В своей теории атома Бор впервые высказал предположение, что из числа замкнутых траекторий, описываемых электроном вокруг положительного центра, только некоторые устойчивы, другие же либо не реализуются в природе, либо настолько неустойчивы, что их не стоит принимать в расчет. Ограничиваясь круговыми орбитами, имеющими только одну степень свободы, Бор выдвинул следующее условие: Устойчивыми являются только такие круговые орбиты, для которых момент количества движения является целым кратным $\frac{h}{2 \pi}$, где $h$-константа Планка. Это можно записать в виде
\[
m_{0} \omega R^{2}=n \frac{h}{2 \pi} \quad(n-\text { целое число) },
\]
или
\[
\int_{0}^{2 \pi} p_{\theta} d \theta=n h,
\]
где $\theta$ – азимутальный угол, выбранный как координата $q$ Лагранжа, а $p_{\theta}$ – соответствующий импульс.
Чтобы распространить этот вывод на случай большого числа степеней свободы, Зоммерфельд и Уильсон показали, что можно выбрать такие координаты $q_{i}$, для которых условия квантования орбит будут
\[
\oint p_{i} d q_{i}=n_{i} h \quad\left(n_{i} \text { – целые числа }\right) .
\]
Знак $\oint$ показывает, что интеграл распространен на всю область изменения координат.
В 1917 г. Эйнштейн дал условие квантования в инвариантной форме по отношению к изменению координат*). Мы дадим его для случая замкнутых орбит ; оно будет в этом случае иметь вид
\[
\oint \sum_{1}^{3} p_{i} d q_{i}=n h \quad(n-\text { целое число) },
\]
где интеграл распространен на всю длину траектории. Мы узнаем интеграл действия Мопертюи, который имеет большое значение в теории квантов. К тому же этот интеграл не зависит от выбора координат пространства благодаря известному свойству, выражающему ковариантный характер компонентов $p_{i}$ вектора импульса. При помощи классического метода Якоби этот интеграл определяется как полный интеграл уравнения в частных производных
\[
H\left(\frac{\partial S}{\partial q_{i}}, q_{i}\right)=W(i=1,2, \ldots, f),
\]
содержащий $f$ произвольных констант, одна из которых – энергия $W$. Если имеется только одна степень свободы, то соотношение Эйнштейна фиксирует энергию $W$; если число степеней свободы больше единицы (в наиболее важном случае движения электрона во внутриатомном поле имеются а priori три степени свободы), то получается только одно соотношение между $W$ и целым числом $n$, а именно, для эллипсов Кеплера, если пренебречь изменением массы при изменении скорости. Но если движение квазипериодично, что, кстати говоря, имеет место благодаря изменению, о котором говорилось выше, то можно найти координаты, которые колеблются в определенных пределах (либрации), и существует бесконечное число псевдопериодов, приблизительно равных целым кратным периодов либраций. В конце каждого из этих псевдопериодов движущееся тело возвращается в состояние, произвольно близкое к начальному состоянию. Уравнение Эйнштейна, примененное к каждому из этих псевдопериодов, приводит к бесконечности условий, которые совместимы только в том случае, если выполняются условия Зоммерфельда; так как число последних равно числу степеней свободы, все константы оказываются фиксированными и не остается никакой неопределенности.
Чтобы рассчитать интегралы Зоммерфельда, можно с успехом воспользоваться уравнением Якоби и теоремой вычетов, а тажже понятием угловых переменных. За последние годы эти вопросы были предметом многочисленных работ, изложенных в прекрасной книге Зоммерфельда «Atombau und Spectrallinien» (франц. издание, перевод Bellenot, Изд-во Blanchard, 1923 г.). Мы не будем здесь заниматься этими вопросами, а ограничимся замечанием, что, в конце концов, проблема квантования в принципе полностью сводится к условию Эйнштейна для замкнутых орбит. Если нам удастся объяснить это условие, то тем самым мы выясним вопрос об устойчивых траекториях.
