По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание : Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести $\kappa$ интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отношениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам.
$1^{\circ}$. Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными; два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам.
$2^{\circ}$. Рассмотрим движение точки, притягиваемой по закону Ньютона к двум неподвижным центрам. Если начальная скорость находится в пло-

скости, проходящей через движущуюся точку и оба центра притяжения, то опять приходится интегрировать три дифференциальных уравнения первого порядка между четырьмя переменными. Один интеграл этих уравнений дает принцип живых сил. Эйлер нашел второй интеграл, и таким образом ему удалось свести задачу к одному дифференциальному уравнению первого порядка между двумя переменными. Но это уравнение настолько сложно, что всякий другой, кроме этого неустрашимого математика, отступил бы перед мыслью предпринять интегрирование этого уравнения и привести его к квадратурам. В то же время на основании моего нового принципа это приведение могло бы быть осуществлено путем применения общего правила, без блуждания ощупью и безо всякого напряжения ума.
$3^{\circ}$. Рассмотрим еще знаменитую задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки при отсутствии каких-либо сил. В этой задаче приходится интегрировать пять дифференциальных уравнений первого порядка между шестью переменными. Принцип живых сил дает здесь один интеграл, три других получаются из принципа площадей, пятый интеграл непосредственно выводится из моего принципа. Таким образом, все интегралы в этой трудной задаче получаются только лишь из общих принципов механики, без того чтобы понадобилось писать хотя бы одну формулу или производить замену переменных.

Этих примеров, как мне кажется, достаточно, чтобы согласиться трактовать эту новую теорему как один из общих принципов динамики. Теперь я постараюсь изложить самое правило, при помощи которого последнее интегрирование, которое приходится выполнять при решении задач механики, оказывается приведенным к квадратурам, причем силы по-прежнему являются функциями одних только координат.

Возьмем сначала какую-либо систему совершенно свободных материальных точек. Пусть $t^{\prime}=\mathrm{const}-$ первый интеграл уравнений движения, где $f^{\prime}$ есть функция координат движущихся точек и производных по времени первого порядка от этих координат. С помощью уравнения
\[
f^{\prime}=\text { const }
\]

я исключаю какую-либо одну из переменных и обозначаю через $p^{\prime}$ частную производную от $f^{\prime}$ по этой переменной. Пусть будет $f^{\prime \prime}=$ const – другой интеграл. Посредством этого уравнения я исключаю вторую переменную и обозначаю через $p^{\prime \prime}$ частную производную от $p^{\prime \prime}$ по этой переменной. Предположим, что известны все интегралы задачи, кроме одного, и что для каждого интеграла $f=$ const мы находим соответствующую величину $p$, т. е. частную производную от $f$ по той переменной, которая исключается с помощью данного интеграла. Так как число переменных превышает на единицу число интегралов, то если исключить посредством каждого из интегралов одну переменную, все переменные окажутся выраженными через две из них. Назовем эти две переменные $x$ и $y$, и пусть $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – их первые производные по времени ; выразим через $x$ и $y$ величины $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$, так же как и все величины $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$ Так как $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – первые производные от $x$ и $y$ по времени, то имеет место уравнение
\[
y^{\prime} d x-x^{\prime} d y=0,
\]

где $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – известные функции двух переменных $x$ и $y$. Именно это дифференциальное уравнение, последнее из всех, и нужно интегрировать, чтобы иметь полное решение задачи. Я доказываю, что, деля это уравнение на произведение величин $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, мы обращаем левую часть этого уравнения в полный дифференциал, что вообще приводит интегрирование этого уравнения к квадратурам.

В случае произвольной системы материальных точек простота предыдущей теоремы нисколько не нарушается при условии, что дифференциальным уравнениям динамики дадут ту замечательную форму, в которой их впервые представил Гамильтон и которую отныне следует предпочесть во всех общих исследованиях, относящихя к аналитической механике. Правда, формулы Гамильтона относятся исключительно к случаям, когда составляющие сил являются частными производными одной и той же функции координат ; однако было нетрудно внести изменения, необходимые для того, чтобы сделать эти формулы применимыми в общем случае, когда силы выражаются любыми функциями координат.

Когда время входит явно в аналитические выражения сил и в уравнения связей, наложенных на систему, принцип последнего множителя, выведенный из общего правила, приложим также и к этому классу динамических задач. Есть даже несколько частных задач, для которых, хотя в них учитывается сопротивление среды, все же имеют место подобные теоремы; это, например, случай кометы, обращающейся вокруг Солнца в среде, сопротивление которой пропорционально некоторой степени скорости этой кометы.

Анализ, который привел меня к новому общему принципу аналитической механики, только что сообщенному мной настоящему прославленному собранию, может быть применен к большому числу вопросов интегрального исчисления. Я объединил эти различные приложения в пространной статье, которую; как я надеюсь, я смогу опубликовать по моем возвращении в Кенигсберг и которую я не замедлю представить Академии, как только она будет отпечатана.