1. Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума. Определить из принципов метафизики а priori, каково именно это свойство, по-видимому, не так легко; но так как сами эти кривые можно определить при помощи прямого метода, то отсюда, при должном внимании, можно будет заключить о том, что́ в этих кривых является максимумом или минимумом. Подлежит рассмотрению главным образом эффект, происходящий от действующих сил; и так как он состоит в порожденном ими движении тела, то представляется сообразным с истиной, что это самое движение, или, точнее, совокупность всех движений, присущих брошенному телу, должна быть минимумом. Хотя может показаться, что это заключение недостаточно обосновано, однако, если я покажу, что оно согласуется с истиной, уже известной а priori, то оно приобретет такой вес, что все сомнения, которые могли бы относительно него возникнуть, совершенно исчезнут. Более того, когда его истинность будет доказана, легче будет проникнуть в скрытые законы природы и конечные причины и подкрепить это утверждение убедительнейшими соображениями.
2. Пусть масса брошенного тела равна $M$, а его обусловленная высотой скорость при прохождении малого промежутка $d s$ равна $v$; количество движения в этом месте будет равно $M \downharpoonright \bar{v}\left[{ }^{12}\right]$; будучи умножено на длину самого промежутка $d s$, оно даст $M d s \downarrow \bar{v}$, совокупное движение тела на промежутке $d s$. Теперь я утверждаю, что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будет минимум $\int M d s \sqrt{v}$, или, так как $M$ постоянное, $\int d s \sqrt{v}$. Если же рассматривать искомую кривую так, как будто бы она была дана, то можно из действующих сил определить скорость $\eta \bar{v}$ через величины, относящиеся к кривой, и, следовательно, определить саму кривую методом максимумов и минимумов. Впрочем, можно это выражение, полученное из количества движения, привести также и к живым силам; действительно, положив время, в течение которого пробегается элемент $d s$, равным $d t$, так как $d s=d t v \bar{v}$, будем иметь
\[
\int d s^{\top} \sqrt{v}=\int v d t
\]

так что для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей. Таким образом, ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим

скоростям, ни те, кто – по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого.
3. Итак, прежде всего, если мы положим, что никакие решительно силы не действуют на тело, то и его скорость, которую я здесь только и принимаю во внимание (ибо направление охватит сам метод максимумов и минимумов), не претерпит никакого изменения, поэтому $v$ будет величиной постоянной, равной, например, $b$. Отсюда, если тело, не подверженное действию никаких сил, будет как-нибудь брошено, то оно опишет такую линию, для которой будет наименьшим $\int d s \sqrt{b}$ или $\int d s=s$. Следовательно, этот путь сам будет наименьшим из всех, заключенных между теми же пределами, а значит, прямолинейным, совершенно так, как требуют первые основания механики.
Этот случай я привел не потому, что я думал подтвердить им мой принцип: тот же самый прямолинейный путь получился бы, какую бы я ни взял другую функцию от $v$ вместо скорости $\sqrt{v}$; но, начиная с простейших случаев, легче будет понять самый смысл указанного согласия.
4. Перехожу к случаю однородной тяжести, когда брошенное тело повсюду испытывает действие ускоряющей силы, равной $g$, вниз, по направлениям, нормальным к горизонтальной плоскости. Пусть $A M$ (рис. 1) – кривая, которую описывает тело при этих условиях; возьмем за ось вертикальную прямую $A P$ и положим абсциссу $A P=x$, opдинату $P M=y$ и элемент кривой $M m=d s$; следовательно, в соответствии с природой действующей силы,
\[
d v=g d x \quad \text { и } \quad v=a+g x .
\]

Значит, кривая будет такова, что для нее будет минимумом

Положим
\[
\begin{array}{c}
\int d s \sqrt{a+g x} . \\
d y=p d x,
\end{array}
\]

так что будет
\[
d s=d x \sqrt{1+p^{2}}
\]

и минимумом должен быть
\[
\int d x \sqrt{(a+g x)\left(1+p^{2}\right)},
\]

а это выражение при сравнении с общей формой $\int Z d x$ дает
\[
Z=\sqrt{(a+g x)\left(1+p^{2}\right)} ;
\]

поэтому, так как было положено
\[
d Z=M d x+M d y+P d p,
\]

получим
\[
N=0 \quad \text { и } \quad P=\frac{p \sqrt{a+g x}}{\sqrt{1+p^{2}}} .
\]

Так как дифференциальное значение равно
\[
N-\frac{d P}{d x},
\]

то в настоящем случае, вследствие

окажется
\[
\begin{array}{l}
N=0, \\
d P=0
\end{array}
\]

и
\[
P=\sqrt{C} \text {. }
\]

Будем иметь, следовательно,
\[
\sqrt{C}=\frac{p \sqrt{a+g x}}{\sqrt{1+p^{2}}}=\frac{d y \sqrt{a+g x}}{d s},
\]

откуда получается
\[
C d x^{2}+C d y^{2}=d y^{2}(a+g x)
\]

и
\[
d y=\frac{d x \sqrt{\bar{c}}}{\sqrt{a-c+g x}} ;
\]

будучи проинтегрировано, это уравнение, дает
\[
y=\frac{2}{g} \sqrt{C(a-C+g x)} .
\]
5. Очевидно, что это уравнение параболы. Но полезно будет внимательно рассмотреть его согласие с истиной. Прежде всего ясно, что там, где
\[
a-C+g x=0,
\]

касательная к кривой горизонтальна или
\[
d x=0 .
\]

А так как начало абсцисс $A$ зависит от нашего усмотрения, то возьмем его в этом самом месте, и получится
\[
C=a ;
\]

затем пусть сама ось проходит через эту высшую точку кривой, так что при $x=0$ окажется и $y=0$. При соблюдении этих условий уравнение кривой будет таково :
\[
y=2 \sqrt{\frac{\overline{a x}}{g}} ;
\]

оно не только, как это очевидно, принадлежит параболе, но, так как скорость в точке $A$ есть $\sqrt{a}$, то высота $C A$, падая с которой под воздействием той же самой силы $g$, тело приобретает такую же скорость, с какой оно движется в точке $A$, будет равна $a / g$; т. е. она равняется четвертой части параметра, совершенно так, как это выводится прямым методом из учения о движении брошенных тел.
6. Пусть сила, действующая на тело, будет, как и раньше, повсюду направлена вертикально вниз, но сама не будет постоянной, а будет как-нибудь зависеть от высоты $C P$. Значит, если положить абсциссу $C P=x$, то сила, с которой тело в точке $M$ стремится вниз, будет равна $X$, некоторой функции от $x$. Если теперь принять за ординату $P M=y$, элемент дуги $M m=d s$ и $d y=p d x$, то будет
\[
d v=X d x
\]

и
\[
v=A+\int X d x
\]

откуда минимумом должно быть выражение
\[
\int d x \sqrt{\left(A+\int X d x\right)\left(1+p^{2}\right)},
\]

из которого получим для описываемой кривой такое уравнение :
\[
\sqrt{C}=\frac{p \sqrt{A+\int X d x}}{\sqrt{1+p^{2}}}
\]

и
\[
p=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{A-C+\delta X d x}}=\frac{d y}{d x},
\]

или
\[
y=\int \frac{d x \sqrt{C}}{\sqrt{A-C+\int \overline{X d x}}} .
\]

Следовательно, касательная к кривой будет горизонтальна там, где
\[
\int X d x=c-A .
\]

Это же самое уравнение траектории тела находится и прямым методом.
7. Пусть теперь на тело действуют в $M$ (рис. 2) две силы, одна горизонтальная, равная $Y$, по направлению $M P$, другая вертикальная, равная $X$, по направлению $M Q$. Пусть при этом $X$ – некоторая функция вертикального отрезка $M Q=C P=x$, а $Y$ некоторая функция ординаты $P M=y$. Положив, как раньше, $d y=p d x$, будем иметь
\[
d v=-X d x-Y d y,
\]

и получим
\[
v=A-\int X d x-\int Y d y ;
\]

отсюда, минимумом должно быть выражение
\[
\int d x \sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)} .
\]

Продифференцировав
\[
\sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)},
\]

получим
\[
\frac{-X d x \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}-\frac{Y d y \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}+\frac{p d p \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}{\sqrt{1+p^{2}}} .
\]

Положив здесь
\[
N=\frac{-Y \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}
\]

и
\[
P=\frac{p \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}{\sqrt{1+p^{2}}},
\]

будем иметь для искомой кривой уравнение
\[
0=N-\frac{d P}{d x}
\]

или
\[
N d x=d P ;
\]

отсюда, следовательно, получается
\[
\frac{-Y d x \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}=\frac{d p \sqrt{A-\int X} d x-\int Y d y}{\left(1+p^{2}\right) \sqrt{1+p^{2}}}-\frac{p X d x-p Y d y}{2 \sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)}},
\]

или
\[
\frac{d p \sqrt{A-\int X d x-\int Y d y}}{\left(1+p^{2}\right) \sqrt{1+p^{2}}}=\frac{X d x-Y d y}{2 \sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)}},
\]

а поэтому
\[
\frac{2 d p}{1+p^{2}}=\frac{X d y-Y d x}{A-\int X d x-\int Y d y} .
\]

Что это уравнение согласуется с истиной, станет ясным, если вместо
\[
A-\int X d x-\int Y d y
\]

подставить $v$, ибо тогда будет
\[
\frac{2 v d p}{\left(1+p^{2}\right)^{3: 2}}=\frac{X d y-Y d x}{\sqrt{1+p^{2}}} .
\]

Но радиус соприкасающегося круга

введя его, имеем
\[
\begin{array}{l}
r=-\frac{\left(1+p^{2}\right)^{3: 2} d x}{d p} ; \\
\frac{2 v}{r}=\frac{Y d x-X d y}{d s},
\end{array}
\]

где $\frac{2 v}{r}$ есть центробежная сила тела, а $\frac{Y d x-X d y}{d s}$ выражает нормальную силу, составленную из действующих сил, а равенство этих сил непременно имеет место при всяком движении брошенных тел.
8. Найденное уравнение
\[
\frac{2 d p}{1+p^{2}}=\frac{X d y-Y d x}{A-\int X d x-\int Y d y}
\]

может быть проинтегрировано в общем виде, если его умножить на
\[
\frac{p\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)}{1+p^{2}} ;
\]

тогда получится
\[
\frac{2 p d p\left(A-\int X d x-\int Y d y\right)}{\left(1-p^{2}\right)^{2}}-\frac{p^{2} X d x+Y d y}{1+p^{2}}=0,
\]

что после интегрирования дает
\[
\frac{-p^{2} \int X d x+\int Y d y-A}{1+p^{2}}=C,
\]

или
\[
\int Y d y-p^{2} \int X d x=A+C+C p^{2},
\]

откуда
\[
p=\frac{\sqrt{B+\int Y d y}}{\sqrt{C+\int X d x}},
\]

если подставить $B$ вместо $-A-C$. Так как $p=\frac{d y}{d x}$, то будем иметь для искомой кривой уравнение
\[
\int \frac{d y}{\sqrt{B+\int Y} \overline{d y}}=\int \frac{d x}{\sqrt{\bar{C}+\int X d x}},
\]

в котором переменные $x$ и $y$ отделены одна от другой. Или, обращая постоянные $B$ и $C$ в отрицательные, будем иметь
\[
\int \frac{d y}{\sqrt{B-\int Y d y}}=\int \frac{d x}{\sqrt{c-\int X} \bar{X}} .
\]

На основании этого легко построить кривую, однако, извлечь алгебраические уравнения, поскольку они здесь содержатся, не так легко. Пусть $X$ и $Y$ подобные функции, а именно, степени от $x$ и $y$; получим
\[
\int \frac{d y}{\sqrt{b^{n}-y^{n}}}=\int \frac{d x}{\sqrt{a^{n}-x^{n}}},
\]

а это уравнение, если $n=1$, дает параболу, если же $n=2$ – эллипс, имеюций центр в $C$, хотя в последнем случае каждое из интегрирований требует квадратуры круга. Итак, представляется правдоподобным, что и в других случаях, когда ни одно из интегрирований не удается, уравнению удовлетворяют алгебраические кривые ; но метода для их нахождения до сих пор не имеется.
9. Пусть на тело $M$ постоянно давит по направлению $M C$ к неподвижной точке сила, пропорциональная какой-нибудь функции от расстояния $M C$. Положим, как и раньше, $C P=x, P M=y$ и $d y=p d x$; пусть $C M=$ $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=t$ и пусть $T$ – функция от $t$, выражающая центростремительную силу. Разложим эту силу на боковые по $M Q$ и $M P$; сила, влекущая по направлению $M Q$, будет равна $\frac{T x}{t}$, а сила по $M P$ будет равна $\frac{T y}{t}$; отсюда получается ускорение
\[
d v=-\frac{T x d x}{t}-\frac{T y d y}{t}=-T d t,
\]

потому что
\[
x d x+y d y=t d t
\]

отсюда
\[
v=A-\int T d t .
\]

Поэтому минимумом должно быть выражение
\[
\int d x \sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int T d t\right)} .
\]

Согласно правилу, продифференцируем величину $\sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int T d t\right)}$ получим
\[
\frac{T d t \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int T d t}}+\frac{p d p \sqrt{A-\int T d t}}{\sqrt{1+p^{2}}} .
\]

Так как $d t=\frac{x d x+y d y}{t}$, будем иметь :
\[
N=\frac{-T y \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{A-\int T d t}}
\]

и
\[
P=\frac{p \sqrt{A-\int T d t}}{\sqrt{1+p^{2}}}
\]

составляем уравнение
\[
N d x=d P \text {, }
\]

которое дает
\[
\frac{T y d x \sqrt{1+p^{2}}}{2 t \sqrt{A-\int T d t}}=\frac{d p \sqrt{A-\int T d t}}{\left(1+p^{2}\right) \sqrt{1+p^{2}}}-\frac{p T d t}{2 \sqrt{\left(1+p^{2}\right)\left(A-\int T d t\right)}},
\]

а это уравнение, будучи упрощено, перейдет в уравнение
\[
\frac{T(x d y-y d x)}{2 t\left(A-\int T d t\right)}=\frac{d p}{1+p^{2}} .
\]
10. Хотя это уравнение содержит четыре различные буквы, однако, при должной умелости его можно проинтегрировать. Действительно, так как
\[
y d y+x d x=t d t=p y d x+x d x,
\]

то будем иметь :
\[
d x=\frac{t d t}{x+p y}
\]

и
\[
d y=\frac{p t d t}{x+p y},
\]

а подстановка этих значений в уравнение даст
\[
\frac{(p x-y) T d t}{2(x+p y)\left(A-\int T d t\right)}=\frac{d p}{1+p^{2}}
\]

или
\[
\frac{T d t}{2\left(A-\int T d t\right)}=-\frac{d p(x+p y)}{\left(1+p^{2}\right)(p x-y)} .
\]

Оба эти выражения могут быть проинтегрированы посредством логарифмов ; действительно,
\[
\int \frac{T d t}{2\left(A-\int T d t\right)}=-\frac{1}{2} l\left(A-\int T d t\right),
\]
a
\[
\int \frac{d p(x+p y)}{\left(1+p^{2}\right)(p x-y)}
\]

распадается на
\[
\int \frac{x d p}{p x-y}-\int \frac{p d p}{1+p^{2}}=l \frac{p x-y}{\sqrt{1+p^{2}}},
\]

так что имеем
\[
\frac{C}{\sqrt{A-\int T \overline{d t}}}=\frac{p x-y}{\sqrt{1+p^{2}}} ;
\]

это уравнение показывает, что скорость тела в точке $M$, равная $\sqrt{A-\int T d t}$, обратно пропорциональна длине перпендикуляра, опущенного из $C$ на касательную, что составляет отличительное свойство такого движения.
11. Эта же задача удобнее решается, если принять за вторую переменную прямую $C M$. Но изложенный выше метод и не требует, чтобы обе переменные были прямоугольными координатами, лишь бы только это были такие две величины, определив которые мы тем самым определим точку кривой. По этой причине нельзя было бы принять за эти две переменные расстояние $C M$ и перпендикуляр, опущенный из $C$ на касательную, потому

что, хотя бы и были даны расстояние от центра и перпендикуляр к касательной, этим, однако, не определяется место точки на кривой. Но ничто не мешает принять за две переменные расстояние $C M$ и дугу $B P$ (рис. 3) окружности, описанной из центра $C$; ибо если даны дуга $B P$ и расстояние $C M$, то точқа кривой $M$ так же определена, как и с помощью прямоугольных координат. Это замечание делает применимость метода гораздо более широкой, чем могло бы казаться без него.
12. Итак, пусть расстояние тела от центра $M C=x$, а сила, которая действует на тело по направлению к центру $C$, равна $X$ и является некоторой функцией от $x$. Из центра $C$ опишем произвольно выбранным радиусом $B C=c$ окружность, дуга которой $B P$ займет место второй переменной $y$, так что $P p=d y=p d x$. Вследствие действия силы имеем
\[
d v=-X d x,
\]

откуда
Рис. 3.
\[
v=A-\int X d x .
\]

Из центра $C$ радиусом $C M=x$ опишем малую дугу $M n$; тогда будет
\[
m n=d x \quad \text { и } \quad C P: P p=C M: M n,
\]

откуда получается
\[
M n=\frac{p x d x}{C}
\]

и элемент пути
\[
M m=d x \sqrt{1+\frac{p^{2} x^{2}}{C^{2}}} .
\]

Поэтому минимумом должно быть такое выражение
\[
\int d x \sqrt{\left(A-\int X d x\right)\left(1+\frac{p^{2} x^{2}}{C^{2}}\right)},
\]

из которого получается дифференциальное значение
\[
\frac{1}{d x} d \frac{p x^{2} \sqrt{A-\int X d x}}{c \sqrt{c^{2}+p^{2} x^{2}}},
\]

которое, будучи согласно правилу приравнено нулю, даст уравнение
\[
\sqrt{C}=\frac{p x^{2} \sqrt{A-\int X d x}}{c \sqrt{c^{2}+p^{2} x^{2}}}
\]

или
\[
C c^{4}+C c^{2} p^{2} x^{2}=\left(A-\int X d x\right) p^{2} x^{4},
\]

откуда получается
\[
p=\frac{c^{2} \sqrt{c}}{\sqrt{\left(A-\int X d x\right) x^{4}-C c^{2} x^{2}}}=\frac{c^{2} \sqrt{c}}{x \sqrt{\left(A-\int X d x\right) x^{2}-C c^{2}}},
\]

или
\[
d y=\frac{c^{2} d x \sqrt{c}}{x \sqrt{\left(A-\int X d x\right) x^{2}-C c^{2}}} .
\]

Это же самое уравнение находится и прямым методом.

13. Итак, на этих случаях ясно видно согласие установленного здесь принципа с истиной; но может еще оставаться сомнение, будет ли иметь место это согласие также и в более сложных случаях. Поэтому надо будет внимательно исследовать, насколько широкий смысл имеет этот принцип, чтобы не придавать ему большего значения, чем позволяет его сущность. Чтобы развить это, нужно разделить все случаи движения брошенных тел на два рода. Для первого из них скорость, которую тело имеет в каждом месте, зависит только от его положения, так что если оно будет возвращаться к одному и тому же положению, то будет приобретать снова ту же самую скорость; так бывает, если тело влекут к одному или нескольким неподвижным центрам силы, пропорциональные каким-нибудь функциям расстояний от этих центров. Ко второму роду я отношу те случаи движения брошенных тел, когда скорость тела не определяется одним только местом его пребывания; это бывает, либо если центры, к которым стремится тело, будут подвижны, либо если движение происходит в сопротивляющейся среде. Установив это разделение, нужно сказать, что всякий раз, когда движение тела будет принадлежать к первому роду, т. е. тело будут увлекать не только к одному, но и к любому числу неподвижных центров какие-нибудь силы, в этом движении сумма всех элементарных движений будет наименьшей.
14. Того же самого требует и сущность задания: ведь если между данными пределами разыскивается та кривая, для которой $\int d s \sqrt{v}$ составлял бы минимум, то тем самым предполагается, что в каждом из обоих пределов скорость тела одна и та же, какая бы кривая ни являлась путем тела. Сколько бы ни было неподвижных центров сил, скорость тела в любой точке $M$ (рис. 2) выражается определенной функцией обеих переменных $C P=x$ и $\stackrel{ }{P} M=y$.
Итак, пусть $v$ – некоторая функция от $x$ и $y$, так что
\[
d v=T d x+V d y ;
\]

посмотрим, покажет ли наш принцип действительную траекторию тела. Так как $d v=T d x+V d y$, то тело будет двигаться так же, как если бы на него действовали в $M$ две силы, одна $T$, в направлении параллельном абсциссам $x$, другая $V$, в направлении параллельном ординатам $y$; отсюда получается тангенциальная сила, равная
\[
\frac{T d x+V d y}{d s},
\]

и нормальная сила, равная
\[
\frac{-V d x+T d y}{d s} .
\]

В силу же природы свободного движения должно быть
\[
\frac{2 v}{r}=\frac{-V d x+T d y}{d s}=\frac{-V+T p}{\sqrt{1+p^{2}}} ;
\]

если метод максимумов и минимумов приведет к этому уравнению, то наш принцип непременно будет сообразен с истиной.
15. Так как согласно этому принципу должен быть минимумом
\[
\int d x \sqrt{v\left(1+p^{2}\right)}
\]

то продифференцируем величину
\[
\sqrt{v\left(1+p^{2}\right)}
\]

и так как $d v=T d x+V d y$, получим
\[
\frac{T d x \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{v}}+\frac{V d y \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{v}}+\frac{p d p \sqrt{v}}{\sqrt{1+p^{2}}},
\]

откуда по данным нами правилам получается для искомой кривой следующее уравнение :
\[
\frac{V d x \sqrt{1+p^{2}}}{2 \sqrt{v}}=d \frac{p \sqrt{v}}{\sqrt{1+p^{2}}}=\frac{d p \sqrt{v}}{\left(1+p^{2}\right)^{32}}+\frac{p(T d x+V d y)}{2 \sqrt{v\left(1+p^{2}\right)}},
\]

или
\[
-\frac{d p \sqrt{v}}{\left(1+p^{2}\right)^{3: 2}}=\frac{T p d x-V d x}{2 \sqrt{v\left(1+p^{2}\right)}} .
\]

Но радиус соприкасающегося круга в точке $M$ равен
\[
\frac{-\left(1+p^{2}\right) d x \sqrt{1+p^{2}}}{d p} ;
\]

если положить его равным $r$, то будем иметь
\[
\frac{2 v}{r}=\frac{T p-V}{\sqrt{1+p^{2}}},
\]

совершенно то же, что находим посредством прямого метода.
Итак, если только действующие силы таковы, что их можно свести к двум силам $T$ и $V$, действующим по направлсниям, параллелыным координатам $x$ и $y$, и пропорциональным каким-нибудь функциям этих переменных $x$ и $y$, то для описываемой кривой движение тела, собранное по всем элементам, всегда будет наименьшим.
16. Итак, этот принцип имеет столь широкое значение, что подлежащим изъятию представляется только движение, возмущаемое сопротивлением среды; причем легко видеть причину этого изъятия, потому что в этом случае тело, приходя к одному и тому же месту различными путями, приобретает не одну и ту же скорость. Таким образом, если устранить всякое сопротивление движению брошенных тел, то всегда будет иметь место то постоянное свойство, что сумма всех элементарных движений будет наименьшей. И это свойство будет наблюдаться не только в движении одного тела, но и в движении нескольких тел, рассматриваемых вместе; қак бы они ни действовали одно на другое, всегда сумма всех движений остается наименьшей. Так как такого рода движения трудно поддаются расчету, то здесь это легче понять из основных принципов, чем из согласия вычислений, произведенных по обоим методам. Действительно, так как тела в силу инерции сопротивляются всякому изменению состояния, то они, если только будут свободны, будут насколько возможно меньше подчиняться действующим силам; отсюда вытекает, что в порожденном движении эффект, произведенный силами, должен быть меньшим, чем если бы тело или тела двигались каким-либо иным способом. Хотя сила этого рассуждения еще недостаточно видна, все же, так как оно согласно с истиной, я не сомневаюсь, что при помощи принципов здравой метафизики оно может быть возведено к большей очевидности ; но это я представляю другим, тем, кто занимается метафизикой.