Рассмотрим движущиеся тело, масса покоя которого равна $m_{0}$; движение происходит по отношению к определенному наблюдателю со скоростью $v=\beta c(\beta<1)$. Вследствие принципа эквивалентности упомянутое тело должно обладать внутренней энергией $m_{0} c^{2}$. Квантовые соотношения наводят на мысль приписать эту внутреннюю энергию некоторому периодическому явлению, частота которого равна $v_{0}=\frac{1}{h} m_{0} c^{2}$. Для покоящегося наблюдателя полной энергией является величина $\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, и соответствующей частотой будет $
u=\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$.

Однако, если на внутреннее периодическое явление смотрит покоящийся наблюдатель, то частота данного явления ему будет казаться более низкой и равной $v_{1}=v_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}$, т. е. наблюдателю процесс покажется протекающим пропорционально $\sin 2 \pi v_{1} t$. Частота $v_{1}$ совершенно отлична от $
u$; однако эти частоты связаны согласно основной теореме, дающей нам физическую: интерпретацию величины $v$.

Предположим, что в момент $t=0$ движущееся тело совпадает по длине с волной, обладающей заданным выше значением частоты $v$ и распространяющейся со скоростью $\frac{c}{\beta}=\frac{c^{2}}{v}$. Согласно предположениям Эйнштейна, подобная волна не может переносить энергии.

Наша теорема заключается в следующем: Eсли внутреннее явление в движущемся теле совпадает в начальный момент по фазе с волной, то это фазовое соответствие будет сохраняться и в дальнейшем. В самом деле: в момент $t$ движущееся тело находится на расстоянии $x=v t$ от исходного положения, а происходящее в нем внутреннее явление пропорционально $\sin 2 \pi v_{1} \frac{x}{v}$; волна в этой же точке определяется выражением $\sin 2 \pi v(t-$ $\left.-\frac{\beta \dot{x}}{c}\right)=\sin 2 \pi v x\left(\frac{1}{v}-\frac{\beta}{c}\right)$. Обаэти содержащие синус выражения будут равны, и фазовое соответствие сохранится, если соблюдено следующее условие:
\[

u_{1}=
u\left(1-\beta^{2}\right),
\]

которое, очевидно, выполняется по определению величин $v$ и $v_{1}$. Этот важный результат неявно содержится в лоренцевом преобразовании времени. Если местным временем наблюдателя, дижущегося вместе с телом, является $\tau$, то это время будет определять внутреннее явление посредством функции $\sin 2 \pi v_{0} \tau$. Согласно преобразованию Лоренца, покоящийся наблюдатель должен описывать то же самое явление посредством функции $\sin 2 \pi v_{0} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(t-\frac{\beta x}{c}\right)$, которая может интерпретироваться как описание волны с частотой $\frac{v_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, распространяющейся вдоль оси $x$ со скоростью $\frac{c}{\beta}$ :

Мы, далее, склоняемся к тому допущению, что, быть может, каждое движущееся тело сопровождается волной и что разделение движения тела и распространения волны является невозможным.

Эта мысль может быть выражена также другим способом. Группа волн с очень мало отличающимися частотами имеет «групповую скорость» $U$, которая недавно была изучена лордом Рэлеем и которая в обычной теории является скоростью «распространения энергии». Эта групповая скорость связана с фазовой скоростью соотношением
\[
\frac{1}{U}=\frac{d\left(\frac{v}{v}\right)}{d v} .
\]

Если частота $v$ равна $\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$, а величина $v$ равна $\frac{c}{\beta}$, то мы получаем соотношение $U=\beta c$, так что можно сказать: скорость движущегося тела является скоростью распространения энергии группы волн, обладающих при очень мало отличающихся значениях $\beta$ частотами $\frac{1}{h} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$ и скоростями $\frac{c}{\beta}$.