15. Пусть для определенности
\[
f(r)=\frac{1}{r},
\]
т. е. мы будем рассматривать такую бинарную систему как планета или комета и Солнце, подчиненную ньютонову закону притяжения ; для краткости положим
\[
m_{1}+m_{2}=\mu, \quad \frac{h^{2}}{\mu}=p, \frac{-m_{1} m_{2}}{2 H}=a .
\]

Теперь характеристическая функция $V$ относительного движения может быть выражена следующим образом :
\[
V,=\frac{m_{1} m_{2}}{\sqrt{\mu}}\left(\vartheta \sqrt{p}+\int_{r_{0}}^{r} \pm \sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{p}{r^{2}}} d r\right),
\]

где $p$ рассматривается как функция крайних радиусов-векторов $r_{0}$ и $r$ и ограниченного ими угла $\vartheta$, включающего также величину $a$ или связанную с ней величину $H$, и определяемого условием
\[
\vartheta=\int_{r_{0}}^{r} \frac{ \pm d r}{r^{2} \sqrt{\frac{2}{r p}-\frac{1}{a p}-\frac{1}{r^{2}}}},
\]
т. е. производной от выражения ( $\left.\mathrm{A}^{3}\right)$, взятой по $p$. При этом верхний знак в каждом выражении берется, когда расстояние увеличивается, а нижний знак — когда это расстояние уменьшается; величина $p$ рассматривается при вычислении обоих определенных интегралов как постоянная. Из сказанного выше вытекает, что эта величина $p$ является постоянной также в том смысле, что она не зависит от времени и не меняется в процессе движения и что условие $\left(\mathrm{B}^{3}\right)$, связывающее эту постоянную с $r, r_{0}, \vartheta$, представляет собой уравнение плоской относительной орбиты, которая, следовательно (как это давно известно), является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, является ли постоянная положительной, отрицательной или нулем, причем начало $r$ всегда представляет собой фокус кривой,

а $p$ представляет собой полупараметр. Отсюда также вытекает, что время движения может быть выражено следующим образом :
\[
t=\frac{\delta V,}{\delta H_{,}}=\frac{2 a^{2}}{m_{1} m_{2}} \frac{\delta V,}{\delta a}
\]

и, следовательно,
\[
t=\int_{r_{0}}^{r} \frac{ \pm d r}{\sqrt{\frac{2 \mu}{r}-\frac{\mu}{a}-\frac{\mu p}{r^{2}}}} .
\]

Последнее выражение известно. Здесь мы ограничиваемся случаем, когда $a>0$, и вводим известные дополнительные величины, называемые эксцентриситетом и эксцентрической аномалией, а именно:
\[
e=\sqrt{1-\frac{p}{a}}
\]

и
\[
v=\cos ^{-1}\left(\frac{a-r}{a e}\right),
\]

что дает
\[
\pm \sqrt{2 a r-r^{2}-p a}=a e \sin v,
\]

где $v$ считается постоянно возрастающей во времени; следовательно, как хорошо известно,
\[
\begin{array}{l}
r=a(1-e \cos v), \quad r_{0}=a\left(1-e \cos v_{0}\right), \\
\left.\vartheta=2 \operatorname{tg}^{-1}\left\{\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \operatorname{tg} \frac{v}{2}\right\}-2 \operatorname{tg}^{-1}\left\{\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \operatorname{tg} \frac{v_{0}}{2}\right\}\right\} \\
\end{array}
\]

и
\[
t=\sqrt{\frac{a^{3}}{\mu}}\left(v-v_{0}-e \sin v+e \sin v_{0}\right) .
\]

Мы находим, что выражение характеристической функции относительного движения
\[
V,=\frac{m_{1} m_{2}}{\sqrt{\mu}} \int_{r_{0}}^{r} \frac{ \pm\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) d r}{\sqrt{\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{p}{r^{2}}}},
\]

выведенное из $\left(\mathrm{A}^{3}\right)$ и $\left(\mathrm{B}^{3}\right)$, может быть преобразовано следующим образом :
\[
V,=m_{1} m_{2} \sqrt{\frac{a}{\mu}}\left(v-v_{0}+e \sin v-e \sin v_{0}\right),
\]

где эксцентриситет $e$ и конечные и начальные эксцентрические аномалии $v$, $v_{0}$ должны рассматриваться как функции конечного и начального радиусов $r, r_{0}$ и угла $\vartheta$, определяемых посредством уравнений (106). Выражение ( $\mathrm{F}^{3}$ ) может быть написано следующим образом :
\[
V,=2 m_{1} m_{2} \sqrt{\frac{a}{\mu}}\left(v_{\iota}+e, \sin v_{\iota}\right),
\]

если мы для краткости положим
\[
v,=\frac{v-v_{0}}{2}, \quad e_{1}=e \cos \frac{v+v_{0}}{2} .
\]

Для полного определения характеристической функции данного относительного движения остается, следовательно, определить две переменные

$v$ и $e$ в качестве функций $r, r_{0}, \vartheta$ или функций қакой-либо другой группы величин, которые характеризуют форму и величину плоского треугольника, ограниченного конечным и начальным радиусами-векторами и эллиптической хордой.

Для этой цели удобно ввести саму эллиптическую хорду, которую мы обозначим $\pm \tau$, так что
\[
\tau^{2}=r^{2}+r_{0}^{2}-2 r_{0} \cos \vartheta,
\]

так как эта хорда может быть выражена как функция двух переменных $v, e$, (включая также среднее расстояние $a$ ) следующим образом. Значение (106) угла $\vartheta$ с помощью равенства (95) для $\theta-\theta_{0}$ дает
\[
\theta-2 \operatorname{tg}^{-1}\left\{\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \operatorname{tg} \frac{v}{2}\right\}=\theta_{0}-2 \operatorname{tg}^{-1}\left\{\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \operatorname{tg} \frac{v_{0}}{2}\right\}=\widetilde{\omega},
\]

где $\tilde{\omega}$ представляет собой новую постоянную, независимую от времени, а именно одно из значений полярного угла $\theta$, соответствующее минимуму радиуса-вектора, и, следовательно, с помощью (106) :
\[
\left.\begin{array}{ll}
r \cos (\theta-\widetilde{\omega})=a(\cos v-e), & r \sin (\theta-\widetilde{\omega})=a \sqrt{1-e^{2}} \sin v \\
r_{0} \cos \left(\theta_{0}-\widetilde{\omega}\right)=a\left(\cos v_{0}-e\right), & r_{0} \sin \left(\theta_{0}-\widetilde{\omega}\right)=a \sqrt{1-e^{2}} \sin v_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Эти выражения дают следующее значение для квадрата эллиптической хорды :
\[
\begin{aligned}
\tau^{2} & =\left\{r \cos (\theta-\widetilde{\omega})-r_{0} \cos \left(\theta_{0}-\widetilde{\omega}\right)\right\}^{2}+\left\{r \sin (\theta-\widetilde{\omega})-r_{0} \sin \left(\theta_{0}-\widetilde{\omega}\right)\right\}= \\
& =a^{2}\left\{\left(\cos v-\cos v_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left(\sin v-\sin v_{0}\right)^{2}\right\}= \\
& =4 a^{2} \sin v^{2}\left\{\left(\sin \frac{v+v_{0}}{2}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)\left(\cos \frac{v+v_{0}}{2}\right)^{2}\right\}=4 a^{2}\left(1-e^{2}\right) \sin v^{2} .
\end{aligned}
\]

Мы можем также считать, что $\tau$ имеет тот же знак, что и $v$, если мы в последовательные эллиптические периоды или обращения, начинающиеся от начального положения, будем попеременно рассматривать его то как положительный, то как отрицательный.

Кроме того, если мы обозначим через $\sigma$ сумму двух эллиптических, конечного и начального, радиусов-векторов, так что
\[
\sigma=r+r_{0},
\]

то при наших сокращениях имеем
\[
\sigma=2 a(1-e \cdot \cos v) ;
\]

переменные $v, e$, являются поэтому функциями $\sigma, \tau, a$, и, следовательно, характеристическая функция $V$ сама является функцией этих трех величин. Поэтому мы можем написать
\[
V,=\frac{m_{1} m_{2} w}{m_{1}+m_{2}},
\]

причем $w$ является функцией $\sigma, \tau, a$, форму которой следует определить путем исключения $v$, и $e$, из трех уравнений :
\[
\left.\begin{array}{rl}
w & =2 \sqrt{\mu a}(v,+e, \sin v), \\
\sigma & =2 a(1-e, \cos v), \\
\tau & =2 a\left(1-e^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \sin v,
\end{array}\right\}
\]

и можно считать, что эта новая функция $w$ сама является характеристической функцией эллиптического движения. Закон ее варьирования выражен следующим образом в обозначениях, принятых в данной работе :
\[
\delta w=\xi^{\prime} \delta \xi-\alpha^{\prime} \delta \alpha+\eta^{\prime} \delta \eta+\beta^{\prime} \delta \beta+\zeta^{\prime} \delta \zeta-\gamma^{\prime} \delta \gamma+\frac{t \mu \delta a}{2 a^{2}} . \quad\left(\mathrm{K}^{3}\right)
\]

В этом выражении $\xi, \eta, \zeta$ представляют собой относительные координаты точки $m_{1}$ во время $t$, отнесенные к другой притягиваюцейся точке $m_{2}$ как к началу и к любым трем прямоугольным осям; $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ представляют собой их приращения или три прямоугольных компонента конечной относительной скорости ; $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ представляют собой начальные значения или значения в момент времени, равный нулю, этих относительных координат и компонентов относительной скорости; а представляет собой величину, независимую от времени, а именно среднее расстояние двух точек $m_{1}, m_{2}$, а $\mu$ представляет собой сумму их масс. Теперь все свойства невозмущенного эллиптического движения планеты или кометы вокруг Солнца могут быть выведены новым способом из упрощенной характеристической функции $w$ путем сравнения ее вариации ( $\mathrm{K}^{3}$ ) со следующей формой :
\[
\delta w=\frac{\delta w}{\delta \sigma} \delta \sigma+\frac{\delta w}{\delta \tau} \delta \tau+\frac{\delta w}{\delta a} \delta a,
\]

в которой
\[
\left.\begin{array}{l}
\sigma=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}+\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}, \\
\tau= \pm \sqrt{(\xi-\alpha)^{2}+(\eta-\beta)^{2}+(\zeta-\gamma)^{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Это сравнение возвращает нас назад к общим интегральным уравнениям относитсльного двикения бинарной системы (89) и (90), но теперь мы имеем следующие конкретные значения коэффициентов $A, B$ и $C$ :
\[
A=\frac{1}{r} \frac{\delta w}{\delta \sigma}+\frac{1}{\tau} \frac{\delta w}{\delta \tau}, \quad B=\frac{1}{\tau} \frac{\delta w}{\delta \tau}, \quad C=\frac{1}{r_{0}} \frac{\delta w}{\delta \sigma}+\frac{1}{\tau} \frac{\delta w}{\delta \tau}
\]

и для трех частных производных $\frac{\delta w}{\delta \sigma}, \frac{\delta w}{\delta \tau}, \frac{\delta w}{\delta a}$ имеем следующее соотношение :
\[
a \frac{\delta w}{\delta a}+\sigma \frac{\delta w}{\delta \sigma}+\tau \frac{\delta w}{\delta \tau}=\frac{w}{2},
\]

где $w$ является однородной функцией степени $\frac{1}{2}$ по отношению к трем величинам $a, \sigma, \tau$. Мы имеем также, приняв во внимание равенство (I³),

Отсюда
\[
\frac{\delta w}{\delta \sigma} \frac{\delta w}{\delta \tau}=\frac{-2 \mu \tau}{\sigma-\tau^{2}}, \quad\left(\frac{\delta w}{\delta \tau}\right)^{2}+\left(\frac{\delta w}{\delta \tau}\right)^{2}+\frac{\mu}{a}=\frac{4 \mu \sigma}{\sigma^{2}-\tau^{2}} .
\]

И, наконец, отсюда можно вывести следующие замечательные выражения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\delta w}{\delta \sigma}+\frac{\delta w}{\delta \tau}\right)^{2}=\frac{4 \mu}{\sigma+\tau}-\frac{\mu}{a}, \\
\left(\frac{\delta w}{\delta \sigma}-\frac{\delta w}{i \tau}\right)^{2}=\frac{4 \mu}{\sigma-\tau}-\frac{\mu}{a} .
\end{array}\right\}
\]

Эти выражения, как мы убедимся, окажутся очень важными для приложения настоящего метода к теории эллиптического движения.

16. В данном случае мы не станем вдаваться в какие-нибудь подробности такого приложения, но можем отметить, что то обстоятельство, что характеристическая функция включает только эллиптическую хорду и сумму крайних радиусов (кроме среднего расстояния и суммы масс), представляет при помощи нашего общего метода новое доказательство хорошо известной теоремы, заключающейся в том, что эллиптическое время также зависит от той же хорды и суммы радиусов и дает новое выражение для закона этой зависимости, а именно [81]:
\[
t=\frac{2 a^{2}}{\mu} \frac{\delta w}{\delta a} .
\]

Можно отметить также, что та же форма характеристической функции эллиптического движения при помощи нашего общего метода приводит к следующим любопытным, но не новым свойствам эллипса, заключающимся в том, что если провести к такой кривой две касательные из какой-либо общей внешней точки, то эти касательные стягивают равные углы в одном фокусе, а также стягивают равные углы и в другом. И обратно, если какаянибудь плоская кривая обладает этим свойством, будучи отнесена к неподвижной точке в своей собственной плоскости, которая может быть принята за начало полярных координат $r, \theta$, то эта кривая должна удовлетворять следующему уравнению:
\[
\operatorname{ctg}\left(\frac{\Delta \theta}{2}\right) \Delta \frac{1}{r}=(\Delta+2) \frac{d}{d \theta} \frac{1}{r},
\]

которое может быть приведено к следующему виду :
\[
\left(\frac{d}{d \theta}+\frac{d^{3}}{d \theta^{3}}\right) \frac{1}{r}=0,
\]

и отсюда интегрированием получим
\[
r=\frac{p}{1+e \cos (\theta-\widetilde{\omega})} ;
\]

следовательно, кривая представляет собой коническое сечение, а неподвижная точка — один из ее фокусов.

Свойства параболического движения являются предельными случаями свойств эллиптического движения и могут быть выведены из них, если мы возьмем
\[
H=0 \text { или } a=\infty .
\]

Следовательно, характеристическая функция $w$ и время $t$ в параболическом, так же как и в эллиптическом, движении представляют собой функции хорды и суммы радиусов. Таким образом, полагая в предыдущих выражениях $a$ бесконечным, мы находим для параболического движения следующие уравнения в частных производных :
\[
\left(\frac{\delta w}{\delta \sigma}+\frac{\delta w}{\delta \tau}\right)=\frac{4 \mu}{\sigma+\tau}, \quad\left(\frac{\delta w}{\delta \sigma}-\frac{\delta w}{\delta \tau}\right)^{2}=\frac{4 \mu}{\sigma-\tau} .
\]

Действительно, легко можно показать, что параболическая форма упрощенной характеристической функции $w$ будет
\[
w=2 \sqrt{\mu}(\sqrt{\sigma+\tau} \pm \sqrt{\sigma-\tau}),
\]

где $\tau$, как и раньше, представляет собой хорду, а $\sigma$ — сумму радиусов, в то время как аналогичный предел выражения (S3) для времени будет
\[
t=\frac{1}{6 \sqrt{\mu}}\left\{(\sigma+\tau)^{\frac{3}{2}} \pm(\sigma-\tau)^{\frac{3}{2}}\right\} .
\]

Последнее выражение известно [82].
Формулы ( $\mathrm{K}^{3}$ ) и ( $\mathrm{L}^{3}$ ), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом
\[
w=\int_{-\tau}^{\tau} \sqrt{\frac{\mu}{\sigma+\tau}-\frac{\mu}{4 a}} d \tau,
\]

где функция $w$ по-прежнему связана с относительным действием $V$, посредством уравнения $\left(\mathrm{H}^{3}\right)$, тогда как время $t$, которое при помощи закона переменного действия всегда может быть выведено из этой функции, представлено следующим связанным с ним интегралом :
\[
t=\frac{1}{4} \int_{-\tau}^{\tau}\left(\frac{\mu}{\sigma+\tau}-\frac{\mu}{4 a}\right)^{-\frac{1}{2}} d \tau,
\]

при условии, что в пределах интегрирования радикал не исчезает и не становится бесконечным. В том случае, когда это условие не соблюдено, мы все же можем выразить упрощенную характеристическую функцию $w$ и время $t$ при помощи следующих аналогичных интегралов :
\[
w=\int_{\tau,}^{\sigma \prime} \pm \sqrt{\frac{2 \mu}{\sigma \prime}-\frac{\mu}{a}} d \tau,
\]

и
\[
t=\int_{\tau,}^{\sigma \prime} \pm\left(\frac{2 \mu}{\sigma_{r}}-\frac{\mu}{a}\right)^{\frac{1}{3}} d \sigma_{l},
\]

в которых мы можем для краткости положить
\[
\sigma,=\frac{\sigma+\tau}{2}, \tau,=\frac{\sigma-\tau}{2}
\]
. и в которых легко определить знаки радикалов. Однако, если мы в настоящий момент попытаемся полностью осуществить эти преобразования, это заведет нас слишком далеко; сейчас пора заняться рассмотрением свойств систем, состоящих более чем из двух точек.