Вариационный принцип для физической проблемы впервые был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. и применен к решению задач отражения и преломления света. Это был принцип кратчайшего времени или принцип Ферма. Естественно, возникает вопрос о том, почему экстремальный принцип возник первоначально в оптике, а не в механике, хотя и в последней уже в то время имелось достаточно отдельных высказываний о простоте законов движения или, в телеологическом варианте, о том, что природа достигает своих целей простейшими средствами.

Дело в том, что для оптической задачи величина, которая должна быть минимумом в конкретных явлениях, легко доступна пониманию и не требует дальнейших исследований. Это-время. Как бы ни относиться к философским проблемам, связанным с категорией времени, наглядные и издревле измеряемые интервалы времени в достаточно широких пределах не нуждаются в другом определении, кроме возможности сравнения их, т. е. установления отношений равенства и \”больше или меньше».

Иное положение в механике. В механике совсем не очевидно, какая величина в процессе движения должна быть минимумом (или максимумом),

и, как мы теперь знаем, структура этой величины отнюдь не яввляется простой; в механике, кроме того, необходимо специальное выяснение характера варьированных движений.

Поэтому, хотя поиски экстремальных соотношений в оптике и механике начались на самой заре развития вариационного исчисления, которое и возникло в связи с этими поисками и при решении соответствующих частных задач (например, задачи о брахистохроне), однако оформились они в виде ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось ни разработки такого сложного понятия, как «действие», ни выяснения характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического движения, поэтому, почти одновременно с возникновением принципа кратчайшего времени в оптике, возникла идея о применении его в механике, а также о разработке в механике самостоятельного, но аналогичного по структуре принципа. Механистическая концепция физической картины мира подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики первая, еще не ясная, но чреватая многочисленшыми последствиями идея оптико-механической аналогии.

Пьер Ферма в 1662 г. положил в основу своего исследования закона преломления принцип кратчайшего времени. В заметке «Synthesis ad Refractiones» он вывел закон преломления света геометрическим способом, исходя из этого принципа. По мнению Ферма, «природа действует наиболее легкими доступными путями, а отнюдь не более краткими», как это думают многие. Это положение является единственным постулатом, который Ферма кладет в основание своих рассуждений. Конкретизируя эту идею, он говорит: «Подобно тому как Галилей, когда рассматривал движение тяжелых тел в природе, измерял отношения его не столько расстоянием, сколько временем, мы так же рассматриваем не кратчайшие расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче, удобнее и за более короткое время*)».

Вывод закона преломления, проведенный геометрическим способом, очень громоздок. В изложениях различных авторов своеобразная прелесть рассуждений Ферма почти исчезает.

Как известно, принцип Ферма является наиболее общей математической формой выражения законов геометрической оптики.

Итак, принцип кратчайшего времени был сформулирован и продемонстрирован в геометрической оптике. Немедленно и закономерно возникла проблема отыскания аналогичных задач с минимальным значением времени в механике. Рассмотрение одной из них связано с возникновением вариационного исчисления и привело в дальнейшем к формулированию вариационного принципа в механике. Более широкая постановка таких задач связана с проблемой определения кривой при условии, что некоторая величина, связанная с ее формой, имеет максимум или минимум, т. е. отысканием кривой, обладающей некоторым свойством максимума или минимума. Первой задачей такого рода была задача, приведенная Ньютоном в его Началах (книга II, секция VII, предложение 34): какую форму надо придать твердому телу вращения, движущемуся вокруг оси, для того, чтобы испытываемое им сопротивление было наименьшим? Решение задачи он привел без указания способа, которым оно было найдено.

В 1696 г. в июньской книге лейпцигского журнала «Acta Eruditorum» (стр. 264) И. Бернулли опубликовал заметку «Problema novum, ad cujus solutionum Mathematici invitantur\”**) (\”Новая задача, к разрешению которой приглашаются математики»). Это была знаменитая задача о брахистохроне

или кривой наискорейшего ската : даны две точки в вертикальной плоскости, найти вид кривой линии, спускаясь по которой тяжелое тело прошло бы путь между этими точками в наименьшее время. Решение этой, по словам Лейбница, \”столь прекрасной и до сих пор неслыханной задачи», было дано самим И. Бернулли, Лейбницем, Ньютоном, Я. Бернулли и Лопиталем.

Задача И. Бернулли, сыграла важную роль в развитии вариационному исчислению. На решение ее был дан полугодичный срок, но решение прислал один Лейбниц. Поэтому, по его предложению, И. Бернулли продлил срок до пасхи 1697 г. За это время задача была решена также Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем, которые нашли, что кривой наибыстрейшего спуска является циклоида. Галилей, который впервые поставил этот вопрос, ошибочно считал, что брахистохроной является дуга круга. Решение Ньютона было напечатано в майском номере \”Philosophical Transactions» за 1697 г. (№224, стр. 384) без подписи автора. В майском номере «Acta Eruditorum», в котором опубликовал свое решение И. Бернулли, были напечатаны статьи Я. Бернулли и Лопиталя с аналогичными решениями.

В решении И. Бернулли речь идет одновременно об оптике и механике, о движении луча и тяжелой частицы.

Указав на то, что Ферма вывел закон преломления света из принципа кратчайшего пути (при $v=$ const принцип кратчайшего времени Ферма переходит в принцип кратчайшего пути), И. Бернулли рассматривает задачу 0 кривизне луча в неоднородных прозрачных средах. Этому вопросу посвящена его работа «Кривизна луча в неоднородных прозрачных средах и решение задачи, предложенной мной в «Аста» за 1696 г., стр. 269 , о нахождении брахистохронной линии, т. е. такой линии, по которой тело должно проходить от одной заданной точки до другой в кратчайшее время ; затем о построении синхронной кривой, т. е. волны лучей»*). И. Бернулли не ищет общих методов решения проблемы отыскания максимума или минимума какой-либо функции, он указывает, что сомневается в самой возможности существования таких общих методов. Его цель-дать метод решения специальной задачизадачи о брахистохроне – метод, который может оказаться применимым и для других задач аналогичного характера. Прежде всего Бернулли указывает на изумительный, по его мнению, результат, что брахистохроной, так же как и таутохроной Гюйгенса, является циклоида. Этот результат он нашел двумя путями : косвенным и прямым.

Тут же И. Бернулли дает, по существу, первую формулировку оптикомеханической аналогии, хотя, еще в очень частной форме. Он пишет : «Я укажу, что мною открыто удивительное совпадение между кривизной луча света в непрерывно изменяющейся среде и нашей брахистохронной кривой»**).

Для того чтобы перейти к механике в целом, необходимо было выяснить, какая величина может быть минимальной (или максимальной) в процессе. движения. Эта проблема, которая, так же как и принцип Ферма, возникла еще в XVII в., была более или менее отчетливо выяснена только в середине XVIII в. и доведена до такой же математической ясности и определенности, как принцип Ферма, только в XIX в.

Впервые понятие «действие» сформулировано Лейбницем, на которого в этом отношении ссылается и Мопертюи. Оно изложено в труде по динамике, над которым работал Лейбниц во время путешествия по Италии в 1669 г., но который остался незаконченным и только в 1860 г. был издан Г. И. Гергардтом по рукописи, сохранившейся в королевской библиотеке в Ганновере. Лейбниц***) называет эту величину «actio formalis». Смысл этого понятия

состоит в том, что изменение положения, происходящее непрерывно вследствие силы инерции движущейся массы, само собой вытекает из понятия массы, является ее действием – actio formalis. Измеряется эта величина произведением массы, скорости и длины пути, а так как длина пути может быть представлена в виде произведения скорости на время, то величина действия определяется произведением живой силы на время. В дальнейшем изложении Лейбниц тщательно, можно сказать пространно, обсуждает выбор этой меры и старается показать, что это мера при прочих равных условиях, при одинаковой массе и скорости должна быть пропорциональна пройденному пространству. Но зависимость от скорости. Лейбниц обосновывает посредством одной или, собственно, двух новых предпосылок, из которых, однако, только первую он отчетливо формулирует как аксиому, а именно: «если одна и та же масса проходит ту же самую длину пути за более короткре время, то это является большим действием»*).

Из рассмотрения хода рассуждений Лейбница хорошо видно, что для него дело заключается в том, чтобы обязательно доказать правильность определения величины действия, и поэтому пробелы в своих рассуждениях он по возможности заполняет более или менее вероятными предположениями. Естественно сделать отсюда вывод, что перед ним была цель, для которой ему были нужны именно эта величина действия и ее понятие. Однако эта цель не обнаруживается, так как работа Лейбница по динамике**) не завершена. Лейбниц пишет Иоганну Бернулли, что написанную им в Италии книгу он оставил для издания во Флоренции превосходному, дружески расположенному математику, барону фон Боденгаузену.

На полях подлинной рукописи имеются заметки, которые указывают на намерение пересмотреть ее. Из нее была опубликована только короткая выдержка в Acta Eruditorum в 1695 г., остальная же часть осталась неопубликованной. В опубликованной выдержке находится исследование понятия действия, но ничего нет о мере действия.

Обстоятельность изложения и обоснования свидетельствует о том, какое большое значение Лейбниц придавал этому понятию. В опубликованном тексте единственное употребление, которое он сделал из этого понятия, заключается в том, что с его помощью обосновывается один из путей определения величины эквивалента работы (потенция) движущегося тела. Для этого Лейбниц, правда, без дальнейшего доказательства, делает предпосылку, что при различных скоростях потенция в равное время выполненной астіо formalis должна быть пропорциональна этим скоростям.

Однако из его рассуждений все же становится ясным, что побудило его понимать продолжение направленного движения под влиянием силы инерции не только как пассивное состояние, как инерцию, но как действие, так как именно это движение является носителем потенции, неразрушимость которой Лейбниц подразумевает и переход которой в другие эквивалентные формы работы ему уже известен.

Но если Лейбниц имел в виду из понятия действия найти лишь величину энергии, то это представляется весьма странным обходным путем, который едва ли был способен произвести впечатление на его противников картезианцев.

В работе Лейбница о динамике и в его переписке с Бернулли по этому вопросу, где он защищает свое определение величины действия, не содержится никаких определенных указаний на принцип наименьшего действия,

между тем очевидно, что до открытия принципа наименьшего действия ему оставался всего один шаг. При таком положении вещей подлинность отрывка письма, якобы направленного Лейбницем базельскому математику Германну и опубликованного Самуилом Кёнигом в 1751 г., кажется очень вероятной. В нем говорится :
«В действие входит не только время, как вы полагаете; оно есть произведение массы на время или времени на живую силу. Я заметил, что в изменениях движений оно остается обычно максимумом или минимумом. Отсюда можно вывести различные предложения …»*).

Даже не рассматривая вопроса о подлинности этого письма, надо признать,что здесь отнюдь не сформулирован универсальный закон Мопертюи о минимуме количества действия. На это указывает и оговорка «обычно» и указание на «максимум или минимум». Возможно, что именно потому, что Лейбниц не мог найти условий обязательности для действия быть минимумом, он не опубликовал своих соображений, довольно естественно связанных с исследованием экстремальных задач, например брахистохроны.
Во всяком случае Мопертюи не знал этих соображений Лейбница.