Гельмгольцу принадлежат некоторые соображения, обладающие несколько большей общностью. Пусть опять дана система из $n$ точек, которые могут находиться во взаимодействии с $n^{\prime}$ точками, закрепленными раз и навсегда, причем эти точки могут быть также, если угодно, причислены к $n$ точкам. Пусть $F$ – силовая функция всех сил, действующих между этими точками, $T$-кинетическая энергия $n$ точек. Здесь положим опять, как
мы это делали в $\S 45-52$ (но вразрез с прежними нашими обозначениями):
\[
\begin{array}{l}
T+F=E, \\
T-F=H,
\end{array}
\]

так что $E$ есть полная энергия $n+n^{\prime}$ точек. Между координатами, которые определяют положение $n$ точек, могут быть циклические, которые мы опять обозначим через $p_{b}$; это значит, что они могут входить в выражения для $T$ и $F$ только под знаком производной по времени. В выражение для $T$ могут входить только $p_{b}^{\prime}$. Пусть общее число этих циклических координат будет $\sigma$. Следовательно, полная обобщенная сила – $\frac{\partial F}{\partial p_{b}}$ взаимодействия $n+n^{\prime}$ точек, соответствующая какой-либо циклической координате, должна быть равна нулю. Остальные координаты могут и не быть медленно изменяющимися, это – совершенно произвольные координаты. Мы назовем их поэтому обычными координатами и обозначим их опять через $p_{h}$. Пусть их общее число будет $s$. Величины $p$ не должны удовлетворять больше ниқаким уравнениям связей. Такую систему, которая хотя и содержит циклические координаты, однако остальные координаты которой не являются медленно изменяющимися или, по крайней мере, не все будут медленно изменяющимися, мы назовем смешанным циклом, а в противоположность ему такую систему, которая содержит только циклические или медленно изменяющиеся координаты, будем называть чистым циклом.

Легче всего понять вывод относящихся сюда уравнений, если считать, что известны строение системы $n+n^{\prime}$ точек, силовая функция $F$, а также движение точек, т. е. все их координаты известны в функции времени, и поставить вопрос о том, какие обобщенные силы $P_{b}$ соответствуют циклическим координатам и какие силы $\mathfrak{P}_{h}$, соответствующие обычным координатам, должны быть присоединены к силам, имеющим силовую функцию $F$, чтобы вызвать заданное изменение координат во времени. Тогда для циклических координат должны иметь место уравнения (254), т. е.
\[
P_{. b}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}}\right)
\]

для обычных координат – обыкновенные уравнения Лагранжа
\[
\mathfrak{P}_{b}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{h}^{\prime}}\right)-\frac{\partial H}{\partial p_{h}} .
\]

Для любого индекса $b$ или $h$ должно быть
\[
\frac{\partial H}{\partial p^{\prime}}=\frac{\partial T}{\partial p^{\prime}}=q \text {. }
\]

Искомые силы $P_{b}$ и $\mathfrak{P}_{h}$, как и раньше, мы будем предполагать исходящими от каких-либо внешних материальных точек ( $v$ точек), которые, впрочем, в дальнейшем нас занимать не будут. Эти силы, если параметры $p$ заданы в функции времени, также могут быть определены как функции времени из уравнений (271) и (272), иначе говоря, может быть дан ответ на вопрос о том, какие внешние силы $P_{b}$ и $\mathfrak{P}_{h}$ должны быть в каждое данное мгновение присоединены к силам, обусловленным силовой функцией, чтобы вызвать заданное движение.

Понятно, что уравнения (271) и (272) существуют совершенно независимо от того, какие величины в них рассматривают как заданные и какие являются искомыми. Эти уравнения также справедливы и в том случае, если $P_{b}$ и $\mathfrak{P}_{h}$ заданы как функции времени и даже если они заданы как функции координат, скоростей или вообще любых переменных величин и если поставлена

задача определить движение (т. е. найти $p$ при заданных начальных значениях $p$ и $p^{\prime}$ ). В этом последнем случае и левые части уравнений (271) и (272) содержали бы искомые неизвестные. Более того, в сущности совершенно безразлично, какие силы мы относим за счет силовой функции как внутренние и какие причисляем к $\mathfrak{P}_{h}$ как внешние; безразлично, относим ли мы тела, от которых исходят известные силы, к системе или рассматриваем их как не принадлежащие системе, нужно только при этом оставаться вполне последовательным. Так, например, Гельмгольц в электродинамике относит электрическое сопротивление к $\mathfrak{P}$ только потому, что оно порождает необратимые процессы. Мы, однако, для большей наглядности будем всегда представлять себе, что функция $F$ и движение заданы и что вопрос ставится о силах $P_{b}$ и $\mathfrak{P}_{h}$, необходимых для осуществления движения.

Уравнения в форме (272) должны занять место уравнений (252) и (254), если мы хотим теорию циклов, изложенную в §§ $49-51$, развивать без всяких упрощающих допущений или, вообще, если мы хотим решить вопрос о том, как должны меняться с течением времени медленно изменяющиеся параметры под действием заданных сил $\mathfrak{P}_{a}$. В самом деле, если мы хотим получить ответ на этот вопрос, то, очевидно, нельзя пренебрегать величинами $p_{a}^{\prime}$ и $p_{a}^{\prime \prime}$. В уравнениях же (271) и (272) нет более места указанным упрощающим допущениям, ибо условие, что циклические координаты входят в выражения для $T$ и $F$ только под знаком производной, осуществляется не только приближенно, а совершенно точно.

Уравнение (272) имеет форму, указанную в начале § 34 , которая получается, если в общем уравнении Лагранжа (50) [171] положить $\pi=0$, а функции $V$ придать вид (220) [172].

Предположим сначала, что все $P_{b}$ равны нулю, так что циклические движения протекают адиабатически. Тогда согласно уравнениям (271) величины
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}}=q_{b}
\]

все время остаются постоянными. Если значения этих постоянных заданы, то с помощью $\sigma$ уравнений (274) можно исключить $\sigma$ величин $p_{b}^{\prime}$ из $T$, а следовательно, и из $H$. Но так как в уравнении (274) есть члены, содержащие $p^{\prime}$ в первой степени, а также члены, свободные от $p^{\prime}$, то после произведенного исключения $T$ будет квадратичной функцией остальных $p^{\prime}$ (а именно $p_{h}^{\prime}$ ), но эта функция уже не будет однородной, а будет иметь члены, линейные относительно $p_{h}^{\prime}$, и один член, совершенно свободный от них. Тогда также и величина $\mathfrak{k}$, которая получается из $H$ после исключения величин $p_{b}^{\prime}$ посредством уравнений (274), содержит члены, линейные относительно $p_{h}^{\prime}$.

Примером могла бы служить система, которая содержит тело, вращающееся без трения и без (других) сопротивлений вокруг одной из его главных осей инерции как маятник, который мы рассматривали в § 22. Угол, производная по времени от которого определяет угловую скорость вращающегося тела, является соответствующей координатой $p_{b}$; далее, нужно было бы предположить, что силы прилагаются всегда только к обоим концам валов, так что всегда отсутствует момент, ускоряющий или замедляющий вращение. Максвелл пользуется образом вращающегося тела, подчиненного такому условию, для того чтобы объяснить магнетизм внутри элемента объема эфира, и разъясняет этим тот факт, что электромагнитная энергия эфира содержит члены, линейные относительно сил тока, тогда как чисто электродинамическая энергия является однородной квадратичной функцией сил тока. Силы тока Максвелл рассматривает как скорости изменения циклических координат.

Для получения $\mathfrak{5}$ из функции $H$ мы выразили входящие в эту функцию величины $p_{b}^{\prime}$ посредством уравнений (274) через $p_{h}$ и $p_{h}^{\prime}$. Поэтому
\[
\frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial p_{h}}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}}+\sum_{b=1}^{\sigma} \frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}} \cdot \frac{\partial p_{b}^{\prime}}{\partial p_{h}}, \quad \frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial p_{h}^{\prime}}=\frac{\partial H \cdot}{\partial p_{h}^{\prime}}+\sum_{b=1}^{\sigma} \frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}} \cdot \frac{\partial p_{b}^{\prime}}{\partial p_{h}^{\prime}},
\]

или, на основании уравнений (274),
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{h}}=\frac{\partial \mathfrak{E}}{\partial n_{h}}-\sum_{=1}^{\sigma} q_{b} \frac{\partial p_{b}^{\prime}}{\partial p_{h}}, \quad \frac{\partial H}{\partial p_{h}^{\prime}}=\frac{\partial \mathfrak{E}}{\partial p_{h}^{\prime}}-\sum_{b=1}^{\sigma} q_{b} \frac{\partial p_{b}^{\prime}}{\partial p_{h}} .
\]

Если здесь положить
\[
H^{\prime}=\mathfrak{L}-\sum_{b=1}^{\sigma} q_{b} p_{b}^{\prime},
\]

то получается
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{h}}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}}, \quad \frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{h}^{\prime}}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}^{\prime}} .
\]

Здесь предполагается, что в $H^{\prime}$ величины $p_{b}^{\prime}$ исключены при помощи уравнений (274), но при образовании производных $\frac{\partial H}{\partial p_{h}}$ и $\frac{\partial H}{\partial p_{h}^{\prime}}$ величины $p_{b}^{\prime}$ считаются постоянными. Поэтому общее уравнение движения (272), если предположить, что величины $p_{b}^{\prime}$ выражены посредством уравнений (274) через $p_{h}$ и $p_{h}^{\prime}$, принимает для каждого $p_{h}$ такую же форму:
\[
\mathfrak{P}_{h}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{h}^{\prime}}\right)-\frac{\mid \partial H^{\prime}}{\partial p_{h}} .
\]

Стало быть, достаточно вместо $H$ поставить величину $H^{\prime}$, в которой величины $p_{b}^{\prime}$ мыслятся выраженными с помощью уравнений (274) в функции $p_{h}$ и $p_{h}^{\prime}$, так что $H^{\prime}$ в общем случае является неоднородной квадратичной функцией величин $p_{h}^{\prime}$.

В качестве примера мы рассмотрим еще раз задачу из области теории вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, уже изложенную в § 22. Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной точки. Его эллипсоид инерции для этой точки есть эллипсоид вращения.

Мы примем те же обозначения, что и раньше, и пусть опять ось $O \zeta$ совпадает с осью вращения эллипсоида инерции.

Тогда переменная $B$ удовлетворяет условиям, которые мы теперь наложили на координаты, обозначенные через $p_{b}$. Если, стало быть, обобщенная сила, соответствующая параметру $B$, все время равна нулю, то согласно уравнению (274)
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{b}^{\prime}}=\frac{\partial H}{\partial B^{\prime}}=\frac{\partial T}{\partial B^{\prime}}=\text { const. }
\]

Если обозначить эту постоянную через – $v$,\” то из третьего уравнения (121) [173] следует:
\[
c A^{\prime}-B^{\prime}=v
\]

в соответствии с уравнением (124). Если посредством этого уравнения исключить $B^{\prime}$ из выражения (123) для $T$, то мы получим
\[
H=T=\frac{G}{2}\left(\gamma^{2} A^{\prime 2}+C^{\prime 2}\right)+\frac{J}{2} v^{2} .
\]

В последних наших расчетах $F$ является силовой функцией внутренних сил системы, а следовательно, так как в данном случае системой является одно твердое тело, то $F$ равняется нулю. Сила тяжести или вообще силы $\mathfrak{A}$ и ש рассматриваются как внешние силы и содержатся в другой части силовой функции $\sum_{h=1}^{s} \mathfrak{P}_{h} p_{h}$ [уравнение (220)]. $H$ здесь постоянно и равно $T-F$, а не $T-V$, как ранее в этой книге.

Выражение (277) есть то, что мы в уравнении (275) обозначили через $\mathfrak{2}$. Из этого уравнения следует
\[
H^{\prime}=\mathfrak{H}+
u J B=\frac{G}{2}\left(\gamma^{2} A^{\prime 2}+C^{\prime 2}\right)+
u J c A^{\prime},
\]

где постоянная $-J \frac{
u^{2}}{2}$ опущена как излишняя. Из этой величины $H^{\prime}$ должны быть получены обобщенные силы $\mathfrak{A}$ и $\mathfrak{E}$, соответствующие параметрам $A$ и $C$, при помощи уравнений, которые имеют в точности форму уравнений Лагранжа.
Следовательно,
\[
\mathfrak{A}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H^{\prime}}{\partial A^{\prime}}\right)-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial A}, \quad \mathfrak{C}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial H^{\prime}}{\partial C^{\prime}}\right)-\frac{\partial H^{\prime}}{\partial C^{\prime}} .
\]

Путем подстановки значения (278) для $H^{\prime}$ получаем из этих уравнений
\[
\mathfrak{A}=\frac{d}{d t}\left(G \gamma^{2} A^{\prime}-v J c\right), \quad \mathfrak{E}=G\left(C^{\prime \prime}-c \gamma A^{\prime 2}\right)+J v \gamma A^{\prime} .
\]

Уравнения (279) имеют точно форму уравнений Лагранжа, но $H^{\prime}$ теперь содержит также члены первой степени относительно скоростей. Движения не могут происходить точно в обратном порядке. Маятник, с которым соединен вращающийся волчок, имеет (как мы это уже видели в § 22) для колебаний, при которых его центр тяжести движется по кругу, разные периоды колебаний для одного и для другого направлении обращения, в то время как волчок вращается в одну и ту же сторону. Совершенно аналогично этому потенциал электрических токов, если имеются постоянные магниты, содержит члены, линейные относительно сил тока или скоростей. От этого обстоятельства зависит электромагнитное вращение плоскости поляризации света. Эта поразительная аналогия, разумеется, не служит доказательством того, что при только что упомянутых физических явлениях действительно играют роль скрытые вращательные движения. Но эта аналогия может быть самым естественным образом объяснена этой гипотезой и указывает во всяком случае на то, что сравнительное изучение обоих родов явлений обещает объяснение дальнейших фактов. Движение твердого тела, рассматриваемое в описанном примере, является, между прочим, чистым моноциклом, если силы $\mathfrak{A}$ и е имеют как раз такие значения, что $A$ и $C$ меняются очень медленно в сравнении с $B$, в противном случае это – смешанный моноцикл.

К случаю, когда $H$ является еще более сложной функцией скоростей, Гельмгольц подходит следующим образом. Пусть выражение живой силы состоит из двух слагаемых, из которых одно содержит только некоторые определенные скорости $p_{c}^{\prime}$, а второе – только остальные скорости $p_{d}^{\prime}$, так что
\[
\frac{\partial^{2} T}{\partial p_{c}^{\prime} \partial p_{d}^{\prime}}=0 \text {. }
\]

Так как $F$ вовсе не содержит скоростей, то отсюда следует также
\[
\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{c}^{\prime} \partial p_{d}^{\prime}}=0 .
\]

Кроме того, каждая из обобщенных сил, соответствующих координатам $p_{d}$, равна нулю, т.е. $\mathfrak{p}_{d}=0$. Здесь и в дальнейшем уже нет речи о циклических движениях.

Во всяком случае возможны такие движения системы, для которых все $p_{d}^{\prime}$ исчезают, а потому все $p_{d}$ остаются все время постоянными. Так как $H$ не содержит членов, линейных относительно какой-либо скорости $p_{d}^{\prime}$, то для любого индекса $d$ имеем
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{d}^{\prime}}=0,
\]

а из уравнения (272) следует для любого индекса $d$ :
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{d}}=0 .
\]

Из этих уравнений, если отвлечься от особых случаев, определяются координаты $p_{d}$ как функции $p_{c}$ и $p_{c}^{\prime}$. Если подставить найденные таким путем значения $p_{d}$ в выражение для $H$, то получим функцию от $p_{c}$ и $p_{c}^{\prime}$, которую мы обозначим через $\mathfrak{g}$. Функция $\mathfrak{F}$ не должна быть непременно квадратичной функцией $p_{c}^{\prime}$, эти величины могут входить в функцию $\mathfrak{F}$ любым образом, однако она должна быть четной функцией величин $p_{c}^{\prime}$. Тогда получим:
\[
\frac{\partial \mathfrak{G}}{\partial p_{c}}=\frac{\partial H}{\partial p_{c}}+\sum_{d} \frac{\partial H}{\partial p_{d}} \cdot \frac{\partial p_{d}}{\partial p_{c}}, \quad \frac{\partial \mathscr{G}}{d p_{c}}=\frac{\partial H}{\partial p_{c}^{\prime}}+\sum_{d} \frac{\partial H}{\partial p_{d}} \cdot \frac{\partial p_{d}}{\partial p_{c}^{\prime}} ;
\]

отсюда на основании уравнений (281) и (282)
\[
\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial p_{c}}=\frac{\partial H}{\partial p c}, \quad \frac{\partial \mathscr{G}}{\partial p_{c}^{\prime}}=\frac{\partial H}{\partial p_{c}^{\prime}},
\]

и уравнения Лагранжа для координат $p_{c}$ сохраняют свою форму, если в них вместо $H$ подставить $\mathfrak{\mathscr { 2 }}$. Если в силу уравнений связей некоторые скорости оказываются исключенными из выражения для $H$, то соответствующую задачу Гельмгольц называет неполной, ибо она ограничивается отысканием только таких движений, которые допускаются этими уравнениями связей.

Если подыскивать механические аналогии физических явлений, то нельзя заранее знать, какие переменные должны соответствовать координатам и какие – скоростям. Но в физике почти всегда энергия определяется экспериментально как функция некоторых переменных. Поэтому полную механическую задачу можно тогда использовать в качестве аналогии физического процесса, если определенное экспериментальное выражение для энергии есть однородная квадратичная функция некоторых переменных, которые в этом случае следует считать аналогичными скоростям. Если же мы в качестве аналогии берем неполную механическую задачу, то остается открытым вопрос о том, какие из физических переменных поставить в параллель со скоростями и какие – с координатами, так как и те и другие могут содержаться в выражении для энергии в любой форме.