Метод основных соотношений является развитием того способа анализа, который был ранее приложен сэром Уильямом Гамильтоном к исследованию оптики и динамики; его существо и дух могут быть поняты из следующего краткого наброска.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ – любое число $n$ функций одной независимой переменной $s$, с которой они связаны одним за́данным дифференциальным уравнением первого порядка, но не первой степени,
\[
0=f\left(s, x_{1}, \ldots, x_{n}, d s, d x_{1}, \ldots, d x_{n}\right),
\]

а также ( $n-1$ ) другими дифференциальными уравнениями второго порядка, к которым, как вспомогательным к данному уравнению (1), приводит вычисление вариаций и которые могут быть записаны так:
\[
\frac{f^{\prime}\left(x_{1}\right)-d f^{\prime}\left(d x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(d x_{1}\right)}=\ldots=\frac{f^{\prime}\left(x_{n}\right)-d f^{\prime}\left(d x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(d x_{n}\right)} .
\]

Пусть также $a_{1}, \ldots, a_{n}$ будут $n$ начальными значениями $n$ функций $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и пусть $a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}$ будут $n$ начальными значениями их $n$ производных функций или дифференциальных коэффициентов
\[
x_{1}^{\prime}=\frac{d x_{1}}{d s}, \ldots, \quad x_{n}^{\prime}=\frac{d x_{7}}{c s},
\]

соответствующих любому данному начальному значению $a$ независимой переменной $s$. Если мы сможем проинтегрировать систему $n$ дифференциальных уравнений (1) и (2), то получим $n$ выражений для $n$ функций $x_{1}, \ldots, x_{n}$ вида
\[
\left.\begin{array}{c}
x_{1}=\varphi_{1}\left(s, a, a_{1}, \ldots, a_{n}, a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}\right), \\
x_{2}=\varphi_{2}\left(s, a, a_{1}, \ldots, a_{n}, a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}\right), \\
\left.\cdots \ldots \ldots, \ldots \ldots, a_{n}, a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}\right) \\
x_{n}=\varphi_{n}\left(s, a, a_{1}, \ldots, a_{n}\right.
\end{array}\right\}
\]

и с помощью начальных уравнений, аналогичных (1), можем затем исключить $a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}$ и вывести соотношение вида
\[
0=\psi\left(s, x_{1}, \ldots, x_{n}, a, a_{1}, \ldots, a_{n}\right),
\]

то есть соотношение между начальными и конечными значениями $n+1$ связанных переменных $s, x_{1}, \ldots, x_{n}$. Обратно, автор установил, что если известно одно соотношение (4), то из него возможно вывести выражения для $n$ искомых интегралов (3) системы $n$ дифференциальных уравнений (1) и (2) или для $n$ искомых соотношений между $s, x_{1}, \ldots, x_{n}$ и $a, a_{1}, \ldots, a_{n}, a_{1}^{\prime}, \ldots, a_{n}^{\prime}$,

каким бы большим ни было число $n$. Таким образом, все эти многочисленные соотношения (3) неявно заключены в одном соотношении (4), которое в силу этого автор предложил называть основным интегральным соотношением или, короче, основным соотношением задачи.
Автор установил справедливость следующих уравнений :
\[
\frac{f^{\prime}(d s)}{\psi^{\prime}(s)}=\frac{f^{\prime}\left(d x_{1}\right)}{\psi^{\prime}\left(x_{1}\right)}=\ldots=\frac{f^{\prime}\left(d x_{n}\right)}{\psi^{\prime}\left(x_{n}\right)},
\]

которые могут быть приведены к виду
\[
\left.\begin{array}{c}
a_{1}=\varphi_{1}\left(a, s, x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right), \\
a_{n}=\varphi_{n}\left(a, s, x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right),
\end{array}\right\}
\]

являясь, очевидно, преобразованием $n$ искомых интегралов (3). Что касается способа, которым без предварительного выполнения интегрирований (3) можно найти основное соотношение (4) (или вводимую этим соотношением главную функцию), когда оно разрешается относительно первоначальной независимой переменной $s$
\[
s=\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, a, a_{1}, \ldots, a_{n}\right),
\]

то автор отмечает, что может быть определено уравнение первого порядка в частных производных, которому эта главная функция $\varphi$ должна удовлетворять, а также и начальное условие, выбранное так, чтобы устранить неопределенность, которая иначе остается.
Действительно, уравнения (5) могут быть написаны таким образом :
\[
\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{1}\right)}=\frac{\delta s}{\delta x_{1}}, \ldots, \frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{n}\right)}=\frac{\delta s}{\delta x_{n}},
\]

где
\[
\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{i}\right)}=-\frac{f^{\prime}\left(d x_{i}\right)}{f^{\prime}(d s)} \quad \text { и } \quad \frac{\delta s}{\delta x_{i}}=\varphi^{\prime}\left(x_{i}\right),
\]

и так как, в силу (1), существует известное соотношение вида
\[
0=F\left(s, x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{1}\right)}, \ldots, \frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{n}\right)}\right),
\]

то должно иметь место и следующее соотношение :
\[
0=F\left(s, x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\delta s}{\delta x_{1}}, \ldots, \frac{\delta s}{\delta x_{n}}\right),
\]

то есть главная функция $\varphi$ должна удовлетворять следующему уравнению первого порядка в частных производных :
\[
0=F\left(\varphi, x_{1}, \ldots, x_{n}, \varphi^{\prime}\left(x_{1}\right), \ldots, \varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)\right),
\]

а также следующему начальному условию :
\[
0=\lim _{s=a} f\left(a, a_{1}, \ldots, a_{n}, x-a, x_{1}-a_{1}, \ldots, x_{n}-a_{n}\right) .
\]

Таковы наиболее существенные основы нового метода анализа, который сэр У. Гамильтон предложил назвать методом основных соотношений, простейшим типом которого, вероятно, является формула
\[
\frac{\delta(d s)}{\delta(d x)}=\frac{\delta s}{\delta x},
\]

интерпретируемая подобно уравнениям (8).

Простейшим примером, который может показать значение и приложение этих принципов, является, по-видимому, тот, для которого дифференциальные уравнения таковы:
\[
0=\left(\frac{d x_{1}}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d x_{2}}{d s}\right)^{2}-1
\]

и
\[
\frac{d\left(d x_{1}\right)}{d x_{1}}=\frac{d\left(d x_{2}\right)}{d x_{2}} .
\]

Обычное интегрирование дает здесь
\[
x_{1}=a_{1}+a_{1}^{\prime}(s-a) ; \quad x_{2}=a_{2}+a_{2}^{\prime}(s-a)
\]

и, следовательно, приводит к следующему соотношению (в данном случае основному) :
\[
0=\left(x_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-a_{2}\right)^{2}-(s-a)^{2},
\]

или
\[
s=a+\sqrt{\left(x_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-a_{2}\right)^{2}},
\]

ибо благодаря (1′) имеем $a_{1}^{\prime 2}+a_{2}^{\prime 2}=1$. Это позволяет нам проверить соотношения (8) или (14), для которых получаем :
\[
\frac{\delta s}{\delta x_{1}}=\frac{x_{1}-a_{1}}{s-a}=\frac{d x_{1}}{d s}=\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{1}\right)}
\]

и подобным же образом
\[
\frac{\delta s}{\delta x_{2}}=\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{2}\right)} .
\]

Обратно, если в этом примере задано следующее соотношение, выведенное из (1′),
\[
0=\left(\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{1}\right)}\right)^{2}+\left(\frac{\delta(d s)}{\delta\left(d x_{2}\right)}\right)^{2}-1,
\]

то для определения вида ( $7^{\prime}$ ) главной функции $s$ может быть использовано (согласно принципам нового метода) следующее дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных:
\[
0=\left(\frac{\delta s}{\delta x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\delta s}{\delta x_{2}}\right)^{2}-1
\]

в сочетании с начальным условием
\[
0=\lim _{s=a}\left\{\left(\frac{x_{1}-a_{1}}{s-a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}-a_{2}}{s-a}\right)^{2}\right\}-1 .
\]

Следовательно, основываясь на тех же новых принципах, можно вывести обычные интегралы (3′) в виде
\[
a_{1}=x_{1}+a_{1}^{\prime}(a-s) ; \quad a_{2}=x_{2}+a_{2}^{\prime}(a-s) .
\]

В таких простых случаях, как в настоящем примере, использование нового метода не дает преимуществ, однако в большом числе вопросов, включая все вопросы математической оптики и математической динамики (по крайней мере, в том свете, в каком рассматривает эти науки автор настоящего сообщения), и в общем случае при решении всех задач, где приходится интегрировать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (как

второго, так и более высокого порядка), к которым приводит вариационное исчисление, метод основных соотношений сразу определяет систему конечных выражений для интегралов предложенных уравнений, что крайне редко может быть достигнуто ранее применявшимися методами.

Например, представляется невозможным любым другим методом выразить строго, в конечных выражениях, интегралы дифференциальных уравнений движения системы из многих точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, однако это можно легко выполнить путем частного применения изложенных здесь общих принципов*). Автор надеется представить в дальнейшем эти принципы в еще более общем виде.
*) См. Philosophical Transactions за 1834 и 1835 гr., а также Report of British Association. [См. стр. 175-288 настоящей книги. Прим. ред.]