Пусть
\[
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \quad y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}
\]
– две группы переменных, а $F$ – некоторая функция этих переменных. Рассмотрим интеграл
\[
J=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(-F+\Sigma y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right) d t .
\]

Вариация этого интеграла может быть написана так:
\[
\delta J=\int\left(-\delta F+\Sigma \delta y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}-\Sigma y_{i} \frac{d \delta x_{i}}{d t}\right) d t .
\]

Для того чтобы эта вариация равнялась нулю, нужно прежде всего иметь [175]
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{d F}{d y_{i}}, \quad \frac{d y_{i}}{d t}=-\frac{d F}{d x_{i}},
\]

что дает нам канонические уравнения. Но это условие не является достаточным. Если оно выполнено, то имеем

но нужно, кроме того, чтобы правая сторона этого равенства была равна нулю. Так именно и будет, если предположить, что $\delta x_{i}$ равны нулю на обеих границах, т. е. что начальные и конечные значения $x_{i}$ заданы. При этих условиях интеграл $J$, который мы называем действием, есть минимум.

Возьмем другие переменные, и пусть $x_{i}^{\prime}$ и $y_{i}^{\prime}$ – эти новые переменные; предположим, что они выбраны так, чтобы выражение
\[
\Sigma y_{i}^{\prime} d x_{i}^{\prime}-\Sigma y_{i} d x_{i}=d S
\]

было полным дифференциалом.
В этом случае мы видели, что изменение переменных не изменяет канонического вида уравнений, и результат этот, впрочем, явится немедленным следствием различных предположений, которые изложены далее; пусть тогда
\[
J^{\prime}=\int_{i_{i}}^{t_{1}}\left(-F+\sum y_{i}^{\prime} \frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}\right) d t .
\]

Имеем
\[
J^{\prime}-J=\int \frac{d S}{d t} d t=S_{1}-S_{0},
\]

где $S_{0}$ и $S_{1}$ являются значениями функции $S$ при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$. Таким образ0м,
\[
\delta J^{\prime}=\delta J+[\delta S]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}} .
\]

Если канонические уравнения (1) удовлетворены, то
\[
\delta J=+\left[\Sigma y_{i} \delta x_{i}\right]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}
\]

и, следовательно, согласно (2) и (3) :
\[
\delta J^{\prime}=+\left[\Sigma y_{i}^{\prime} \delta x_{i}^{\prime}\right]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}} .
\]

Но подобно тому қак соотношение (4) эквивалентно уравнениям (1), соотношение ( $4 \mathrm{bis}$ ) эквивалентно уравнениям
\[
\frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}=\frac{d F}{d y_{i}^{\prime}}, \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}=-\frac{d F}{d x_{i}^{\prime}} .
\]

Итак, мы видим, что выражение (4) эквивалентно (4bis), уравнения (1) эквивалентны уравнениям (lbis), а это означает, как мы уже знаем, что замена переменных не изменяет канонического вида уравнений.

Отсюда следует, что действие $J^{\prime}$ будет минимумом, если предположить, что начальные и конечные значения переменных $x_{i}^{\prime}$ заданы. Таким образом, каждой системе канонических переменных соответствует новый вид принципа наименьшего действия.
Уравнения (1) приводят к интегралу живых сил
\[
F=h,
\]

где $h$ есть постоянная.
Мы предполагали до сих пор, что обе границы $t_{0}$ и $t_{1}$ заданы; что же произойдет, если эти границы рассматривать как переменные? Так как $F$ не зависит явно от времени, то мы не ограничим общности, допустив, что $t_{0}$ есть постоянная, и дав только $t_{1}$ приращение $\delta t_{1}$. Примем, например, $t_{0}=0$ и допустим, что после вариации переменные $x_{i}$ и $y_{i}$ имеют в момент $\frac{t}{t_{1}}\left(t_{1}+\delta t_{1}\right)$ те же значения, которые они имели в момент $t$ до вариации.
До вариации имеем
\[
J=-h t_{1}+\Sigma \int y_{i} \frac{d x_{i}}{d t} d t
\]

но $\int y_{i} \frac{d x_{i}}{d t} d t=\int y_{i} d x_{i}$ от времени не зависит и, значит, его вариация равна нулю. Таким образом, имеем просто
\[
\delta J=-h \delta t_{1} .
\]

Производная действия $J$ по верхней границе интегрирования $t_{1}$ равна постоянной энергии $h$ с обратным знаком.

Если эта постоянная есть нуль, то действие $J$ опять-таки есть минимум, когда начальные и конечные значения переменных $x_{i}$ рассматриваются как заданные и даже в том случае, если начальное и конечное значения еремени $t_{0}$ и $t_{1}$ не рассматриваются как заданные.
Если заменить $F$ через $F-h$, то $J$ обращается в
\[
J+h\left(t_{1}-t_{0}\right)
\]

а так как уравнения (1) не изменяются, то это выражение (6) есть опять-таки минимум.

Но если заменить $F$ через $F-h$, постоянная живых сил, которая равнялась $h$, обращается в нуль; следовательно, выражение (6) есть минимум, даже если $t_{1}$ и $t_{0}$ не рассматриваются как заданные.

Действие $J$ есть минимум, каковы бы ни были переменные $x_{i}$ и $y_{i}$; оно a fortiori будет минимум, если мы наложим на него новое условие, совместимое с уравнениями (1), например условие удовлетворять первой группе уравнений (1), т.е.
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{d F}{d y_{i}},
\]

откуда
\[
J=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(-F+\Sigma y_{i} \frac{d F}{d y_{i}}\right) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} H d t
\]

где положено
\[
H=-F+\Sigma y_{i} \frac{d F}{d y_{i}} .
\]

Определенное таким образом действие есть минимум. Это – гамильтонова форма принципа наименьшего действия. Предположим теперь, что
\[
h=0 .
\]

Пусть, далее, переменные $x_{i}$ и $y_{i}$ не рассматриваются более как независимые; наложим на них условие
\[
F=0 .
\]

Это ограничение, совместимое с уравнениями (1), не будет препятствовать тому, чтобы действие $J$ оказалось минимумом. Тогда
\[
J=\int \Sigma^{\prime} y_{i} \frac{d x_{i}}{d t} d t
\]

и, так как $h$ равно нулю, то этот интеграл есть минимум, даже если $t_{1}$ и $t_{0}$ не рассматриваются как заданные.
Наложим теперь условия
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{d F}{d y_{i}},
\]

откуда найдем $y_{i}$ в функции $\frac{d x_{i}}{d t}$ :
\[
y_{i}=\varphi_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \frac{d x_{1}}{d t}, \frac{d x_{2}}{d t}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d t}\right)
\]

или же
\[
y_{i}=\varphi_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \frac{d x_{1}}{d t}, \frac{d x_{2}}{d x_{1}} \frac{d x_{1}}{d t}, \frac{d x_{3}}{d x_{1}} \cdot \frac{d x_{1}}{d t}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d x_{1}} \frac{d x_{1}}{d t}\right) .
\]

Подставим вместо $y_{i}$ их значения (7) в выражение для $J$ и в уравнение
\[
F=0 .
\]

Из этого уравнения исключим $\frac{d x_{1}}{d t}$ в функции $x_{k}$ и $\frac{d x_{k}}{d x_{1}}$. Затем подставим это значение $\frac{d x_{1}}{d t}$ в выражения (7) и в $J$; теперь этот последний интеграл примет вид
\[
\int \Sigma y_{i} \frac{d x_{i}}{d x_{1}} d x_{1}=\int \Phi d x_{1},
\]

где $\Phi$ есть функция $x_{k}$ и производных $\frac{d x_{k}}{d x_{1}}$.

Этот интеграл, взятый таким образом в независимой от времени форме, снова оказывается минимумом. В данном случае – это принцип наименьшего действия в форме Мопертюи. Если бы $h$ не было равно нулю, то следовало бы только заменить $F$ на $F-h$.
Рассмотрим теперь частный случай, имеющий наиболее важное значение. Полагаем
\[
F=T-U,
\]

причем $T$ – однородная функция второй степени переменных $y_{i}$, в то время как $U$ не зависит от этих переменных. Тогда получим
\[
\Sigma y_{i} \frac{d F}{d y_{i}}=2 T, H=T+U .
\]

Согласно принципу Гамильтона интеграл
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t
\]

должен быть минимумом.
Посмотрим, что произойдет с принципом Мопертюи; уравнение живых сил имеет вид
\[
T-U=h .
\]

Действие по Мопертюи тогда будет:

В уравнениях
\[
\begin{array}{c}
\int(T+U+h) d t . \\
\frac{d x_{i}}{d t}=\frac{d F}{d y_{i}}=\frac{d T}{d y_{i}}
\end{array}
\]

вторые члены – линейные и однородные функции $y_{i}$; следовательно, $T$ однородная второй степени функция $\frac{d x}{d t}$; заменим в выражении $T$ производные $\frac{d x_{i}}{d t}$ через $d x_{i}$; получим
\[
T=\frac{d \tau^{2}}{d t^{2}},
\]

где $d t^{2}$ будет линейной и однородной функцией $n$ дифференциалов $d x_{i}$; отсюда находим
\[
d t=\frac{d \tau}{\sqrt{\bar{T}}}=\frac{d \tau}{\sqrt{U+h}} .
\]

Действие по Мопертюи тогда примет вид
\[
2 \int d t \sqrt{U}+h .
\]
Чтобы иметь возможность изучить другие частные случаи, положим для краткости
\[
x_{i}^{\prime}=\frac{d x_{i}}{d t} .
\]

Исключим $y_{i}$ из уравнений
\[
x_{i}^{\prime}=\frac{d F}{d y_{i}}
\]

так, чтобы принять за новые переменные $x_{i}$ и $x_{i}^{\prime}$; обозначим обыкновенным $d$ производные, взятые по $x_{i}$ и $y_{i}$, и круглым – производные, взятые по $x_{i}$ и $x_{i}^{\prime}$.

Теперь мы легко найдем хорошо известные соотношения
\[
y_{i}=\frac{\partial H}{\partial x_{i}^{\prime}}, \frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\frac{d F}{d x_{i}}, \quad F=\sum x_{i}^{\prime} \frac{\partial H}{\partial x_{i}^{\prime}}-H
\]

и увидим, что уравнения (1) эквивалентны уравнениям Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial H}{\partial x_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H}{\partial x_{i}} .
\]

Установив это положение, рассмотрим тот случай, когда $H$ имеет следующий вид:
\[
H=H_{0}+H_{1}+H_{2},
\]

причем $H_{0}, H_{1}, H_{2}$ – функции однородные, соответственно $0,1,2$-й степени переменных $x_{i}^{\prime}$. В этом случае величины
\[
\sum x_{i}^{\prime} \frac{\partial H}{\partial x_{i}^{\prime}}=2 H_{2}+H_{1}, \quad F=H_{2}-H_{0} \quad \text { и } \quad y_{i}=\frac{\partial H_{2}}{\partial x_{i}^{\prime}}+\frac{\partial H_{1}}{\partial x_{i}^{\prime}}
\]

являются функциями линейными, но не однородными относительно $x^{\prime}$ Гамильтоново действие сохраняет тот же вид
\[
\int H d t \text {. }
\]

Посмотрим, что произойдет с действием по Мопертюи.
Пусть $h$ есть постоянная живых сил; действие по Мопертюи примет вид
\[
\int(H+h) d t,
\]

но требуется придать ему вид, независимый от времени.
Для этого положим
\[
H_{2}=\frac{d \tau^{2}}{d t^{2}} \quad \text { и } \quad H_{1}=\frac{d \sigma}{d t} .
\]
$H_{2}$ есть не что иное, как живая сила, а $d{ }^{2}$ есть выражение этой живой силы после замены $x_{i}^{\prime}$ через $d x_{i}$. A $d \sigma$ обозначает выражение, которое получится, если в $H_{i}$ заменить $x_{i}^{\prime}$ через $d x_{i}$; значит, это – форма линейная и однородная относительно дифференциалов $d x_{i}$.
Если мы примем во внимание уравнение живых сил

откуда
\[
\begin{array}{c}
H_{2}=H_{0}+h, \\
d t=\frac{d \tau}{\sqrt{H_{0}+h}},
\end{array}
\]

то действие по Мопертюи примет вид
\[
\int\left[2 d \tau \sqrt{H_{0}+h}+d \sigma\right] .
\]

Принцип Мопертюи применим как к тому случаю, с которым мы имеем дело, так и к случаю абсолютного движения; но имеется существенная разница в отношении того, что из него следует в каждом из этих случаев.

Во всех задачах, которые нам встретятся, живая сила $T$ или $H_{2}$ – существенно положительные величины; это – квадратичная, определенно положительная форма. В случае абсолютного движения (п. 337) действие $\int 2 d \tau \sqrt{U+h}$ существенно положительно; оно не меняется при перемене пределов. Наоборот, в данном случае действие составляется из двух членов: первый, $\int 2 d \tau \sqrt{H_{0}+h}$, будет всегда положительным и не меняется при

перемене пределов; второй же, $\int d \sigma$, меняет знак при перемене пределов и может быть как положительным, так и отрицательным.

Если мы примем во внимание, что в некоторых случаях при обращении первого члена в нуль второй член в нуль не обращается, то увидим, что действие не всегда имеет положительный знак; это обстоятельство создаст нам в дальнейшем большие трудности.
339. Чтобы показать, как применяются приведенные выше соображения к относительному движению, рассмотрим сначала абсолютное движение системы; положим, что
\[
H=T+U
\]

и что положение системы определяется $n+1$ переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \omega$, где $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ достаточны для того, чтобы определить относительное положение различных точек системы, а $\omega$ определяет ориентацию системы в пространстве.

Если система изолирована, то $U$ будет зависеть только от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, $T$ будет квадратичной формой, однородной относительно $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}, \omega^{\prime}$, коэффициенты которой зависят исключительно от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.
Получим уравнение
\[
\frac{d T}{d \omega^{\prime}}=p,
\]

где $p$– постоянная; мы получили интеграл площадей.
Установив это, возьмем гамильтоново действие $J$ в виде
\[
J=\int_{t_{\mathrm{v}}}^{t_{1}} H d t ;
\]

тогда, если уравнения движения удовлетворены, то
\[
\delta J=\left[\Sigma \frac{d T}{d x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}+\frac{d T}{d \omega^{\prime}} \delta \omega\right]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}} .
\]

Действие будет минимумом (или, вернее, его первая вариация будет нулем), если начальные и конечные значения $x_{i}$ и $\omega$ рассматриваются как заданные, т. е. если $\delta x_{i}=\delta \omega=0$ для $t=t_{0}$ и для $t=t_{1}$.

Предположим теперь, что мы считаем заданными только начальные и конечные значения $x_{i}$, но не $\omega$; тогда получим

Пусть тогда
\[
H^{\prime}=H-p \omega^{\prime}
\]

и
\[
J^{\prime}=\int H^{\prime} d t
\]

отсюда очевидно, что
\[
\delta J^{\prime}=0 .
\]

Из уравнения $\frac{d T}{d \omega^{\prime}}=p$ исключаем $\omega^{\prime}$, которое является линейной неоднородной функцией $x_{i}^{\prime}$; мы видим также, что $H^{\prime}$ есть квадратичная неоднородная относительно $x_{i}$ функция.
Значит, $H$ здесь будет иметь вид $H_{0}+H_{1}+H_{2}$, изученный в п. 338. Таким образом, интеграл $J^{\prime}$ будет минимумом даже и тогда, когда начальное и конечное значения $\omega$ не рассматриваются как заданные.

Заметим, что
\[
J^{\prime}=J-p\left(\omega_{1}-\omega_{0}\right),
\]

где $\omega_{0}$ и $\omega_{1}$ являются значениями $\omega$ для $t=t_{0}$ и для $t=t_{1}$.
340. Возьмем теперь систему, отнесенную к подвижным осям и подчиненную силам, которые зависят только от относительного положения системы по отношению к подвижным осям. Предположим, кроме того, что оси находятся в равномерном вращательном движении с постоянной угловой скоростью $\omega^{\prime}$.
Эта задача сразу же сводится к предыдущей. Нам придется только придать подвижным осям очень большой момент инерции так, чтобы угловая скорость оставалась постоянной.
Тогда для абсолютного движения имеем
\[
H=T+U=T_{1}+T_{2}+U .
\]

Силовая функция $U$ зависит топько от переменных $x_{i}$, которые определяют положение системы по отношению к подвижным осям; $T_{1}$, живая сила системы, зависит от $x_{i}$ и является квадратичной формой относительно $x_{i}^{\prime}$ и $\omega^{\prime} ; T_{2}$, живая сила подвижных осей, равна $\frac{I}{2} \omega^{\prime 2}$ и момент инерции $I$ очень велик.
Тогда
\[
p=\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}}+I \omega^{\prime}
\]

и
\[
H^{\prime}=H-p \omega^{\prime}=\left(T_{1}+T_{2}+U\right)-\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}} \omega^{\prime}-I \omega^{\prime 2},
\]

где
\[
H^{\prime}=T_{1}+U-\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}} \omega^{\prime}-\frac{I \omega^{\prime 2}}{2} .
\]

Итак,
\[
I \omega^{\prime}=p-\frac{I d T_{1}}{d \omega^{\prime}} .
\]

Так как $I$ и $p$ очень велики по сравнению с $\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}}$, то это уравнение определяет приближенно
\[
\omega^{\prime}=\frac{p}{I},
\]

а более точно –
\[
\omega^{\prime}=\frac{p}{I}-\frac{1}{I} \frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}} .
\]

Кроме того,
\[
\frac{I \omega^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2 I}-\frac{p \frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}}}{I}+\frac{1}{2 I}\left(\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}}\right)^{2} .
\]

Находим таким образом
\[
H^{\prime}=T_{1}+U-\frac{p^{2}}{2 I}+\frac{1}{2 I}\left(\frac{d T_{1}}{d \omega^{\prime}}\right)^{2} .
\]

В правой стороне предпоследний член есть постоянная величина, а последним можно пренебречь, так как $I$ очень велико.

Так как к $H^{\prime}$ можно прибавить какую-либо постоянную, ничего не изменяя в принципе Гамильтона, то мы, полагая
\[
H^{\prime \prime}=T_{1}+U,
\]

найдем, что интеграл
\[
J^{\prime \prime}=\int H^{\prime \prime} d t
\]

должен быть минимумом (даже и в том случае, когда начальные и конечные значения $\omega$ не даны).

В выражении $H^{\prime \prime}$ надо рассматривать $\omega^{\prime}$ как заданную постоянную; $H^{\prime}$ будет тогда квадратичной неоднородной функцией $x_{i}^{\prime}$ вида $H_{0}+H_{1}+H_{2}$.

Пусть, например, мы имеем материальную точку массы единица, движущуюся в плоскости, координаты которой относительно подвижных осей обозначаются через $\xi$ и $\eta$. Имеем
\[
T_{1}=\frac{\left(\xi^{\prime}-\omega^{\prime} \eta\right)^{2}+\left(\eta^{\prime}+\omega^{\prime} \xi\right)^{2}}{2},
\]

тогда
\[
H_{2}=\frac{\xi^{2}+\eta^{\prime 2}}{2}, H_{1}=\omega^{\prime}\left(\xi \eta^{\prime}-\xi^{\prime} \eta\right), H_{0}=\frac{\omega^{2}}{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)+U .
\]

Интеграл
\[
J=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(H_{2}+H_{1}+H_{0}\right) d t
\]

есть минимум, если будем рассматривать границы $t_{0}$ и $t_{1}$, а также начальные и конечные значения $\xi$ и $\eta$ как заданные.
Интеграл живых сил тогда можно записать в виде
\[
H_{2}=H+h,
\]

а мы видели, что интеграл
\[
J^{\prime}=\int\left(H_{2}+H_{1}+H_{0}+h\right) d t=J+h\left(t_{1}-t_{0}\right)
\]

есть минимум, даже если $t_{0}$ и $t_{1}$ не рассматриваются как заданные.
Находим тогда
\[
J^{\prime}=\int\left(2 H_{2}+H_{1}\right) d t=\int\left[d s \sqrt{H_{0}+h}+\omega^{\prime}(\xi d \eta-\eta d \xi)\right],
\]

полагая
\[
d s^{2}=d \xi^{2}+d \eta^{2} .
\]

Это – обобщенный принцип Мопертюи.
В задачах, которые нам предстоит рассмотреть, $U$ всегда будет положительным, а следовательно, $J$ будет существенно положительным.
Но относительно $J^{\prime}$ это не всегда так.
Действительно, при $h$ отрицательном мы должны считать точку $\xi, \eta$ замкнутой в области, определяемой неравенством
\[
H_{0}+h>0 .
\]

Первый член величины, стоящей под знаком $\int$, т. е. член $d s \sqrt{H_{0}+h}$, существенно положительный; но второй член меняет знак, когда принятое направление пройденной траектории изменяется на обратное.

Если точка $\xi, \eta$ расположена очень близко к границе области, в которой она замкнута, если, сдедовательно, $H_{0}+h$ очень мало, то первый член будет очень малым и выражение получит знак второго члена.

Значит, $J^{\prime}$ не существенно положительное. В этом можно убедиться также из уравнения
\[
J^{\prime}=J+h\left(t_{1}-t_{0}\right)
\]

Если $h$ отрицательно, то первый член положительный, а второй – отрицательный.

Кинетические фокусы

До сих пор, когда я говорил: такой-то интеграл есть минимум, – я употреблял сокращенный, но неправильный способ выражения, который, впрочем, никого не мог ввести в заблуждение; я хотел сказать: первая вариация этого интеграла равна. нулю; это условие необходимо для получения минимума, но оно недостаточно.
Теперь разыщем условие, необходимое для того, чтобы изученные нами в предыдущих разделах интегралы $J$ и $J^{\prime}$, первые вариации которых были равны нулю, оказались бы действительно минимумами. Это разыскание связано с трудным вопросом о вторых вариациях и с красивой теорией кинетических фокусов.
Напомним основы этих теорий.
Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ – функции $t$, а $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ – их производные; рассмотрим интеграл $J=\int_{t_{0}}^{t_{1}} f\left(x_{i}, x_{i}^{\prime}\right) d t$, первая вариация которого $\delta J$ равна нулю, если принять начальные и конечные значения $x_{i}$ қак заданные.
Для того чтобы этот интеграл был минимумом, нужно сначала иметь условие, необходимое, но недостаточное, которое я назову условием (A). Оно состоит в том, чтобы выражсение
\[
f\left(x_{i}, x_{i}^{\prime}+\varepsilon_{i}\right)-\sum \varepsilon_{i} \frac{d f}{d x_{i}^{\prime}},
\]

рассматриваемое как функция $\varepsilon_{i}$, было минимумом.
Условие (А) не является достаточным, кроме того случая, когда границы интегрирования очень сближены. В остальных случаях необходимо наложить еще одно условие, которое я назову условием (В). Прежде чем сформулировать это условие, надо напомнить определение кинетических фокусов.

Чтобы $\delta J=0$, необходимо и достаточно, чтобы $x_{i}$ удовлетворяли $n$ дифференциальным уравнениям второго порядка, которые я назову уравнениями (C).
Пусть
\[
x_{i}=\varphi_{i}(t)
\]
— решение этих уравнений.
Другое решение, бесконечно близкое к первому, пусть будет
\[
x_{i}=\varphi_{i}(t)+\xi_{i} ;
\]

составим линейные уравнения в вариациях, которым удовлетворяют $\xi_{i}$ и которые я назову (D).
Общее решение этих уравнений (D) будет вида
\[
\xi_{i}=\sum_{k=1}^{k=2 n} A_{k} \xi_{i k} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $A_{k}$ – это $2 n$ постоянных интегрирования, а $\xi_{i k}$ – это $2 n^{2}$ функций $t$, совершенно определенных и соответствующих $2 n$ частным решениям линейных уравнений (D).

На этом основании запишем, что все $\xi_{i}$ обращаются в нуль для двух заданных моментов $t=t^{\prime}$ и $t=t^{\prime \prime}$; мы найдем $2 n$ ліинейных уравнений, из которых сможем исключить $2 n$ неизвестных $A_{k}$.
Таким образом, получим уравнение
\[
\Delta\left(t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right)=0,
\]

где $\Delta$ есть определитель:

Здесь $\xi_{i k}^{\prime}$ и $\xi_{i k}^{\prime \prime}$ – функции $\xi_{i k}$ после замены в них $t$ на $t^{\prime}$ и на $t^{\prime \prime}$ соответственно.

Если моменты $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ удовлетворяют уравнению $\Delta=0$, то мы скажем, что это два сопряженных момента и что две точки $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$ пространства $n$ измерений, которые имеют соответственно координаты
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}\left(t^{\prime}\right), \varphi_{2}\left(t^{\prime}\right), \ldots, \varphi_{n}\left(t^{\prime}\right), \\
\varphi_{1}\left(t^{\prime \prime}\right), \varphi_{2}\left(t^{\prime \prime}\right), \ldots, \varphi_{n}\left(t^{\prime \prime}\right),
\end{array}
\]

являются двумя сопряженными точками.
Если, кроме того, момент $t^{\prime \prime}$, сопряженный с моментом $t^{\prime}$ и более поздний из них, является моментом, наиболее близким к $t^{\prime}$, то мы скажем, что $M^{\prime \prime}$ есть фокус $M^{\prime}$.

Теперь мы можем сформулировать условие (B): оно состоит в том, что между $t_{0}$ и $t_{1}$ не должно быть никакого момента, сопряженного с $t_{0}$.

Чтобы $J$ было минимумом, необходимо и достаточно удовлетворить условиям (A) и (В). Отсюда немедленно вытекает следующее:

Пусть $t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}$ – четыре момента. Пусть $M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ – соответствующие им точки кривой
\[
x_{1}=\varphi_{1}(t), x_{2}=\varphi_{2}(t), \ldots, \quad x_{n}=\varphi_{n}(t) .
\]

Предположим, что $M_{1}$ есть фокус $M_{0}$, а $M_{3}$ – фокус $M_{2}$. Если условие (А) удовлетворено, то мы сможем получить

или
\[
\begin{array}{l}
t_{0}<t_{1}<t_{2}<t_{3}, \\
t_{0}<t_{2}<t_{1}<t_{3},
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
t_{2}<t_{3}<t_{0}<t_{1}, \\
t_{0}<t_{2}<t_{3}<t_{1} ;
\end{array}
\]

но не сможем получить
\[
t_{0}<t_{2}<t_{3}<t_{1}
\]

в этом случае интеграл $\int_{t_{0}}^{t_{1}-\varepsilon}$ должен быть минимумом, потому что условие (B) удовлетворено, а интеграл $\int_{t_{s}}^{t_{1}}$ не будет минимумом, потому что условие (B) не будет относительно него удовлетворено.

Но это невозможно, потому что функции $x_{i}$ можно варьировать между $t_{2}$ и $t_{1}-\varepsilon$, не варьируя их в то же время между $t_{0}$ и $t_{2}$.
Легко выясняется геометрический смысл предыдущего.
Кривая пространства $n$ измерений
\[
x_{i}=\varphi_{i}(t),
\]

представляющая собой решение уравнений (C), может быть названа траекторией, которую я обозначаю через $T$.

Кривая
\[
x_{i}=\varphi_{i}+\xi_{i}
\]

будет представлять собой бесконечно близкую траекторию.
Если через точку $M^{\prime}$ провести одну из этих траекторий $T^{\prime}$, бесконечно близких к $T$, и если эта траектория снова пересечет траекторию $T$ в точке $M^{\prime \prime}$ (точнее говоря, расстояние $M^{\prime \prime}$ от этой точки будет бесконечно малым высшего порядка), то точки $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$ будут сопряженными в том случае, если точка, которая описывает $T^{\prime}$, проходит, кроме того, через $M^{\prime}$ и бесконечно близко к $M^{\prime \prime}$ в моменты $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ соответственно.
342. Согласно принципу Гамильтона условие (А) всегда удовлетворено; действительно,
\[
H=H_{0}+H_{1}+H_{2},
\]

и $H_{2}$ есть квадратичная форма, однородная относительно $x_{i}^{\prime}$.
Во всех задачах динамики это – определенная и положительная квадратичная форма.
Если мы заменим $x_{i}^{\prime}$ через $x_{i}^{\prime}+\xi_{i}, H_{1}$ обратится в

а $H_{2}$ обратится в
\[
\begin{array}{c}
H_{1}\left(x_{i}^{\prime}+\Sigma^{\prime} \varepsilon_{i} \frac{d H_{1}}{d x_{i}^{\prime}}\right), \\
H_{2}\left(x_{i}^{\prime}\right)+H_{2}\left(\varepsilon_{i}\right)+\Sigma^{\prime} \varepsilon_{i} \frac{d H_{2}}{d x_{i}^{\prime}} .
\end{array}
\]

Кроме того,
\[
\sum^{\prime} \varepsilon_{i} \frac{d H_{0}}{d x_{i}^{\prime}}=0,
\]

следовательно,
\[
H\left(x_{i}^{\prime}+\varepsilon_{i}\right)=H_{0}+H_{1}+H_{2}+\sum \varepsilon_{i} \frac{d\left(H_{0}+H_{1}+H_{2}\right)}{d x_{i}^{\prime}}+H_{2}\left(\varepsilon_{i}\right),
\]

откуда, наконец, получим
\[
H\left(x_{i}^{\prime}+\varepsilon_{i}\right)-2 \varepsilon_{i} \frac{d H}{d x_{i}}=H+H_{2}\left(\varepsilon_{i}\right) .
\]

Первый член соответствует функции
\[
\int\left(x_{i}^{\prime}+\varepsilon_{i}\right)-\Sigma^{\prime} \varepsilon_{i} \frac{d f}{d x_{i}^{\prime}},
\]

а так как квадратичная форма $H_{2}\left(\varepsilon_{i}\right)$ определенно положительная, то мы видим, что это выражение является минимумом для $\varepsilon_{i}=0$, т. е. что условие (A) удовлетворено.
Перейдем теперь к принципу Мопертюи в абсолютном движении. Интеграл, который требуется исследовать, имеет вид $\int d r$, причем $d_{r^{2}}{ }^{2}$ есть определенно положительная квадратичная форма дифференциалов $d x_{i}$.
Примем на время $x_{1}$ за независимую переменную; тогда интеграл получит вид $\int \frac{d \tau}{d x_{1}} d x_{1}$, где $\left(\frac{d \tau}{d x_{1}}\right)^{2}$ есть многочлен второй степени $P$, не однородный (но существенно положительный) относительно $\frac{d x_{i}}{d x_{1}}$.
Итак, пусть
\[
\frac{d \tau}{d x_{1}}=\sqrt{P \frac{d x_{i}}{d x_{1}}} .
\]

Вопрос в том, является ли
\[
\sqrt{P\left(\frac{d x_{i}}{d x_{1}}+\varepsilon_{i}\right)}-\sum^{\prime} \varepsilon_{i} \frac{d}{d x_{i}^{\prime}} \sqrt{P\left(x_{i}^{\prime}\right)}
\]

минимумом для $\varepsilon_{i}=0$, или, другими словами, будет ли вторая производная радикала
\[
\sqrt{P\left(\frac{d x_{i}}{d x_{1}}+\varepsilon_{i} t\right)},
\]

взятая по $t$, положительной.
Но каковы бы ни были $\frac{d x_{i}}{d x_{1}}$ и $\varepsilon_{i}$, мы получим
\[
P\left(\frac{d x_{i}}{d x_{1}}+\varepsilon_{i} t\right)=a t^{2}+2 b t+c,
\]

где $a, b$ и $c$ не зависят от $t$; вторая производная радикала тогда равна
\[
\frac{a c-b^{2}}{\left(a t^{2}+2 b t+c\right)^{3 / 2}} .
\]

Так как многочлен $P$ существенно положительный, то это выражение тоже положительно и условие (А) всегда удовлетворено.
344. Переходим к принципу Мопертюи в относительном движении. Нам тогда придется иметь дело с интегралом
\[
\int\left[d s \sqrt{H_{0}+h}+\omega^{\prime}(\xi d \eta-\eta d \xi)\right],
\]

где, принимая $\xi$ за независимую переменную, имеем
\[
\int d \xi\left[\sqrt{\left(H_{0}+h\right)\left(1+\eta^{\prime 2}\right)}+\omega^{\prime}\left(\xi \eta^{\prime}-\eta\right)\right] .
\]

Необходимо теперь определить, является ли вторая производная по $\eta^{\prime}$ от
\[
\sqrt{\left(H_{0}+h\right)\left(I+\eta^{\prime 2}\right)}+\omega\left(\xi \eta^{\prime}-\eta\right)
\]

положительной. Эта производная равна
\[
\frac{\sqrt{H_{0}+h}}{\left(I+\eta^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Условие (А) опять удовлетворено.
Итак, условие (А) само собой удовлетворяется во всех тех случаях, которые нам придется исследовать.
Фокусы по Мопертюи
Кинетические фокусы несколько различны в зависимости от того, рассматриваем ли мы действие Гамильтона или действие по Мопертюи. Чтобы лучше уяснить себе это, рассмотрим случай двух степеней свободы, и пусть $x$ и $y$ – две переменные, определяющие положение системы, которые мы можем рассматривать как координаты в плоскости.
Пусть
\[
x=f_{1}(t), \quad y=f_{2}(t)
\]
– уравнения траектории $T$, которая будет плоской кривой. Положим
\[
x=f_{1}(t)+\xi, \quad y=f_{2}(t)+\eta
\]

и, отбросив квадраты $\xi$ и $\eta$, составим вариационные уравнения. Так как они линейные и 4-го порядка, то мы получим:
\[
\xi=a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}+a_{3} \xi_{3}+a_{4} \xi_{4}, \quad \eta=a_{1} \eta_{1}+a_{2} \eta_{2}+a_{3} \eta_{3}+a_{4} \eta_{4},
\]

где $a_{i}$ – постоянные интегрирования, а $\xi_{i}$ и $\eta_{i}$ – функции $t$.

Уравнение из п. 341
\[
\Delta\left(t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right)=0
\]

примет тогда вид
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\xi_{1}^{\prime} & \xi_{2}^{\prime} & \xi_{3}^{\prime} & \xi_{4}^{\prime} \\
\eta_{1}^{\prime} & \eta_{2}^{\prime} & \eta_{3}^{\prime} & \eta_{4}^{\prime} \\
\xi_{1}^{\prime \prime} & \xi_{2}^{\prime \prime} & \xi_{3}^{\prime \prime} & \xi_{4}^{\prime \prime} \\
\eta_{1}^{\prime \prime} & \eta_{2}^{\prime \prime} & \eta_{3}^{\prime \prime} & \eta_{4}^{\prime \prime}
\end{array}\right|=0 .
\]

Именно это уравнение определяет гамильтоновы фокусы.
Смысл его следующий: точка $x, y$, которая описывает траекторию $T$, и точка $x+\xi, y+\eta$, которая описывает бесконечно близкую траекторию $T^{\prime}$ в два различных момента, а именно в моменты $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$, оказываются отделенными друг от друга расстоянием, бесконечно малым высшего порядка.

Но не этим условиям должны удовлетворять фокусы по Мопертюи. Две точки траектории $T$, а именно обе точки $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$, которые соответствуют моментам $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$, должны находиться на расстоянии, бесконечно малом высшего порядка от траектории $T^{\prime}$. В этом случае отнюдь не требуется, чтобы точка, движущаяся по траектории $T^{\prime}$, проходила точно в момент $t^{\prime \prime}$, например, бесконечно близко к $M^{\prime \prime}$. Но зато постоянная живых сил должна иметь одно и то же значение как для $T$, так и для $T^{\prime}$. Для гамильтоновых фокусов это последнее условие не обязательно.
Одним из решений уравнений в вариациях будет:
\[
\xi=f_{1}^{\prime}(t), \quad \eta=f_{2}^{\prime}(t) .
\]

Мы можем, следовательно, предположить
\[
\xi_{1}^{\prime}=f_{1}\left(t^{\prime}\right), \eta_{1}^{\prime}=f_{2}^{\prime}\left(t^{\prime}\right), \quad \xi_{1}^{\prime \prime}=f_{1}^{\prime}\left(t^{\prime \prime}\right), \eta_{1}^{\prime \prime}=f_{2}^{\prime}\left(t^{\prime \prime}\right) .
\]

Так определяются обе функции $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$.
С другой стороны, разность между постоянной живых сил для траектории $T$ и постоянной живых сил для траектории $T^{\prime}$ бесконечно мала; это, очевидно, линейная функция четырех бесконечно малых постоянных $a_{1}$, $a_{2}, a_{3}, a_{4}$.

Мы можем, не ограничивая общности, предположить, что эта разность точно равна $a_{4}$.

Тогда для того, чтобы значение постоянной живых сил для $T$ и $T^{\prime}$ было одинаково, необходимым условием является, чтобы $a_{4}=0$ или же
\[
\xi=a_{1} \xi_{1}+a_{2} \xi_{2}+a_{3} \xi_{3}, \quad \eta=a_{1} \eta_{1}+a_{2} \eta_{2}+a_{3} \eta_{3} .
\]

Так как $\xi$ и $\eta$ должны быть равны нулю при $t=t^{\prime}$; то имеем уравнения
\[
a_{1} \xi_{1}^{\prime}+a_{2} \xi_{2}^{\prime}+a_{3} \xi_{3}^{\prime}=0, \quad a_{1} \eta_{1}^{\prime}+a_{2} \eta_{2}^{\prime}+a_{3} \eta_{3}^{\prime}=0 .
\]

С другой стороны, значение $x+\xi, y+\eta$ для $t=t^{\prime \prime}+\varepsilon$ должно быть тем же (до бесконечно малых, близких к высшему порядку малости), что и значение $x$ и $y$ для $t=t^{\prime \prime}$, что можно записать так:
\[
\left(\varepsilon+a_{1}\right) \xi_{1}^{\prime \prime}+a_{2} \xi_{2}^{\prime \prime}+a_{3} \xi_{3}^{\prime \prime}=0, \quad\left(\varepsilon+a_{1}\right) \eta_{1}^{\prime \prime}+a_{2} \eta_{2}^{\prime \prime}+a_{3} \eta_{3}^{\prime \prime}=0,
\]

откуда путем исключения получим
\[
\left|\begin{array}{llll}
\xi_{2}^{\prime} & \xi_{3}^{\prime} & \xi_{1}^{\prime} & 0 \\
\eta_{2}^{\prime} & \eta_{3}^{\prime} & \eta_{1}^{\prime} & 0 \\
\xi_{2}^{\prime \prime} & \xi_{3}^{\prime \prime} & 0 & \xi_{1}^{\prime \prime} \\
\eta_{2}^{\prime \prime} & \eta_{3}^{\prime \prime} & 0 & \eta_{1}^{\prime \prime}
\end{array}\right|=0 .
\]

Раскрывая определитель, находим
\[
\left|\begin{array}{c}
\xi_{1}^{\prime} \eta_{2}^{\prime}-\xi_{2}^{\prime} \eta_{1}^{\prime}, \xi_{1}^{\prime} \eta_{3}^{\prime}-\xi_{3} \eta_{1}^{\prime} \\
\xi_{1}^{\prime \prime} \eta_{2}^{\prime \prime}-\xi_{2}^{\prime \prime} \eta_{1}^{\prime \prime}, \xi_{1}^{\prime \prime} \eta_{3}^{\prime \prime}-\xi_{3}^{\prime \prime} \eta_{1}^{\prime \prime}
\end{array}\right|=0
\]

и, полагая
\[
\frac{\xi_{1} \eta_{2}-\eta_{1} \xi_{2}}{\xi_{1} \eta_{3}-\xi_{3} \eta_{1}}=\zeta(t),
\]

придадим уравнению (2) вид
\[
\zeta\left(t^{\prime}\right)=\zeta\left(t^{\prime \prime}\right) .
\]

Применение к периодическим решениям

Если мы имеем дело с периодическим решением периода $2 \pi$, то функции $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ предыдущего раздела будут периодическими периода $2 \pi$; такими же будут и
\[
\xi_{1}=f_{1}^{\prime}(t), \eta_{1}=f_{2}^{\prime}(t) .
\]

Кроме того, вариационные уравнения допускают согласно гл. IV другие частные решения вида
\[
\begin{array}{ll}
\xi=e^{a t} \varphi_{2}(t), & \eta=e^{a t} \psi_{2}(t), \\
\xi=e^{-a t} \varphi_{3}(t), & \eta=e^{-a t} \psi_{3}(t), \\
\xi=\varphi_{4}(t)+\beta t f_{1}^{\prime}(t), & \eta=\psi_{4}(t)+\beta t f_{2}^{\prime}(t) .
\end{array}
\]

В этих уравнениях $\beta$ есть постоянная, $\alpha$ и – $а$ являются характеристическими показателями степени, а $\varphi$ и $\psi$ – периодическими функциями.
Пусть
\[
F\left(x, y \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}\right)=\text { const }
\]

есть уравнение живых сил; тогда
\[
\frac{d F}{d x} \xi+\frac{d F}{d y} \eta+\frac{d F}{d \frac{d x}{d t}} \frac{d \xi}{d t}+\frac{d F}{d \frac{d y}{d t}} \frac{d \eta}{d t}=A,
\]

где $A$ есть постоянная. Если в этом уравнении мы заменим $\xi$ и $\eta$ через $e^{a t} \varphi_{2}$, $e^{a t} \psi_{2}$, то его левая сторона обращается в периодическую функцию $t$, умноженную на $e^{a t}$; так как она должна быть постоянной, то необходимо, чтобы она была равна нулю.
Мы имеем, следовательно,
\[
A=0 .
\]

Это означает, что обе бесконечно близкие траектории, уравнения которых
\[
x=f_{1}(t), \quad y=f_{2}(t)
\]

и
\[
x=f_{1}(t)+e^{a t} \varphi_{2}(t), \quad y=f_{2}(t)+e^{a t} \psi_{2}(t)
\]

соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.
То же самое можно сказать и относительно траектории, уравнение которой имеет вид
\[
x=f_{1}(t)+e^{-a t} \varphi_{3}(t), \quad y=f_{2}(t)-e^{-a t} \psi_{3}(t) .
\]

Следовательно, мы имеем право полагать
\[
\begin{array}{ll}
\xi_{2}=e^{a t} \varphi_{2}, & \eta_{2}=e^{a t} \psi_{2}, \\
\xi_{3}=e^{-a t} \varphi_{3}, & \eta_{3}=e^{-a t} \psi_{3} .
\end{array}
\]

Тогда $\zeta$ будет всегда иметь вид:
\[
\zeta(t)=e^{2 a t} G(t),
\]

где $G(t)$ – периодическая функция.

Случай устойчивых решений
Теперь мы должны различать два случая:
$1^{\circ}$. Решение устойчивое и $\alpha^{2}$ отрицательное. В этом случае ‘ $\xi_{2}$ и $\xi_{3}, \eta_{2}$ и $\eta_{3}$ – величины мнимые сопряженные; $\zeta$ и $G$ имеют модулем единицу. Мы сделаем три гипотезы, которые оправдаем ниже. Предположим:
1) что $G(t)$ никогда не обращается ни в нуль, ни в бесконечность; 2) что функция
\[
t+\frac{I}{2 \alpha} \ln G(t)=\tau,
\]

которая существенно действительна, является таюже и непрерывно возрастающей;
3) что $\ln G(t)$ является функцией периодической.
Тогда уравнение (3) может быть записано, если обозначить через $\tau^{\prime}$ и $\tau^{\prime \prime}$ оба значения $\tau$, соответствующих $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$, в следующем виде:
\[
\tau^{\prime \prime}-\tau^{\prime}=\frac{k i \pi}{a} \quad(k-\text { целое }) .
\]

Каждому значению $t$ соответствует одно-единственное значение $\tau$ и каждому значению $\tau$ – одно-единственное значение $t$. Следовательно, чтобы $k=0$, нужно, чтобы $t^{\prime}=t^{\prime \prime}$. Если же требуется, чтобы $t^{\prime \prime}>t^{\prime}$, то $k$ должен быть положительным.
Принимая $k=1$, мы придаем $t^{\prime \prime}-t^{\prime}$ наименьшее значение; тогда
\[
\tau^{\prime \prime}-\tau^{\prime}=\frac{i \pi}{a}
\]

и точка $M^{\prime \prime}$ есть фокус для $M^{\prime}$.
Важно отметить следующее обстоятельство.
Приведенные соображения применимы в тех случаях, когда $\ln G(t)$ является периодической функцией; но вообще нам известно только то, что $G(t)$ есть периодическая функция, и отсюда непосредственно следует, что
\[
\ln G(t)
\]

возрастает на величину, кратную $2 i \pi$, например на $2 k i \pi$, если $t$ возрастает на $2 \pi$. Тогда
\[
\ln G(t)-i k t
\]

есть функция периодическая.
Возьмем в этом случае
\[
G^{\prime}(t)=G(t) e^{-i k t}, \quad \alpha^{\prime}=\alpha+\frac{i k}{2} ;
\]

для $\zeta$ получим
Вместо
\[
\begin{array}{c}
\zeta(t)=e^{2 \alpha t} G(t)=e^{2 \alpha^{\prime} t} G^{\prime}(t) . \\
\tau=t+\frac{1}{2 \alpha} \ln G(t)
\end{array}
\]

возьмем
\[
\tau=t+\frac{1}{2 a^{\prime}} \ln G^{\prime}(t)
\]

так как $\ln G(t)$ есть величина периодическая, то предшествующие выводы сохраняют свое значение.
Уравнение (3) запишется так:
\[
\tau^{\prime \prime}-\tau^{\prime}=\frac{m i \pi}{\alpha^{\prime}} \quad(m-\text { целое }),
\]

и $M^{\prime \prime}$ будет фокусом $M^{\prime}$, если
\[
\tau^{\prime \prime}-\tau^{\prime}=\frac{i \pi}{a^{\prime}} .
\]
Так оправдалась одна из трех гипотез, т. е. что In $G(t)$ должен быть периодическим.
Теперь я утверждаю, что функция $\tau$ должна быть, как мы и предполагали, непрерывно возрастающей.
Действительно, предположим, что эта функция допускает максимум $\tau_{0}$ для $t=t_{0}$; мы могли бы найти два момента $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ таких, чтобы соответствующие значения $\tau^{\prime}$ и $\tau^{\prime \prime}$ функции $\tau$ были равны, и два других момента $t_{2}^{\prime}$ и $t_{2}^{\prime \prime}$ таких, чтобы $\tau_{2}^{\prime}=\tau_{2}^{\prime \prime}$; таких, наконец, чтобы пять моментов, впрочем, очень близких один к другому, удовлетворяли неравенствам
\[
t_{2}^{\prime}<t_{1}^{\prime}<t_{0}<t_{1}^{\prime \prime}<t_{2}^{\prime \prime} .
\]

Тогда $t_{1}^{\prime \prime}$ было бы фокусом $t_{1}^{\prime}$, а $t_{2}^{\prime \prime}$ – фокусом $t_{2}^{\prime}$, а мы видели выше, что такие неравенства невозможны, когда удовлетворено условие (А).

Я утверждаю теперь, что $G(t)$ не может обратиться в нуль; действительно, мы имеем
\[
\zeta(t)=\frac{\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2}}{\xi_{1} \eta_{3}-\xi_{3}} .
\]

Числитель и знаменатель функции $\zeta(t)$ – мнимые сопряженные; если один из них обращается в нуль, то другой тоже обратится в нуль; таким образом, функция $\zeta(t)$ не может быть ни нулем, ни бесконечностью.
Так оправдались все наши гипотезы.