Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченным, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего,

силы $X_i,Y_i,Z_i$ будут частными производными функции $U$; далее; пусть $T$ будет половина живой силы, т. е.
$$T=\frac{1}{2}\sum m_i{v}_i^2=\frac{1}{2}\sum m_i\{{\left(\frac{d{x}_i}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{d{y}_i}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{d{z}_i}{dt}\right)}^2\};$$

тогда новый принцип содержится в уравнении
$$\delta \int (T+U)dt=0.$$

Этот принцип по сравнению с принципом наименьшего действия более общий постольку, поскольку здесь $U$ может содержать явно также и $t$, что в первом принципе исключается, так как из него время должно быть исключено при помощи теоремы живой силы, которая может иметь место только в том случае, если $U$ не содержит явно времени.

Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию (1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так, что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения.
Новый принцип, выраженный полностью, формулируется так:
Если даны положения системы в данный начальный момент $t_0$ и в дан-. ный конечный момент $t_1$, то для определения действительно происходящего движения служит уравнение
$$\delta \int (T+U)dt=0.$$

Здесь интеграл берется от $t_0$ до $t_1,U$ есть силовая функция и может также содержать явно время; а $T$ есть половина живой силы, так что имеем
$$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}\sum m_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2}),\\ x_i^{\prime }=\frac{d{x}_i}{dt},y_i=\frac{d{y}_i}{dt},z_i=\frac{d{z}_i}{dt}.\end{array}$$

Если выполнить указанную в этом принципе вариацию, приписав координатам по правилам вариационного исчисления вариации $\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i$ и оставив неизменной независимую переменную $t$, то получим
$$\delta \int Tdt=\int \delta Tdt=\int \mathrm{\Sigma }{m}_i(x_i^{\prime }\delta x_i^{\prime }+y_i^{\prime }\delta y_i^{\prime }+z_i^{\prime }\delta z_i^{\prime })dt.$$

Подставляя вместо $\delta x_i^{\prime },\delta y_i^{\prime },\delta z_i^{\prime }$ выражения $\frac{d\delta x_i}{dt},\frac{d\delta y_i}{dt},\frac{d\delta z_i}{dt}$ и интегрируя по частям, найдем :
$$\begin{array}{rl}\delta \int Tdt& =\int \sum m(x_i^{\prime }\frac{d\delta x_i}{dt}+y_i^{\prime }\frac{d\delta y_i}{dt}+z_i^{\prime }\frac{d\delta z_i}{dt})dt=\\ & =\sum m_i(x_i^{\prime }\delta x_i+y_i^{\prime }\delta y_i+z_i^{\prime }\delta z_i)-\int \sum m_i(x_i^{\prime \prime }\delta x_i+y_i^{\prime \prime }\delta y_i+z_i^{\prime \prime }\delta z_i)dt,\end{array}$$

где $x_i^{\prime \prime },y_i^{\prime \prime },z_i^{\prime \prime }$ — вторые производные от $x_i,y_i,z_i$, , взятые по $t$. Но так как начальные и конечные положения даны, то $\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i$ уничтожаются на границах интегрирования и члены, стоящие вне знака интеграла, обрацаются в нуль, так что
$$\delta \int Tdt=-\int \sum m_i(x_i^{\prime \prime }\delta x_i+y_i^{\prime \prime }\delta y_i+z_i^{\prime \prime }\delta z_i)dt;$$

таким образом, имеем
$$\delta \int (T+U)dt=-\int \{\sum m_i(x_i^{\prime \prime }\delta x_i+y_i^{\prime \prime }\delta y_i+z_i^{\prime \prime }\delta z_i)-\delta U\}dt,$$

где
$$\delta U=\sum (\frac{\partial U}{\partial x_i}\delta x_i+\frac{\partial U}{\partial y_i}\delta y_i+\frac{\partial U}{\partial z_i}\delta z_i).$$

Из уравнения (2) на самом деле следует данное ранее во второй лекции символическое основное уравнение динамики.

Содержащийся в уравнении (1) принцип очень полезен при преобразовании координат. Уравнение это имеет место для всякой системы координат ; поэтому в новой системе надо так же варьировать по новым координатам, как раньше по старым, и вся подстановка, которая должна быть произведена, ограничивается обоими выражениями $T$ и $U$.

Применим это сначала к полярным координатам; формулы преобразования в этом случае имеем такие :
$$\begin{array}{l}{x}_i=r_i\cos {\phi }_i,\\ y_i=r_i\sin {\phi }_i\cos {\psi }_i,\\ z_i=r_i\sin {\phi }_i\sin {\psi }_i.\end{array}$$

Отсюда следует после дифференцирования :
$$\begin{array}{l}d{x}_i=\cos {\phi }_{i}d{r}_i-r_i\sin {\phi }_{i}d{\phi }_i,\\ d{y}_i=\sin {\phi }_i\cos {\phi }_{i}d{r}_i+r_i\cos {\phi }_i\cos {\psi }_{i}d{\phi }_i-r_i\sin {\phi }_i\sin {\psi }_{i}d{\phi }_i,\\ d{z}_i=\sin {\phi }_i\sin {\psi }_{i}d{r}_i+r_i\cos {\phi }_i\sin {\phi }_{i}d{\phi }_i+r_i\sin {\phi }_i\cos {\psi }_{i}d{\phi }_i;\end{array}$$

поэтому
$$d{x}_i^2+d{y}_i^2+d{z}_i^2=d{r}_i^2+r_i^{2}d{\phi }_i^2+r_i^2{\sin }^2{\phi }_{i}d{\psi }_i^2,$$

или
$$x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2}=r_i^{\prime 2}+r_i^{\prime 2}{\phi }_i^{\prime 2}+r_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2},$$

где
$$r_i^{\prime }=\frac{d{r}_i}{dt};{\phi }_i^{\prime }=\frac{d{\phi }_i}{dt};{\psi }_i^{\prime }=\frac{d{\phi }_i}{dt}.$$

Таким образом, тотчас получаем
$$T=\frac{1}{2}\sum m_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2})=\frac{1}{2}\sum m_i(r_i^{\prime 2}+r_i^2{\phi }_i^{\prime 2}+r_i^{\prime 2}{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2}).$$

При этом предположении и допущении, что $U$ таюже выражено через новые координаты, мы найдем уравнение, следующее из $\delta \int (T+U)dt=0$ по общим правилам вариационного исчисления.

Пусть $P$ есть функция нескольких переменных $p,\dots$ и их первых производных $p^{\prime },\dots$, причем предполагается, что все $p$ зависят от одной независимой переменной $t$, и пусть первая вариация от $\int Pdt$ исчезает, т. е.
$$\delta \int Pdt=0,$$

где интеграл надо брать от $t_0$ до $t_1$ и где значения $p$, соответствующие этим значениям $t$, заданы ; тогда путем выкладок, таких же, как и в шестой лекции (стр. 301 и след.), придем к уравнению
$$0=\sum [\frac{d\frac{dP}{d{p}^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial P}{\partial p}]\delta p.$$

В нашем случае вместо величин $p$ стоят $r_i,{\phi }_i,{\phi }_i$, а $P=T+U$; далее, $U$ не содержит производных $r_i^{\prime },{\phi }_i^{\prime },{\psi }_i^{\prime };$ поэтому получаем :
$$\begin{array}{rl}0=\sum [\frac{d\frac{\partial T}{\partial r_i^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial r_i}-\frac{\partial U}{\partial r_i}]\delta r_i& +\sum [\frac{d\frac{\partial T}{\partial {\phi }_i^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial {\phi }_i}-\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}]\delta {\phi }_i+\\ & +\sum [\frac{d\frac{\partial T}{\partial {\psi }_i^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial {\psi }_i}-\frac{\partial U}{\partial {\psi }_i}]\delta {\psi }_i.\end{array}$$

Но на основании уравнения (3)
$$\begin{array}{c}\frac{\partial T}{\partial r_i^{\prime }}=m_i{r}_i^{\prime };\frac{\partial T}{\partial {\phi }_i^{\prime }}=m_i{r}_i^2{\phi }_i^{\prime };\frac{\partial T}{\partial {\psi }_i^{\prime }}=m_i{r}_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime }\\ \frac{\partial T}{\partial r_i}=m_i(r_i{\phi }_i^{\prime 2}+r_i{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2});\frac{\partial T}{\partial {\phi }_i}=\frac{1}{2}{m}_i{r}_i^2\sin 2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2};\frac{\partial T}{\partial {\psi }_i}=0\end{array}$$

таким образом, имеем :
$$\begin{array}{l}0=\sum \{m_i(\frac{d{r}_i^{\prime }}{dt}-r_i{\phi }_i^{\prime 2}-r_i{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})-\frac{\partial U}{\partial r_i}\}\delta r_i+\\ +\sum \{m_i(\frac{d\left(r^2{\phi }_i^{\prime }\right)}{dt}-\frac{1}{2}{r}_i^2\sin 2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})-\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i^{\prime }}\}\delta {\phi }_i+\sum \{m_i\frac{d(r_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\phi }_i^{\prime })}{dt}-\frac{\partial U}{\partial {\psi }_i}\}\delta {\psi }_i,\end{array}$$

или
$$\begin{array}{c}\sum m_i\{(\frac{d^2{r}_i}{d{t}^2}-r_i{\phi }_i^{\prime 2}-r_i{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})\delta r_i+\\ +(\frac{d\left(r_i^2{\phi }_i\right)}{dt}-\frac{1}{2}{r}_i^2\sin 2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})\delta {\phi }_t+\frac{d(r_i^2\sin {\phi }_i{\psi }_i^{\prime })}{dt}\delta {\psi }_i\}=\\ =\sum (\frac{\partial U}{\partial r_i}\delta r_i+\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}\delta {\phi }_i+\frac{\partial U}{\partial {\psi }_i}\delta {\phi }_i)=\delta U.\end{array}$$

Если имеются еще условные уравнения $f=0,\omega =0,\dots$, то в правой части этого уравнения к $\delta U$ присоединяется еще сумма $\lambda \delta f+\mu \delta \omega +\dots$ и, таким образом, в этом случае получится
$$\begin{array}{r}\sum m_i\{(\frac{d^2{r}_i}{d{t}^2}-r_i{\phi }_i^{\prime 2}-r_i{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})\delta r_i+(\frac{d\left(r_i^2{\phi }_i^{\prime }\right)}{dt}-\frac{1}{2}{r}_i^2\sin 2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2})\delta {\phi }_i+\\ +\frac{d(r_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime })}{dt}\delta {\psi }_i^{\prime }\}=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega +\dots \end{array}$$

Это уравнение распадается на $3n$ уравнений следующего вида :
$$\begin{array}{rl}{m}_i\{\frac{d^2{r}_i}{d{t}^2}-r_i{\phi }_i^{\prime 2}-r_i{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^2\}& =\frac{\partial U}{\partial r_i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial r_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial r_i}+\dots ,\\ m_i\{\frac{d\left(r^2{\phi }_i^{\prime }\right)}{dt}-\frac{1}{2}{r}_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime 2}\}& =\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial {\phi }_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial {\phi }_i}+\dots ,\\ m_i\left\{\frac{d(r_i^2{\sin }^2{\phi }_i{\psi }_i^{\prime })}{dt}\right\}& =\frac{\partial U}{\partial {\psi }_i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial {\psi }_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial {\psi }_i}+\dots \end{array}\}$$

Особенную важность имеет преобразование первоначальных координат в новые, которые выбраны так, что когда все через них выражено; то условные уравнения выполняются сами собой. Именно, если имеется $m$ условных уравнений, то можно все $3n$ координат выразить через $3n-m$ из них или через $3n-m$ функций от них. В большинстве случаев очень важно ввести не самые координаты, но новые величины так, чтобы избежать иррациональ-

ностей. Например, при движении точки по эллипсоиду наибольшую важность имеют формулы :
$$x=a\cos \eta ;y=b\sin \eta \cos \zeta ;z=c\sin \eta \sin \zeta .$$

Обозначим новые $3n-m=k$ величин через $q_1,q_2,\dots ,q_k$; эти величины должны быть таковы, что если через них выразить $x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,\dots$ и подставить эти выражения в $m$ условных уравнений $f=0,\omega =0,\dots$, то левые части этих уравнений обратятся тождественно в нуль, т. е. должны иметь место тождества :
$$f(q_1,q_2,\dots ,q_k)=0;\omega (q_1{q}_2,\dots ,q_k)=0,\dots ,$$

причем $q$ не связаны никаким уравнением. Благодаря этому дифференциальные уравнения движения значительно упростятся. Именно, общее символическое основное уравнение динамики для любой системы координат при существовании условных уравнений будет
$$\sum [\frac{d\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_s}]\delta q_s=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega +\dots ,$$

где знак суммы распространяется на все $q$. Но для наших величин $q$ уравнения (7) имеют место тождественно ; поэтому после введения этих величин будем иметь $\delta f=0,\delta \omega =0$ и т. д., и предыдущее уравнение приводится к уравнению
$$\sum [\frac{d\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_s}]\delta q_s=\delta U,$$

которое разлагается на $k$ дифференциальных уравнений вида
$$\frac{d\frac{\partial T_i}{\partial q_s^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_s}=\frac{\partial U}{\partial q_s}.$$

Это — та форма, в которой Лагранж представил дифференциальные уравнения движения уже в старом издании Аналитической механики [140].

Если представим себе все координаты выраженными через величины $q$, то получим после дифференцирования :
$$\begin{array}{rl}{x}_i^{\prime }& =\frac{\partial x_i}{\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial x_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial x_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime },\\ y_i^{\prime }& =\frac{\partial y_i}{\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial y_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial y_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime },\\ z_i^{\prime }& =\frac{\partial z_i}{\partial q_i}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial z_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial z_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime }.\end{array}$$

Если подставим эти значения в $T=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{m}_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2})$, то получим выражение, которое представляет собой однородную функцию второй степени относительно величин $q_1^{\prime },q_2^{\prime },\dots ,q_k^{\prime }$, коэффициенты которой — известные функции от $q_1,q_2,\dots ,q_k$. Если мы положим
$$\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}=p_s,$$

то уравнение (8) можем написать еще так:
$$\frac{d{p}_s}{dt}=\frac{\partial (T+U)}{\partial q_s}.$$

Это, правда, еще не окончательная форма уравнений движения, так как она требует дальнейших преобразований ; но раньше чем этим заняться, распространим предыдущее рассуждение на тот случай, когда не существует силовой функции, а на месте $\delta U$ в первоначальном символическом уравнении стоит $\mathrm{\Sigma }(X_i\delta x_i+Y_i\delta y_i+Z_i\delta z_i)$. Когда все выражено в величинах $q$, то $\delta U=\sum \frac{\partial U}{\partial q_s}\delta q_s$. Если это сравнить с только что упомянутым выражением $\mathrm{\Sigma }(X_i\delta x_i+Y_i\delta y_i+Z_i\delta z_i)$ и вспомнить $о$ правиле, данном во второй лекции, по которому при преобразовании координат надо представить вместо $\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i$ соответственно $\sum _s\frac{\partial x_i}{\partial q_s}\delta q_s;\sum \frac{\partial y_i}{\partial q_s}\delta q_s;$ $\sum \frac{\partial z_i}{\partial q_s}\delta q_s$ то легко видеть, что вместо $\sum _s\frac{\partial U}{\partial q_s}\delta q_s$ войдет выражение
$$\sum _i\sum _s(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+Y_i\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_s})\delta q_s$$

и, таким образом, вместо $\frac{\partial U}{\partial q_s}$ будет стоять выражение
$$Q_s=\sum _i(X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+{\dot{Y}}_i\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+Z_i\frac{\partial z_i}{\partial q_s}).$$

Посредством этого преобразования уравнение (8) заменится следующим:
$$\frac{d\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_s}=Q_s.$$

Если будем подставлять сюда вместо $s$ значения от 1 до $k^{\prime }$, то получим для рассматриваемого случая уравнения движения, выраженные в величинах $q$.

Мы хотим убедиться в справедливости уравнения (11) еще другим путем и для этого будем исходить из уравнений (5), данных в предыдущей лекции :
$$\begin{array}{l}{m}_i\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}=X_i+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial x_i}+\dots ,\\ m_i\frac{d^2{y}_i}{d{t}^2}=Y_i+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial y_i}+\dots \\ m_i\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}=Z_i+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_i}+\mu \frac{\partial \omega }{\partial z_i}+\dots \end{array}$$

Умножаем эти уравнения ${}^{\text{на }}\frac{\partial x_i}{\partial q_s},\frac{\partial y_i}{\partial q_s},\frac{\partial z_i}{\partial q_s}$ и суммируем по $i$; тогда получим множителем при $\lambda$ выражение
$$\sum _i(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+\frac{\partial f}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+\frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial z_i}{\partial q_s})=\frac{\partial f(q_1,q_2,\dots ,q_k)}{\partial q_s}.$$

Но выражение в правой части исчезает на основании уравнений (7) и то же будет с коэффициентом при $\mu$…; поэтому получаем, принимая во внимание уравнение (10):
$$\sum _i{m}_i\{\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+\frac{d^2{y}_i}{d{t}^2}\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}\frac{\partial z_i}{\partial q_s}\}=Q_s.$$

Чтобы убедиться в справедливости уравнения (11), мы должны показать, что его левая часть тождественна с левой частью уравнения (12). Это будет показано таким образом. Мы имеем
$$T=\frac{1}{2}\mathrm{\Sigma }{m}_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2});$$

поэтому
$$\begin{array}{l}\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}=\sum _i{m}_i(x_i^{\prime }\frac{\partial x_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }}+y_i^{\prime }\frac{\partial y_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }}+z_i^{\prime }\frac{\partial z_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }});\\ \frac{\partial T}{\partial q_s}=\sum _i{m}_i(x_i^{\prime }\frac{\partial x_i^{\prime }}{\partial q_s}+y_i^{\prime }\frac{\partial y_i^{\prime }}{\partial q_s}+z_i^{\prime }\frac{\partial z_i^{\prime }}{\partial q_s}).\end{array}$$

Но мы имеем еще дифференциальные уравнения :
$$\begin{array}{l}{x}_i^{\prime }=\frac{\partial x_i}{\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial x_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial x_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime },\\ y_i^{\prime }=\frac{\partial y_i}{\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial y_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial y_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime },\\ z_i^{\prime }=\frac{\partial z_i}{\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{\partial z_i}{\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{\partial z_i}{\partial q_k}{q}_k^{\prime },\end{array}$$

откуда следует, что
$$\frac{\partial x_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }}=\frac{\partial x_i}{\partial q_s};\frac{\partial y_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }}=\frac{\partial y_i}{\partial q_s};\frac{\partial z_i^{\prime }}{\partial q_s^{\prime }}=\frac{\partial z_i}{\partial q_s}.$$

Далее, имеем :
$$\begin{array}{l}\frac{\partial x_i^{\prime }}{\partial q_s}=\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_s\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_s\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_s\partial q_k}{q}_k^{\prime }=\frac{d\frac{\partial x_i}{\partial q_s}}{dt},\\ \frac{\partial y_i^{\prime }}{\partial q_s}=\frac{{\partial }^2{y}_i}{\partial q_s\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{{\partial }^2{y}_i}{\partial q_s\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{{\partial }^2{y}_i}{\partial q_s\partial q_k}{q}_k^{\prime }=\frac{d\frac{\partial y_i}{\partial q_s}}{dt},\\ \frac{\partial z_i^{\prime }}{\partial q_s}=\frac{{\partial }^2{z}_i}{\partial q_s\partial q_1}{q}_1^{\prime }+\frac{{\partial }^2{z}_i}{\partial q_s\partial q_2}{q}_2^{\prime }+\dots +\frac{{\partial }^2{z}_i}{\partial q_s\partial q_k}{q}_k^{\prime }=\frac{d\frac{\partial z_i}{\partial q_s}}{dt}.\end{array}$$

Подстановка этих значений в $\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}$ и в $\frac{\partial T}{\partial q_s}$ дает
$$\begin{array}{l}\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}=\sum _i{m}_i(x_i^{\prime }\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+y_i^{\prime }\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+z_i^{\prime }\frac{\partial z_i}{\partial q_s})\\ \frac{\partial T}{\partial q_s}=\sum _i{m}_i(x_i^{\prime }\frac{d\frac{\partial x_i}{\partial q_s}}{dt}+y_i^{\prime }\frac{d\frac{\partial y_i}{\partial q_s}}{dt}+z_i^{\prime }\frac{d\frac{\partial z_i}{\partial q_s}}{dt})\end{array}$$

поэтому
$$\begin{array}{rl}\frac{d\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_s}& =\sum _i{m}_i(\frac{d{x}_i^{\prime }}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+\frac{d{y}_i^{\prime }}{dt}\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+\frac{d{z}_i^{\prime }}{dt}\frac{\partial z_i}{\partial q_s})=\\ & =\sum _i^{\prime }{m}_i(\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}\frac{\partial x_i}{\partial q_s}+\frac{d^2{y}_i}{d{t}^2}\frac{\partial y_i}{\partial q_s}+\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}\frac{\partial z_i}{\partial q_s}),\end{array}$$

а отсюда следуют тождественность уравнений (11) и (12) и вместе с тем правильность первого из них.

Итак, если силовой функции нет, то уравнения движения будут вида (1); если она есть, то уравнения будут иметь вид (8) или, что то же, вид (9), а именно :
$$\frac{d{p}_s}{dt}=\frac{\partial (T+U)}{\partial q_s};p_s=\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}.$$

Благодаря форме этих уравнений получаем непосредственно следующий замечательный результат: Если можно выбрать новые переменные так, что одна из них, $q_s$, не входит в силовую функцию и что в $т$ не входит сама переменная $q_s$, а входит только ее производная $q_s^p$, то из этого обстоятельства каждый раз получится интеграл данной системы дифференциальных уравнений, именно $p_s=$ const или, что то же $\frac{\partial T}{\partial q_s^{\prime }}=$ const. Действительно, при сделанном предположении $\frac{\partial (T+U)}{\partial q_s}=0$; поэтому имеем $\frac{d{p}_s}{dt}=0$, откуда $p_i=$ const. Этот случай имеет место, например, при притяжении точки одним неподвижным центром. Если этот центр находится в начале координат, то имеем в полярных координатах (см. уравнение (3)) :
$$U=\frac{a}{r};T=\frac{1}{2}m(r^{\prime 2}+r^2{\phi }^2+r^2{\sin }^2\phi {\psi }^{\prime 2}),$$

и, таким образом, $\psi$ не входит в $U$, а в $T$ входит не само $\psi$, а его производная ${\psi }^{\prime }$, поэтому имеем
$$\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}=m{r}^2{\sin }^2\phi \cdot {\psi }^{\prime }=\mathrm{const},$$

или, внося множитель $m$ в постоянную,
$$r^2{\sin }^2\phi \cdot {\psi }^{\prime }=\text{ const },$$

что можно было бы вывести и из третьего уравнения (6). Это есть принцип площадей для плоскости $y,z$.
В самом деле, так как
$$x=r\cos \phi ;y=r\sin \phi \cos \psi ;z=r\sin \phi \sin \psi ,$$

тo
$$\mathrm{tg}\psi =\frac{z}{y};\frac{1}{{\cos }^2\psi }{\psi }^{\prime }=\frac{y{z}^{\prime }-z{y}^{\prime }}{y^2},$$

или после умножения на $y^2=r^2{\sin }^2\phi {\cos }^2\psi$ :
$$r^2{\sin }^2\phi \cdot {\psi }^{\prime }=y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt};$$

поэтому получим
$$r^2{\sin }^2\phi \cdot {\psi }^{\prime }=y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt}=\mathrm{const},$$
т. е. принцип площадей для плоскости $y,z$.