23. Прежде чем мы закончим этот очерк нашего общего метода в динамике, уместно будет вкратце остановиться на преобразовании характеристической функции, которое может быть использовано во всех ее приложениях. Это преобразование состоит в том, что мы пишем [94]
\[
V=t H+S
\]
и рассматриваем часть $S$, а именно определенный интеграл
\[
S=\int_{0}^{t}(T+U) d t
\]
как функцию начальных и конечных координат и времени, вариация которого согласно нашему закону переменного действия будет такова :
\[
\delta S=-H \delta t+\sum^{\prime} m\left(x^{\prime} \delta x-\alpha^{\prime} \delta a+y^{\prime} \delta y-b^{\prime} \delta b+z^{\prime} \delta z-c^{\prime} \delta c\right) .
\]
Отсюда частные производные первого порядка этой вспомогательной функции $\mathcal{S}$ будут
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta S}{\delta t} & =-H ; \\
\frac{\delta S}{\delta x_{i}}=m_{i} x_{i}^{\prime}, \quad \frac{\delta S}{\delta y_{i}} & =m_{i} y_{i}^{\prime}, \quad \frac{\delta S}{\delta z_{i}}=m_{i} z_{i}^{\prime}
\end{aligned}
\]
и
\[
\frac{\delta S}{\delta a_{i}}=-m_{i} a_{1}^{\prime}, \quad \frac{\delta S}{\delta b_{i}}=-m_{i} b_{i}^{\prime}, \quad \frac{\delta S}{\delta c_{i}}=-m_{i} c_{i}^{\prime} .
\]
Эти последние выражения ( $Z^{7}$ ) представляют собой формы конечных интегралов движения любой системы, соответствующие результату исключения $H$ из уравнений (D) и (E), а выражения ( $\mathrm{Y}^{7}$ ) представляют собой формы промежуточных интегралов, во многих отношениях более удобные, чем применявшиеся ранее.
24. Рамки данной работы не позволяют нам развить следствия, вытекающие из этих новых выражений. Мы можем отметить только, что вспомогательная функция $\mathcal{S}$ должна удовлетворять двум следующим уравнениям в частных производных первого порядка, аналогичным уравнениям ( $F$ ) и (G) и выведенным из последних :
\[
\frac{\delta S}{\delta t}+\mathcal{Y}^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta S}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta z}\right)^{2}\right\}=U
\]
и
\[
\frac{\delta S}{\delta t}+
u^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta S}{\delta a}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta b}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S}{\delta c}\right)^{2}\right\}=U_{0},
\]
и что для того, чтобы корректировать приближенное значение $S_{1}$ значения $S$ при интегрировании этих уравнений, или для того, чтобы найти остающуюся часть $S_{2}$, если
\[
S=S_{1}+S_{2},
\]
мы можем воспользоваться символическим уравнением
\[
\frac{d}{d t}=\frac{\delta}{\delta t}+
u^{\prime} \frac{1}{m}\left(\frac{\delta S}{\delta x}-\frac{\delta}{\delta x}+\frac{\delta S}{\delta y} \frac{\delta}{\delta y}+\frac{\delta S}{\delta z} \frac{\delta}{\delta z}\right),
\]
которое строго дает
\[
\frac{d S_{2}}{d t}=U-U_{1}+\Sigma^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{2}}{\delta z}\right)^{2}\right\},
\]
если мы по аналогии принимаем определение
\[
U_{1}=\frac{\delta S_{1}}{\delta t}+\Sigma^{\prime} \frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta y}\right)^{2}+\left(\frac{\delta S_{1}}{\delta z}\right)^{2}\right\}
\]
и, следовательно, приближенно
\[
S_{2}=\int_{0}^{t}\left(U-U_{1}\right) d t .
\]
При этом части $S_{1}, S_{2}$ берутся такими, чтобы они исчезали со временем. Эти замечания легко могут быть распространены на относительные и полярные координаты и другие отметки положения. Они дают новый и лучший способ изучения орбит и возмущений системы посредством новой и лучшей формы функции и метода, изложенного в данной работе.
