Рассмотрим движущиеся тело, масса покоя которого равна $m_0$; движение происходит по отношению к определенному наблюдателю со скоростью $v=\beta c(\beta <1)$. Вследствие принципа эквивалентности упомянутое тело должно обладать внутренней энергией $m_0{c}^2$. Квантовые соотношения наводят на мысль приписать эту внутреннюю энергию некоторому периодическому явлению, частота которого равна $v_0=\frac{1}{h}{m}_0{c}^2$. Для покоящегося наблюдателя полной энергией является величина $\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, и соответствующей частотой будет $u=\frac{1}{h}\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$.

Однако, если на внутреннее периодическое явление смотрит покоящийся наблюдатель, то частота данного явления ему будет казаться более низкой и равной $v_1=v_0\sqrt{1-{\beta }^2}$, т. е. наблюдателю процесс покажется протекающим пропорционально $\sin 2\pi v_{1}t$. Частота $v_1$ совершенно отлична от $u$; однако эти частоты связаны согласно основной теореме, дающей нам физическую: интерпретацию величины $v$.

Предположим, что в момент $t=0$ движущееся тело совпадает по длине с волной, обладающей заданным выше значением частоты $v$ и распространяющейся со скоростью $\frac{c}{\beta }=\frac{c^2}{v}$. Согласно предположениям Эйнштейна, подобная волна не может переносить энергии.

Наша теорема заключается в следующем: Eсли внутреннее явление в движущемся теле совпадает в начальный момент по фазе с волной, то это фазовое соответствие будет сохраняться и в дальнейшем. В самом деле: в момент $t$ движущееся тело находится на расстоянии $x=vt$ от исходного положения, а происходящее в нем внутреннее явление пропорционально $\sin 2\pi v_1\frac{x}{v}$; волна в этой же точке определяется выражением $\sin 2\pi v(t-$ $-\frac{\beta \dot{x}}{c})=\sin 2\pi vx(\frac{1}{v}-\frac{\beta }{c})$. Обаэти содержащие синус выражения будут равны, и фазовое соответствие сохранится, если соблюдено следующее условие:
\[

u_{1}=
u\left(1-\beta^{2}\right),
\]

которое, очевидно, выполняется по определению величин $v$ и $v_1$. Этот важный результат неявно содержится в лоренцевом преобразовании времени. Если местным временем наблюдателя, дижущегося вместе с телом, является $\tau$, то это время будет определять внутреннее явление посредством функции $\sin 2\pi v_0\tau$. Согласно преобразованию Лоренца, покоящийся наблюдатель должен описывать то же самое явление посредством функции $\sin 2\pi v_0\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(t-\frac{\beta x}{c})$, которая может интерпретироваться как описание волны с частотой $\frac{v_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, распространяющейся вдоль оси $x$ со скоростью $\frac{c}{\beta }$ :

Мы, далее, склоняемся к тому допущению, что, быть может, каждое движущееся тело сопровождается волной и что разделение движения тела и распространения волны является невозможным.

Эта мысль может быть выражена также другим способом. Группа волн с очень мало отличающимися частотами имеет «групповую скорость» $U$, которая недавно была изучена лордом Рэлеем и которая в обычной теории является скоростью «распространения энергии». Эта групповая скорость связана с фазовой скоростью соотношением
$$\frac{1}{U}=\frac{d\left(\frac{v}{v}\right)}{dv}.$$

Если частота $v$ равна $\frac{1}{h}\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$, а величина $v$ равна $\frac{c}{\beta }$, то мы получаем соотношение $U=\beta c$, так что можно сказать: скорость движущегося тела является скоростью распространения энергии группы волн, обладающих при очень мало отличающихся значениях $\beta$ частотами $\frac{1}{h}\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$ и скоростями $\frac{c}{\beta }$.