Чтобы сделать более ясным понятие вариации движения, мы сначала рассмотрим одну свободную материальную точку. Ее движение следует варьировать так, чтобы начальное положение $A$ и конечное положение $B$ оставались неизменными. Первоначальное движение – это то, которое имеет место в действительности; новое, варьированное движение является только вспомогательным математическим представлением. Поэтому можно траекторию нового движения выбрать так, чтобы она мало отличалась от прежней траектории и шла бы приблизительно параллельно ей*); в остальном она может быть произвольна. Движение по новой траектории после этого может происходить по любому закону. Предположим, что оба движения начинаются одновременно в точке $A$; нет надобности, чтобы они одновременно заканчивались в точке $B$, чего как раз не будет в том случае, когда действительное движение совершается в течение более короткого времени, чем варьированное. Чтобы теперь составить себе точное представление о вариации, нужно каждое положение, которое точка занимает при варьированном движении, отнести к некоторому положению, занимаемому точкой в первоначальном движении**). Например: без установления такого соответствия вариация интеграла $\int T d t$, в котором $T$ обозначает живую силу, а $t$ – время, имела бы какое-то значение, но равенство
\[
\delta \int T d t=\int \delta(T d t)
\]

было бы лишено смысла. Таким образом, тождественные начальные положения, а также конечные положения приводятся в соответствие одно с другим. Отсюда видно, что в случае, когда движения неодновременно заканчиваются в точке $B$, соответствие не может быть установлено так, что соответствующие положения обоих движений проходятся одновременно. Итак, точечное соответствие между обеими траекториями мы установим произвольно и будем следить за тем, чтобы расстояния между соответствующими положениями были малы***). Может показаться удивительным, что это точечное соответствие траекторий лишено физического смысла, но ведь это соответствие, как и вообще вариация движения, есть только математическое вспомогательное построение. Примем на время для упрощения способа выражения за начало отсчета времени то мгновение, в которое оба движения начинаются из точки $A$. Если $C$ и $C^{\prime}$ – два соответствующих положения в двух движениях, то мы обозначим время, протекшее при первоначальном движении из $A$ в $C$, через $\tau$, ‘а время, протекшее при переходе из $A$ в $C^{\prime}$ при

варьированном движении, через $\tau+\delta \tau$. Таким образом, вариация времени $\delta \tau$ есть не что иное, как разность между моментами прохождения через соответствующие положения. Вариация дифференциала времени есть алгебраическая разность между временем, затраченным на осуществление малой части нового движения, и временем, которое требуется на совершение соответствующей части прежнего движения*). Если, вдобавок, сравнить для этих малых частей обоих движений начальные и конечные моменты времени, то легко усмотреть, что вариация дифференциала времени равна дифференциалу вариации времени; это находится в соответствии с известным предложением о переместительности символов $d$ и $\delta$.

Лучше всего вариация движения нашей точки выполняется так. Сначала сообщают каждой точке первоначальной траектории некоторое смещение, так что возникает новая траектория, точки которой находятся в соответствии с точками прежней траектории. Затем определяют скорость в каждой точке новой траектории. Эта скорость должна мало отличаться от скорости в соответствующем месте прежней траектории, но в остальном может быть взята произвольно. После этого мы будем различать два способа определения этой вариации движения.

Перв й способ варьирования получается из условия, что соответствующие места обеих траекторий проходятся одновременно; тогда оба движения должны закончиться в точке $B$ одновременно.

В т о р ой способ варьирования связан с силами, под действием которых происходит первоначальное движение. Если мы предположим силы такими, что можно говорить о «потенциальной энергии», то этот способ варьирования можно определить следующим образом. Для соответствующих состояний в сравниваемых движениях полная энергия должна быть одна и та же. Это условие варьирования позже будет сформулировано иначе так, что оно будет подходить и для остальных случаев. Полная энергия складывается из живой силы и потенциальной энергии. Но так как первоначальное движение предполагается заданным, то для каждого места $C$ пути в этом движении даны живая сила и потенциальная энергия. Для соответствующего места $C^{\prime}$ варьированного пути сначала известна лишь потенциальная энергия, зависящая только от положения. Из поставленного здесь условия варьирования получается для места $C^{\prime}$ еще живая сила, а вместе с тем и скорость.

После того как новая траектория и ее точечное соответствие с прежней траекторией установлены, варьированное движение полностью определяется как из первого условия варьирования, так и из второго условия, но в обоих случаях по-разному. При втором способе варьирования время варыруется, при первом способе – нет.

Аналогично обстоит дело и при движении материальной системы. Если мы вместе с Герцем будем понимать под «положением системы» совокупность положений точек системы, то движение заключается в непрерывной последовательности положений системы, которые проходятся определенным образом с течением времени. Чтобы варьировать такое первоначальное движение, мы сообщим сначала каждому положению системы малое перемещение так, что получается новая непрерывная последовательность положений системы. Если в первоначальной последовательности система проходит через одно и то же положение два раза, то мы имеем два перекрывающихся положения, которые, естественно, могут быть смещены различным образом. Теперь новые траектории точек системы и соответствие между точками этих

траекторий установлены; поэтому можно при наиболее общем способе варьирования для одной точки системы во всех точках ее новой траектории выбрать скорость. Но если твердо установить, что либо новые положения должны быть пройдены одновременно с соответствующими старыми положениями, либо для двух взаимно соответствующих состояний обоих движений полная энергия должна быть одна и та же, то этим пілностью будет определено, как должна быть пройдена новая последовательность положений системы.

В предшествующем изложении мы не принимали в расчет уравнения связей. Если движение подчинено условиям связей, то это не лишает нас возможности сравнивать такое движение с варьированным движением, не удовлетворяющим этим условиям связей.