысле вариаций в принципах Гамильтона и наименьшего действия рассмотрел в 1896 г. Гёльдер*).

Для того, чтобы составить отчетливое представление о смысле вариации, необходимо каждое положение точки при варьированном движении отнести и какому-либо положению точки в первоначальном движении. Без установления такого соответствия нельзя написать
\[
\delta \int T d t=\int \delta(T d t) .
\]

Установить такое соответствие можно произвольно, так как оно лишено физического смысла: вариация движения есть только математическое вспомогательное построение. Вариация времени будет разностью между моментами прохождения через соответствующие положения.

Для того чтобы выполнить вариацию движения, сообщим сначала каждой точке первоначальной траектории некоторое смещение, так что возникает новая траектория с точками, соответственными исходной траектории ; затем определим скорость каждой точки новой траектории, причем она может быть произвольной, но возможно мало отличающейся от скорости в соответствующей точке исходной траектории.

Эту скорость можно определить двумя способами : 1) соответствующие точки обеих траекторий проходятся одновременно, 2) полная энергия для соответствующих точек траекторий одна и та же.

Так как полная энергия есть $T-U$, а первоначальное движение задано, то для каждого положения варьированного движения сначала известна лишь потенциальная энергия, и затем в силу $E=T-U$ из условия варьирования получается значение кинетической энергии, а следовательно, и скорости.

Легко видеть, что при втором способе варьирования время варьируется, а при первом – нет.

Вывод интегрального принципа для общего случая варьирования приводит Гёльдера при допущении, что вариация движения выполнена так,

что $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ есть виртуальные перемещения системы, к выражению
\[
\int\left\{2 T d \delta t+\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) d t\right\}=0,
\]

где $\delta^{\prime} U=\Sigma\left(X \delta x_{i}+Y \delta y_{i}+Z \delta z_{i}\right)$ – работа, которую совершили бы действующие силы на одном из этих воображаемых перемещений.

Воспользуемся теперь двумя введенными способами вариации. При изохронной вариации $\delta t=0$ и из формулы (53′) получим :
\[
\int\left(\delta T+\delta^{\prime} U\right) d t=0,
\]
т. е. принцип Гамильтона: При изоэнергетической $-\delta T=\delta^{\prime} U$ и из (53)
\[
\int \delta(T d t)=\delta \int T d t=0,
\]
т. е. принцип наименьшего действия.
Если существует силовая функция $U$, то
\[
\delta U=\sum_{
u} \frac{\partial U}{\partial x_{i v}} \delta x_{i v}, \quad v=1,2,3,
\]

причем, если даже $\delta U$ содержит время, то все-таки в том случае, когда время не варьируется,
\[
\delta^{\prime} U=\delta U,
\]

и для принципа Гамильтона получим обычное выражение
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t=0 .
\]

В случае же вариации, требуемой принципом наименьшего действия, должна существовать не зависящая от времени функция $U$, чтобы удовлетворялось соотношение (55).

Отсюда получается сразу более узкая форма принципа наименьшего действия для того случая, когда существует не зависящая от времени силовая функция и время не входит в уравнение связей; при этом вариации положений должны быть виртуальными перемещениями, а начальное и конечное положения должны оставаться неварьированными.

Лагранж в «Аналитической Механике» рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе*), где в № 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в № 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением (55), применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц**) рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Д’Аламбера и в силу этого являются следствиями один другого. Тем не менее, это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различным способом. Оба эти принципа
получаются из соотношения (53) при различных специализациях общего способа варьирования.

Рассмотрим важный вопрос о варьировании несколько подробнее. Вариации положения должны быть виртуальными перемещениями. Если бы мы потребовали, чтобы варьированное движение удовлетворяло тем же уравнениям связей, что и действительное, то в случае уравнений связей вида
\[
\omega_{k}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}, t\right)=0
\]

для варьированного движения получили бы :
\[
\omega_{k}\left(x_{i}+\delta x_{i}, t+\delta t\right)=0
\]

и, следовательно,
\[
\delta \omega_{k}=0,
\]

но согласно принципу Д’Аламбера уравнения, определяющие виртуальные перемещения, имеют вид
\[
\delta \omega_{k}-\frac{\partial \omega_{k}}{\partial t} \delta t=0
\]

Это уравнение согласуется с $\delta \omega_{k}=0$ только в том случае, когда или $\frac{\partial \omega}{\partial t}=0$, т. е. в уравнения связей не входит время, или $\delta t=0$, т. е. когда должен применяться принцип Гамильтона. При применении же принципа наименьшего действия оказывается существенным, входит время в уравнения связей или нет. Действительное и варьированное движение в этом случае существенно различны.

Пусть материальная точка, на которую не действуют никакие силы, связана в своем движении уравнением
\[
\varphi(x, y, z) d x+\psi(x, y, z) d y+\chi(x, y, z) d z=0,
\]
т. е. в любом положении точка должна двигаться вдоль заданного элемента поверхности.

В некоторых случаях уравнение (58) может быть проинтегрировано в виде $\omega(x, y, z)=$ const ; тогда существует такая функция $\Omega(x, y, z)$, при умножении на которую левая сторона (58) делается полным дифференциалом. Функция $\Omega$ должна для этого удовлетворять условиям
\[
\frac{\partial(\Omega \varphi)}{\partial y}=\frac{\partial(\Omega \psi)}{\partial x}, \quad \frac{\partial(\Omega \psi)}{\partial z}=\frac{\partial(\Omega \chi)}{\partial y}, \quad \frac{\partial(\Omega \chi)}{\partial x}=\frac{\partial(\Omega \varphi)}{\partial z},
\]

или, обозначив частные производные по $x, y, z$ соответственными индексами, получим :
\[
\begin{array}{l}
\Omega\left(\varphi_{y}-\varphi_{x}\right)=\Omega_{x} \psi-\Omega_{y} \varphi, \\
\Omega\left(\varphi_{z}-\chi_{y}\right)=\Omega_{y} \chi-\Omega_{z} \psi, \\
\Omega\left(\chi_{x}-\varphi_{z}\right)=\Omega_{z} \varphi-\Omega_{x} \chi .
\end{array}
\]

Умножив эти уравнения соответственно на $\chi, \varphi, \psi$ и сложив, получим выражение
\[
\chi\left(\varphi_{y}-\psi_{x}\right)+\varphi\left(\psi_{z}-\chi_{y}\right)+\psi\left(\chi_{x}-\varphi_{z}\right)=0,
\]

которое и является условием интегрируемости, а следовательно, и голономности системы, состоящей из точки, на которую наложена связь (58).

Для нахождения дифференциальных уравнений движения свободной точки воспользуемся принципом наименьшего действия в узкой форме.

В этом случае получим, очевидно,
\[
\delta \int d s=0
\]

или
\[
\delta \int d s=\int \delta d s=\int \frac{(d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z)}{d s} .
\]

Проинтегрировав (61) по частям и используя равенство вариаций координат нулю на концах траектории, найдем :
\[
-\int\left(\frac{d^{2} x}{d s^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d s^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d s^{2}} \delta z\right) d s=0 .
\]

Так как вариации представляют собой виртуальные перемещения, то они определяются уравнением
\[
\varphi \delta x+\psi \delta y+\chi \delta z=0 .
\]

Умножив левую сторону этого уравнения на $\lambda d s$ и прибавив его к выражению под знаком интеграла, получим :
\[
\int\left\{\left(\lambda \varphi-\frac{d^{2} x}{d s^{2}}\right) \delta x+\left(\lambda \psi-\frac{d^{2} y}{d s^{2}}\right) \delta y+\left(\lambda \chi-\frac{d^{2} z}{d s^{2}}\right) \delta z\right\} d s=0,
\]

откуда
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}=\lambda \varphi, \quad \frac{d^{2} y}{d s^{2}}=\lambda \psi, \quad \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=\lambda \chi,
\]

или
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}: \frac{d^{2} y}{d s^{2}}: \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=\varphi: \psi: \chi .
\]

Как известно, эти вторые производные относятся друг к другу, как направляющие косинусы нормали траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости, тождественной с нормалью кэлементу поверхности, соответствующему точке $(x, y, z)$. Таким образом, в каждой точке траектории соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к элементу поверхности, соответствующему этой точке. Таково геометрическое свойство действительной траектории.

То же уравнение можно получить и при другом определении варьирования. Требование, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями, теперь устраняется. Вместо него выдвигается требование, чтобы варьированная траектория подчинялась тому же уравнению
\[
\varphi(x, y, z) d x+\psi(x, y, z) d y+\chi(x, y, z) d z=0,
\]

которому подчинена подлежащая варьированию ‘траектория. Здесь имеет место совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря, не возникают действительные траектории материальной точки. Вариации в этом случае должны удовлетворять уравнению
\[
\delta \varphi d x+\delta \psi d y+\delta \chi d z+\varphi d \delta x+\psi d \delta y+\chi d \delta z=0 .
\]

Раскрывая $\delta \int d s=0$ согласно (61), прибавляя левую часть уравнения (64), умноженную на $\lambda$, и интегрируя по частям, получим после небольших преобразований :
\[
\frac{d^{2} x}{d s^{2}}=\varphi \frac{d x}{d s}-\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}-\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right) \lambda \frac{d y}{d s}-\left(\frac{\partial \chi}{\partial x}-\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) \lambda \frac{d z}{d s}=0
\]

и аналогично для $y$ и $z$.

Эти уравнения вместе с уравнением (58) определяют так называемые «геодезические траектории».

Герц*) показал, что для голономных систем геодезические траектории совпадают с наиболее прямыми, т. е: с действительными траекториями.