Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченным, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего,

силы $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ будут частными производными функции $U$; далее; пусть $T$ будет половина живой силы, т. е.
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\} ;
\]

тогда новый принцип содержится в уравнении
\[
\delta \int(T+U) d t=0 .
\]

Этот принцип по сравнению с принципом наименьшего действия более общий постольку, поскольку здесь $U$ может содержать явно также и $t$, что в первом принципе исключается, так как из него время должно быть исключено при помощи теоремы живой силы, которая может иметь место только в том случае, если $U$ не содержит явно времени.

Воспользуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциальных уравнений движения к одному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Как показал Гамильтон, вариацию (1) можно разложить с помощью интегрирования по частям на две части так, что одна из них стоит вне, а другая под знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким образом, выражение, стоящее под знаком интеграла, будучи приравнено нулю, дает дифференциальные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их интегральные уравнения.
Новый принцип, выраженный полностью, формулируется так:
Если даны положения системы в данный начальный момент $t_{0}$ и в дан-. ный конечный момент $t_{1}$, то для определения действительно происходящего движения служит уравнение
\[
\delta \int(T+U) d t=0 .
\]

Здесь интеграл берется от $t_{0}$ до $t_{1}, U$ есть силовая функция и может также содержать явно время; а $T$ есть половина живой силы, так что имеем
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right), \\
x_{i}^{\prime}=\frac{d x_{i}}{d t}, \quad y_{i}=\frac{d y_{i}}{d t}, \quad z_{i}=\frac{d z_{i}}{d t} .
\end{array}
\]

Если выполнить указанную в этом принципе вариацию, приписав координатам по правилам вариационного исчисления вариации $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ и оставив неизменной независимую переменную $t$, то получим
\[
\delta \int T d t=\int \delta T d t=\int \Sigma m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \delta x_{i}^{\prime}+y_{i}^{\prime} \delta y_{i}^{\prime}+z_{i}^{\prime} \delta z_{i}^{\prime}\right) d t .
\]

Подставляя вместо $\delta x_{i}^{\prime}, \delta y_{i}^{\prime}, \delta z_{i}^{\prime}$ выражения $\frac{d \delta x_{i}}{d t}, \frac{d \delta y_{i}}{d t}, \frac{d \delta z_{i}}{d t}$ и интегрируя по частям, найдем :
\[
\begin{aligned}
\delta \int T d t & =\int \sum m\left(x_{i}^{\prime} \frac{d \delta x_{i}}{d t}+y_{i}^{\prime} \frac{d \delta y_{i}}{d t}+z_{i}^{\prime} \frac{d \delta z_{i}}{d t}\right) d t= \\
& =\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \delta x_{i}+y_{i}^{\prime} \delta y_{i}+z_{i}^{\prime} \delta z_{i}\right)-\int \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime \prime} \delta x_{i}+y_{i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+z_{i}^{\prime \prime} \delta z_{i}\right) d t,
\end{aligned}
\]

где $x_{i}^{\prime \prime}, y_{i}^{\prime \prime}, z_{i}^{\prime \prime}$ – вторые производные от $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, , взятые по $t$. Но так как начальные и конечные положения даны, то $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ уничтожаются на границах интегрирования и члены, стоящие вне знака интеграла, обрацаются в нуль, так что
\[
\delta \int T d t=-\int \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime \prime} \delta x_{i}+y_{i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+z_{i}^{\prime \prime} \delta z_{i}\right) d t ;
\]

таким образом, имеем
\[
\delta \int(T+U) d t=-\int\left\{\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime \prime} \delta x_{i}+y_{i}^{\prime \prime} \delta y_{i}+z_{i}^{\prime \prime} \delta z_{i}\right)-\delta U\right\} d t,
\]

где
\[
\delta U=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right) .
\]

Из уравнения (2) на самом деле следует данное ранее во второй лекции символическое основное уравнение динамики.

Содержащийся в уравнении (1) принцип очень полезен при преобразовании координат. Уравнение это имеет место для всякой системы координат ; поэтому в новой системе надо так же варьировать по новым координатам, как раньше по старым, и вся подстановка, которая должна быть произведена, ограничивается обоими выражениями $T$ и $U$.

Применим это сначала к полярным координатам; формулы преобразования в этом случае имеем такие :
\[
\begin{array}{l}
x_{i}=r_{i} \cos \varphi_{i}, \\
y_{i}=r_{i} \sin \varphi_{i} \cos \psi_{i}, \\
z_{i}=r_{i} \sin \varphi_{i} \sin \psi_{i} .
\end{array}
\]

Отсюда следует после дифференцирования :
\[
\begin{array}{l}
d x_{i}=\cos \varphi_{i} d r_{i}-r_{i} \sin \varphi_{i} d \varphi_{i}, \\
d y_{i}=\sin \varphi_{i} \cos \varphi_{i} d r_{i}+r_{i} \cos \varphi_{i} \cos \psi_{i} d \varphi_{i}-r_{i} \sin \varphi_{i} \sin \psi_{i} d \varphi_{i}, \\
d z_{i}=\sin \varphi_{i} \sin \psi_{i} d r_{i}+r_{i} \cos \varphi_{i} \sin \varphi_{i} d \varphi_{i}+r_{i} \sin \varphi_{i} \cos \psi_{i} d \varphi_{i} ;
\end{array}
\]

поэтому
\[
d x_{i}^{2}+d y_{i}^{2}+d z_{i}^{2}=d r_{i}^{2}+r_{i}^{2} d \varphi_{i}^{2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} d \psi_{i}^{2},
\]

или
\[
x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}=r_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{\prime 2} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2},
\]

где
\[
r_{i}^{\prime}=\frac{d r_{i}}{d t} ; \quad \varphi_{i}^{\prime}=\frac{d \varphi_{i}}{d t} ; \quad \psi_{i}^{\prime}=\frac{d \varphi_{i}}{d t} .
\]

Таким образом, тотчас получаем
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(r_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{\prime 2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) .
\]

При этом предположении и допущении, что $U$ таюже выражено через новые координаты, мы найдем уравнение, следующее из $\delta \int(T+U) d t=0$ по общим правилам вариационного исчисления.

Пусть $P$ есть функция нескольких переменных $p, \ldots$ и их первых производных $p^{\prime}, \ldots$, причем предполагается, что все $p$ зависят от одной независимой переменной $t$, и пусть первая вариация от $\int P d t$ исчезает, т. е.
\[
\delta \int P d t=0,
\]

где интеграл надо брать от $t_{0}$ до $t_{1}$ и где значения $p$, соответствующие этим значениям $t$, заданы ; тогда путем выкладок, таких же, как и в шестой лекции (стр. 301 и след.), придем к уравнению
\[
0=\sum\left[\frac{d \frac{d P}{d p^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial P}{\partial p}\right] \delta p .
\]

В нашем случае вместо величин $p$ стоят $r_{i}, \varphi_{i}, \varphi_{i}$, а $P=T+U$; далее, $U$ не содержит производных $r_{i}^{\prime}, \varphi_{i}^{\prime}, \psi_{i}^{\prime} ;$ поэтому получаем :
\[
\begin{aligned}
0=\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial r_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial r_{i}}-\frac{\partial U}{\partial r_{i}}\right] \delta r_{i} & +\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}}-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}}\right] \delta \varphi_{i}+ \\
& +\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial \psi_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \psi_{i}}-\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}}\right] \delta \psi_{i} .
\end{aligned}
\]

Но на основании уравнения (3)
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial r_{i}^{\prime}}=m_{i} r_{i}^{\prime} ; \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}^{\prime}}=m_{i} r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime} ; \quad \frac{\partial T}{\partial \psi_{i}^{\prime}}=m_{i} r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime} \\
\frac{\partial T}{\partial r_{i}}=m_{i}\left(r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) ; \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}}=\frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2} ; \quad \frac{\partial T}{\partial \psi_{i}}=0
\end{array}
\]

таким образом, имеем :
\[
\begin{array}{l}
0=\sum\left\{m_{i}\left(\frac{d r_{i}^{\prime}}{d t}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right)-\frac{\partial U}{\partial r_{i}}\right\} \delta r_{i}+ \\
+\sum\left\{m_{i}\left(\frac{d\left(r^{2} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right)-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}^{\prime}}\right\} \delta \varphi_{i}+\sum\left\{m_{i} \frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}}\right\} \delta \psi_{i},
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta r_{i}+\right. \\
\left.+\left(\frac{d\left(r_{i}^{2} \varphi_{i}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta \varphi_{t}+\frac{d\left(r_{i}^{2} \sin \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t} \delta \psi_{i}\right\}= \\
=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial r_{i}} \delta r_{i}+\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}+\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}} \delta \varphi_{i}\right)=\delta U .
\end{array}
\]

Если имеются еще условные уравнения $f=0, \omega=0, \ldots$, то в правой части этого уравнения к $\delta U$ присоединяется еще сумма $\lambda \delta f+\mu \delta \omega+\ldots$ и, таким образом, в этом случае получится
\[
\begin{array}{r}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta r_{i}+\left(\frac{d\left(r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta \varphi_{i}+\right. \\
\left.+\frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t} \delta \psi_{i}^{\prime}\right\}=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega+\ldots
\end{array}
\]

Это уравнение распадается на $3 n$ уравнений следующего вида :
\[
\left.\begin{array}{rl}
m_{i}\left\{\frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{2}\right\} & =\frac{\partial U}{\partial r_{i}}+\lambda \frac{\partial f}{\partial r_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial r_{i}}+\ldots, \\
m_{i}\left\{\frac{d\left(r^{2} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right\} & =\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}}+\lambda \frac{\partial f}{\partial \varphi_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial \varphi_{i}}+\ldots, \\
m_{i}\left\{\frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t}\right\} & =\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}}+\lambda \frac{\partial f}{\partial \psi_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial \psi_{i}}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Особенную важность имеет преобразование первоначальных координат в новые, которые выбраны так, что когда все через них выражено; то условные уравнения выполняются сами собой. Именно, если имеется $m$ условных уравнений, то можно все $3 n$ координат выразить через $3 n-m$ из них или через $3 n-m$ функций от них. В большинстве случаев очень важно ввести не самые координаты, но новые величины так, чтобы избежать иррациональ-

ностей. Например, при движении точки по эллипсоиду наибольшую важность имеют формулы :
\[
x=a \cos \eta ; \quad y=b \sin \eta \cos \zeta ; \quad z=c \sin \eta \sin \zeta .
\]

Обозначим новые $3 n-m=k$ величин через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$; эти величины должны быть таковы, что если через них выразить $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, \ldots$ и подставить эти выражения в $m$ условных уравнений $f=0, \omega=0, \ldots$, то левые части этих уравнений обратятся тождественно в нуль, т. е. должны иметь место тождества :
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}\right)=0 ; \omega\left(q_{1} q_{2}, \ldots, q_{k}\right)=0, \ldots,
\]

причем $q$ не связаны никаким уравнением. Благодаря этому дифференциальные уравнения движения значительно упростятся. Именно, общее символическое основное уравнение динамики для любой системы координат при существовании условных уравнений будет
\[
\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}\right] \delta q_{s}=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega+\ldots,
\]

где знак суммы распространяется на все $q$. Но для наших величин $q$ уравнения (7) имеют место тождественно ; поэтому после введения этих величин будем иметь $\delta f=0, \delta \omega=0$ и т. д., и предыдущее уравнение приводится к уравнению
\[
\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}\right] \delta q_{s}=\delta U,
\]

которое разлагается на $k$ дифференциальных уравнений вида
\[
\frac{d \frac{\partial T_{i}}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\frac{\partial U}{\partial q_{s}} .
\]

Это – та форма, в которой Лагранж представил дифференциальные уравнения движения уже в старом издании Аналитической механики [140].

Если представим себе все координаты выраженными через величины $q$, то получим после дифференцирования :
\[
\begin{aligned}
x_{i}^{\prime} & =\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime}, \\
y_{i}^{\prime} & =\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime}, \\
z_{i}^{\prime} & =\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{i}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Если подставим эти значения в $T=\frac{1}{2} \Sigma m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)$, то получим выражение, которое представляет собой однородную функцию второй степени относительно величин $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$, коэффициенты которой – известные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$. Если мы положим
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}=p_{s},
\]

то уравнение (8) можем написать еще так:
\[
\frac{d p_{s}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}} .
\]

Это, правда, еще не окончательная форма уравнений движения, так как она требует дальнейших преобразований ; но раньше чем этим заняться, распространим предыдущее рассуждение на тот случай, когда не существует силовой функции, а на месте $\delta U$ в первоначальном символическом уравнении стоит $\Sigma\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$. Когда все выражено в величинах $q$, то $\delta U=\sum \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$. Если это сравнить с только что упомянутым выражением $\Sigma\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$ и вспомнить $о$ правиле, данном во второй лекции, по которому при преобразовании координат надо представить вместо $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ соответственно $\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s} ; \sum \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s} ;$ $\sum \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$ то легко видеть, что вместо $\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$ войдет выражение
\[
\sum_{i} \sum_{s}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) \delta q_{s}
\]

и, таким образом, вместо $\frac{\partial U}{\partial q_{s}}$ будет стоять выражение
\[
Q_{s}=\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\dot{Y}_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) .
\]

Посредством этого преобразования уравнение (8) заменится следующим:
\[
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=Q_{s} .
\]

Если будем подставлять сюда вместо $s$ значения от 1 до $k^{\prime}$, то получим для рассматриваемого случая уравнения движения, выраженные в величинах $q$.

Мы хотим убедиться в справедливости уравнения (11) еще другим путем и для этого будем исходить из уравнений (5), данных в предыдущей лекции :
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}+\ldots, \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial y_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial z_{i}}+\ldots
\end{array}
\]

Умножаем эти уравнения $^{\text {на }} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}, \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}, \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}$ и суммируем по $i$; тогда получим множителем при $\lambda$ выражение
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right)=\frac{\partial f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}\right)}{\partial q_{s}} .
\]

Но выражение в правой части исчезает на основании уравнений (7) и то же будет с коэффициентом при $\mu$…; поэтому получаем, принимая во внимание уравнение (10):
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right\}=Q_{s} .
\]

Чтобы убедиться в справедливости уравнения (11), мы должны показать, что его левая часть тождественна с левой частью уравнения (12). Это будет показано таким образом. Мы имеем
\[
T=\frac{1}{2} \Sigma m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right) ;
\]

поэтому
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}+y_{i}^{\prime} \frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}+z_{i}^{\prime} \frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}\right) ; \\
\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}+y_{i}^{\prime} \frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}+z_{i}^{\prime} \frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}\right) .
\end{array}
\]

Но мы имеем еще дифференциальные уравнения :
\[
\begin{array}{l}
x_{i}^{\prime}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime}, \\
y_{i}^{\prime}=\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime}, \\
z_{i}^{\prime}=\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime},
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} ; \quad \frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} ; \quad \frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} .
\]

Далее, имеем :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}^{\prime}=\frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}, \\
\frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}^{\prime}=\frac{d \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}, \\
\frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}^{\prime}=\frac{d \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}}{d t} .
\end{array}
\]

Подстановка этих значений в $\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}$ и в $\frac{\partial T}{\partial q_{s}}$ дает
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+y_{i}^{\prime} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+z_{i}^{\prime} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) \\
\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}+y_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}+z_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}\right)
\end{array}
\]

поэтому
\[
\begin{aligned}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}} & =\sum_{i} m_{i}\left(\frac{d x_{i}^{\prime}}{d t} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d y_{i}^{\prime}}{d t} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d z_{i}^{\prime}}{d t} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right)= \\
& =\sum_{i}^{\prime} m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right),
\end{aligned}
\]

а отсюда следуют тождественность уравнений (11) и (12) и вместе с тем правильность первого из них.

Итак, если силовой функции нет, то уравнения движения будут вида (1); если она есть, то уравнения будут иметь вид (8) или, что то же, вид (9), а именно :
\[
\frac{d p_{s}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}} ; \quad p_{s}=\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}} .
\]

Благодаря форме этих уравнений получаем непосредственно следующий замечательный результат: Если можно выбрать новые переменные так, что одна из них, $q_{s}$, не входит в силовую функцию и что в $т$ не входит сама переменная $q_{s}$, а входит только ее производная $q_{s}^{p}$, то из этого обстоятельства каждый раз получится интеграл данной системы дифференциальных уравнений, именно $p_{s}=$ const или, что то же $\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}=$ const. Действительно, при сделанном предположении $\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}}=0$; поэтому имеем $\frac{d p_{s}}{d t}=0$, откуда $p_{i}=$ const. Этот случай имеет место, например, при притяжении точки одним неподвижным центром. Если этот центр находится в начале координат, то имеем в полярных координатах (см. уравнение (3)) :
\[
U=\frac{a}{r} ; \quad T=\frac{1}{2} m\left(r^{\prime 2}+r^{2} \varphi^{2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi \psi^{\prime 2}\right),
\]

и, таким образом, $\psi$ не входит в $U$, а в $T$ входит не само $\psi$, а его производная $\psi^{\prime}$, поэтому имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}=m r^{2} \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{\prime}=\mathrm{const},
\]

или, внося множитель $m$ в постоянную,
\[
r^{2} \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{\prime}=\text { const },
\]

что можно было бы вывести и из третьего уравнения (6). Это есть принцип площадей для плоскости $y, z$.
В самом деле, так как
\[
x=r \cos \varphi ; \quad y=r \sin \varphi \cos \psi ; \quad z=r \sin \varphi \sin \psi,
\]

тo
\[
\operatorname{tg} \psi=\frac{z}{y} ; \quad \frac{1}{\cos ^{2} \psi} \psi^{\prime}=\frac{y z^{\prime}-z y^{\prime}}{y^{2}},
\]

или после умножения на $y^{2}=r^{2} \sin ^{2} \varphi \cos ^{2} \psi$ :
\[
r^{2} \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{\prime}=y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t} ;
\]

поэтому получим
\[
r^{2} \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{\prime}=y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}=\mathrm{const},
\]
т. е. принцип площадей для плоскости $y, z$.