Дифференциальное уравнение (63) открывает много возможностей для преобразования выражений путем выбора других независимых переменных, которыми частично пользовался уже Гамильтон*). Но так как он при этом предполагал, что живая сила является однородной функцией второго порядка от скоростей, то я позволю себе здесь провести то из этих преобразований для более общей формы задачи, при котором не приходится исключать действие внешних переменных сил. Это’преобразование получается следующим образом: в выражении для $H$ или соответственно для $E$ скорости $q_{i}$ заменяются импульсами $s_{i}$.

Мы рассматривали кинетический потенциал $H$ как функцию $p_{i}$ и $q_{i}$. В соответствии с этим
\[
d H=\Sigma\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}\right) .
\]

Мы ввели обозначение
\[
-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=s_{i} \text {. }
\]

Отсюда следует
\[
d E=d\left[H+\sum_{i}\left(s_{i} q_{i}\right)\right]=\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+q_{i} d s_{i}\right) .
\]

Если определитель величин $\frac{\partial s i}{\partial q_{j}}$ не равен нулю, мы можем $p_{i}$ и $s_{i}$ ввести в качестве переменных вместо $p_{i}$ и $q_{i}$, и тогда из уравнения (74) получается:
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\frac{\partial E}{\partial p_{i}}, \quad q_{i}=\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial E}{\partial s_{i}} .
\]

Здесь при частных дифференцированиях предполагается, что $H$ выражается в функции переменных $p_{i}$ и $q_{i}$, а $E$ – в функции переменных $p_{i}$ и $s_{i}$.
Отсюда находим значение силы, определяемое уравнением (4):
\[
\begin{array}{c}
P_{i}=-\frac{\partial E}{\partial p_{i}}-\frac{d s_{i}}{d t}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial E}{\partial s_{i}}, \\
H=E-\sum_{i}\left(s_{i} \frac{\partial E}{\partial s_{i}}\right) .
\end{array}
\]

Соответствующая вариационная задача получает несколько иную форму по сравнению с формой Гамильтона :
\[
\Psi^{-}=\int^{t_{1}} d t\left\{E+\sum_{i}\left[p_{i}\left(P_{i}+\frac{d s_{i}}{d t}\right)\right]\right\} .
\]

Здесь $P_{i}$ рассматривается как функция одного только времени, $E$ – қак функция $p_{i}$ и $s_{i}$. Проварьируем $p_{i}$ и $s_{i}$ одни независимо от других и потребуем, чтобы для предельных значений времени все $d s_{i}$ были равны нулю. Тогда без других вспомогательных уравнений условие
\[
\delta \Psi=0
\]

дает обе системы уравнений движения (75).
При таком способе представления нам вовсе не нужно знать кинетическую энергию, но нам должны быть известны величины $s_{i}$, которые для более общей формы $E$ мы можем вывести из $q_{i}$ только посредством функции $H$.

Соответствующая форма дифференциального уравнения (63) для случая, когда $P_{i}$ равны нулю, получается путем прибавления к обеим частям уравнения

величины
\[
d \Phi=E d t-\sum_{i}\left(s_{i} d p_{i}\right)-\sum_{i}\left(\xi_{i} d p_{i}\right)
\]

это дает
\[
\begin{array}{c}
d\left[\sum_{i}\left(s_{i} p_{i}\right)-\sum_{i}\left(\mathfrak{\xi}_{i} \mathfrak{p}_{i}\right)\right] \\
d\left[\Phi+\sum_{i}\left(s_{i} p_{i}\right)-\sum_{i}\left(\mathfrak{\xi}_{i} \mathfrak{p}_{i}\right)\right]=d \Psi=E d t+\sum_{i}\left(p_{i} d s_{i}\right)-\sum_{i}\left(\mathfrak{p}_{i} d \xi_{i}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому, если $E, p_{i}$ и $\mathfrak{p}_{i}$ представлены как функции времени $t$, а также переменных $s_{i}$ и $\mathfrak{\xi}_{i}$, то справедливы следующие системы уравнений :
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial s_{j}}=\frac{\partial p_{j}}{\partial s_{i}}, \frac{\partial \mathfrak{p}_{i}}{\partial \xi_{j}}=\frac{\partial \mathfrak{p}_{j}}{\partial \xi_{i}}, \frac{\partial p_{i}}{\partial \mathfrak{\xi}_{j}}=-\frac{\partial \mathfrak{p}_{j}}{\partial s_{i}}, \frac{\partial E}{\partial s_{i}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial t}, \frac{\partial E}{\partial \xi_{i}}=-\frac{\partial \mathfrak{p}_{i}}{\partial t} .
\]

Средняя из этих систем уравнений может быть снова применена подобно уравнениям (61) для того, чтобы образовать второй закон взаимности. В начале промежутка времени $t$ совершается перемещение $\delta \mathfrak{p}_{1}$, тогда как другие $\mathfrak{p}_{i}$ и $\mathfrak{s}_{i}$ остаются без изменения ; в результате по истечении времени $t$ величина $s_{2}$ изменяется на $\delta s_{2}$. Затем при обратном движении изменяется только $p_{2}$ на величину $\delta p_{2}$, в результате чего по истечении времени $t$ импульс $\xi_{1}$ меняется на величину $\delta \xi_{1}$. Тогда мы опять будем иметь
\[
\delta \mathfrak{p}_{1}: \delta s_{2}=\delta \mathfrak{p}_{2}: \delta \mathfrak{\xi}_{1}
\]

в предположении, что определитель уравнений
\[
\delta p_{i}=\sum_{j}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial \xi_{j}} d s_{j}\right)
\]

не равен нулю. Если же он равен нулю, то оба положения являются взаимными фокусами движения.

Берлин, апрель 1886.