4. Если мы возьмем вариацию определенного интеграла
\[
\mathcal{S}=\int_{0}^{t}\left(\beth \bar{\omega} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}}-H\right) d t
\]

не варьируя $t$ или $d t$, то при помощи вариационного исчисления найдем
\[
\delta S=\int_{0}^{t} \delta S^{\prime} \cdot d t
\]

где
\[
S^{\prime}=\Sigma^{\prime} \bar{\omega} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}}-H,
\]

и, следовательно [99],
\[
\delta S^{\prime}=
u\left(\omega \delta \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}}-\frac{\delta H}{\delta \eta} \delta \eta\right),
\]
т. е. с помощью уравнений движения (A) получим
\[
\delta S^{\prime}=\Sigma\left(\bar{\omega} \delta \frac{\delta \eta}{d t}+\frac{\delta \bar{\omega}}{d t} \delta \eta\right)=\frac{d}{d t} \mathcal{Y}^{\prime} \cdot \bar{\omega} \delta \eta .
\]

Вариация интеграла $S$ имеет вид:
\[
\delta S=\mathcal{Z}^{\prime}(\omega \delta \eta-p \delta e),
\]
$p$ и $е$ по-прежнему являются начальными значениями. Когда $S$ рассматривается как функция $6 n$ величин $\eta_{i}$, $e_{i}$ (включающая также время), она разлагается на следующие $6 n$ выражений :
\[
\left.\begin{array}{c}
\bar{\omega}_{1}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{1}} ; \quad p_{1}=-\frac{\delta S}{\delta e_{1}} ; \\
\bar{\omega}_{2}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{2}} ; \quad p_{2}=-\frac{\delta S}{\delta e_{2}} ; \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\bar{\omega}_{3 n}=\frac{\delta S}{\delta \eta_{3 n}} ; \quad p_{3 n}=-\frac{\delta S}{\delta e_{3 n}},
\end{array}\right\}
\]

которые, очевидно, являются формами искомых интегралов $6 n$ дифференциальных уравнений движения (А), содержащими только одну неизвестную функцию $\mathcal{S}$. Таким образом, трудности решения задач математической динамики сводятся к отысканию и изучению этой одной функции $S$, которая поэтому может быть названа главной функцией движения системы.
Эта функция $S$ была введена в первой работе в виде
\[
S=\int_{0}^{t}(T+U) d t
\]

причем символы $T$ и $U$ имели в этой форме свои обычные значения. Следует отметить, что когда $S$ выражается этим определенным интегралом, условия для исчезновения его вариации (если заданы начальные и конечные координаты и время) в точности представляют собой дифференциальные уравнения движения (3) в форме, данной Лагранжем. Поэтому вариация этого определенного интеграла $S$ обладает тем двойным свойством, что она дает дифференциальные уравнения движения для любых преобразованных координат, когда крайние положения рассматриваются как закрепленные, а также дает интегралы этих дифференциальных уравнений, когда крайние положения рассматриваются кақ переменные [1.0].
5. Хотя функция $S$, по-видимому, заслуживает названия главной функции, данного ей здесь, так как она служит для того, чтобы как будто самым простым образом выразить интегралы уравнений движения и самые дифференциальные уравнения, тем не менее анализ приводит к другим функциям, которые также могут быть использованы для выражения интегралов этих уравнений. Так, если мы напишем
\[
Q=\int_{0}^{t}\left(-\Sigma \eta \frac{\delta H}{\delta \eta}+H\right) d t
\]

и возьмем вариацию этого интеграла $Q$, не варьируя $t$ или $d t$, то при помощи процесса, аналогичного рассмотренному, найдем
\[
\delta Q=\Sigma(\eta \delta \bar{\omega}-e \delta p),
\]

так что если мы будем рассматривать $Q$ как функцию $6 n$ величин $\tilde{\omega}_{i}, p_{i}$ и времени, то получим $6 n$ выражений
\[
\eta_{i}=+\frac{\delta Q}{\delta \bar{\omega}_{i}}, \quad e_{i}=-\frac{\delta Q}{\delta p_{i}},
\]

которые представляют собой другие формы интегралов уравнений движения (A), включающие $Q$ вместо $S$. Мы можем воспользоваться также интегралом
\[
V=\int_{0}^{t} \mathbf{y} \cdot \bar{\omega} \frac{\delta H}{\delta \bar{\omega}} d t=\Sigma \int_{e}^{\eta} \bar{\omega} d \eta,
\]

который в предыдущей работе был назван характеристической функцией. Вариация его, если рассматривать этот интеграл как функцию $6 n+1$ величин $\eta_{i}, e_{i}, H$, будет
\[
\delta V=
u^{\prime}(\bar{\omega} \delta \eta-p \delta e)+t \delta H .
\]

Все эти функции $S, Q, V$ связаны таким образом, что ффрмы и свойства любой из них могут быть выведены из форм и свойств другой [101].