Рассмотрим газ, состоящий из описанных нами выше световых квантов. При заданной температуре (не слишком близкой к абсолютному нулю) почти все эти световые атомы имеют скорости $v=\beta c$, очень мало отличающиеся по величине от $c$. Полная энергия каждого из этих атомов равна
\[
W=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]
а его количество движения равно
\[
G=\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]
так что приближенно
\[
G=\frac{W}{c} .
\]
Легко видеть, что давление подобного газа на ограждающую стенку равно
\[
p=\frac{n}{6} \cdot 2 G c=\frac{1}{3} n W,
\]
где $n$ число световых квантов в единице объема.
Это выражение совпадает с выражением, следующим из электромагнитной теории; используя нерелятивистские формулы, мы получили бы вдвое больший результат.
Теперь возникает вопрос, можем ли мы применять для квантового газа максвелловский закон распределения энергии? В механике Эйнштейна сохраняет силу теорема Лиувилля, на которой основывается статистическая механика; мы можем, далее, взять для величины элементарной фазовой ячейки значение, пропорциональное $d x d y d z d p d q d r$, если переменные $x$, $y, z$ являются прямоугольными координатами, а $p, q, r$ – соответствующими импульсами. Вследствие канонического закона распределения, число атомов, изображающая точка которых находится в элементе $d x d y d z d p d q d r$, должно быть пропорционально величине
\[
e^{-\frac{W}{k T}} d x d y d z d p d q d r=e^{-\frac{W}{k T}} \cdot 4 \pi G^{2} d G d v,
\]
где $d v$ – элемент объема, а $G$ – импульс. Поскольку $G=\frac{W}{c}$, это число определяется также выражением
\[
C^{t} e^{-\frac{W}{k T}} W^{2} d W d v
\]
Каждый квант имеет полную энергию, равную $h v$; в этом случае энергия, содержащаяся в объеме $d v$ и переносимая световыми квантами с энергией $h v$, равна
\[
C^{t} e^{-\frac{h v}{k T}} v^{3} d v d v
\]
Это, очевидно, виновская предельная форма закона излучения. Два года
назад мне удалось*) показать, что, используя предложенную Планком гипотезу о том, что величина элемента фазового объема равна $\frac{1}{h^{3}} d x d y d z d p d q d r$, можно получить для плотности лучистой энергии значение
\[
u_{v} d v=\frac{8 \pi h}{c^{3}}
u^{3} e^{-\frac{h v}{k T}} d v .
\]
Это было хотя и не полным, но обнадеживающим результатом. Казалось, что предположение о конечных элементах фазового объема имеет несколько гроизвольный и необъяснимый характер. Более того, закон Вина является только предельной формой истинного закона излучения. Для объяснения другого члена ряда я был вынужден предположить существование различных квантовых агрегатов.
Сейчас такие трудности, по-видимому, могут быть устранены, но, прежде чем перейти к соответствующему изложению, нам нужно выяснить ряд понятий; впоследствии мы еще вернемся к газу «черного излучения».
