Г. Эйлер, в приложении к превосходному труду, носящему название: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes: sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, обосновал принцип, согласно которому для траекторий, описываемых телами под действием центральных сил, интеграл скорости, помноженной на элемент кривой, будет всегда максимум или минимум.

Я предполагаю здесь обобщить этот принцип и поқазать его применение для решения всех задач Динамики.
I. Общи й принци п. Пусть имеется сколько угодно тел $M, M^{\prime}$, $M^{\prime \prime}, \ldots$, которые действуют одно на другое каким-либо способом и которые, кроме того, двигаются под действием центральных сил, пропорциональных каким-либо функциям расстояний; пусть $s, s^{\prime}, s^{\prime \prime}, \ldots$ обозначают пространства, пройденные телами за время $t$, а $u, u^{\prime}, u^{\prime \prime}, \ldots$ пусть будут их скоростями к концу этого времени; выражение
\[
M \int u d s+M^{\prime} \int \dot{u}^{\prime} d s^{\prime}+M^{\prime \prime} \int u^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}+\ldots
\]

всегда будет максимумом или минимумом.
Задача I. Найти движение тела $M$, притягиваемого к произвольному числу неподвижных центров силами $P, Q, R, \ldots$, являющимися какимилибо функциями расстояний.

Р ешени и. Так как в данном случае имеется только одно тело $M$, то выражение, которое должно быть максимумом или минимумом, будет просто $M \int u d s$; тогда в соответствии с методом, изложенным в предыдущем Мемуаре, мы получим уравнение
\[
\delta\left(M \int u d s\right)=0
\]

или, разделив на постоянную величину $M$,
\[
\delta\left(\int u d s\right)=0 .
\]

Ho
\[
\delta(u d s)=u \delta d s+\delta u d s ;
\]

следовательно, заменяя выражение $\delta\left(\int u d s\right)$ на эквивалентное ему $\int \delta(u d s)$, как это было сделано мною ранее (параграф I предыдущего Мемуара), мы получим уравнение
\[
\int(u \delta d s+\delta u d s)=0 .
\]

Пусть $p, q, r, \ldots$ – расстояния тела $M$ от центров сил $P, Q, R, \ldots$; тогда, как известно всем Геометрам,
\[
\frac{u^{2}}{2}=\mathrm{const}-\int(P d p+Q d q+R d r+\ldots) ;
\]

следовательно,
\[
\begin{aligned}
u \delta u & =-\delta \int(P d p+Q d q+R d r+\ldots)= \\
& =-\int(\delta P d p+P \delta d p+\delta Q d q+Q \delta d q+\delta R d r+R \delta d r+\ldots)
\end{aligned}
\]

или, заменяя $\delta d p, \delta d q, \delta d r, \ldots$ на $d \delta p, d \delta q, d \delta r, \ldots$ и итегрируя по частям члены $P d \delta p, Q d \delta q, R d \delta r, \ldots$, получим
\[
\begin{array}{c}
u \delta u=-P \delta p-Q \delta q-R \delta r-\ldots \\
\quad \ldots+\int(\delta P d p-d P \delta p+\delta Q d q-d Q \delta q+\delta R d r-d R \delta r+\ldots) .
\end{array}
\]

Тогда согласно гипотезе
\[
P=\text { fonct } p, Q=\text { fonct } q, R=\text { fonct } r, \ldots ;
\]

дифференцируя, найдем
\[
\frac{\delta P}{\delta p}=\frac{d P}{d p}, \frac{\delta Q}{\delta q}=\frac{d Q}{d q}, \quad \frac{\delta R}{\delta r}=\frac{d R}{d r}, \ldots
\]

и, следовательно,
\[
\delta P d p-d P \delta p=0, \delta Q d q-d Q \delta q=0, \delta R d r-d R \delta r=0, \ldots
\]

Тогда
$u \delta u=-P \delta p-Q \delta q-R \delta r-\ldots$ и $\delta u d s=-P d t \delta p-Q d t \delta q-R d t \delta r-\ldots$
Подставляя вместо $-\frac{d s}{–}$ равное ему $d t$, преобразуем приведенное выше уравнение в следующее:
\[
\int(u \delta d s-P d t \delta p-Q d t \delta q-R d t \delta r-\ldots)=0 .
\]

Теперь нужно найти отношения разностей $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots, \delta d s$, что может быть сделано различными способами в зависимости от вида координат, с помощью которых представляются траектории. Возьмем сначала прямоугольные координаты $x, y, z$; в этом случае
\[
\begin{array}{c}
d s=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}, \\
\text { следовательно, получим } \frac{d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z}{d s}=\frac{d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z}{d s},
\end{array}
\]

заменяя $\delta d x$ на $d \delta x$; тогда
\[
\int u \delta d s=\int\left(\frac{u d x}{d s} d \delta x+\frac{u d y}{d s} d \delta y+\frac{u d z}{d s} d \delta z\right) .
\]

Исключая из этого выражения дифференциалы величин $\delta x, \delta y, \delta z$ методом интегрирования по частям, использованным в предыдущем Мемуаре, получим следующее преобразование:
\[
\begin{aligned}
\int u \delta d s=-\int\left(d \frac{u d x}{d s} \delta x+d \frac{u d y}{d s} \delta y+d \frac{u d z}{d s} \delta z\right) & \\
& \quad+\frac{u d x}{d s} \delta x+\frac{u d y}{d s} \delta y+\frac{u d z}{d s} \delta z .
\end{aligned}
\]

Теперь остается только выразить разности $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$ через $\delta x, \delta y, \delta z$. Для этого надо найти аналитические выражения линий $p, q, r$, при помощи

координат $x, y, z$, и определить их дифференциалы, заменяя $\delta$ на $d$. Предположим в общем случае, что
\[
\begin{array}{l}
d p=L d x+l d y+\lambda d z, \\
d q=M d x+m d y+\mu d z, \\
d r=N d x+n d y+
u d z ;
\end{array}
\]

ясно, что будет также
\[
\begin{array}{l}
\delta p=L \delta x+l \delta y+\lambda \delta z, \\
\delta q=M \delta x+m \delta y+\mu \delta z, \\
\delta r=M \delta x+n \delta y+v \delta z .
\end{array}
\]

Следовательно, если положить для краткости
\[
\begin{array}{l}
P L+Q M+R N=I I, \\
P l+Q m+R n=Q, \\
P \lambda+Q \mu+R v=\Psi,
\end{array}
\]

то получим
\[
P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots=I I \delta x+\Omega \delta y+\Psi \delta z .
\]

После этих подстановок уравнение (A) примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
-\int\left[\left(d \frac{u d x}{d s}+\Pi d t\right) \delta x+\left(d \frac{u d y}{d s}\right.\right. & \left.+\Omega d t) \delta y+\left(d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right) \delta z\right]+ \\
& +\frac{u d x}{d s} \delta x+\frac{u d y}{d s} \delta y+\frac{u d z}{d s} \delta z=0 .
\end{aligned}
\]

Это уравнение должно иметь место, какие бы значения ни придавались разностям $\delta x, \delta y, \delta z$; поэтому имеем три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
d \frac{u d x}{d s}+\Pi d t=0, \\
d \frac{u d y}{d s}+\Omega d t=0, \\
d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t=0 .
\end{array}
\]

Именно эти уравнения будут служить для определения кривой, описанной телом $M$, и его скорости в каждый момент времени.

Если подставить $d t$ вместо $\frac{d s}{u}$, умножить первое уравнение на $\frac{d x}{d t}$, второе на $\frac{d y}{d t}$, третье на $\frac{d z}{d t}$ и затем проинтегрировать их, то получим
\[
\frac{d x^{2}}{2 d t^{2}}=a^{2}-\int I I d x, \quad \frac{d y^{2}}{2 d t^{2}}=b^{2}-\int \Omega d y, \quad \frac{d z^{2}}{2 d t^{2}}=c^{2}-\int \Psi d z,
\]

откуда, исключив $d t$ и извлекая квадратный корень, получим уравнения

где неизвестные будут разделены, если
\[
\Pi=\text { fonct } x, \quad \Omega=\text { fonct } y, \Psi=\text { fonct } z .
\]
II. 3 амечание. Что касается членов
\[
\frac{u d x}{d s} \delta x+\frac{u d y}{d s} \delta y+\frac{u d z}{d s} \delta z,
\]

то их можно не принимать во внимание, предположив, что оба конца траектории заданы, так как предположение приводит к исчезновению начальных и конечных $\delta x, \delta y, \delta z$ и, следовательно, всех упомянутых членов (см. п. IV предыдущего Мемуара).
III. Сл е д т в и е. Представим себі, что подвижное тело $M$, подверженное действию тех же сил $P, Q, R, \ldots$, вынуждено двигаться по искривленной поверхности, определяемой уравнением $d z=p d x+q d y$; заменяя $d$ на $\delta$, получим $\delta z=p \delta x+q \delta y$, а подставляя это значение $\delta z$ в уравнение (B) и приравнивая коэффициенты при $\delta x$ и $\delta y$ нулю, получим два уравнения :
\[
\begin{array}{l}
d \frac{u d x}{d s}+\Pi d t+\left[d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right] p=0 \\
d \frac{u d y}{d s}+\Omega d t+\left[d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right] q=0
\end{array}
\]

которые, вместе с заданным уравнением
\[
d z=p d x+q d y
\]

достаточны для решения задачи.
IV. Другое решение. Вместо двух прямоугольных координат $x, y$ возьмем переменный радиус $x$, который вращается вокруг неподвижной точки в той же плоскости $x$-в. и $y$-в и положение которого в каждый момент определяется углом $\varphi$. Сохраняя третью координату $z$, которую надо представить себе проведенной из конца радиуса $x$ перпендикулярно к плоскости угла $\varphi$, легко найти, что элемент кривой $d s$ будет .
\[
\sqrt{x^{2} d \varphi^{2}+d x^{2}+d z^{2}}
\]

тогда, дифференцируя, получим
\[
\begin{aligned}
\delta d s & =\frac{x^{2} d \varphi \delta d \varphi+x d \varphi^{2} \delta x+d x \delta d x+d z \delta d z}{d s}= \\
& =\frac{x^{2} d \varphi d \delta \varphi+x d \varphi^{2} \delta x+d x d \delta x+d z d \delta z}{d s} .
\end{aligned}
\]

Подставляя это значение в интегральную формулу $\int u \delta d s$ и исключая дифференциалы величин $\delta \varphi, \delta x, \delta z$, получим обычным путем интегрирования по частям
\[
\begin{array}{l}
\int u \delta d s=-\int\left[d \frac{u x^{2} d \varphi}{d s} \delta \varphi+\left(d \frac{u d x}{d s}-\frac{u x d \varphi^{2}}{d s}\right) \delta x+d \frac{u d z}{d s} \delta z\right]+ \\
\quad+\frac{u x^{2} d \varphi}{d s} \delta \varphi+\frac{u d x}{d s} \delta x+\frac{u d z}{d s} \delta z .
\end{array}
\]

После подстановки этого значения $\int u \delta d s$ в уравнение (A) п. I останется только привести разности $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$ к разностям $\delta x, \delta y, \delta z$. Для этого

предположим в общем случае, что
\[
\begin{array}{l}
d p=L d x+l d \varphi+\lambda d z, \\
d q=M d x+m d \varphi+\mu d z, \\
d r=N d x+n d \varphi+v d z,
\end{array}
\]

а также
\[
\begin{array}{l}
\delta p=L \delta x+l \delta \varphi+\lambda \delta z, \\
\delta q=M \delta x+m \delta \varphi+\mu \delta z, \\
\delta r=N \delta x+n \delta \varphi+
u \delta z .
\end{array}
\]

Следовательно, если сделать те же предположения, что и при предыдущем решении, то получим также
\[
P \delta p+Q \delta q+R \delta z+\ldots=\Pi \delta x+\Omega \delta \varphi+\Psi \delta z,
\]

а уравнение (A) окончательно примет вид :
\[
\begin{array}{l}
-\int\left[\left(d \frac{u x^{2} d \varphi}{d s}+\Omega d t\right) \delta \varphi+\left(d \frac{u d x}{d s}-\frac{u x d \varphi^{2}}{d s}+I I d t\right) \delta x+\right. \\
\left.\quad+\left(d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right) \delta z\right]+\frac{u x^{2} d \varphi}{d s} \delta \varphi+\frac{u d x}{d s} \delta x+\frac{u d z}{d s} \delta z=0 .
\end{array}
\]

Теперь, если предположить, как в п. II, что начальная и конечная точки траектории заданы, то становится ясно, что $\delta \varphi, \delta x, \delta z$, которые им соответствуют, будут равны нулю и, следовательно, три последних члена этого уравнения тоже обратятся в нуль. Итак, чтобы удовлетворить оставшейся части этого уравнения, независимо от произвольных разностей $\delta \varphi, \delta x, \delta z$, надо положить коэффициенты при них равными нулю и тогда получим общие уравнения движения тел:
\[
d \frac{u x^{2} d \varphi}{d s}+\Omega d t=0, \quad d \frac{u d x}{d s}-\frac{u x d \varphi^{2}}{d s}+\Pi d t=0, \quad d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t=0 .
\]

Подставив в эти уравнения $d t$ вместо $\frac{d s}{u}$ и проинтегрировав первое из них, помножив его предварительно на $\frac{x^{2} d \varphi}{d t}$, получим
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2} d \varphi}{d t}\right)^{2}=a^{2}-\int \Omega x^{2} d \varphi
\]

откуда
\[
d t=\frac{x^{2} d \varphi}{\sqrt{2 a^{2}-2 \int \Omega x^{2} d \varphi}},
\]

подставляя это значение во второе уравнение и полагая для сокращения
\[
\sqrt{2 a^{2}-2 \int \omega x^{2} d \varphi}=U,
\]

будем иметь
\[
d \frac{U d x}{x^{2} d \varphi}-\frac{U d \varphi}{x}+\frac{\Pi x^{2} d \varphi}{U}=0
\]

или, заменяя $-\frac{1}{x}$ через $y$, получим
\[
-d \frac{U d y}{d \varphi}-U y d \varphi+\frac{\Pi d \varphi}{U y^{2}}=0,
\]

что по дифференцировании дает, считая $d \varphi$ константой и умножая на $\frac{d \varphi}{U}$,
\[
-d^{2} y-\frac{d U}{U} d y-y d \varphi^{2}+\frac{\Pi d p^{2}}{U^{2} y^{2}}=0,
\]

потому что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d U}{U}=-\frac{\Omega x^{2} d \varphi}{U^{2}}=-\frac{\Omega d \varphi}{U^{2} y^{2}}, \\
-d^{2} y-y d \varphi^{2}+\frac{\Pi+\frac{\Omega d y}{d \varphi}}{U^{2} y^{2}} d \varphi^{2}=0,
\end{array}
\]

уравнение, применимое для многих частных случаев. Наконец, третье уравнение, умноженное на $\frac{d z}{d t}$ и затем проинтегрированное, дает
\[
\frac{2 d z^{2}}{d t^{2}}=b^{2}-\int \Psi d z
\]

Отсюда исключим значение dt. Сравнив с найденным выше, получим уравнение
\[
\frac{d z}{\sqrt{2 b^{2}-2 \int \Psi d z}}=\frac{d \varphi}{U y^{2}} .
\]
V. Следствие. Если тело вынуждено двигаться по поверхности данной кривизны, то, характеризуя эту поверхность с помощью трех переменных $x, p, z$ и предполагая ее выраженной уравнением
\[
d z=p d \varphi+q d x,
\]

подставим в уравнение (C) $p \delta \varphi+q \delta x$ вместо $\delta z$, затем приравняем нулю коэффициенты при $\delta x$ и $\delta \varphi$ и получим:
\[
\begin{array}{c}
d \frac{u x^{2} d p}{d s}+\Omega d t+\left(d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right) p=0 \\
d \frac{u d x}{d s}-\frac{u x d \varphi^{2}}{d s}+\Pi d t+\left(d \frac{u d z}{d s}+\Psi d t\right) q=0 .
\end{array}
\]
VI. Примечание I. Мы предположили, что силы $P, Q, R, \ldots$ суть какие-либо функции расстояний $p, q, r, \ldots$; однако легко доказать при помощи принципов Динамики, что найденные уравнения являются общими для всех видов ускоряющих сил. В этом можно убедиться, заметив, что упомянутые уравнения не содержат закона, согласно которому силы $P, Q, R, \ldots$ возрастают или убывают, но содержат только величины и мгновенные направления этих сил, как это легко увидеть, подставив вместо $\Pi, \Omega$ и $\Psi$ их значения. В итоге анализа предыдущих решений становится ясно, что гипотеза
\[
P=\text { fonct } p, Q=\text { fonct } q, \quad R=\text { fonct } r, \ldots
\]

служит только для приравнивания нулю интегрального выражения
\[
\int(\delta P d p-d P \delta p+\delta Q d q-d Q \delta q+\delta R d r-d R \delta r \ldots) .
\]

Впрочем, для этого было бы достаточно, чтобы величины $P, Q, R, \ldots$ были связаны так:
\[
\delta P d p-d P \delta p+\delta Q d q-d Q \delta q+\delta R d r-d R \delta r+\ldots=0 ;
\]

пусть тогда $P, Q, R, \ldots$ какие-либо функции $p, q, r, \ldots$ такие, что по

дифференцировании
\[
\begin{array}{l}
d P=A d p+B d q+C d r+\ldots \\
d Q=D d p+E d q+F d r+\ldots \\
d R=G d p+H d q+I d r+\ldots
\end{array}
\]

ясно, что равным образом имеем
\[
\begin{array}{l}
\delta P=A \delta p+B \delta q+C \delta r+\ldots, \\
\delta Q=D \delta p+E \delta q+F \delta r+\ldots, \\
\delta R=G \delta p+H \delta q+I \delta r+\ldots
\end{array}
\]

Подставляя эти значения в условное уравнение и сократив его, получим $(B-D)(d p \delta q-d q \delta p)+(C-G)(d p \delta r-d r \delta p)+(F-H)(d q \delta r-d r \delta q)=0$, следовательно,
\[
B-D=0, \quad C-G=0, \quad F-H \doteq 0,
\]

или
\[
\frac{d P}{d q}=\frac{d Q}{d p}, \frac{d P}{d r}=\frac{d R}{d p}, \quad \frac{d Q}{d r}=\frac{d R}{d q},
\]
т. е. $P d p+Q d q+R d r+\ldots$ является полным дифференциалом. Если это условие имеет место – значение $и$ би будет равно
\[
-P \delta p-Q \delta q-R \delta r-\ldots ;
\]

иначе говоря, нужно еще принять во внимание интеграл
\[
\int(\delta P d p-d P \delta p+\ldots),
\]

чтобы сделать формулу $\int u d s$ настоящим максимумом или минимумом, но уравнения, которые будут найдены в этом случае, не будут истинными уравнениями движения тела.
VII. Примечани е II. Это единственная задача, к которой г. Эйлер применил свой принцип. Он также решил ее для двух случаев: случая прямоугольных координат и случая радиусов, выходящих из неподвижного центра. Однако для сравнения его решений с нашими нужно заметить:
1. Что г. Эйлер рассматривал только кривые простой кривизны.
2. Что он искал максимум или минимум формулы $\int u d s$, учитывая только переменность ординаты $у$ в первом случае и переменность угла, обозначенного нами $\varphi$, во втором случае (см. Приложение, цитированное в начале этого Мемуара).

Следует добавить, что при помощи нашего метода можно найти решение этой задачи многими другими способами в зависимости от разных видов координат, которые будут избраны для представления искомой траектории.
VIII. 3адача II о бща я. Пусть имеется какая-либо система, состоящая из многих тел $M, M^{\prime}, M^{\prime \prime}, \ldots$, которые подвержены действию скольких угодно центральных сил, а именно:
\[
\begin{array}{l}
M \text { – действию сил } P, Q, R, \ldots, \\
M^{\prime} \text { – действию сил } P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots, \\
M^{\prime \prime} \text { – действию сил } P^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime}, R^{\prime \prime}, \ldots,
\end{array}
\]

и пусть эти тела сверх того действуют друг на друга какими-либо силами взаимного притяжения; найти движение каждого из этих тел.
Решение: Все сводится к тому, чтобы привести выражение
\[
M \int u d s+M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}+M^{\prime \prime} \int u^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}+\ldots
\]

к максимуму или минимуму. Тогда, по нашему методу,
\[
\delta\left(M \int u d s\right)+\delta\left(M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}\right)+\delta\left(M^{\prime \prime} \int u^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}\right)+\ldots=0,
\]

или, так как $M$ есть константа (п. 1), то
\[
\delta\left(M \int u d s\right)=M \delta \int u d s=M \int(u \delta d s+u \delta u d t)=\int M(u \delta u d s+u \delta u d t) .
\]

Подставляя $d t$ вместо $\frac{d s^{\prime}}{u^{\prime}}, \frac{d s^{\prime \prime}}{u^{\prime \prime}}, \ldots$, найдем
\[
\begin{aligned}
\delta\left(M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}\right) & =\int M^{\prime}\left(u^{\prime} \delta d s^{\prime}+u^{\prime} \delta u^{\prime} d t\right), \\
\delta\left(M^{\prime \prime} \int u^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}\right) & =\int M^{\prime \prime}\left(u^{\prime \prime} \delta d s^{\prime \prime}+u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime} d t\right), \text { и т. д. }
\end{aligned}
\]

В результате получим уравнение
\[
\begin{array}{c}
\int\left[M u \delta d s+M^{\prime} u^{\prime} \delta d s^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta d s^{\prime \prime}+\ldots\right. \\
\left.\ldots+\left(M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots\right) d t\right]=0 .
\end{array}
\]

Пусть теперь $p, q, r, \ldots$ – расстояния от тела $M$ до центров сил $P, Q, R, \ldots$ и $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, \ldots, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime} \ldots$ – расстояния других тел $M^{\prime}, M^{\prime \prime}$ до центров их сил $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots, P^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime}, R^{\prime \prime}, \ldots$ Пусть, кроме того, $f$ будет расстояние между телом $M$ и телом $M^{\prime}$ и $F$ – сила, с которой каждая точқа одного тела притягивает каждую точку другого ; $f^{\prime}$ – расстояние между телами $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$, а $F^{\prime}$ – сила их притяжения и так далее. Пусть $g$ – расстояние между телом $M^{\prime}$ и телом $M^{\prime \prime}$ и $G$ – их протяжение, и так для всех других тел; по общему принципу сохранения живых сил получим уравнение
\[
\begin{array}{l}
M u^{2}+M^{\prime} u^{\prime 2}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime 2}+\ldots=M U^{2}+M^{\prime} U^{2}+M^{\prime \prime} U^{\prime \prime 2}+\ldots= \\
=-2 M \int(P d p+Q d q+R d r+\ldots)- \\
-2 M^{\prime} \int\left(P^{\prime} d p^{\prime}+Q^{\prime} d q^{\prime}+R^{\prime} d r^{\prime}+\ldots\right)- \\
-2 M^{\prime \prime} \int\left(P^{\prime \prime} d p^{\prime \prime}+Q^{\prime \prime} d q^{\prime \prime}+R^{\prime \prime} d r^{\prime \prime}+\ldots\right)- \\
-2 M M^{\prime} \int F d f-2 M M^{\prime \prime} \int F^{\prime} d f^{\prime}-\ldots-2 M^{\prime} M^{\prime \prime} \int G d g-\ldots, \\
\end{array}
\]

где $U, U^{\prime}, U^{\prime \prime}, \ldots$ – первоначальные скорости тел $M, M^{\prime}, M^{\prime \prime}, \ldots$
Итак, предположив, что
\[
\begin{array}{lll}
P=\text { fonct } p, & Q=\text { fonct } q, \quad & R=\text { fonct } r, \ldots, \\
P^{\prime}=\text { fonct } p^{\prime}, & Q^{\prime}=\text { fonct } q^{\prime}, \quad & R^{\prime}=\text { fonct } r^{\prime}, \ldots, \\
F=\text { fonct } f, \ldots, & G=\text { fonct } g, \ldots, &
\end{array}
\]

найдем при помощи вычисления, аналогичного проделанному в задаче I, дифференциальное уравнение :
\[
\begin{array}{l}
M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots= \\
=-M(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)- \\
-M^{\prime}\left(P^{\prime} \delta p^{\prime}+Q^{\prime} \delta q^{\prime}+R^{\prime} \delta r^{\prime}+\ldots\right)- \\
-M^{\prime \prime}\left(P^{\prime \prime} \delta p^{\prime \prime}+Q^{\prime \prime} \delta q^{\prime \prime}+R^{\prime \prime} \delta r^{\prime \prime}+\ldots\right)- \\
. . . \cdot . \cdot . \cdot . \cdot M^{\prime \prime} F^{\prime} \delta f^{\prime}-\ldots M^{\prime \prime} G \delta g-\ldots
\end{array}
\]

Теперь надо найти значения разностей $\delta d s, \delta d s^{\prime}, \delta d s^{\prime \prime}, \ldots$, которые зависят, очевидно, от природы координат, примененных для представления кривых, описываемых каждым телом.
IX. Пе рв й случа й. Пусть, как в п. I, $x, y, z$ – три прямоугольные координаты, которые определяют положение тела $M$ в какое-либо время, пусть также $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}, \ldots$ – другие прямоугольные координаты, параллельные первым, для положения тел $M^{\prime}, M^{\prime \prime}$, в то же самое время; мы получим, как в п I,
\[
\delta d s=\frac{d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z}{d s},
\]

а таюже
\[
\begin{array}{l}
\delta d s^{\prime}=\frac{d x^{\prime} d \delta x^{\prime}+d y^{\prime} d \delta y^{\prime}+d z^{\prime} d \delta z^{\prime}}{d s^{\prime}}, \\
\delta d s^{\prime \prime}=\frac{d x^{\prime \prime} d \delta x^{\prime \prime}+d y^{\prime \prime} d \delta y^{\prime \prime}+d z^{\prime \prime} d \delta z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}
\end{array}
\]

и так далее.
Подставим эти значения в уравнение (D), исключим, как обычно, дифференциалы $\delta x, \delta y, \delta z, \delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \ldots$; тогда получим, пренебрегая всеми членами, не стоящими под знаком $\int$, которые можно положить равными нулю в соответствии с примечанием к п. II, следующее выражение :
\[
\begin{array}{l}
\left.-\left(M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots\right) d t\right]=0 . \\
\end{array}
\]

Теперь остается только подставить в это уравнение вместо
\[
M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots
\]

его значение, взятое из уравнения (U), и затем привести разности
\[
\delta p, \delta q, \delta r, \ldots, \delta p^{\prime}, \delta q^{\prime}, \ldots, \delta f, \delta f^{\prime}, \ldots, \delta g, \ldots
\]

к разностям
\[
\delta x, \delta y, \delta z, \delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \ldots,
\]

методом, аналогичным примененному в предыдущей задаче. После этого, если каждое тело полностью свободно так, что все разности $\delta x, \delta y, \delta z, \delta x^{\prime}$, $\delta y^{\prime}, \ldots$ остаются произвольными, то приравняв коэффициенты при каждом из них нулю, получим в три раза больше уравнений, чем тел. Эти уравнения, взятые в совокупности, достаточны для определения всех искомых скоростей и кривых. Но если одно или несколько из этих тел вынуждены двигаться по данным кривым или поверхностям и, кроме того, действуют друг на друга либо толкая, либо дергая друг друга при посредстве нитей или негиб-

ких стержней или каким-либо другим способом, то тогда будем искать соотношения, которые должны иметь место между разностями $\delta x, \delta y, \delta z, \delta x^{\prime}$, $\delta y^{\prime}, \ldots$ Этим мы уменьшим их число до минимально возможного и, положив затем коэффициенты при каждом из них равными нулю, получим все уравнения, необходимые для решения задачи.
Х. Следствие. Предположим, что система совершенно свободна и тела действуют друг на друга каким-либо способом; предположим, кроме того, что все тела подвержены действию трех сил $P, Q, R$, направленных параллельно координатам $x, y, z$ и одинаковых для каждого из тел; подставим в уравнение (U) $x, y, z$ вместо $p, q, r$ и получим
\[
\begin{aligned}
M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+ & M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots= \\
= & -M(P \delta x+Q \delta y+R \delta z)-M^{\prime}\left(P \delta x^{\prime}+Q \delta y^{\prime}+R \delta z^{\prime}\right)- \\
& -M^{\prime \prime}\left(P \delta x^{\prime \prime}+Q \delta y^{\prime \prime}+R \delta z^{\prime \prime}\right)-\ldots-M M^{\prime} F \delta f- \\
& -M M^{\prime \prime} F^{\prime} \delta f^{\prime}-\ldots-M^{\prime} M^{\prime \prime} G \delta g-\ldots
\end{aligned}
\]

Подставим это значение $M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+\ldots$ в уравнение (E), и пусть
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+X, \quad y^{\prime}=y+Y, \quad z^{\prime}=z+Z, \\
x^{\prime \prime}=x+X^{\prime}, \quad y^{\prime \prime}=y+Y^{\prime}, \quad z^{\prime \prime}=z+Z^{\prime}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Вследствие равенств
\[
\begin{array}{l}
\delta x^{\prime}=\delta x+\delta X, \delta y^{\prime}=\delta y+\delta Y, \delta z^{\prime}=\delta z+\delta Z, \\
\delta x^{\prime \prime}=\delta x+\delta X^{\prime}, \delta y^{\prime \prime}=\delta y+\delta Y^{\prime}, \delta z^{\prime \prime}=\delta z+\delta Z^{\prime} \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

ясно, что линии $f, f^{\prime}, g, \ldots$, которые определяют расстояния между телами, будут зависеть исключительно от линий $X, Y, Z, X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}, \ldots$, которые определяют их взаимное расположение. Таким образом, выражения разностей $\delta f, \delta f^{\prime}, \delta g, \ldots$ ни в коем случае не будут содержать разностей $\delta x, \delta y$, $\delta z$; более того, заметим, что эти приращения $\delta x, \delta y, \delta z$ будут совершенно независимыми от всех разностей $\delta X, \delta Y$.

Очевидно, что взаимное действие тел зависит только от их относительного расположения, а именно от линий $X, Y, Z, X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}, X^{\prime \prime}, \ldots$, приращения $\delta X, \delta Y, \delta Z, \delta X^{\prime}, \delta Y^{\prime}, \delta Z^{\prime}, \ldots$ будут связаны между собой отношениями, определяемыми природой задачи. Отсюда следует, что множители при $\delta x$, $\delta y, \delta z, \ldots$ в уравнении (E) должны быть по отдельности равны нулю. Это дает три общих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
M d \frac{u d x}{d s}+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} d x^{\prime}}{d s^{\prime}}+M^{\prime \prime} d \frac{u^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+\ldots+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) P d t=0, \\
M d \frac{u d y}{d s}+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} d y^{\prime}}{d s^{\prime}}+M^{\prime \prime} d \frac{u^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+\ldots+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) Q d t=0, \\
M d \frac{u d z}{d s}+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} d z^{\prime}}{d s^{\prime}}+M^{\prime \prime} d \frac{u^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+\ldots+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) R d t=0 .
\end{array}
\]

Так как
\[
\frac{d s}{u}=\frac{d s^{\prime}}{u^{\prime}}=\frac{d^{\prime \prime}}{u^{\prime \prime}}=\ldots=d t,
\]

то, следовательно, эти уравнения примут вид
\[
\begin{array}{l}
d \frac{M d x+M^{\prime} d x^{\prime}+M^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+\ldots}{d t}+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) P d t=0 \\
d \frac{M d y+M^{\prime} d y^{\prime}+M^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}+\ldots}{d t}+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) Q d t=0 \\
d \frac{M d z+M^{\prime} d z^{\prime}+M^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+\ldots}{d t}+\left(M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots\right) R d t=0
\end{array}
\]

отсюда видно, что если в каждый момент времени взять в системе одну точку, положение которой будет определяться тремя координатами – одной, параллельной $x$ и равной
\[
\frac{M x+M^{\prime} x^{\prime}+M^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\ldots}{M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots},
\]

другой, параллельной $y$ и равной
\[
\frac{M y+M^{\prime} y^{\prime}+M^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\ldots}{M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots},
\]

и третьей, параллельной $z$ и равной
\[
\frac{M z+M^{\prime} z^{\prime}+M^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+\ldots}{M+M^{\prime}+M^{\prime \prime}+\ldots},
\]

то эта точка будет двигаться просто как тело, подверженное действию трех сил $P, Q, R$. Кроме того, очевидно, что эта точка будет не чем иным, как центром тяжести системы, т. е. всех составляющих ее тел $M, M^{\prime}, \ldots$
XI. Второй случай. Возьмем, как в п. IV, вместо двух прямоугольных координат $x$ и $y$ радиус-вектор $x$ с углом $\varphi$, и пусть другие координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, \ldots$ будут заменены радиусами-векторами $x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$, выходящими из той же неподвижной точки, что и луч $x$ с соответственными углами $\varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}, \ldots$, взятыми в той же плоскости, что и угол $\varphi$. Как в п. IV, найдем
\[
\delta d s=\frac{x^{2} d \varphi d \delta \varphi+x d \varphi^{2} \delta x+d x d \delta x+d z d \delta z}{d s},
\]

а также
\[
\begin{array}{l}
\delta d s^{\prime}=\frac{x^{\prime 2} d \varphi^{\prime} d \delta \varphi^{\prime}+x^{\prime} d \varphi^{\prime 2} \delta x^{\prime}+d x^{\prime} d \delta x^{\prime}+d z^{\prime} d \delta z^{\prime}}{d s^{\prime}}, \\
\delta d s^{\prime \prime}=\frac{x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime} d \delta \varphi^{\prime \prime}+x^{\prime \prime} d \varphi^{\prime \prime 2} \delta x^{\prime \prime}+d x^{\prime \prime} d \delta x^{\prime \prime}+d z^{\prime \prime} d \delta z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}
\end{array}
\]

и т. д. Подставим эти значения в уравнение (D) п. VIII и, проделав те же сокращения, что и в п. IV, получим
\[
\begin{array}{l}
\int\left[M d-\frac{u x^{2} d \varphi}{d s} \delta \varphi+\right. \\
+M\left(d \frac{u d x}{d_{s}}-\frac{u x d p^{2}}{d s}\right) \delta x+M d \frac{u d z}{d s} \delta z+ \\
+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta \varphi^{\prime}+M^{\prime}\left(d \frac{u^{\prime} d x^{\prime}}{d s^{\prime}}-\frac{u^{\prime} x^{\prime} d \varphi^{\prime 2}}{d s^{\prime}}\right) \delta x^{\prime}+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} d z^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta z^{\prime}+ \\
+M^{\prime \prime} d \frac{u^{\prime \prime} x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta \varphi^{\prime \prime}+M^{\prime \prime}\left(d \frac{u^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}-\frac{u^{\prime \prime} x^{\prime \prime} d \varphi^{\prime \prime 2}}{d s^{\prime \prime}}\right) \delta x^{\prime \prime}+M^{\prime \prime} d \frac{u^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta z^{\prime \prime}+ \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left.+\left(M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} \delta u^{\prime \prime}+\ldots\right) d t\right]=0 . \\
\end{array}
\]

В этом уравнении я отобрал все члены, стоящие вне знака $\int$, потому что они обращаются в нуль, если предположить, что начальная и конечная точки траектории заданы. Это уравнение, аналогичное уравнению (E) из п. IX, потребует только операций, подобных выполненным в этом параграфе для нахождения движения каждого тела. Примеры этому мы найдем в следующих задачах.
XII. Следствие. Если система совершенно свободна или если она вынуждена двигаться вокруг неподвижной точки и все действующие на тела силы направлены к этой точке, то, принимая ее за центр радиусов-векторов $x, x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$ и полагая
\[
\varphi^{\prime}=\varphi+\Phi, \quad \varphi^{\prime \prime}=\varphi+\Phi^{\prime} \ldots,
\]

легко видеть, что $\delta \varphi$ будет совершенно независимо от других разностей $\delta \Phi$, $\delta \Phi^{\prime}, \ldots, \delta x, \delta x^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \ldots$, каково бы ни было взаимодействие тел; кроме того, очевидно, что все разности $\delta p, \delta q, \delta f, \ldots$, которые входят в значение
\[
M u \delta u+M^{\prime} u^{\prime} \delta u^{\prime}, \ldots,
\]

будут также независимы от разности $\delta \varphi$. Отсюда следует, что все члены уравнения (F), которые стоят при разностях $\delta \varphi$, должны быть после подстановки $\delta \varphi+\delta \Phi, \delta \varphi+\delta \Phi^{\prime}, \ldots$ на место $\delta \varphi^{\prime}, \delta \varphi^{\prime \prime}, \ldots$ равны нулю отдельно от остальной части уравнения; после исключения $\delta \varphi$ получим уравнение
\[
M d-\frac{u x^{2} d \varphi}{d s}+M^{\prime} d \frac{u^{\prime} x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}}{d s^{\prime}}+M^{\prime \prime} d-\frac{u^{\prime \prime} x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+\ldots=0,
\]

интеграл которого будет
\[
\frac{M u x^{2} d \varphi}{d s}+\frac{M^{\prime} u^{\prime} x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}}{d s^{\prime}}+\frac{M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+\ldots=\text { const. }
\]

Подставив $d t$ вместо $\frac{u}{d s}, \frac{u^{\prime}}{d s^{\prime}}, \frac{u^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}, \ldots$ в знаменателе и обозначив через $H$ константу, найдем
\[
M x^{2} d \varphi+M^{\prime} x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}+M^{\prime \prime} x^{\prime 2} d \varphi^{\prime \prime}+\ldots=H d t .
\]

Интегрируя снова, получим
\[
M \int x^{2} d \varphi+M^{\prime} \int x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}+M^{\prime \prime} \int x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime}+\ldots=H t .
\]

Очевидно, что интеграл
\[
\int x^{2} d \varphi
\]

выражает площадь, которую проекция тела $M$ описывает вокруг центра сил, а другие интегралы,
\[
\int x^{\prime 2} d \varphi^{\prime}, \int x^{\prime \prime 2} d \varphi^{\prime \prime}, \ldots,
\]

выражают площади, описанные проекциями других тел $M^{\prime}, M^{\prime \prime}, \ldots$ вокруг того же центра. Следовательно, сумма этих площадей, помноженных каждая на массу описывающего их тела, всегда пропорциональна времени.

Читатель, который полюбопытствует посмотреть доказательство этой теоремы, выведенной из принципов Механики, найдет его в Мемуаре г. кавалера д’Арси, изданном ‘в Мемуарах Парижской Королевской Академии наук в 1747 г.; там же он найдет применение этой теоремы при решении многих задач Динамики.

В заключение мы заметим, что уравнение (G) содержит принцип, который гг. Даниил Бернулли и Эйлер назвали сохранением момента вращательного двшжсения и который состоит в том, что сумма произведений массы $M$ каждого

тела на его круговую скорость $\frac{u x d \varphi}{d s}$ и на расстояние $x$ до центра постоянна во время движения системы (см. Mémoires de l’Académie royale des Sciènces de Berlin, 1745 г. и Opuscules г. Эйлера, изданные в Берлине в 1746 г.).

То же уравнение (G) содержит также принцип г. кавалера д’Арси, гласящий, что сумма произведений массы каждого тела $M$ на скорость $u$ и на перпендикуляр $\frac{x^{2} d \varphi}{d s}$, восстановленный из центра на направление движения тела, всегда является постоянной величиной (см. Mémoires de l’Académie de Paris, 1749, 1752).
XIII. Примечани е. Легко обнаружить при помощи способа, который я дал в примечании к п. VI, что уравнение (U) будет вообще справедливым всякий раз, когда формула
$-M(P d p+Q d q+R d r+\ldots)-M^{\prime}\left(P^{\prime} d p^{\prime}+Q^{\prime} d q^{\prime}+R^{\prime} d r^{\prime}+\ldots\right)-\ldots$, которая выражает величину
\[
M u d u+M^{\prime} u^{\prime} d u^{\prime}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime} d u^{\prime \prime}+\ldots,
\]

будет полным дифференциалом. Во всех других случаях, это уравнение не сможет служить для нахождения условий максимума или минимума интегрального выражения
\[
M \int u d s+M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}+M^{\prime \prime} \int u^{\prime \prime} d s^{\prime \prime}+\ldots,
\]

но всегда будет пригодно для нахождения движений тел $M, M^{\prime}, M^{\prime \prime}, \ldots$, каковы бы ни были силы, их вызывающие. Таким образом, не затрудняясь определением, является ли формула, о которой мы говорили, действительно максимумом или минимумом, можно всегда, при любой гипотезе о силах, использовать уравнение (U).
XXIX. Задача IV. Найти движение негибкой нити, на каждую точку которой действуют какие-либо силы $P, Q, R, \ldots$

Решение. Сохраняя обозначения, данные в п. XXV, обозначим, кроме того, через $u$ – искомую скорость каждого элемента, $d s$ – малое расстояние, которое он проходит за время $d t$; легко заметить, что выражение нашего общего принципа примет вид
\[
S_{d m} \int u d s\left[{ }^{29}\right] .
\]

Согласно нашему методу уравнение
\[
\delta S d m \int u d s=0
\]

в силу постоянства $d m$ при изменении кривизны нити преобразуется в
\[
S_{d m} \delta \int u d s=0,
\]
т. е.
\[
\boldsymbol{S}_{d m} \int(u \delta d s+\delta u d s)=\boldsymbol{S}_{d m} \int u \delta d s+\boldsymbol{S}_{d m} \int u \delta u d t=0,
\]

где вместо $\frac{d s}{u}$ подставлено $d t$.
Теперь, если взять для каждого элемента нити три прямоугольные координаты $x, y, z$, как это сделано в задаче I, то получим
\[
\delta d s=\frac{1}{d s}(d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z)
\]

и
\[
\int u \delta d s=-\int\left(d \frac{d x}{d t} \delta x+d \frac{d y}{d t} \delta y+d \frac{d z}{d t} \delta z\right),
\]

где опять $d t$ подставлено вместо $\frac{d s}{u}$. Тогда интеграл $\boldsymbol{S} d m \int u \delta d s$ примет вид
\[
-\int \boldsymbol{S}_{d m}\left(d \frac{d x}{d t} \delta x+d \frac{d y}{d t} \delta y+d \frac{d z}{d t} \delta z\right),
\]

где переставлены знаки $S$ и $\int$, что, очевидно, разрешается.
Такой же перестановкой знаков изменим выражение
\[
\boldsymbol{S}_{d m} \int u \delta u d t \quad \text { на } \quad \int \boldsymbol{S} d m u \delta u d t
\]

и получим уравнение
\[
\int \boldsymbol{S} d m\left(u \delta u d t-d \frac{d x}{d t} \delta x-d \frac{d y}{d t} \delta y-d \frac{d z}{d t} \delta z\right)=0 .
\]

Теперь речь идет о том, чтобы найти значение $S d m u \delta u d t$. Нетрудно видеть, что уравнение (U) п. VIII, примененное к данному случаю, дает
\[
\boldsymbol{S}_{d m} u \delta u=-\boldsymbol{S}_{d m}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) .
\]

Умножив это уравнение на $d t$, значение которого одинаково для всех элементов нити, получим
\[
S_{d m} u \delta u d t=-\boldsymbol{S}_{d m}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) d t,
\]

или подставляя в соответствии с предположениями, сделанными в п. I, $I I \delta+\Omega \delta y+\Psi \delta z$ вместо $P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots$, найдем
\[
S_{d m} u \delta u d t=-S_{d m}(\Pi d t \delta x+\Omega d t \delta y+\Psi d t \delta z) .
\]

Это значение, подставленное в уравнение (K), дает
\[
-\int S_{d m}\left[\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x+\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right) \delta y+\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) \delta z\right]=0 .
\]

Так как каждый элемент нити $\mathrm{d} s=\sqrt{\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}+\mathrm{d} z^{2}}$, предполагается негибким, то мы будем иметь, как в п. XXV, уравнение
\[
\mathrm{d} x \frac{d \mathrm{~d} x}{d t}+\mathrm{d} y \frac{d \mathrm{~d} y}{d t}+\mathrm{d} z \frac{d \mathrm{~d} z}{d t}=0 .
\]

По той же причине
что дает
\[
\begin{array}{c}
\delta \sqrt{\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}+\mathrm{d} z^{2}}=0, \\
\mathrm{~d} x \delta \mathrm{d} x+\mathrm{d} y \delta \mathrm{d} y+\mathrm{d} z \delta \mathrm{d} z=0,
\end{array}
\]

и, поменяв местами $\delta$ и $\mathrm{d}$, получим
\[
\mathrm{d} x \mathrm{~d} \delta x+\mathrm{d} y \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} z \mathrm{~d} \delta z=0,
\]

откуда найдем
\[
\mathrm{d} \delta x=-\frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} z \mathrm{~d} \delta z}{d x} .
\]

Интегрируя, получим
\[
S_{\mathrm{d} \delta x}=\delta x=\delta^{\prime} x-S \frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} z \mathrm{~d} \delta z}{\mathrm{~d} x},
\]

где $\delta^{\prime} x$ есть значение $\delta x$, когда интеграл, обозначенный $S$, равен нулю, или, иначе говоря, значение $\delta x$ на начальном конце нити. Подставив это значение $\delta x$ в уравнение (L), получим из выражения
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x
\]

выражение
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta^{\prime} x-S_{d m}\left[\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \mathbf{S}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta y+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta z\right)\right] .
\]

А так как разность $\delta^{\prime} x$ есть постоянная величина, то она может быть вынесена за знак интеграла; следовательно, если $T d t$ выражает полное значение интеграла
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)
\]

то выражение $\boldsymbol{S} d m\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta^{\prime} x$ сведется просто к $T d t \delta^{\prime} x$. Теперь надо исключить разности $\delta y$ и $\delta z$ в выражении
\[
\left[\boldsymbol{S} d m\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \boldsymbol{S}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta y+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta z\right)\right],
\]

что можно легко сделать с помощью метода, изложенного в п. IX предыдущего Мемуара [30]. Следуя этому методу, мы находим, что если $T d t$ представляет, как и выше, полное значение интеграла
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)
\]

и если обозначить для краткости
\[
T d t-\boldsymbol{S} d m\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)=U d t,
\]

то получим
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) S \frac{d y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta y=\frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y-S_{\mathrm{d}} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y,
\]

и также
\[
S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) S \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta z=-\frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z-S_{\mathrm{d}} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z,
\]

где выражения, которые находятся вне знака интеграла $S$, должны быть взяты согласно условиям, изложенным в п. 1 предыдущего Мемуара; значение $U d t$, которое соответствует конечной точке нити, равно нулю, потому что $S_{d m}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)$ становится здесь равным $T d t$ и для начальной точки это значение также равно $T d t$, потому что $S d m\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)$ равно нулю; следовательно, если координаты, соответствующие этой точке, обозначить через ‘ $x,{ }^{\prime} y, ‘ z$, то получим $-\frac{T d t d^{\prime} y}{d^{\prime} x} \delta^{\prime} y$ для точного значения выражения $\frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y$ и $-\frac{T d t \mathrm{~d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} z} \delta^{\prime} z$ для аналогичного выражения $\frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z$.
В результате этих подстановок найдем
\[
\begin{array}{l}
S_{d m}\left[\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \boldsymbol{S}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta y+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta z\right)\right]= \\
=-T d t\left(\delta^{\prime} x+\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y+\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z\right)-\boldsymbol{S}\left(d \frac{U d t \mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right),
\end{array}
\]

а уравнение (L) перейдет в следующее:
$-\int\left(\delta^{\prime} x+\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y+\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z\right) T d t-\int S\left[\left(\mathrm{~d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+d m d \frac{d y}{d t}+\right.\right.$
\[
\left.+d m \Omega d t) \delta y+\left(\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+d m d \frac{d z}{d t}+d m \Psi d t\right) \delta z\right]=0,
\]

откуда получим для всех точек нити вообще
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+d m\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right)=0, \\
\mathrm{~d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+d m\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)=0,
\end{array}
\]

и эти уравнения с найденным ранее уравнением
\[
\mathrm{d} x\left(\frac{d \mathrm{~d} x}{d t}\right)+\mathrm{d} y\left(\frac{d \mathrm{~d} y}{d t}\right)+\mathrm{d} z\left(\frac{d \mathrm{~d} z}{d t}\right)=0,
\]

послужат для определения движения нити.
Если в этих уравнениях положить $\Pi=-P, \Omega=0, \Psi=0$, то они окажутся такими же, как уравнения из п. XXV, в чем легко убедиться, прибегнув к очень простому вычислению.
XXX. Схолия I. Теперь, чтобы удовлетворить, наконец, уравнению (M), положим
\[
\left(\delta^{\prime} x+\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y+\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z\right) T d t=0,
\]
т. е. уравнение, относящееся исключительно к начальной точке нити.

Предположим сначала, что эта точка абсолютно неподвижна, тогда ясно, что $\delta^{\prime} x=0, \delta^{\prime} y=0, \delta^{\prime} z=0$, а это обратит в нуль все члены уравнения, 0 котором идет речь; тогда уравнение, найденное в конце предыдущего параграфа, окажется достаточным для решения этой задачи.

Но если другой конец нити тоже неподвижен, тогда придется внести некоторые изменения в эти уравнения. Для этого возьмем снова уравнение
\[
\delta^{\prime} x=\delta^{\prime} x-\boldsymbol{S}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta y+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta z\right)
\]

и найдем, проинтегрировав его по частям с прибавлением необходимых констант,
\[
\delta x=\delta^{\prime} x-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y-\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z+\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y+\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z+\boldsymbol{S}\left(\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right) .
\]

Обозначим через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ значения $x, y, z$, которые соответствуют концу нити, и отнесем только что найденное уравнение к этой точке; тогда получим, поменяв местами
\[
\delta x^{\prime}+\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \delta z^{\prime}-\delta^{\prime} x-\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y-\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z-S\left(\mathrm{~d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right)=0 .
\]

Интеграл
\[
S\left(\mathrm{~d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right)
\]

берется вдоль всей длины нити. Так как это уравнение справедливо для всех моментов движения нити, то можно его умножить на $d t$ и взять интеграл

по времени $t$; получим, следовательно, применяя для всех членов знак $\int$, уравнение
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\delta x^{\prime}+\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \delta z^{\prime}-\delta^{\prime} x-\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} y-\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \delta^{\prime} z\right) d t- \\
-\int S\left(\mathrm{~d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right) d t=0,
\end{array}
\]

которое должно иметь место одновременно с основным уравнением (M); полагая затем $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \delta^{\prime} x, \delta^{\prime} y, \delta^{\prime} z$ равными нулю в соответствии с гипотезой, приведем это уравнение к следующему виду:
\[
-\int \boldsymbol{S}\left(\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \delta y+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} \delta z\right) d t=0 .
\]

Я умножаю это уравнение на неопределенный коэффициент $k$ и прибавляю к уравнению (M); так как $\delta^{\prime} x, \delta^{\prime} y, \delta^{\prime} z$ равны нулю, то я получаю
\[
\begin{aligned}
-\int \boldsymbol{S}\left[\left(\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+d\right.\right. & \left.m d \frac{d y}{d t}+d m \Omega d t+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} k d t\right) \delta y+ \\
+ & \left.\left(\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+d m d \frac{d z}{d t}+d m \Psi d t+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{d x} k d t\right) \delta z\right]=0,
\end{aligned}
\]

откуда я нахожу для движения нити :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+d m\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right)+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} k d t=0 \\
\mathrm{~d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+d m\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} k d t=0
\end{array}
\]

а третье уравнение будет таким же, как в предыдущем параграфе.
XXXI. С холия II. Уравнение (N), умноженное на неопределенный коэффициент $k$ и затем прибавленное к уравнению (M), дает вообще
\[
\begin{aligned}
\int\left[\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}\right.\right. & \left.+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \frac{k d t}{\mathrm{~d} x^{\prime}}-\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T+k}{\mathrm{~d}^{\prime} x} d t- \\
& -\int S\left[\left(\mathrm{~d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} k d t+d m d \frac{d y}{d t}+d m \Omega d t\right) \delta y+\right. \\
& \left.+\left(\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} k d t+d m d \frac{d z}{d t}+d m \Psi d t\right) \delta z\right]=0
\end{aligned}
\]

Члены, находящиеся под двойным знаком $\int \boldsymbol{S}$, дадут сначала для общего движения нити те же уравнения, что и в предыдущем параграфе; затем другие члены, находящиеся под действием только знака $\int$, дадут уравнение
\[
\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \frac{k d t}{\mathrm{~d} x^{\prime}}-\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T+k}{\mathrm{~d}^{\prime} x} d t=0,
\]

откуда можно сделать следующие выводы:
1. Если нить неподвижно закреплена на двух концах, то
\[
\delta^{\prime} x, \delta^{\prime} y, \delta^{\prime} z, \delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}
\]

сами по себе равны нулю, и уравнение, о котором идет речь, не добавляет ни одного нового условия; это тот же случай, что и в предыдущем параграфе.

2. Если закреплен только один конец нити, .то либо $\delta^{\prime} x, \delta^{\prime} y, \delta^{\prime} z$, либо $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ будут равны нулю; в первом случае останется уравнение
\[
\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \frac{k d t}{\mathrm{~d} x^{\prime}}=0,
\]

которое можно удовлетворить, только положив $k=0$; во втором – оставшееся уравнение
\[
-\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{k+T}{\mathrm{~d}^{\prime} x} d t=0
\]

необходимо приводит к тому, что
\[
k+T=0, \text { т. e. } T=-k .
\]
3. Если нить закреплена на одном конце неподвижного круглого стержня, вдоль которого она может скользить при помощи кольца, а уравнение стержня в общем виде будет
\[
d z=m d x+n d y,
\]

тогда предположим, что
\[
\delta^{\prime} z={ }^{\prime} m \delta^{\prime} x+{ }^{\prime} n \delta^{\prime} y, \text { или } \delta z^{\prime}=m^{\prime} \delta x^{\prime}+n^{\prime} \delta y^{\prime},
\]

в зависимости от того, будет это начальная или конечная точка нити, которая описывает данную кривую; подставляя в приведенное выше уравнение значение $\delta^{\prime} z$ или $\delta z^{\prime}$, получим из него для первого случая два условия:
\[
\mathrm{d}^{\prime} x+’ m \mathrm{~d}^{\prime} z=0, \quad \mathrm{~d}^{\prime} y+{ }^{\prime} n \mathrm{~d}^{\prime} z=0,
\]

и, более того, $k=0$, если другой конец нити свободен, а для второго случая найдем также
\[
\mathrm{d} x^{\prime}+m^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=0, \quad \mathrm{~d} y^{\prime}+n^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=0,
\]

и, более того, $T+k=0$, если начальная точка свободна.
4. Если оба конца нити скользят вдоль обеих кривых, представленных уравнениями
\[
d^{\prime} z={ }^{\prime} m d^{\prime} x+{ }^{\prime} n d^{\prime} y, \quad d z^{\prime}=m^{\prime} d x^{\prime}+n^{\prime} d y^{\prime},
\]

то, подставляя ‘ $m \delta^{\prime} x+$ ‘ $n \delta^{\prime} y$ вместо $\delta$ ‘ $z$ и $m^{\prime} \delta x^{\prime}+n^{\prime} \delta y^{\prime}$ вместо $\delta z^{\prime}$, получим $\mathrm{d}^{\prime} x+{ }^{\prime} m \mathrm{~d}^{\prime} z=0, \quad \mathrm{~d}^{\prime} y+{ }^{\prime} n \mathrm{~d}^{\prime} z=0, \quad \mathrm{~d} x^{\prime}+m^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=0, \quad \mathrm{~d} y^{\prime}+n^{\prime} \mathrm{d} z^{\prime}=0$.
5. Если оба конца этой нити соединены между собой так, что образуется замкнутая кривая, то в этом случае $x^{\prime}={ }^{\prime} x, y^{\prime}=’ y, z^{\prime}=’ z$, и общее уравнение примет вид
\[
-\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T d t}{\mathrm{~d}^{\prime} x}=0,
\]

откуда $T=0$, как в первом случае (п. 1).
Все эти уравнения, впрочем, должны проверяться при помощи констант, которые будут найдены в общих уравнениях предыдущего параграфа после их интегрирования.
XXXII. Сх олия III. Представим себе, что нить нагружена телом с конечной массой $M^{\prime}$, и находится под действем каких-либо сил $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots$

Ясно, что в этом случае выражение, которое должно быть максимумом или минимумом, не будет просто $\boldsymbol{S} d m \int \boldsymbol{u} d s$, а будет
\[
S d m \int u d s+M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}
\]

где $u^{\prime}$ – скорость тела $M^{\prime}$, а $d s^{\prime}$ – элемент кривой, которую тело описывает. Это последнее выражение, будучи преобразовано, как выражение задачи I, даст для своего дифференциала

Эту величину мы прибавим к первому члену общего уравнения предыдущего параграфа и получим
\[
\begin{array}{c}
-\int\left[\left(M^{\prime} d \frac{d x^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Pi^{\prime} d t-k d t\right) \delta x^{\prime}+\left(M^{\prime} d \frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Omega^{\prime} d t-\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right) \delta y^{\prime}+\right. \\
\left.+\left(M^{\prime} d \frac{d z^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Psi^{\prime} d t-\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right) \delta z^{\prime}+\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T+k}{\mathrm{~d}^{\prime} x} d t\right]- \\
-\int S\left[\left(\mathrm{~d} \frac{U d t \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} k d t+d m d \frac{d y}{d t}+d m \Omega d t\right) \delta y-\right. \\
\left.-\left(\mathrm{d} \frac{U d t \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}+\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x} k d t+d m d \frac{d z}{d t}+d m \Psi d t\right) \delta z\right]=0 .
\end{array}
\]

Члены, находящиеся под двойным знаком $\int S$, дадут для движения нити вообще те же уравнения п. XXX, которые не имеет смысла повторять. Другие члены дадут уравнение
\[
\begin{array}{l}
\left(M^{\prime} d \frac{d x^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Pi^{\prime} d t-k d t\right) \delta x^{\prime}+\left(M^{\prime} d \frac{d y^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Omega^{\prime} d t-\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right) \delta y^{\prime}+ \\
+\left(M^{\prime} d \frac{d z^{\prime}}{d t}+M^{\prime} \Psi^{\prime} d t-\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right) \delta z^{\prime}+\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T+k}{\mathrm{~d}^{\prime} x} d t=0 .
\end{array}
\]

Итак, если тело $M^{\prime}$ свободно таким образом, что разности $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ остаются неопределенными, то
\[
\begin{array}{l}
M^{\prime}\left(d \frac{d x^{\prime}}{d t}+\Pi^{\prime} d t\right)-k d t=0, \\
M^{\prime}\left(d \frac{d y^{\prime}}{d t}+\Omega^{\prime} d t\right)-\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t=0, \\
M^{\prime}\left(d \frac{d z^{\prime}}{d t}+\Psi^{\prime} d t\right)-\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения будут служить для определения движения тела $M^{\prime}$.
Если это тело вынуждено двигаться по поверхности, заданной уравнением
\[
d z^{\prime}=m^{\prime} d x^{\prime}+n^{\prime} d y^{\prime},
\]

то подставим, как обычно, $m^{\prime} \delta x^{\prime}+n^{\prime} \delta y^{\prime}$ вместо $\delta z^{\prime}$ и выведем следующие уравнения :
\[
\begin{array}{l}
M^{\prime}\left(d \frac{d x^{\prime}}{d t}+\Pi^{\prime} d t\right)-k d t+\left[M^{\prime}\left(d \frac{d z^{\prime}}{d t}+\Psi^{\prime} d t\right)-\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right] m^{\prime}=0 \\
M^{\prime}\left(d \frac{d y^{\prime}}{d t}+\Omega^{\prime} d t\right)-\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t+\left[M^{\prime}\left(d \frac{d z^{\prime}}{d t}+\Psi^{\prime} d t\right)-\frac{\mathrm{d} z^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} k d t\right] n^{\prime}=0
\end{array}
\]

Для членов
\[
\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+d^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{T+k}{d^{\prime} x} d t,
\]

которые относятся к начальной точке нити, они образуют те же условия, что и в предыдущем параграфе, в зависимости от различных обстоятельств движения этой точки. Но если представить себе сверх того в этой точке другое тело ‘ $M$, побуждаемое силами ‘ $P,{ }^{\prime} Q,{ }^{\prime} R, \ldots$, таким образом, чтобы нить была нагружена обоими телами ‘ $M,{ }^{\prime} M^{\prime}$, неподвижно закрепленными по концам, тогда мы имели бы для формулы максимума или минимума
\[
S d m \int u d s+M^{\prime} \int u^{\prime} d s^{\prime}+’ M \int ‘ u d ‘ s,
\]

и нашли бы, сделав расчет, подобный приведенному выше, что первый член уравнения (P) примет вид
\[
-‘ M \int\left[\left(d \frac{d^{\prime} x}{d t}+{ }^{\prime} I I d t\right) \delta^{\prime} x+\left(d \frac{d^{\prime} y}{d t}+{ }^{\prime} \Omega d t\right) \delta^{\prime} y+\left(d \frac{d^{\prime} z}{d t}+{ }^{\prime} \Psi d t\right) \delta^{\prime} z\right],
\]

что не меняет ничего в формулах, найденных для движения нити и другого тела $M^{\prime}$; сверх того; будет получено уравнение
\[
\begin{aligned}
& {\left[{ }^{\prime} M d \frac{d^{\prime} x}{d t}+{ }^{\prime} M^{\prime} M d t+(T+k) d t\right] \delta^{\prime} x+} \\
+ & {\left[‘ M d \frac{d^{\prime} y}{d t}+{ }^{\prime} M^{\prime} \Omega d t+\frac{\mathrm{d}^{\prime} y}{\mathrm{~d}^{\prime} x}(T+k) d t\right] \delta^{\prime} y+} \\
+ & {\left[{ }^{\prime} M d \frac{d^{\prime} z}{d t}+{ }^{\prime} M^{\prime} \Psi d t+\frac{\mathrm{d}^{\prime} z}{\mathrm{~d}^{\prime} x}(T+k) d t\right] \delta^{\prime} z=0, }
\end{aligned}
\]

из которого можно получить для движения тела ‘ $M$ формулы, аналогичные формулам, найденным для тела $M^{\prime}$.
XXXIII. 3 ада ч а VII. Решить предыдущую задачу, предположив, что нить сжимаемая и упругая.

Решение. Пусть $F$ – пружина, или сила сжатия каждого элемента нити, тогда получим при помощи уравнения (U) п. VIII
\[
\boldsymbol{S}_{d m} u \delta \mathrm{d}=-\boldsymbol{S}_{d m}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)-\boldsymbol{S}_{F} \delta f,
\]

чтó дает при умножении на $d t$ и подстановке $I I \delta x+\Omega \delta y+\Psi . \delta z$ вместо $P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots$ и $\mathrm{d} s$ вместо $f$, уравнение
\[
S_{d m} u \delta u d t=-S_{d m}(\Pi d t \delta x+\Omega d t \delta y+\Psi d t \delta z)-S_{F} d t \delta \mathrm{d} s .
\]

Если
\[
\mathrm{d} s=\sqrt{\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}+\mathrm{d} z^{2}},
\]

To
\[
\delta \mathrm{d} s=\frac{\mathrm{d} x \delta \mathrm{d} x+\mathrm{d} y \delta \mathrm{d} y+\mathrm{d} z \delta \mathrm{d} z}{\mathrm{~d} s}=\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} \delta x+\mathrm{d} y \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} z \mathrm{~d} \delta z}{\mathrm{~d} s} ;
\]

следовательно, подставляя это значение в $\boldsymbol{S}_{F} d t \delta \mathrm{d} s$ и интегрируя по частям с соответствующими константами, получим
\[
\begin{array}{l}
S F d t \delta \mathrm{d} s=\frac{F^{\prime} d t}{\mathrm{~d} s^{\prime}}\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right)- \\
-\frac{{ }^{\prime} F d t}{\mathrm{~d}^{\prime} s}\left(\mathrm{~d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right)-\boldsymbol{S}\left(\mathrm{d}-\frac{F \mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} s} \delta x+\mathrm{d} \frac{F \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} s} \delta y+\mathrm{d} \frac{F \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} s} \delta z\right) d t .
\end{array}
\]

Теперь, чтобы решить задачу, остается только подставить в уравнение (К) п. XXIX вместо $S_{d m}$ u $\delta u d t$ только что найденное значение; тогда получим
\[
\begin{aligned}
-\int\left[\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\right.\right. & \left.\left.\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \frac{F^{\prime} d t}{\mathrm{~d} s^{\prime}}-\left(\mathrm{d}^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{{ }^{\prime} F d t}{\mathrm{~d}^{\prime} s}\right]+ \\
& +\int S\left[\left(\mathrm{~d} \frac{F \mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} s} d t-d m \Pi d t-d m d \frac{d x}{d t}\right) \delta x+\right. \\
& +\left(\mathrm{d} \frac{F \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} s} d t-d m \Omega d t-d m d \frac{d y}{d t}\right) \delta y+ \\
& \left.+\left(\mathrm{d} \frac{F \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} s} d t-d m \Psi d t-d m d \frac{d z}{d t}\right) \delta z\right]=0,
\end{aligned}
\]

откуда, для общих уравнений движения нити найдем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \frac{F \mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} s} d t-d m\left(\Pi d t+d \frac{d x}{d t}\right)=0, \\
\mathrm{~d} \frac{F \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} s} d t-d m\left(\Omega d t+d \frac{d y}{d t}\right)=0, \\
\mathrm{~d} \frac{F \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} s} d t-d m\left(\Psi d t+d \frac{d z}{d t}\right)=0,
\end{array}
\]

что согласуется с тем, что было найдено в п. XXVII, если подставить $\Omega=0$, $\Psi=0$ и $-P$ вместо П. Сверх того, будем иметь уравнение
\[
\left(\mathrm{d} x^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathrm{d} y^{\prime} \delta y^{\prime}+\mathrm{d} z^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \frac{F^{\prime} d t}{\mathrm{~d} s^{\prime}}-\left(d^{\prime} x \delta^{\prime} x+\mathrm{d}^{\prime} y \delta^{\prime} y+\mathrm{d}^{\prime} z \delta^{\prime} z\right) \frac{{ }^{\prime} F \mathrm{~d} t}{\mathrm{~d}^{\prime} s}=0,
\]

которое рассматривается так же как уравнение (P), и из которого можно, следовательно, сделать, такие же выводы о движении обоих концов нити. Эти подробности я оставляю читателю.
XL. Задача IX. Найти законы движения неупругих жидкостей. $\mathrm{P}$ е шен и е. Очевидно, что уравнение (L), которое служило для решения предыдущей задачи, имеет место и здесь, так как оно является общим для некоторой системы частиц $d m$, которые двигаются под действием какихлибо сил $P, Q, R, \ldots$
Пусть $D$ – плотность каждой частицы $d m$ жидкости, тогда
\[
d m=D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z,
\]

и уравнение (L) примет вид
\[
\begin{aligned}
\int S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left[\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x+\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right) \delta y+\right. & \\
& \left.+\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) \delta z\right]=0 .
\end{aligned}
\]

я ставлю показатель степени 3 к знаку $S$, чтобы выразить три интеграции, содержащиеся в этом знаке относительно трех переменных $x, y, z$, которые мы в последующем будем рассматривать каждую отдельно.

Так как мы считаем жидкость несжимаемой, то объем каждой частицы $d m$, выраженный как $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, остается всегда одним и тем же; следовательно,
\[
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z d \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} z d \mathrm{~d} y+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y d \mathrm{~d} z=0,
\]

T. e.
\[
\frac{d \mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}+\frac{d \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} y}+\frac{d \mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} z}=0,
\]

или, подставляя $\mathrm{d} d$ вместо $d \mathrm{~d}$,
\[
\frac{\mathrm{d} d x}{\mathrm{~d} x}+\frac{d \mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} d z}{\mathrm{~d} z}=0 .
\]

Аналогично получим
\[
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z \delta \mathrm{d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} z \delta \mathrm{d} y+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \delta \mathrm{d} z=0,
\]

или
\[
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} \delta z=0,
\]

что дает
\[
\mathrm{d} \delta x=-\mathrm{d} x\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right),
\]

и, следовательно,
\[
\mathrm{S}_{\mathrm{d} \delta x}=\delta x=\delta^{\prime} x-\boldsymbol{S}_{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right) .
\]

Здесь $\delta^{\prime} x$ есть значение $\delta x$, когда интеграл $\boldsymbol{S} d x\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right)$ равен нулю, но так как этот интеграл должен быть взят при условии, что только $x$ изменяется, то отсюда следует, что величина $\delta^{\prime} x$ будет постоянной относительно $x$, но переменной относительно $y$ и $z$, т. е. что эта величина будет функцией $y$ и $z$.

Итак, после подстановки ,в уравнение (а) вместо $\delta x$ только что найденного его значения, интегральное выражение
\[
S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x
\]

перейдет в следующее :
\[
\begin{array}{l}
S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta^{\prime} x- \\
-S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left[D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right)\right] . \\
\end{array}
\]

Записываю сначала первый преобразованный член так:
\[
S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} x} D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta^{\prime} x,
\]

это выражение, как хорошо видно, эквивалентно только что приведенному Пусть полное значение
\[
S_{\mathrm{d} x} D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)
\]

будет выражено через $T d t$; ясно, что так как $\delta^{\prime} x$ постоянно относительно $x$, то получим
\[
S_{\mathrm{d} x D}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta^{\prime} x=\delta^{\prime} x S_{\mathrm{d} x D}\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)=\delta^{\prime} x T d t ;
\]

следовательно,
\[
S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d i\right) \delta^{\prime} x=\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} x .
\]

Я представляю также второй член в следующей форме :
\[
\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z S \mathrm{~d} x\left[D\left(d \frac{d x}{d t}+d t\right) \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right)\right] ;
\]

затем я преобразую интеграл
\[
S_{\mathrm{d} x}\left[D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) S_{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right)\right]
\]

по методу п. IX предыдущего Мемуара; предполагая для сокращения
\[
U d t=T d t-S \mathrm{~d} x D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right),
\]

получим преобразованное выражение
\[
S_{\mathrm{d} x} U d t\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right),
\]

где остается только один знак интеграции; предложенное выражение примет тогда вид
\[
S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z S_{\mathrm{d} x U d t}\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right),
\]

или, что одно и тоже,
\[
S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z U d t\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right),
\]

где остается только исключить разности $\delta$ и $\delta z$.
Для этого необходимо рассмотреть сначала интеграции, относящиеся к переменным $y$ и $z$, представив этот интеграл в следующем виде:
\[
S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z S \mathrm{~d} y \frac{U d t \mathrm{~d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y S \mathrm{~d} z \frac{U d t \mathrm{~d} \delta z}{\mathrm{~d} z} .
\]

Итак, обычным методом интегрирования по частям, находим
\[
S \mathrm{~d} y \frac{U d t \mathrm{~d} \delta y}{\mathrm{~d} y}=U d t \delta y-S \mathrm{~d} y \frac{\mathrm{d}(U d t)]}{\mathrm{d} y_{i} y^{\prime}} \delta y .
\]

Я пишу $\boldsymbol{S} \mathrm{d} y \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y$ вместо равного ему $S_{\mathrm{d}(U d t) \delta y \text { для того, чтобы указать, }}$ что этот интеграл, так же как дифференциал $\mathrm{d} U d t$, должен быть взят с учетом переменности только одного $y$. Пусть ‘ $y$ есть значение $y$ в начальной точке интеграла $S \mathrm{~d} y \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y$, а $y^{\prime}$-значение $y$ в его конечной точке и пусть ‘ $U$ будет значение $U$ при подстановке ‘ $y$ вместо $y$ и $U^{\prime}$ ‘ значение $U$ при $y=y^{\prime}$; по примечанию к п. I предыдущего Мемуара мы найдем, что полное значение выражения $U d t \delta y$ будет $U^{\prime} d t \delta y^{\prime}-‘ U d t \delta^{\prime} y$.

Но даже при непродолжительном размышлении над смыслом выражений легко видеть, что когда $U=’ U$, то интеграл $S \mathrm{~d} x D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi \delta t\right)$ равен нулю, а когда $U=U^{\prime}$, то этот интеграл как раз равен $T d t$. Поэтому будем иметь ‘ $U=T$ и $U^{\prime}=0$; следовательно, окончательно
\[
S \mathrm{~d} y \frac{U d t \mathrm{~d} \delta y}{\mathrm{~d} y}=-T \delta^{\prime} y-S_{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y .
\]

При помощи таких же действий и рассуждений получим
\[
S \mathrm{~d} z \frac{-U d t \mathrm{~d} \delta z}{\mathrm{~d} z}=-T \delta^{\prime} z-S \mathrm{~d} z \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z} \delta z ;
\]

итак,
\[
\mathbf{S}^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z U d t\left(\frac{\mathrm{d} \delta y}{\mathrm{~d} y}+\frac{\mathrm{d} \delta z}{\mathrm{~d} z}\right)
\]

перейдет в
$-\mathbf{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} y-\mathbf{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z S \mathrm{~d} y \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y-$
\[
-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y T d t \delta^{\prime} z-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} z} \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z} \delta z,
\]

или, по приведении,
$-\mathbf{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} y-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} z-\boldsymbol{S}^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left(\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y+\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z} \delta z\right) ;$
а следовательно,
$S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x=\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} x-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z d t \delta^{\prime} y-$
\[
-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y T d t \delta^{\prime} z+\boldsymbol{S}^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left(\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y} \delta y+\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z} \delta z\right) .
\]

Тогда уравнение (а) примет вид
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} x+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} y+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y T d t \delta^{\prime} z\right)+ \\
+\int \boldsymbol{S}^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left\{\left[\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y}+D\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right)\right] \delta y+\right. \\
\left.+\left[\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z}+D\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)\right] \delta z\right\}=0
\end{array}
\]

отсюда получим для движения каждой частицы жидкости в общем случае
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y}+D\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right)=0, \\
\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z}+D\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Затем, чтобы удовлетворить оставшейся части уравнения, положим
\[
\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} x+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z T d t \delta^{\prime} y+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y T d t \delta^{\prime} z=0 .
\]
XLI. Следств и I. Значение $U d t$, равное
\[
T d t-S_{\mathrm{d} x} D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right),
\]

представляет собой интеграл, взятый только при переменном $x$; подставим это значение в уравнение (е), но чтобы иметь возможность исключить знак $\boldsymbol{S}$, возьмем дифференциалы этих двух уравнений, предполагая переменными только $x$, что даст при подстановке вместо $\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} x}$ его значения $-D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)$ два уравнения :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}\left[D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)\right]}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}\left[D\left(d \frac{d z}{d t}+\Omega d t\right)\right]}{\mathrm{d} x}, \\
\left.\frac{\mathrm{d}\left[D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)\right]}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}\left[D\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)\right]}{\mathrm{d} x},\right\} \\
\end{array}
\]

которые, будучи присоединены к уравнению (b), найденному выше, дадут возможность найти значения $x, y, z$ для любого времени.
XLII. След ств и II. Таковы уравнения, при помощи которых можно в общем определить движение неупругой жидкости, подвергнутой действию каких-либо сил $P, Q, R \ldots$, которые действуют по некоторым направлениям, или же под действием сил $\Pi, \Omega, \Psi$, направленных по линиям $x, y, z$; это легко видеть, рассматривая значения величин $\Pi, \Omega, \Psi$ (п. I).

Чтобы глубже изучить уравнения, о которых идет речь, выразим через $\alpha, \beta, \gamma$ скорости каждой частицы жидкости, параллельные координатам $x, y, z$, т. е. значения $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$; разделив на $d t$, получим
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{d}\left(D \frac{d \alpha}{d t}\right)}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}\left(D \frac{d \beta}{d t}\right)}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \\
\frac{\mathrm{d}\left(D \frac{d \alpha}{d t}\right)}{\mathrm{d} z}+\frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}\left(D \frac{d \gamma}{d t}\right)}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}, \\
\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Из этих уравнений видно, что величины $\alpha, \beta, \gamma$ необходимо являются функциями переменных $x, y, z$, которые определяют положение частиц в каждый момент времени, и времени, протекшего с момента начала движения; а так как ясно, что в момент $d t$ переменные $x, y, z$ получают значения $x+\alpha d t, y+\beta d t, z+\gamma d t$, то изменения величин $\alpha, \beta, \gamma$ в этот момент будут не только $\frac{d \alpha}{d t} d t, \frac{d \beta}{d t} d t, \frac{d \gamma}{d t} d t$, но
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \alpha}{d t} d t+\frac{d \alpha}{d x} \alpha d t+\frac{d \alpha}{d y} \beta d t+\frac{d \alpha}{d z} \gamma d t, \\
\frac{d \beta}{d t} d t+\frac{d \beta}{d x} \alpha d t+\frac{d \beta}{d y} \beta d t+\frac{d \beta}{d z} \gamma d t, \\
\frac{d \gamma}{d t} d t+\frac{d \gamma}{d x} \alpha d t+\frac{d \gamma}{d y} \beta d t+\frac{d \gamma}{d z} \gamma d t,
\end{array}
\]

и такими будут значения $d \alpha, d \beta, d \gamma$; следовательно, если подставить эти значения в уравнения (h) и предположить для большей простоты силы $\Pi, \Omega, \Psi$ равными нулю или такими, что
\[
\frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x},
\]

и кроме того, плотность $D$ постоянной, то получим, разделив на $D$ и обозначив все дифференциалы через $d$, что здесь совершенно безразлично,
\[
\begin{aligned}
& \frac{d^{2} \alpha}{d t d y}+\alpha \frac{d^{2} \alpha}{d x d y}+\beta \frac{d^{2} \alpha}{d y^{2}}+\gamma \frac{d^{2} \alpha}{d y d z}+\frac{d \alpha}{d x} \frac{d \alpha}{d y}+\frac{d \alpha}{d y} \frac{d \beta}{d y}+\frac{d \alpha}{d z} \frac{d \gamma}{d y}= \\
= & \frac{d^{2} \beta}{d t d x}+\alpha \frac{d^{2} \beta}{d x^{2}}+\beta \frac{d^{2} \beta}{d x d y}+\gamma \frac{d^{2} \beta}{d x d z}+\frac{d \beta}{d x} \frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y} \frac{d \beta}{d x}+\frac{d \beta}{d z} \frac{d \gamma}{d x}, \\
& \frac{d^{2} \alpha}{d t d z}+\alpha \frac{d^{2} \alpha}{d x d z}+\beta \frac{d^{2} \alpha}{d y d z}+\gamma \frac{d^{2} \alpha}{d z^{2}}+\frac{d \alpha}{d x} \frac{d \alpha}{d z}+\frac{d \alpha}{d y} \frac{d \beta}{d z}+\frac{d \alpha}{d z} \frac{d \gamma}{d z}= \\
= & \frac{d^{2} \gamma}{d t d x}+\alpha \frac{d^{2} \gamma}{d x^{2}}+\beta \frac{d^{2} \gamma}{d x d y}+\gamma \frac{d^{2} \gamma}{d x d z}+\frac{d \gamma}{d x} \frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \gamma}{d y} \frac{d \beta}{d x}+\frac{d \gamma}{d z} \frac{d \gamma}{d x} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения могут быть записаны сокращенно, если положить
\[
\frac{d \alpha}{d y}-\frac{d \beta}{d x}=\mu, \quad-\frac{d \alpha}{d z}-\frac{d \gamma}{d x}=
u,
\]

что приведет их к такому виду:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \mu}{d t}+\alpha-\frac{d \mu}{d x}+\beta \frac{d \mu}{d y}+\gamma \frac{d \mu}{d z}+\mu\left(\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}\right)+\frac{d \alpha}{d z} \frac{d \gamma}{d y}-\frac{d \beta}{d z} \frac{d \gamma}{d x}=0, \\
\frac{d v}{d t}+\alpha \frac{d
u}{d x}+\beta \frac{d
u}{d y}+\gamma \frac{d v}{d z}+
u\left(\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}\right)+\frac{d \alpha}{d y} \frac{d \beta}{d z}-\frac{d \gamma}{d y} \frac{d \beta}{d x}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Можно удовлетворить этим двум уравнениям, положив
\[
\mu=\frac{d \alpha}{d y}-\frac{d \rho}{d x}=0, \quad v=\frac{d \alpha}{d z}-\frac{d \gamma}{d x}=0, \quad \frac{d \beta}{d z}-\frac{d \gamma}{d y}=0,
\]

в чем легко убедиться; третье из этих условий является очевидно необходимым следствием двух первых; тогда действительно у нас должны будут выполняться только два условия, которые можно проще выразить, сказав, что $a d x+\beta d y+\gamma d z$ должно быть полным дифференциалом; эти условия, соединенные с тем, которое дает уравнение (i), при замене $\mathrm{d}$ на $d$, т. е. с уравнением
\[
\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}+\frac{d \gamma}{d z}=0
\]

послужат для определения движений жидкости во многих частных случаях.
Эти случаи сводятся к таким, в которых предполагается, что частицы жидкости описывают неизменные кривые, что имеет место тогда, когда скорости $\alpha, \beta, \gamma$ независимы от времени $t$, т. е. когда величины $\alpha, \beta, \gamma$ являются просто функциями $x, y, z$, умноженными на одну и ту же функцию $t$. Действительно, пусть в общие уравнения(h)будут подставлены $\theta \alpha, \theta \beta ; \theta \gamma$ вместо $\alpha, \beta, \gamma(\theta$ – некоторая функция $t$, а $\alpha, \beta, \gamma$ рассматриваются как неопределенные функции $x, y, z$ без $t$ ); тогда, разделив на $\theta^{2}$, найдем :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mu}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}+\alpha \frac{d \mu}{d x}+\beta \frac{d \mu}{d y}+\gamma \frac{d \mu}{d z}+\mu\left(\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}\right)+\frac{d \alpha}{d z} \frac{d \gamma}{d y}-\frac{d \beta}{d z} \frac{d \gamma}{d x}=0, \\
\frac{
u}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}+\alpha \frac{d v}{d x}+\beta \frac{d
u}{d y}+\gamma \frac{d v}{d z}+
u\left(\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}\right)+\frac{d \alpha}{d y} \frac{d \beta}{d z}-\frac{d \gamma}{d y} \frac{d \beta}{d x}=0 .
\end{array}
\]

Так как только члены $\frac{\mu}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}, \frac{
u}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}$ содержат $t$, то для того, чтобы уравнения были возможны, необходимо, чтобы эти члены отдельно от всех остальных были равны нулю; тогда $\mu=0$ и $
u=0$, что удовлетворяет оставшейся части обоих уравнений, как это было показано выше.

Имеется, однако, случай, когда предыдущие уравнения могут быть верны и без предположения, что $\mu=0$ и $v=0$; это – тот случай, когда
\[
\frac{1}{\theta^{2}} \cdot \frac{d \theta}{d t}=\text { const } \text {, }
\]
т. е. когда
\[
\frac{1}{\theta}=a-b t \quad \text { и } \quad \theta=\frac{1}{a-b t},
\]

где $a$ и $b$-две какие-либо константы, так как тогда члены $\frac{\mu}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}, \frac{v}{\theta^{2}} \frac{d \theta}{d t}$ окажутся совершенно независимыми от времени $t$, так же, қак все другие.

Впрочем, комбинируя уравнения $\mu=0, v=0$ с уравнением (i), можно отделить неопределенные $\alpha, \beta, \gamma$ и получить
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \alpha}{d x^{2}}+\frac{d^{2} \alpha}{d y^{2}}+\frac{d^{2} \alpha}{d z^{2}}=0, \\
\frac{d^{2} \beta}{d x^{2}}+\frac{d^{2} \beta}{d y^{2}}+\frac{d^{2} \beta}{d z^{2}}=0, \\
\frac{d^{2} \gamma}{d x^{2}}+\frac{d^{2} \gamma}{d y^{2}}+\frac{d^{2} \gamma}{d z^{2}}=0 .
\end{array}
\]
XLIII. Замечание. Когда будут найдены при помощи уравнений предыдущего параграфа общие значения $\alpha, \beta, \gamma$, то, сверх того, надо будет определить эти значения таким образом, чтобы частицы, соприкасающиеся со стенками сосуда, в котором движется жидкость, могли бы скользить вдоль этих стенок; пусть $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ их координаты и
\[
d z^{\prime}=p d z^{\prime}+q d y^{\prime},
\]

уравнение, которое выражает форму данного сосуда ; тогда при подстановке вместо $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$ их значений ‘ $\alpha^{\prime} d t, \beta^{\prime} d t$, $\gamma^{\prime} d t$ и обозначая через $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ значения $\alpha, \beta, \gamma$, когда $x, y, z$ становятся $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, получим уравнение
\[
\text { १ } \gamma^{\prime}=p \alpha^{\prime}+q \beta^{\prime},
\]

которое должно быть справедливо независимо от $t$.
В случае, когда время $t$ совсем не входит в отношение скоростей $\alpha, \beta, \gamma$, ясно, что оно не войдет также в уравнение
\[
\gamma^{\prime}=p \alpha^{\prime}+q \beta^{\prime} ;
\]

но тогда значения $\alpha, \beta, \gamma$ будут гораздо менее общими и может случиться, что это уравнение будет правильно только, если предположить, что величины $p$ и $q$ подчинены определенным условиям, т. е. сосуд имеет определенную форму. Именно это отметил г. Д’Аламбер в замечательном Мемуаре о законах движения жидкости, напечатанном в первом томе его Opuscules mathématiques. Но этот ученый Геометр полагает, более того, что если сосуд будет иметь какую-либо другую форму, то движение жидкости нельзя будет определять по этому же расчету; в этом-то я и не могу согласиться с ним, ибо мне кажется, что единственное, что надо было заключить в данном случае, так это то, что частное предположение, что $\mu=0$ и $
u=0$ перестанет быть точным и следовательно, значения $\alpha, \beta, \gamma$ будут зависеть от общего решения уравнений $(\mathrm{k})$.

Правда, г. Д’Аламбер отмечает, что уравнения $\mu=0, v=0$ являются единственно точными уравнениями для определения законов движения жидкостей; он основывается на том, что скорости $\alpha, \beta, \gamma$ должны быть независимы от времени $t$ для частиц, которые текут вдоль стенок сосуда. Отсюда он заключает, что так должно быть в общем для всех частиц жидкости ; но это следствие, если я осмелюсь это сказать, совсем не кажется мне достаточно справедливым. Действительно, мне кажется, что очень легко можно вообразить функции $x, y, z$ такими, что переменная $t$ исчезает из их выражения только когда $x, y, z$ становятся $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и связаны уравнением
\[
d z^{\prime}=p d x^{\prime}+q d y^{\prime} .
\]

Вообще, мне кажется безусловным, что, решая уравнения (h), (i) методами, аналогичными тем, которые я объяснил в статье Recherches sur le Son [31],

напечатанной ранее, будем иметь решение, применимое ко всем возможным случаям, при помощи которого можно будет определить движение жидкостей, движущихся в сосуде какой-либо формы и получивших вначале любые импульсы.

Трудности могут встретиться только в тех случаях, когда жидкость разделится при движении и перестанет представлять собой сплошную массу; но тогда найдя при помощи вычислений (что всегда возможно) места, где жидкость должна разделиться на много частей, рассмотрим каждую часть отдельно и определим ее движение, считая ее изолированной массой.

В предыдущем параграфе мы заметили, что есть один случай, когда уравнения $\mu=0, v=0$ не являются обязательными для гипотезы, что скорости $\alpha, \beta, \gamma$ могут быть независимы от времени $t$. Г. Д’Аламбер также отметил это в п. X своего выше упомянутого Мемуара; но он находит при помощи своих формул, что случай, о котором идет речь, именно тот, где имеет место равенство
\[
\theta=a c^{t}
\]

вместо того, чтобы в соответствии с нашими формулами этот случай имел место, когда
\[
\theta=\frac{1}{a-b t} .
\]

А разница вытекает из маленькой ошибки, которая проскользнула в вычислениях Д’Аламбера, но, впрочем, не влияет на остальные его остроумные исследования.

Чтобы показать правильность нашего рассуждения, рассмотрим уравнения I. Д’Аламбера, которые он дает в п. I упомянутого Мемуара о тяжелых жидкостях, движущихся в плоскости. Эти уравнения следующие:
\[
\begin{aligned}
\frac{d p}{d z} & =\frac{d q}{d x}, \\
\frac{d(g-B \theta p-A \theta q-q T)}{d z} & =\frac{d\left(-\theta q A-\theta p B^{\prime}-p T\right)}{d x},
\end{aligned}
\]

где $g$ – тяжесть, $\theta$ – как и выше некоторая функция времени $t ; \theta q$ и $\theta p$ выражают скорости, названные нами $\alpha$ и $\gamma$, а величины $A, B, A^{\prime}, B^{\prime}, T$ таковы, что
\[
d(\theta q)=q T d t+\theta A d x+\theta B d z, \quad d(\theta p)=p T d t+\theta A^{\prime} d x+\theta B^{\prime} d z .
\]

Первое из этих уравнений вытекает из несжимаемости частиц жидкости и сводится, следовательно, к вышеприведенному уравнению (i), если приравнять в нем $\beta=0$. Что касается второго, то автор выводит его из того соображения, что горизонтальные и вертикальные силы, теряемые в каждый момент времени частицами жидкости, должны находиться в равновесии; эти силы, по его мнению, имеют вид:
\[
g-B \theta p-A \theta q-q T, \quad-\theta q A^{\prime}-\theta p B^{\prime}-p T,
\]

что дает по общим законам равновесия жидкостей уравнение, о котором мы говорим. Итак, я утверждаю, что в соответствии с гипотезами г. Д’Аламбера надо писать $\theta^{2}$ вместо $\theta$ в выражении заданных сил. Ибо легко видеть, что эти силы в общем равны
\[
g-\frac{d \alpha}{d t} ;-\frac{d \gamma}{d t},
\]

а именно,
\[
g-\frac{d(\theta q)}{d t},-\frac{d(\theta p)}{d t},
\]
T. e.
\[
g-q T-\frac{\theta A d x}{d t}-\frac{\theta B d z}{d t}, \quad-p T-\frac{\theta A^{\prime} d x}{d t}-\frac{\theta B^{\prime} d z}{d t} ;
\]

Ho
\[
d x=\alpha d t=\theta q d t, \quad d z=\gamma d t=\theta p d t ;
\]

следовательно, эти величины будут
\[
g-q T-\theta^{2} A q-\theta^{2} B p, \quad-p T-\theta^{2} A^{\prime} q-\theta^{2} B^{\prime} p .
\]

Таким образом, мы получим уравнение
\[
\frac{d\left(g-B \theta^{2} p-A \theta^{2} q-q T\right)}{d z}=\frac{d\left(-\theta^{2} q A^{\prime}-\theta^{2} p B^{\prime}-p T\right)}{d x}
\]

из которого время $t$ исчезает только тогда, когда $\theta^{2}$ пропорционально $T$, т. е.
\[
\frac{T d t}{\theta^{2}}=\frac{d \theta}{\theta^{2}}=\text { const },
\]

отсюда находим, как выше, что
\[
\theta=\frac{1}{a-b t},
\]

в то время как по уравнению г. Д’Аламбера
\[
\frac{T}{\theta}=\mathrm{const},
\]

что дает после интегрирования
\[
\theta=a c^{\prime},
\]

как это нашел автор.
XLIV. Следств и III. Если вместо рассмотрения скоростей $\alpha, \beta, \gamma$ мы захотим рассмотреть самые переменные $x, y, z$, то заметим, что эти переменные могут быть только функциями времени $t$ и значений, которые они имели в начале движения, когда $t=0$, значений, которые должны быть полностью произвольными, чтобы решение задачи было по возможности общим.

Обозначим эти значения через $X, Y, Z$, т. е. предположим, что переменные $x, y, z$, которые представляют положение каждой частицы жидкости после некоторого времени $t$; были в начале движения равны $X, Y, Z$; разности $x, y, z$ выразятся, в общем, следующим образом :
\[
\begin{array}{l}
\text { разн. } x=L d X+M d Y+N d Z+\alpha d t, \\
\text { paзн. } y=P d X+Q d Y+R d Z+\beta d t, \\
\text { разн. } z=S d X+T d Y+U d Z+\gamma d t,
\end{array}
\]

так, что

и
\[
d x=\alpha d t, d y=\beta d t, d z=\gamma d t,
\]
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} x=L d X+M d Y+N d Z, \\
\mathrm{~d} y=P d X+Q d Y+R d Z, \\
\mathrm{~d} z=S d X+T d Y+U d Z,
\end{array}
\]

Подставив в уравнения (g) и (b) $\alpha, \beta, \gamma$ вместо $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ и предположив: к тому же для упрощения расчетов, что $D$ постоянно и
\[
\frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \quad \frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x},
\]

найдем после деления двух уравнений (g) на $D d t$ и уравнения (b) на $d t$
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}}{\mathrm{~d} y}=\frac{\mathrm{d} \frac{d \beta}{d t}}{\mathrm{~d} x}, \quad \frac{\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}}{\mathrm{~d} z}=\frac{\mathrm{d} \frac{d \gamma}{d t}}{\mathrm{~d} x}, \\
\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z}=0 . \\
\end{array}
\]

Как известно, $\frac{\mathrm{d} \frac{d a}{d t}}{\mathrm{~d} y}$ выражает коэффициент, который имел бы $у$ в дифференциале $\frac{d \alpha}{d t}$, в предположении, что $\alpha$ была выражена как функция $x, y, z, t$; и аналогично в отношении других подобных выражений. Итак, поскольку величины $\alpha, \beta, \gamma$ являются согласно допущению функциями $X, Y, Z$, нужно будет заменить в $\alpha, \beta, \gamma$ переменные $X, Y, Z$ их значениями, выраженными через $x, y, z$, и затем дифференцировать, считая $x, y, z$ переменными или, что то же самое, дифференцировать сначала величины $\alpha, \beta, \gamma$, заставляя меняться $X, Y, Z$ и заменить затем $d X, d Y, d Z$ их значениями, выраженными. через $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$.

Из выражений $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$, приведенных выше, найдем по общим правилам Алгебры:
\[
\begin{array}{l}
d X=\frac{(Q U-R T) \mathrm{d} x+(N T-M U) \mathrm{d} y+(M R-N Q) \mathrm{d} z}{K}, \\
d Y=\frac{(R S-P U) \mathrm{d} x+(L U-N S) \mathrm{d} y+(N P-L R) \mathrm{d} z}{K}, \\
d Z=\frac{(P T-Q S) \mathrm{d} x+(M S-L T) \mathrm{d} y+(L Q-M P) \mathrm{d} z}{K}
\end{array}
\]
$K$ подставлено для краткости вместо $L Q U-M P U+M R S-N Q S+$ $+N P T-L R T$. Так как $\mathrm{d} \alpha$ есть разность $\alpha$, которая возникает из разностей $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$, или из разностей $d X, d Y, d Z$, то, следовательно, в общем получим
\[
\mathrm{d} \alpha=\frac{d \alpha}{d X} d X+\frac{d \alpha}{d Y} d Y+\frac{d \alpha}{d Z} d Z ;
\]

кроме того, в силу того, что разность $x$ есть полный дифференциал, будем иметь
\[
\frac{d \alpha}{d X}=\frac{d L}{d t}, \quad \frac{d a}{d Y}=\frac{d M}{d t},-\frac{d \alpha}{d Z}=\frac{d N}{d t} .
\]

Итак,
\[
\mathrm{d} a=\frac{d L}{d t} d X+\frac{d M}{d t} d Y+\frac{d N}{d t} d Z ;
\]

так же будет найдено
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \beta=\frac{d P}{d t} d X+\frac{d Q}{d t} d Y+\frac{d R}{d t} d Z, \\
\mathrm{~d} \gamma=-\frac{d S}{d t} d X+\frac{d T}{d t} d Y+\frac{d U}{d t} d Z .
\end{array}
\]

Подставляя вместо $d X, d Y, d Z$ значения, найденные раньше, получим
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d} \alpha & =\frac{(Q U-R T) \frac{d L}{d t}+(R S-P U) \frac{d M}{d t}+(P T-Q S) \frac{d N}{d t}}{K} \mathrm{~d} x+ \\
& +\frac{(N T-M U) \frac{d L}{d t}+(L U-N S) \frac{d M}{d t}+(M S-L T) \frac{d N}{d t}}{K} \mathrm{~d} y+ \\
& +\frac{(M R-N Q) \frac{d L}{d t}+(N P-L R) \frac{d M}{d t}+(L Q-M P) \frac{d N}{d t}}{K} \mathrm{~d} z \\
\mathrm{~d} \beta & =\frac{(Q U-R T) \frac{d P}{d t}+(R S-P U) \frac{d Q}{d t}+(P T-Q S) \frac{d R}{d t}}{K} \mathrm{~d} x+ \\
& +\frac{(N T-M U) \frac{d P}{d t}+(L U-N S) \frac{d Q}{d t}+(M S-L T) \frac{d R}{d t}}{K} \mathrm{~d} y+ \\
& +\frac{(M R-N Q) \frac{d P}{d t}+(N P-L R) \frac{d Q}{d t}+(L Q-M P) \frac{d R}{d t}}{K} \mathrm{~d} z \\
\mathrm{~d} \gamma & =\frac{(Q U-R T) \frac{d S}{d t}+(R S-P U) \frac{d T}{d t}+(P T-Q S) \frac{d U}{d t}}{K} \mathrm{~d} x+ \\
& +\frac{(N T-M U) \frac{d S}{d t}+(L U-N S) \frac{d T}{d t}+(M S-L T) \frac{d U}{d t}}{K} \mathrm{~d} y+ \\
& +\frac{(M R-N Q) \frac{d S}{d t}+(N P-L R) \frac{d T}{d t}+(L Q-M P) \frac{d U}{d t}}{K} \mathrm{~d} z
\end{aligned}
\]

Итак, взяв в выражении $\mathrm{d} \alpha$ коэффициент $\mathrm{d} x$, в выражении $\mathrm{d} \beta$ коэффициент $\mathrm{d} y$ и в выражении $\mathrm{d} \gamma$ коэффициент $\mathrm{d} z$, получим значения $-\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}, \frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z}$ и уравнение ( $\mathrm{m}$ ) примет вид
\[
\begin{array}{c}
(Q U-R T) \frac{d L}{d t}+(R S-P U) \frac{d M}{d t}+(P T-Q S) \frac{d N}{d t}+ \\
+(N T-M U) \frac{d P}{d t}+(L U-N S) \frac{d Q}{d t}+(M S-L T) \frac{d R}{d t}+ \\
+(M R-N Q) \frac{d S}{d t}+(N P-L R) \frac{d T}{d t}+(L Q-N P) \frac{d U}{d t}=0,
\end{array}
\]

или, что то же самое, $\frac{d K}{d t}=0$, откуда $K=$ const, т. е. $L Q U-M P U+$ $+M R S-N Q S+N P T-L R T=H$, где $H$ есгь функция $X, Y, Z$, не содержащая $t$, т. е. $H$ есть значение $K$ при $t=0$.

В отношении двух уравнений ( $l$ ) заметим, что $\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}$ есть то же самое, что $\frac{d \mathrm{~d} a}{d t}$, поэтому остается только продифференцировать значение $d a$,

найденное выше, по времени $t$; ‘тогда получим
\[
\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}=\frac{d^{2} L}{d t^{2}} d X+\frac{d^{2} M}{d t^{2}} d Y+\frac{d^{2} N}{d t^{2}} d Z ;
\]

аналогичным образом найдем
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \frac{d \beta}{d t}=\frac{d^{2} P}{d t^{2}} d X+\frac{d^{2} Q}{d t^{2}} d Y+\frac{d^{2} R}{d t^{2}} d Z, \\
\mathrm{~d} \frac{d \gamma}{d t}=\frac{d^{2} S}{d t^{2}} d X+\frac{d^{2} T}{d t^{2}} d Y+\frac{d^{2} U}{d t^{2}} d Z .
\end{array}
\]

Заменим также в этих выражениях (как это сделано выше в выражениях $d \alpha, d \beta, d \gamma$ ) значения $\mathrm{d} X, \mathrm{~d} Y, \mathrm{~d} Z$ на $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$, и, взяв коэффициенты при $\mathrm{d} y$ и $\mathrm{d} z$ дифференциала $\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}$ и коэффициенты $\mathrm{d} x$ в дифференциалах $\mathrm{d} \frac{d \beta}{d t}$ и $\mathrm{d} \frac{d \gamma}{d t}$, получим значения
\[
\frac{\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}}{\mathrm{~d} y}, \frac{\mathrm{d} \frac{d \alpha}{d t}}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{d} \frac{d \beta}{d t}}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} \frac{d \gamma}{d t}}{\mathrm{~d} x},
\]

которые, будучи подставлены вместо этих величин в уравнения ( $l$ ), дадут нам, если отбросить общий знаменатель $K$, два уравнения :
\[
\begin{aligned}
(N T-M U) \frac{d^{2} L}{d t^{2}}+ & (L U-N S) \frac{d^{2} M}{d t^{2}}+(M S-L T) \frac{d^{2} N}{d t^{2}}= \\
& =(Q U-R T) \frac{d^{2} P}{d t^{2}}+(R S-P U) \frac{d^{2} Q}{d t^{2}}+(P T-Q S) \frac{d^{2} R}{d t^{2}}, \\
(M R-N Q) \frac{d^{2} L}{d t^{2}}+ & (N P-L R) \frac{d^{2} M}{d t^{2}}+(L Q-M P) \frac{d^{2} N}{d t^{2}}= \\
& =(Q U-R T) \frac{d^{2} S}{d t^{2}}+(R S-P U) \frac{d^{2} T}{d t^{2}}+(P T-Q S) \frac{d^{2} U}{d t^{2}} .
\end{aligned}
\]

Если подставить в эти два уравнения, так же как в найденное ранее для $L, M, N, P, Q, R, S, T, U$ их значения $\frac{d x}{d X}, \frac{d x}{d Y}, \frac{d x}{d Z}, \frac{d y}{d X}, \frac{d y}{d Y}, \frac{d y}{d Z}, \frac{d z}{d X}$, $\frac{d z}{d Y}, \frac{d z}{d Z}$, то получим три общих уравнения, которые будут содержать только переменные $x, y, z$ с их производными по $X, Y, Z$ и $t$, с помощью которых можно будет определить положение каждой частицы жидкости в каждый момент ее движения.
XLV. С х олия. Уравнения
\[
\frac{\mathrm{d}(D I I)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d}(D I I)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x},
\]

приведенные нами в п. XLII для упрощения формул (h), имеют место, когда все силы $\Pi, \Omega, \Psi$ таковы, что их действия на частицы жидкости взаимно уничтожаются, т. е. частицы жидкости, подвергнутые действию этих сил, находятся в равновесии.

Действительно, если жидкость находится в покое, то скорости $\alpha, \beta, \gamma$ равны нулю, и уравнения (h) сводятся к только что приведенным.

Впрочем, чтобы иметь возможность использовать уравнения, о которых идет речь, нет необходимости в том, чтобы величины $D, \Pi, \Omega, \Psi$ были исключительно функциями $x, y, z$, как это можно было бы заключить из рассмотрения формы этих уравнений.

Предположим, например, что величины $D, \Pi, \Omega, \Psi$ заключают; кроме переменных $x, y, z$, еще четвертую переменную $s$, представленную какой-либо линией; тогда ясно, что, каковы бы ни были природа и положение этой линии, ее дифференциал $d s$ всегда можно выразить таким способом: $A \mathrm{~d} x+B \mathrm{~d} y+C \mathrm{~d} z$, а следовательно, полное значение выражения $\frac{\mathrm{d}(D I T)}{\mathrm{d} y}$, которое является не чем иным, как коэффициентом при dy в дифференциале $D П$, будет
\[
\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} y}+B \frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} s}
\]

так же найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} z}+C \frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} s}, \\
\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}+A \frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} s}, \\
\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}+A \frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} s},
\end{array}
\]

для полных значений выражений $\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} z}, \frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}$. Прй под становке этих значений в приведенные выше уравнения, они примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} y}+B \frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}+A \frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} s}, \\
\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} z}+C \frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}+A \frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} s} ;
\end{array}
\]

в этих уравнениях дифференциалы, зависяцие от каждой из переменных $x, y, z, s$, оказываются отделенными.

Я сделаю замечание относительно одного места замечательного «Трақтата о сопротивлении жидкостей» (п. 164).
Если плотность $D$ постоянна, то уравнения
\[
\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d}(D \Pi)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}
\]

при делении на $D$ переходят в следующие:
\[
\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d} I I}{\mathrm{~d} z}=\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x},
\]

которые содержат условия равновесия однородных жидкостей.
Предположим, что жидкость состоит из различных слоев, каждый из которых имеет свою плотность. Найдем уравнение ее движения. Пусть координаты каждого из слоев суть $x, y, z$, тогда согласно нашей гипотезе получим
\[
\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} y} \mathrm{~d} y+\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} z=0 .
\]

Уравнения
\[
\frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}(D \Omega)}{\mathrm{d} x}, \quad \frac{\mathrm{d}(D I)}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d}(D \Psi)}{\mathrm{d} x}
\]

дают
\[
\begin{array}{l}
\Pi \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} y}+D \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} y}=\Omega \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}+D \frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}, \\
I \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} z}+D \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} z}=\Psi \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}+D \frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x} ;
\end{array}
\]

подставляя в верхнее уравнение значения $\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} y}, \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} z}$, полученные из последующих уравнений, и перегруппировав члены, получим
\[
\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}\left(\mathrm{~d} x+\frac{\Omega}{\Pi} \mathrm{d} y+\frac{\Psi}{\Pi} \mathrm{d} z\right)+\frac{D}{\Pi}\left[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} y}\right) \mathrm{d} y+\left(\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} z}\right) \mathrm{d} z\right]=0,
\]

или, умножив на $\frac{\Pi}{D}$,
\[
\frac{1}{D} \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}(\Pi \mathrm{d} x+\Omega \mathrm{d} y+\Psi \mathrm{d} z)+\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} y}\right) \mathrm{d} y+\left(-\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x}-\frac{\mathrm{d} I I}{\mathrm{~d} z}\right) \mathrm{d} z=0 .
\]

Это уравнение представляет форму каждого слоя, имеющего плотность отличную от плотности других слоев.
Если мы имеем
\[
\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x},
\]
т. е. если силы $\Pi, \Omega, \Psi$ по своей природе таковы, что они могут держать в равновесии некоторую массу однородной жидкости, то предыдущее уравнение сведется к уравнению
\[
\frac{1}{D} \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}(\Pi \mathrm{d} x+\Omega \mathrm{d} y+\Psi \mathrm{d} z)=0 ，
\]

что дает
\[
\Pi \mathrm{d} x+\Omega \mathrm{d} y+\Psi \mathrm{d} z=0 .
\]

Это уравнение, как легко видеть, есть общее уравнение слоев уровней. Отсюда следует, что в этом случае каждый слой необходимо будет иметь на всем своем протяжении постоянную плотность.

Таков должен был быть порядок в различных частях земли, если бы она была первоначально жидкостью, ибо легко доказать путем вычислений, и г. Клеро показал в п. LIV своей «Theorie de la figure de la Terre» $\left[{ }^{32}\right]$, что силы $\Pi, \Omega, \Psi$, являющиеся результирующими всех притяжений, которые частицы оказывают друг на друга, сами по себе подчинены условиям :
\[
\frac{\mathrm{d} \Pi}{\mathrm{d} y}=-\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d} I I}{\mathrm{~d} z}=\frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} x} .
\]

Однако великий Геометр предположил, что не всегда необходимо, чтобы поверхности разных слоев представляли собой поверхности уровня и дал другой принцип для определения формы этих поверхностей*). Но уравнения, к которым приводит его принцип, в сущности те же самые, что и уравнения слоев уровней.

Чтобы доказать это в общем виде; возьмем сфероид, состоящий из слоев разных плотностей, радиус которого в общем случае равен $r+\alpha Z$, где $r$ – величина постоянная в одном и том же слое, $Z$ – некоторая функция $r$ и $z$ (переменного угла для всех точек каждого слоя) и, наконец, $\alpha$ обозначает малую постоянную величину. Пусть полное притяжение, оказываемое сфероидом на каждую частицу какого-либо слоя, будет сведено к двум силам: одной-вертикальной, т. е. перпендикулярной к слою, которая без ощутимой ошибки может быть предположена равной силе тяжести, направленной к центру сфероида, и другой – горизонтальной, т. е. ориентированной в направлении самого слоя, который приблизительно перпендикулярен к

радиусу. Обозначим первую силу $\Pi$, а вторую $\Omega$. По принципу знаменитого Автора, о котором мы только что говорили, надо будет горизонтальную силу $\Omega$ умножить на $\Delta r d z$, где $\Delta$ – плотность жидкости, которую мы предполагаем функцией только $r$, затем продифференцировать ее по $r$; вертикальную силу $\Pi$ надо умножить на $\Delta\left(d r+\alpha \frac{d Z}{d r} d r\right)$ и затем продифференцировать полученное выражение по $z$, после чего, приравняв полученные дифференциалы, получим уравнение
\[
\frac{d \Delta r \Omega}{d r} d r d z=\frac{d\left(\Delta I+\Delta \alpha \Pi \frac{d Z}{d r}\right)}{d z} d z d r,
\]

или
\[
\frac{d \Delta}{d r} r \Omega+\frac{d r \Omega}{d r} \Delta=\frac{d\left(I+a I I \frac{d Z}{d r}\right)}{d z} \Delta .
\]

Проделав вычисления, найдем, что величины $I, \Omega, Z$ всегда будут таковы, что
\[
\frac{d\left(\Pi+\alpha I I \frac{d Z}{d r}\right)}{d z}=\frac{d r \Omega}{d r} .
\]

В итоге останется только уравнение
\[
\frac{d \Delta}{d r} r \Omega=0,
\]

которое дает $\Omega=0$, т. е. горизонтальная сила равна нулю, и следовательно, каждый слой будет слоем уровня.
XLVI. Следствие IV. Tеперь я беру уравнение (f). Природа членов, из которых состоит это уравнение, свидетельствует о том, что оно относится исключительно к нижней поверхности жидкости. Однако если предположить, что совсем нет стенок, поддерживающих жидкость, то значения $\delta^{\prime} x, \delta^{\prime} y$ и $\delta^{\prime} z$ будут совершенно произвольными, и уравнение (f) можно будет проверить, только положив в общем $T=0$, или приравняв нулю полное значение интеграла $S \mathrm{~d} x D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)$.

Пусть уравнения (е) будут отнесены к нижней поверхности жидкости; подставим ‘ $x$, ‘ $y$, ‘ $z$ вместо $x, y, z$ и предположим интеграл $\boldsymbol{S} \mathrm{d} x D\left(d \frac{d x}{d t}+I I d t\right)$ равным нулю, что приведет к $U=T$, тогда получим
\[
\frac{\mathrm{d}(T d t)}{\mathrm{d}^{\prime} y}={ }^{\prime} D\left(d \frac{d^{\prime} y}{d t}+’ I I d t\right), \frac{\mathrm{d}(T d t)}{\mathrm{d}^{\prime} z}={ }^{\prime} D\left(d \frac{d^{\prime} z}{d t}+{ }^{\prime} \Psi d t\right),
\]

и
\[
\begin{aligned}
\mathrm{d} T= & \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d}^{\prime} x} \mathrm{~d}^{\prime} x+\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d}^{\prime} y} \mathrm{~d}^{\prime} y+\frac{\mathrm{d} T}{d^{\prime} z} \mathrm{~d}^{\prime} z= \\
& ={ }^{\prime} D\left[\left(d \frac{d^{\prime} x}{d t}+{ }^{\prime} I I d t\right) \mathrm{d}^{\prime} x+\left(d \frac{d^{\prime} y}{d t}+{ }^{\prime} \Omega d t\right) \mathrm{d}^{\prime} y+\left(d \frac{d^{\prime} z}{d t}+{ }^{\prime} \Psi d t\right) \mathrm{d}^{\prime} z\right] .
\end{aligned}
\]

Это – значение дифференциала $T$, взятое на поверхности, о которой мы говорили: итак, раз величина $T$ обычно равна нулю, то ее дифференциал также будет равен нулю, и следовательно, получим уравнение

которое будет таким, какое должна иметь внешняя поверхность жидкости.

Подобное уравнение может быть найдено для верхней поверхности жидкости; ибо, обозначив через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ координаты этой поверхности и через $U^{\prime}$ – значение $U$, когда $x, y$, $z$ становятся равными $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, будем иметь в общем случае, как это уже было замечено в п. XL, $U^{\prime}=0$.
Следовательно, также
\[
\mathrm{d} U^{\prime}=\frac{\mathrm{d} U^{\prime}}{\mathrm{d} x^{\prime}} \mathrm{d} x^{\prime}+\frac{\mathrm{d} U^{\prime}}{\mathrm{d} y^{\prime}} \mathrm{d} y^{\prime}+\frac{\mathrm{d} U^{\prime}}{\mathrm{d} z^{\prime}} \mathrm{d} z^{\prime}=0,
\]

или
\[
\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} x} \mathrm{~d} x=-D \mathrm{~d} x\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)
\]

и
\[
\frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} y}=-D\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right), \quad \frac{\mathrm{d}(U d t)}{\mathrm{d} z}=-D\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) ;
\]

тогда
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} U^{\prime}=-\frac{D^{\prime}}{d t}\left[\left(d \frac{d x^{\prime}}{d t}+\Pi^{\prime} d t\right) \mathrm{d} x^{\prime}+\left(d \frac{d y^{\prime}}{d t}+\Omega^{\prime} d t\right) \mathrm{d} y^{\prime}+\right. \\
\left.+\left(d \frac{d z^{\prime}}{d t}+\Psi^{\prime} d t\right) \mathrm{d} z^{\prime}\right]=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, в общем, когда жидкость свободна со всех сторон, ее внешняя поверхность должна быть определена уравнением
\[
\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \mathrm{d} x+\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right) \mathrm{d} y+\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) \mathrm{d} z=0 .
\]

Предположим теперь, что жидкость поддерживается неподвижными стенками какой-либо формы, уравнение которых
\[
\mathrm{d} z=m \mathrm{~d} x+n \mathrm{~d} y .
\]

Если рассмотреть три выражения интегралов в уравнении (f), то видно, что каждое содержит две интеграции: первое – по $y$ и $z$, второе – по $x$ и $z$ и третье – по $x$ и $y$. Раз отношение трех переменных $x, y, z$ задано уравнением $\mathrm{d} z=m \mathrm{~d} x+n \mathrm{~d} y$, то эти различные интегралы могут быть все сведены к одному виду, т. е. могут быть взяты только по двум переменным $x$ и $y$. Для этого надо только в первое уравнение подставить вместо $d z$ его значение, выраженное через $x, m \mathrm{~d} x$, а во второе – его значение, выраженное через $y, n \mathrm{~d} y$, после чего уравнение (f) примет вид
\[
S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(m \delta x+n \delta y+\delta z) T d t=0 .
\]

Но раз
\[
\mathrm{d} z=m \mathrm{~d} x+n \mathrm{~d} y,
\]

то мы должны иметь также
\[
\delta z=m \delta x+n \delta y ;
\]

тогда уравнение будет тождеством и не даст никакого условия. Итак, все сведется к тому, чтобы общие уравнения (b) и (е) удовлетворяли, после их интегрирования, заданному уравнению
\[
\mathrm{d} z=m \mathrm{~d} x+\boldsymbol{n} \mathrm{d} y .
\]

XLVII. Примечание. Я не распространяюсь на эту тему, чтобы не перейти границ, которые я поставил себе в настоящем Мемуаре. Впрочем, по формулам и методам, данным вэтой задаче и в предыдущих, можно будет найти решение еще многих вопросов, касающихся жидкостей, как, например, найти движение жидкости, заключенной в подвижном сосуде; колебания тела, плавающего в жидкости; сопротивление жидкости, оказываемое телу, которое в ней движется, и другие задачи такого же рода.
XLVIII. Задача X. Найти законы движения упругих жидкостей.

Решение. Согласно нашему общему принципу нужно, чтобы величина $S^{3} d m \int u d s$ была максимумом или минимумом; итак, рассуждая так же, как в задаче VI, найдем уравнение
\[
\int S^{3} d m\left(u \delta u d t-d \frac{d x}{d t} \delta x-d \frac{d y}{d t} \delta y-d \frac{d z}{d t} \delta z\right)=0 .
\]

Но если никакая сила не действует между частицами $d m$, то мы получим в соответствии с формулой (X) той же задачи
\[
S^{3} d m u \delta u d t=S^{3} d m(\Pi t t \delta x+\Omega d t \delta y+\Psi d t \delta z) .
\]

Однако если предположить жидкость упругой, надо рассматривать каждую частицу как пружину, которая действиет со всех сторон на соседние частицы. Обозначив через $F$ силу пружины и через $f$ – длину, на которую она стремится растянуться, найдем, применив здесь формулу (U) п. VIII
\[
S^{3} d m u \delta u=-S^{3} d m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)-S^{3} F \delta f,
\]

или, подставив $\Pi \delta x+\Omega \delta y+\Psi \delta z$ вместо $P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots$, и взяв $F$ отрицательным, потому что здесь эта сила стремится удалить частицы, найдем
\[
S^{3} d m u \delta u=-S^{3} d m(\Pi \delta x+\Omega \delta y+\Psi \delta z)+S^{3} F \delta f .
\]

Подставляя это значение в последнее уравнение и заменив $d m$ его значением $D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, получим
\[
\begin{array}{l}
-\int S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z D\left[\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \delta x+\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right) \delta y+\right. \\
\left.+\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) \delta z\right]+\int S^{3} F \delta f d t=0 .
\end{array}
\]

Так как действие пружины $F$ состоит в увеличении объема каждой частицы $d m$, то ясно, что этот объем следует считать значением растяжения $t$, т. е. $f=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, следовательно, переставив знаки $\delta$ и $\mathrm{d}$, получим
\[
\delta f=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z \delta \mathrm{d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} z \delta \mathrm{d} y+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \delta \mathrm{d} z=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta y+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} \delta z ;
\]

и далее
\[
\begin{aligned}
S^{3} F \delta f & =S^{3}(F \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta x+F \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \delta y+F \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} \delta z)= \\
& =S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left(\frac{F}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta x+\frac{F}{\mathrm{~d} y} \mathrm{~d} \delta y+\frac{F}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} \delta z\right) .
\end{aligned}
\]

Это уравнение можно записать в таком виде:
\[
\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} x} \frac{F}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} \delta x+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} y} \frac{F}{\mathrm{~d} y} \mathrm{~d} \delta y+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \boldsymbol{S}_{\mathrm{d} z} \frac{F}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} \delta z .
\]

Выражение $S \mathrm{~d} x \frac{F}{\mathrm{dx}} \mathrm{d} \delta x$ сводится после интегрирования по частям к виду:
\[
F \delta x-\boldsymbol{S} \mathrm{d} \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \delta x
\]
(я пишу $\mathrm{d} x \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x}$ вместо $\mathrm{d} F$, чтобы показать, что этот дифференциал должен быть взят только по $x$ ) и
\[
F^{\prime} \delta x^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} x-S \mathrm{~d} x \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \delta x
\]

дополняя интеграл согласно замечанию, сделанному нами в конце п. I предыдущего Мемуара $\left[{ }^{28}\right]$. Заменим таюже
\[
S \mathrm{~d} y \frac{F}{\mathrm{~d} y} \mathrm{~d} \delta y \quad \text { на } \quad F^{\prime} \delta y^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} y-S \mathrm{~d} y \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} \delta y,
\]
n
\[
S \mathrm{~d} z \frac{F}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} \delta z \quad \text { на } \quad F^{\prime} \delta z^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} z-S \mathrm{~d} z \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} \delta z .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
S^{3} F \delta f=S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left(F^{\prime} \delta x^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} x\right)+S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z\left(F^{\prime} \delta y^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} y\right)+ \\
+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\left(F^{\prime} \delta z^{\prime}-{ }^{\prime} F \delta^{\prime} z\right)-S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z S \mathrm{~d} x \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \delta x- \\
-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z \boldsymbol{S} \mathrm{d} y \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} \delta y-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \boldsymbol{S} \mathrm{d} z \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} \delta z= \\
=S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta x^{\prime}+S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta y^{\prime}+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y F^{\prime} \delta z^{\prime}- \\
-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} x-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} y-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y^{\prime} F \delta^{\prime} z- \\
-S^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left(\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \delta x+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} \delta y+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} \delta z\right) ; \\
\end{array}
\]

следовательно, заменив в уравнении (n) $S^{3} F$ только что найденным выражением, мы, наконец, получим
\[
\begin{array}{c}
\int\left[S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta x^{\prime}+S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta y^{\prime}+S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y F^{\prime} \delta z^{\prime}-S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} x-\right. \\
\left.-S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} y-S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y^{\prime} F \delta^{\prime} z\right] d t-\int S^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\left[\left(D d \frac{d x}{d t}+\right.\right. \\
\left.+D \Pi d t+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} d t\right) \delta x+\left(D d \frac{d y}{d t}+D \Omega d t+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} d t\right) \delta y+ \\
\left.+\left(D d \frac{d z}{d t}+D \Psi d t+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} d t\right) \delta z\right]=0,
\end{array}
\]

уравнение, приведенное к виду, требуемому нашим методом. Предположив, что коэффициенты при каждой из разностей $\delta x, \delta y, \delta z$ равны нулю, получим.
\[
\left.\begin{array}{l}
D\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right)+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} d t=0, \\
D\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right)+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} d t=0 \\
D\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right)+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} d t=0
\end{array}\right\}
\]

и оставшаяся часть уравнения даст
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta x^{\prime} & +\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta y^{\prime}+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y F^{\prime} \delta z^{\prime}- \\
& -\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} x-\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} y-\mathbf{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y^{\prime} F \delta^{\prime} z=0 .
\end{aligned}
\]
XLIX. [33]. Следствие I. Три уравнения (р) содержат основные законы движения упругих жидкостей. Чтобы применить эти уравнения, предположим, как в п. XLII, что
\[
\frac{d x}{d t}=\alpha, \frac{d y}{d t}=\beta, \quad \frac{d z}{d t}=\gamma ;
\]

подставим вместо $d \alpha, d \beta, d \gamma$ их значения, найденные в том же параграфе. Обозначив для простоты все разности через $d$, найдем после деления на $D d t$ три уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \alpha}{d t}+\alpha \frac{d \alpha}{d x}+\beta \frac{d \alpha}{d y}+\gamma \frac{d \alpha}{d z}+\Pi=-\frac{1}{D} \frac{d F}{d x}, \\
\frac{d \beta}{d t}+\alpha \frac{d \beta}{d x}+\beta \frac{d \beta}{d y}+\gamma \frac{d \beta}{d z}+\Omega=-\frac{1}{D} \frac{d F}{d y}, \\
\frac{d \gamma}{d t}+\alpha \frac{d \gamma}{d x}+\beta \frac{d \gamma}{d y}+\gamma \frac{d \gamma}{d z}+\Psi=-\frac{1}{D}-\frac{d F}{d z},
\end{array}\right\}
\]

в которых останется только заменить $F$ и $D$ их значениями, выраженными с помощью $x, y, z, t$.

Эти значения будут найдены следующим способом: $F$ выражает силу упругости каждой частички жидкости, которая обычно пропорциональна плотности; предположим, следовательно, для общности, что эта сила будет какой-либо функцией этой плотности, так что $d F=E d D$; получим
\[
\frac{d F}{d x}=E \frac{d D}{d x}, \frac{d F}{d y}=E \frac{d D}{d y}, \quad \frac{d F}{d z}=E \frac{d D}{d z} .
\]

Затем, чтобы найти $D$, заметим, что масса $d m$ каждой частички жидкости равна $D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ и что эта масса остается всегда постоянной, какое бы движение не получала жидкость; следовательно, ее дифференциал при переменном $t$ должен быть равен нулю, что дает
\[
\frac{d(D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z)}{d t}=0 ，
\]

а именно:
\[
\frac{d D}{d t} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{d \mathrm{~d} x}{d t} D \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{d \mathrm{~d} y}{d t} D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{d \mathrm{~d} z}{d t} D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0,
\]

или
\[
\frac{\frac{d D}{d t}}{D}+\frac{\frac{d \mathrm{~d} x}{d t}}{\mathrm{~d} x}+\frac{\frac{d \mathrm{~d} y}{d t}}{\mathrm{~d} y}+\frac{\frac{d \mathrm{~d} z}{d t}}{\mathrm{~d} z}=0 .
\]

Ho
\[
\frac{d \mathrm{~d} x}{d t}=\mathrm{d} \frac{d x}{d t}=\mathrm{d} \alpha \text {; }
\]

следовательно,
\[
\frac{\frac{d \mathrm{~d} x}{d t}}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x} ;
\]

так же найдем
\[
\frac{\frac{d \mathrm{~d} y}{d t}}{\mathrm{~d} y}=\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}, \quad \text { и } \frac{\frac{d \mathrm{~d} z}{d t}}{\mathrm{~d} z}=\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z} ;
\]

кроме того, $\frac{d D}{d t} d t$ выражает изменение $D$ в момент времени $d t$. Итак, если предположить, что $D$ представлено какой-либо функцией от $x, y, z, t$, найдем полное значение $\frac{d D}{d t} d t$ в виде
\[
\frac{d D}{d t} d t+\frac{d D}{d x} \alpha d t+\frac{d D}{d y} \beta d t+\frac{d D}{d z} \gamma d t
\]

подставим эти значения в верхнее уравнение, заменив буквы $\mathrm{d}$ на $d$ и, умножив все на $D$. Получим
\[
\frac{d D}{d t}+\alpha \frac{d D}{d x}+\beta \frac{d D}{d y}+\gamma \frac{d D}{d z}+D\left(\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}+\frac{d \gamma}{d z}\right)=0,
\]

или
\[
\frac{d D}{d t}+\frac{d(D \alpha)}{d x}+\frac{d(D \beta)}{d y}+\frac{d(D \gamma)}{d z}=0
\]
– уравнение, из которого мы узнаем $D$ и, следовательно, $F$.
L. Сл ед ств и е II. Пусть, согласно нашей обычной гипотезе, $F=D$, а следовательно, $E=1$, и пусть уравнения (r) будут записаны в таком виде:
\[
L=-\frac{1}{D} \frac{d F}{d x}, \quad M=-\frac{1}{D} \frac{d F}{d y}, \quad N=-\frac{1}{D} \frac{d F}{d z} ;
\]

тогда
\[
L=-\frac{1}{D} \frac{d D}{d x}, \quad M=-\frac{1}{D} \frac{d D}{d y}, \quad N=-\frac{1}{D} \frac{d D}{d z} .
\]

Предположим еще, что
\[
\frac{d \alpha}{d x}+\frac{d \beta}{d y}+\frac{d \gamma}{d z}=U
\]

тогда получим (см. предыдущий параграф) уравнение
\[
\frac{d D}{d t}+\alpha \frac{d D}{d x}+\beta \frac{d D}{d y}+\gamma \frac{d D}{d z}+D U=0 .
\]

Отсюда, исключив величины $\frac{d D}{d x}, \frac{d D}{d y}, \frac{d D}{d z}$ с помощью предыдущих уравнений, разделив на $D$ и переместив члены, получим
\[
\frac{\frac{d D}{d t}}{D}=\frac{d \lg D}{d t}=\alpha L+\beta M+\gamma N-U,
\]

или, для краткости
\[
\frac{d \lg D}{d t}=T .
\]

Итак, приведенные выше формулы сведутся к следующим выражениям:
\[
L=-\frac{d \lg D}{d x}, \quad M=-\frac{d \lg D}{d y}, \quad N=-\frac{d \lg D}{d z} ;
\]

стало быть, сравнивая эти уравнения с только что найденным, мы получим уравнения
\[
\frac{d L}{d t}=-\frac{d T}{d x}, \quad \frac{d M}{d t}=-\frac{d T}{d y}, \quad \frac{d N}{d t}=-\frac{d T}{d z},
\]

в которых буквы $D$ больше нет. Мы найдем еще, комбинируя предыдущие уравнения,
\[
\frac{d L}{d y}=\frac{d M}{d x}, \quad \frac{d L}{d z}=\frac{d N}{d x},
\]

два уравнения таких же, как уравнения (k) в п. XLII. Итак, мы получили пять уравнений, все освобожденные от буквы $D$, из которых для решения задачи будет достаточно трех, выбранных произвольно.

Если предположить, что движение жидкости дошло до какого-нибудь постоянного состояния, то $\frac{d D}{d t}=0$, и, следовательно, $T=0$.
LI. Следств и III. Можно также еще представить дввижение жидкости с помощью переменных $X, Y, Z, t$, как в п. XLIV. Для этого найдем сначала значение $D$ по способу уравнения (s), которое после введения букв $\alpha, \beta, \gamma$ примет вид:
\[
\frac{\frac{d D}{d t}}{D}+\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z}=0 .
\]

По формуле указанного параграфа находим
\[
\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} \beta}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} z}=\frac{\frac{d K}{d t}}{K} ;
\]

следовательно,
\[
\frac{\frac{d D}{d t}}{D}+\frac{\frac{d K}{d t}}{K}=0
\]

откуда находим
\[
\lg D+\lg K=\text { const , }
\]
т. е.
\[
D K=h \quad \text { и } \quad D^{*}=\frac{h}{K} .
\]

Чтобы определить константу $K$, заметим, что в начале движения
\[
d x=d X, \quad d y=d Y, \quad d z=d Z ;
\]

следовательно,
\[
L=1, M=0, N=0, P=0, Q=1, R=0, S=0, T=0, U=1,
\]

что дает $K=1$, откуда следует, что $h$ должно быть равно плотности $D$; которую жидкость имеет в первый момент движения.

Найдя выражение $D$, остается только заменить его в уравнениях (p), а так как $D$ является функцией $X, Y, Z, t$, то его дифференциал, если положить $t$ постоянной, будет выражен так:
\[
E d X+F d Y+G d Z .
\]

Итак, для получения значений $\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} y}, \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} z}$, надо будет еще подставить вместо $d X, d Y, d Z$ их выражения через $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$, найденные в п. XLIV, что, положив
\[
\begin{array}{l}
E(Q U-R T)+F(R S-P U)+G(P T-Q S)=A, \\
E(N T-M U)+F(L U-N S)+G(M S-L T)=B, \\
E(M R-N Q)+F(N P-L R)+G(L Q-M P)=C,
\end{array}
\]

даст
\[
\mathrm{d} D=\frac{A \mathrm{~d} x+B \mathrm{~d} y+C \mathrm{~d} z}{K},
\]

откуда
\[
\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} x}=\frac{A}{K}, \quad \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} y}=\frac{B}{K}, \quad \frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{~d} z}=\frac{C}{K},
\]

и, следовательно, согласно гипотезе п. XLIX,
\[
\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x}=\frac{E A}{K}, \quad \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y}=\frac{E B}{K}, \quad \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z}=\frac{E C}{K} .
\]

Подставим эти значения в уравнение (p) и получим, разделив на $D$, которое равно $\frac{h}{K}$,
\[
\begin{array}{l}
d \frac{d x}{d t}+\Pi d t+\frac{E A}{b} d t=0, \\
d \frac{d y}{d t}+\Omega d t+\frac{E B}{b} d t=0, \\
d \frac{d z}{d t}+\Psi d t+\frac{E C}{b} d t=0 .
\end{array}
\]

Если предположить в этих уравнениях
\[
\Pi=0, \quad \Omega=0, \Psi=0, \quad \frac{E}{b}=2 g,
\]

то они оказываются такими же, какие г.Эйлер нашел другим путем (Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique, Miscellanea Taurinensia, т. II, стр. 6).
LII. Примечание. В отношении уравнения (q), которое осталось еще рассмотреть, мы докажем рассуждением, подобным рассуждениюв п. XLVI, что если жидкость опирается на три неподвижные стенки, то три члена
\[
\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} x+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z^{\prime} F \delta^{\prime} y+\boldsymbol{S}^{2} d x d y^{\prime} F \delta^{\prime} z
\]

всегда равны нулю так же, как и три других:
\[
S^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta x^{\prime}+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z F^{\prime} \delta y^{\prime}+\boldsymbol{S}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y F^{\prime} \delta z^{\prime} .
\]

Но если предположить жидкость свободной со всех сторон или только с какой-нибудь одной стороны, тогда величина $F$ должна стать равной нулю на внешней поверхности жидкости в тех местах, где она свободна; мы будем иметь для этой поверхности уравнение $\mathrm{d} F=0$, т. е.
\[
\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y} \mathrm{~d} y+\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z} \mathrm{~d} z=0,
\]

или, подставляя вместо $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} y}, \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{~d} z}$ их значения, взятые из уравнений (p), получим
\[
\left(d \frac{d x}{d t}+\Pi d t\right) \mathrm{d} x+\left(d \frac{d y}{d t}+\Omega d t\right) \mathrm{d} y+\left(d \frac{d z}{d t}+\Psi d t\right) \mathrm{d} z=0,
\]

точно так, как это было найдено в цитированном параграфе для неупругих жидкостей.