Я обращаюсь теперь к случаю, важному с точки зрения приложений к механике и вариационному исчислению, а именно к случаю, когда характеристическая функция имеет вид
\[
p+f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) .
\]

В соответствующей совместной системе
\[
\frac{\delta x}{1}=\frac{\delta x_{k}}{\frac{\partial f}{\partial p_{k}}}=\frac{\delta p}{-\frac{\partial f}{\partial x}}=\frac{\delta p_{k}}{-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}}=\delta t
\]

нет надобности брать член
\[
\frac{\delta p}{-\frac{\partial f}{\partial x}}=\frac{\delta p_{k}}{-\frac{\partial f}{\partial x_{k}}},
\]

так как остальные члены вовсе не содержат $p$. Между прочим, следует заметить, что теперь вспомогательная величина $t$ равна $x$.
6. Мы ищем наиболее общую систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\delta x_{k}=\xi_{k}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \delta x, \\
\delta p_{k}=\eta_{k}\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \delta x \quad(k=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

в силу которой выражение
\[
\frac{\delta}{\delta x}\left(p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}\right)
\]

получает вид
\[
d \Phi+\omega\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) d x .
\]

Это требование выражается уравнением
\[
\sum_{k=1}^{k=n} p_{k} d \xi_{k}+\sum_{k=1}^{k=n} \eta_{k} d x_{k}=d \Phi+\omega d x
\]

откуда
\[
\begin{aligned}
\sum_{k} p_{k} \frac{\partial \xi_{k}}{\partial x_{r}}+\eta_{r} & =\frac{\partial \Phi}{\partial x_{r}} \quad(r=1, \ldots, n), \\
\sum_{k} p_{k} \frac{\partial \xi_{k}}{\partial p_{\varrho}} & =\frac{\partial \Phi}{\partial p_{\varrho}} \quad(\varrho=1, \ldots, n), \\
\sum_{k} p_{k} \frac{\partial \xi_{k}}{\partial x} & =\frac{\partial \Phi}{\partial x}+\omega .
\end{aligned}
\]

Отсюда получается таким же путем, как и раньше :
\[
\frac{\partial \eta_{k}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial \eta_{i}}{\partial x_{k}}, \quad \frac{\partial \eta_{k}}{\partial p_{i}}=-\frac{\partial \xi_{i}}{\partial x_{k}}, \quad \frac{\partial \xi_{k}}{\partial p_{i}}=\frac{\partial \xi_{i}}{\partial p_{k}}, \quad \frac{\partial \eta_{k}}{\partial x}=-\frac{\partial \omega}{\partial x_{k}}, \quad \frac{\partial \xi_{k}}{\partial x}=\frac{\partial \omega}{\partial p_{k}} .
\]

Следовательно, имеется такая функция $U$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, что
\[
\xi_{k}=\frac{\partial U}{\partial p_{k}}, \quad \eta_{k}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n), \omega=\frac{\partial U}{\partial x} .
\]

Итак, имеет место следующая лемма:
Лемма 3. Если выражение
\[
\frac{\delta}{\delta x}\left(p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}\right),
\]

образованное на основании уравнений
\[
\delta x_{k}=\xi_{k} \delta x, \quad \delta p_{k}=\eta_{k} \delta x \quad(k=1, \ldots, n),
\]

имеет вид
\[
d W+\omega d x,
\]

то имеется такая функция $U$ переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, что
\[
\xi_{k}=\frac{\partial U}{\partial p_{k}}, \quad \eta_{k}=-\frac{\partial U}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n), \omega=\frac{\partial U}{\partial x} .
\]
7. Мы будем далее искать наиболее общее выражение
\[
\sum_{k=1}^{n} X_{k} d x_{k}+\sum_{k=1}^{n} P_{k} d p_{k}+X d x=W
\]

производная которого $\frac{\delta W}{\delta x}$ по $x$, составленная на основании уравнений
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial K}{\partial p_{k}} \delta x, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial K}{\partial x_{k}} \delta x \quad(k=1, \ldots, n),
\]

имеет вид
\[
d \Omega+\omega d x .
\]

При этом предполагается, что $K$ не является\” определенной величиной, а рассматривается как неопределенная функция переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}$, $p_{1}, \ldots, p_{n}$.
Условное уравнение
\[
\frac{\delta W}{\delta x}=d \Omega+\omega d x
\]

принимает после выполнения соответствующих выкладок вид
\[
\begin{aligned}
d \Omega+\omega d x=\sum_{k} & X_{k} \frac{\partial K}{\partial p_{k}}-\sum_{k} P_{k} d_{-} \frac{\partial K}{\partial x_{k}}+ \\
& +\sum_{k}\left(p+K, X_{k}\right) d x_{k}+\sum_{k}\left(p+K, P_{k}\right) d p_{k}+(p+K, X) d x,
\end{aligned}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{u}}=\sum_{k} X_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{k} \partial x_{u}}-\sum_{k} P_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial x_{k} \partial x_{u}}+\left(p+K, X_{u}\right), \\
\frac{\partial \Omega}{\partial p_{v}}=\sum_{k} X_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{u} \partial p_{v}}-\sum_{k} P_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial x_{k} \partial p_{v}}+\left(p+K, P_{v}\right), \\
\frac{\partial \Omega}{\partial x}=\sum_{k} X_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{k} \partial x}-\sum_{k} P_{k} \frac{\partial^{2} K}{\partial x_{k} \partial x}+(p+K, X)-\omega .
\end{array}
\]

Теперь мы составляем тождество
\[
\frac{\partial}{\partial p_{v}} \frac{\partial \Omega}{\partial x_{u}}=\frac{\partial}{\partial x_{u}} \frac{\partial \Omega}{\partial p_{v}},
\]

и, опуская взаимно уничтожающиеся члены, находим таким путем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k} \frac{\partial X_{k}}{\partial p_{v}} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{k} \partial x_{u}}-\sum_{k} \frac{\partial P_{k}}{\partial p_{v}} \frac{\partial^{2} K}{\partial x_{k} \partial x_{u}}+\left(p+K, \frac{\partial X_{u}}{\partial p_{v}}\right)+\left(\frac{\partial K}{\partial p_{v}}, X_{u}\right)- \\
\quad-\sum_{k} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{u}} \frac{\partial^{2} K}{\partial p_{k} \partial p_{v}}+\sum_{k} \frac{\partial P_{k}}{\partial x_{u}} \frac{\partial^{2} K}{\partial x_{u} \partial p_{v}}-\left(p+K, \frac{\partial P_{v}}{\partial x_{u}}\right)-\left(\frac{\partial K}{\partial x_{u}}, P_{v}\right)=0 .
\end{array}
\]

Это соотношение должно существовать, какова бы ни была функция $K$. Позтому, если объединить члены, содержащие одну и ту же производную

от $K$, то коэффициенты при каждой из этих производных должны обращаться в нуль. Это дает следующие соотношения :
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial X_{k}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{k}}=0 \quad \text { при } k
eq v, \\
\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}=\frac{\partial X_{u}}{\partial p_{u}}-\frac{\partial P_{u}}{\partial x_{u}}, \\
\frac{\partial X_{u}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial X_{k}}{\partial x_{u}}=\frac{\partial P_{u}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial P_{k}}{\partial p_{u}}=0,
\end{array}\right\}
\]

Три последних уравнения показывают, что величина
\[
\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}
\]

постоянна, а в силу уравнений ( $\alpha$ ) эта постоянная не зависит от $v$. Мы имеем, следовательно,
\[
\frac{\partial X_{v}}{\partial p_{v}}-\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}}-A=\mathrm{const},
\]

или
\[
\frac{\partial\left(X_{v}-A p_{v}\right)}{\partial p_{v}}=\frac{\partial P_{v}}{\partial x_{v}} \quad(v=1, \ldots, n) .
\]

Рассуждая так же, как в п. 2, мы приходим к заключению, что величины $X_{k}-A p_{k}$ и $P_{i}$ являются частными производными по $x_{k}$ и $p_{i}$ некоторой функции переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ :
\[
X_{k}-A p_{k}=\frac{\partial U}{\partial x_{k}}, \quad P_{i}=\frac{\partial U}{\partial p_{i}},
\]

откуда
\[
X_{k}=A p_{k}+\frac{\partial U}{\partial x_{k}}, \quad P_{i}=\frac{\partial U}{\partial p_{i}}
\]

и, таким образом, $W$ имеет вид
\[
A \sum_{k} p_{k} d x_{k}+d U+\varphi d x .
\]

Наоборот, легко убедиться в том, что это выражение всегда, т. е. каковы бы ни были постоянная $A$ и функции $U$ и $\varphi$, обладает требуемым свойством. В самом деле, мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta}{\delta x} \sum_{k} p_{k} d x_{k} & =d\left(-K+\sum_{k} p_{k} \frac{\partial K}{\partial p_{k}}\right)+\frac{\partial K}{\partial x} d x, \\
\frac{\delta}{\delta x} d U & =d \frac{\delta U}{\delta x}, \\
\frac{\delta}{\delta x}(\varphi d x) & =\frac{\delta \varphi}{\delta x} d x .
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы можем сформулировать следующую лемму:
Лемма 4. Если выражение
\[
\left(p+K, \sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum_{k} P_{k} d p_{k}+X d x\right),
\]

в котором $X_{k}, P_{k}$ и $X$ – заданные функции величин $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, а $K$ означает неопределенную функцию тех же величин, всегда имеет вид
\[
d \Omega+\omega d x,
\]

какова бы ни была функция $K$, то выражению
\[
\sum_{k} X_{k} d x_{k}+\sum_{k} P_{k} d p_{k}+X d x
\]

можно придать вид
\[
A \sum_{k} p_{k} d x_{k}+d U+\varphi d x .
\]

При этом $A \longrightarrow$ произвольная постоянная, а $U$ и $\varphi-$ произвольные функции величин $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$.
8. Представим себе теперь, что в совместной системе
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial K}{\partial p_{k}} \delta x, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial K}{\partial x_{k}} \delta x \quad(k=1, \ldots, n)
\]

и в выражении
\[
W=p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}
\]

вместо $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ введены новые переменные, скажем, $x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. При этом на величины $y_{k}$ сначала налагается лишь одно ограничение, что они не зависят от $x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$. Пусть
\[
\delta y_{k}=\eta_{k} \delta x, \quad \delta q_{k}=\zeta_{k} \delta x \quad(k=1, \ldots, n)
\]
— новый вид нашей совместной системы и пусть
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=\sum_{k} Y_{k} d y_{k}+\sum_{k} Q_{k} d q_{k}+Y d x=W,
\]

где $Y_{k}, Q_{k}$ и $Y$ некоторые определенные функции новых переменных.
Вследствие формы, которую имеет $W$ в старых переменных, имеет место уравнение вида
\[
\frac{\delta W}{\delta x}=d \Omega+\omega d x \text {. }
\]

Если ввести здесь новые переменные, то получается
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial W}{\partial y_{i}} \eta_{i}+\frac{\partial W}{\partial q_{i}} \zeta_{i}\right)=d \Omega+\omega d x
\]

где выражение слева имеет обычный смысл.
Если теперь, в частности, преобразованная система (10), какова бы ни была функция $K$, всегда имеет каноническую форму
\[
\delta y_{k}=\frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}} \delta x, \quad \delta q_{k}=\frac{\partial \Psi}{\partial y_{k}} \delta x_{i} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

то выражение $W$ согласно предыдущей лемме должно иметь вид
\[
A \Sigma q_{k} d y_{k}+d V+\varphi d x .
\]

Следовательно,
\[
\sum_{k} p_{k} d x_{k}=A \sum_{k} q_{k} d y_{k}+d V+\varphi d x .
\]

Если к обеим частям этого уравнения прибавить величину $p d x$ и обозначить притом сумму $\varphi+p$ через $A q$, то получается
\[
p d x+p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}=A\left(q d x+q_{1} d y_{1}+\ldots+q_{n} d y_{n}\right)+d V .
\]

Этим доказывается, что наше преобразование можно считать касательным преобразованием.

Теорема II. Если заданное преобразование между $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p$, $p_{1}, \ldots, p_{n}$ и $x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q, q_{1}, \ldots, q_{n}$ обладает свойством переводить каждую систему вида
\[
\delta x_{i}=\frac{\partial K}{\partial p_{i}} \delta x, \quad \delta p_{k}=-\frac{\partial K}{\partial x_{k}} \delta x \quad(k=1, \ldots, n)
\]

в подобную систему между новыми переменными в предположении, что $K$ обозначает произвольную функцию переменных $х, x_{1}, \ldots, x_{n}, p, p_{1}, \ldots, p_{n}$, то наше преобразование является касательным преобразованием, т. е. имеет место соотношение вида
\[
p d x+p_{1} d x_{1}+\ldots+p_{n} d x_{n}=A\left(q d x+q_{1} d y_{1}+\ldots+q_{n} d y_{n}\right)+d V .
\]
9. Пусть теперь задана определенная система
\[
\delta x_{k}=\frac{\partial X}{\partial p_{k}} \delta x, \delta p_{k}=-\frac{\partial X}{\partial x_{k}} \delta x \quad\left(x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right),
\]

которую желательно при помощи касательного преобразования перевести в другую определенную систему
\[
\delta y_{k}=\frac{\partial Y}{\partial q_{k}} \delta x, \delta q_{k}=-\frac{\partial Y}{\partial y_{k}} \delta x \quad\left(x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]

При искомом преобразовании уравнение
\[
\frac{\partial f}{\partial x}-\sum_{k}\left(\frac{\partial X}{\partial x_{k}} \frac{\partial f}{\partial p_{k}}-\frac{\partial X}{\partial p_{k}} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right)=0=(p+X, f)
\]

переходит в уравнение
\[
\frac{\partial f}{\partial x}-\sum_{k}\left(\frac{\partial Y}{\partial y_{k}} \frac{\partial f}{\partial q_{k}}-\frac{\partial Y}{\partial q_{k}} \frac{\partial f}{\partial y_{k}}\right)=0=(q+Y, f),
\]

где $f$ обозначает неизвестную функцию переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ или же переменных $x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$.

Здесь нельзя заключить непосредственно, что $p+X$ при рассматриваемом преобразовании переходит в $q+Y$. Поэтому пусть
\[
q+U\left(x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)
\]

будет та функция, в которую преобразуется $p+X$. Тогда, согласно теории касательных преобразований, $(p+X, f)$ перейдет в $(q+U, f)$, так что

откуда следует
\[
\begin{array}{c}
(q+Y, f)=(q+U, f), \\
(Y-U, f)=0 ;
\end{array}
\]

это уравнение должно оставаться в силе, если вместо $f$ будет подставлена любая функция переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, представляющая собой

инволюцию функции $p+X$. Таким образом, мы можем заключить, что $Y-U$ есть постоянная :
\[
U=Y+A .
\]

Следовательно, искомое преобразование переводит $p+X$ в $q+Y+A$.
Чтобы определить это преобразование наиболее общим образом, образуем две канонические группы:
\[
\begin{array}{l}
x, X_{1}, \ldots, X_{n}, p+X, P_{1}, \ldots, P_{n}, \\
x, Y_{1}, \ldots, Y_{n}, q+Y+A, Q_{1}, \ldots, Q_{n},
\end{array}
\]

причем $X_{k}, P_{k}$ суть функции переменных $x, x_{1}, \ldots, x_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, а $Y_{k}, Q_{k}$ функции $x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$. Тогда уравнения
\[
x=x, \quad p+X=q+Y+A, \quad P_{k}=Q_{k}, \quad X_{k}=Y_{k} \quad(k=1, \ldots, n)
\]

определяют искомое преобразование.
Между прочим, следует заметить, что величины (12) продолжают образовывать каноническую группу, если положить постоянную $A$ равной нулю. Поэтому искомое наиболее общее преобразование между переменными $x$, $x_{1}, \ldots, x_{n} ; p_{1}, \ldots, p_{n}$ и переменными $x, y_{1}, \ldots, y_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$ находится путем перевода $p+X$ самым общим образом при помощи касательного преобразования в $q+Y$.