(Первое сообщение)

Грандиозные задачи, поставленные Эйнштейном*), а также остроумно разработанные для их решения методы, его глубоко идущие мысли и образование оригинальных понятий, с помощью которых Ми**) строил свою электродинамику, открыли для исследований по основаниям физики новые пути.

Я хотел бы в последующем, следуя аксиоматическому методу и исходя по существу из двух аксиом, составить новую систему основных уравнений физики. Эти уравнения, обладая идеальным изяществом, содержат одновременно решение задач Эйнштейна и Ми. Более подробное изложение вопроса, и прежде всего специальное применение моих основных уравнений к важнейшим вопросам учения об электричестве, я оставляю до более поздних сообщений.

Пусть $w_{s}(s=1,2,3,4)$ – какие-либо координаты, существенно однозначно определяющие мировые точки, так называемые мировые параметры (наиболее общие пространственно-временные координаты). Величины, характеризующие событие в $w_{s}$, суть: 1) десять впервые введенных Эйнштейном гравитационных потенциалов $g_{\mu
u}(\mu, v=1,2,3,4)$, обладающих симметрично-тензорным характером в отношении любого преобразования мировых параметров $w_{s} ; 2$ ) четыре электродинамических потенциала $q_{s}$, обладающих векторным характером в том же смысле.

Физическое событие не произвольно. Для него всегда выполняются следующие две аксиомы :
Аксиома I (аксиома Ми о мировой функции)***).
Закон физического события определяется мировой функцией $H$, которая зависит от следующих аргументов:
\[
\begin{array}{c}
g_{\mu
u}, g_{\mu
u l}=\frac{\partial g_{\mu v}}{\partial w_{l}}, \quad g_{\mu v l k}=\frac{\partial^{2} g_{\mu
u}}{\partial w_{l} \partial w_{k}} \quad(k, l=1,2,3,4), \\
q_{s}, q_{s l}=\frac{\partial q_{s}}{\partial w_{l}} .
\end{array}
\]

Вариация интеграла
\[
\int H \sqrt{g} d \omega, \text { где } g=\left|g_{\mu,
u}\right|, d \omega=d w_{1} d w_{2} d w_{3} d w_{4},
\]

должна быть равна нулю для любого из 14 потенциалов $g_{\mu}, q_{s}$.

Вместо аргументов (1) можно, очевидно, подставить также аргументы :
\[
g^{\mu
u}, g_{l}^{\mu
u}=\frac{\partial g^{\mu
u}}{\partial w_{l}}, \quad g_{l k}^{\mu
u}=\frac{\partial^{2} g^{\mu
u}}{\partial w_{l} \partial w_{k}},
\]

причем $g^{\prime
u}$ обозначает частное от деления на $g$ минора определителя $g$, соответствующего элементу $g_{\mu
u}$.
Акс иом а II (аксиома об общей инвариантности) *).
Мировая функция $н$ инвариантна по отношению к любому преобразованию мировых параметров $w_{s}$.

Аксиома II есть простейшее математическое выражение того требования, что связь (die Verkettung) потенциалов $g_{\mu_{
u}}, q_{s}$ сама по себе совершенно не зависит от способа, которым установлено соответствие между мировыми точками и мировыми координатами.

Основой для построения моей теории служит математическое предложение, доказательство которого я изложу в другом месте.

Tе орема I. Если выражение $J$ инвариантно по отношению к любым преобразованиям и содержит $n$ величин и их производных и если из условия
\[
\delta \int J \sqrt{g} d \omega=0
\]

составить $n$ лагранжевых вариационных уравнений для этих $n$ величин, то в этой инвариантной системе $n$ дифференциальных уравнений четыре всегда являются следствием $n-4$ остальных, в том смысле, что всегда четыре не зависящие одна от другой линейные комбинации этих $n$ дифференциальных уравнений и их полных производных тождественно удовлетворяются.

По отношению к частным производным по $g^{\mu
u}, g_{k}^{u v} \cdot$ и $g_{k l}^{\mu v}$, которые входят в формулы (4) и в следующие формулы, раз навсегда заметим, что в силу симметрии индексов $\mu$ и $v$, с одной стороны, и индексов $k, l$-с другой, частные производные по $g^{\mu
u}$ и $g_{k}^{\mu
u}$ следует брать с коэффициентом 1 или $1 / 2$, смотря по тому, будет ли соответственно $\mu=v$ или $\mu
eq v$; далее, частные производные по $g_{k l}^{\prime \prime}$ следует брать соответственно с множителями $1,1 / 2$ и $1 / 4$ в зависимости от того, какой из трех случаев имеет место: $\mu=
u$ и $k=l$, $\mu=
u$ и $k
eq l$ или $\mu
eq v$ и $k=l$, или, наконец, $\mu
eq v$ и $k
eq l$.

Из аксиомы I получаются прежде всего в соответствии с десятью гравитационными потенциалами $g^{\mu
u}$ десять дифференциальных уравнений Лагранжа
\[
\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g^{\mu
u}}-\sum \frac{\partial}{\partial w_{k}} \frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g_{k}^{\mu v}}+\sum_{k, l} \frac{\partial^{2}}{\partial w_{k} \partial w_{l}} \frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g_{k l}^{\mu
u}}=0 \quad(\mu, v=1,2,3,4),
\]

а затем в соответствии с четырьмя электродинамическими потенциалами $q_{s}$ четыре дифференциальных уравнения Лагранжа:
\[
\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial q_{h}}-\sum_{k} \frac{\partial}{\partial w_{k}} \frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial q_{h}}=0 \quad(h=1,2,3,4) .
\]

Для сокращения обозначим левые части уравнений (4), (5) соответственно через
\[
[\sqrt{g} H]_{\mu_{v}}, \quad[\sqrt{g} H]_{h} .
\]

Уравнения (4) можно назвать основными уравнениями тяготения, урав-

нения (5) – основными электродинамическими уравнениями или обобщенными уравнениями Максвелла. На основании выдвинутой выше теоремы мы можем четыре уравнения (5) рассматривать как следствие уравнений (4), т. е. непосредственно на основании этого математического предложения мы можем высказать утверждение, что в указанном смысле электродинамические явления суть следствия тяготения. В этом результате я вижу простое и поразительное решение проблемы Римана, который первым пытался установить теоретически связь между тяготением и светом.

В дальнейшем мы будем пользоваться тем легко доказываемым фактом, что если $p^{j}(j=1,2,3,4)$ обозначает произвольный контравариантный вектор, то выражение
\[
p^{\mu
u}=\sum_{s}\left(g_{s}^{\mu v} p^{s}-g^{\mu s} p_{s}^{v}-g^{v s} p_{s}^{\mu}\right) \quad\left(p_{s}^{j}=\frac{\partial p_{j}^{j}}{\partial w_{s}}\right)
\]

представляет симметричный контравариантный тензор, а выражение
\[
p_{i}=\sum_{s}\left(q_{i s} p^{s}+q_{s} p_{i}^{s}\right)
\]
– ковариантный вектор.

Далее мы устанавливаем две математические теоремы, которые гласят следующее :

Теорема II. Если $J$ есть инвариант, содержащий величины $g^{\mu \prime}, g_{l}^{\mu p}$, $g_{k l}^{\mu v}, q_{s}, q_{s k}$, то для всех аргументов и для любого произвольного контравариантного вектора $p^{s}$ имеет место следующее тождество:
\[
\sum_{\mu, v, l, k}\left(\frac{\partial J}{\partial g^{\mu
u}} \Delta g^{\mu
u}+\frac{\partial J}{\partial g_{l}^{\mu
u}} \Delta g_{l}^{\mu
u}+\frac{\partial J}{\partial g_{l k}^{\mu
u}} \Delta g_{l k}^{\mu
u}\right)+\frac{\sum}{s, k}\left(\frac{\partial J}{\partial q_{s}} \Delta q_{s}+\frac{\partial J}{\partial q_{s k}} \Delta q_{s k}\right)=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Delta g^{\mu v}=\Sigma\left(g^{\mu m} p_{m}^{v}+g^{v m} p_{m}^{\mu}\right), \\
\Delta g_{l}^{\mu
u}=-\sum_{m} g_{m}^{\mu v} p_{l}^{m}+\frac{\partial \Delta g^{\mu v}}{\partial w_{l}}, \\
\Delta g_{l k}^{u
u}=-\sum_{m}\left(g_{m}^{\mu v} p_{l k}^{m}+g_{l m}^{\mu
u} p_{k}^{m}+g_{k m}^{\mu
u} p_{l}^{m}\right)+\frac{\partial^{2} \Delta g^{\mu v}}{\partial w_{l} \partial w_{k}}, \\
\Delta q_{s}=-\sum_{m} q_{m} p_{s}^{m}, \\
\Delta q_{s k}=-\sum_{m} q_{s m} p_{k}^{m}+\frac{\partial \Delta q_{s}}{\partial w_{k}} .
\end{array}
\]

Эту теорему можно сформулировать также следующим образом :
Если $J$ есть инвариант, а $p^{s}$, как и раньше, – произвольный вектор, то имеет место тождество
\[
\sum_{s} \frac{\partial J}{\partial w_{s}} p^{s}=P J
\]

Здесь положено :
\[
\begin{aligned}
P & =P_{g}+P_{q}, \\
P_{g} & =\sum_{\mu, v, l, k}\left(p^{\mu
u} \frac{\partial}{\partial g^{\mu
u}}+p_{l}^{\mu
u} \frac{\partial}{\partial g_{l}^{\mu
u}}+p_{l k}^{\mu
u} \frac{\partial}{\partial g_{l k}^{\mu
u}}\right), \\
P_{q} & =\sum_{l, k}\left(p_{l} \frac{\partial}{\partial q_{l}}+p_{l k} \frac{\partial}{\partial q_{l k}}\right),
\end{aligned}
\]

причем введены следующие сокращенные обозначения:
\[
p_{k}^{\mu
u}=\frac{\partial p^{\mu
u}}{\partial w_{k}}, \quad p_{k l}^{\mu
u}=\frac{\partial^{2} p^{\mu
u}}{\partial w_{k} \partial w_{l}}, \quad p_{l k}=\frac{\partial p_{l}}{\partial w_{k}} .
\]

Доказательство соотношения (6) получается легко ; в самом деле, очевидно, что тождество справедливо, если $p^{s}$ есть постоянный вектор, а отсюда вследствие инвариантности этого тождества вытекает его справедливость вообще.

Те орема III. Если $J$ есть инвариант, зависящий только от $q^{\mu
u}$ и их производных, и если, как и выше, обозначить вариационные производные от $\sqrt{\bar{g}} J$ по $g^{\mu
u}$ через $[\sqrt{\bar{g}} J]_{\mu
u}$, то выражение
\[
\frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{\mu,
u}[\sqrt{g} J]_{\mu
u} h^{\mu
u},
\]

где под $h^{\mu
u}$ понимается любой контравариантный тензор, есть инвариант; если в этой сумме вместо $h^{\mu
u}$ поставить некоторый особый тензор $p^{\mu
u}$ и написать
\[
\sum_{\mu, v}[\sqrt{g} J]_{\mu
u} p^{\mu
u}=\sum_{s, l}\left(i_{s} p^{s}+i_{s}^{l} p_{l}^{s}\right)
\]

где выражения
\[
i_{s}=\sum_{\mu,
u}[\sqrt{g} J]_{\mu_{
u}} g_{s}^{\mu
u}, \quad i_{s}^{l}=-2 \sum_{\mu}[\sqrt{g} J]_{\mu_{s}} g^{\mu}
\]

зависят только от $g^{\mu
u}$ и их производных, то равенство
\[
i_{s}=\sum_{l} \frac{\partial i_{s}^{l}}{\partial w_{l}}
\]

имеет место тождественно для всех аргументов, именно для $g^{\mu
u}$ и их производных.
Для доказательства рассмотрим интеграл
\[
\int J \sqrt{g} d \omega^{\cdot} \quad\left(d \omega=d w_{1} d w_{2} d w_{3} d w_{4}\right),
\]

который распространяется на некоторую часть четырехмерного мира. Далее, пусть $p^{s}$ будет вектор, который обращается в нуль вместе со своими производными на трехмерной поверхности рассматриваемой части мира. Так как
\[
P=P_{g},
\]

то из формулы
\[
P(\sqrt{g} H)=\sqrt{g} \sum_{s} \frac{\partial H}{\partial w_{s}} p^{s}+H \sum_{s}\left(\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial w_{s}} p^{s}+\sqrt{g} p_{s}^{s}\right)=\sum_{s} \frac{\partial \sqrt{g} H p^{s}}{\partial w_{s}},
\]

которая будет выведена дальше (см. стр. 594), следует :
\[
P_{g}(\sqrt{g} J)=\sum_{s} \frac{\partial \sqrt{g} \cdot J p^{s}}{\partial w_{s}},
\]

откуда получается
\[
\int P_{g}(J \sqrt{g}) d \omega=0,
\]

а вследствие способа образования лагранжевой производной – также и следующее :
\[
\int \sum_{\mu,
u}[\sqrt{g} J]_{\mu
u} p^{\mu
u} d \omega=0 .
\]

Наконец, введение в это равенство величин $i_{s}$, $i_{s}^{l}$ показывает, что
\[
\int\left(\sum_{l} \frac{\partial i_{s}^{l}}{\partial w_{l}}-i_{s}\right) p^{s} d \omega=0,
\]

а потому утверждение нашей теоремы справедливо.

Важнейшей нашей целью теперь являются установление понятия энергии и вывод теоремы энергии на основе только двух аксиом I и II.
Для этого мы сначала образуем выражение
\[
P_{g}(\sqrt{g} H)=\sum_{\mu,
u, k, l}\left(\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g^{\mu
u}} p^{\mu
u}+\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g_{k}^{\mu
u}} p_{k}^{\mu
u}+\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial g_{k l}^{\mu
u}} p_{k l}^{\mu
u}\right) .
\]

Здесь $\frac{\partial H}{\partial g_{k l}^{\mu
u}}$ есть смешанный тензор четвертого ранга, и потому, если положить
\[
\begin{array}{l}
A_{k}^{\mu
u}=p_{k}^{\mu
u}+\sum_{\varrho}\left(\left\{\begin{array}{c}
\left.k_{\rho}\right) \\
\mu
\end{array}\right\} p^{\varrho
u}+\left\{\begin{array}{c}
k_{\rho} \\

u
\end{array}\right\} p^{\varrho \mu}\right), \\
\left\{\begin{array}{c}
k_{\rho} \\
\mu
\end{array}\right\}=\frac{1}{2} \sum_{\sigma} g^{\mu \sigma}\left(g_{k \sigma_{\varrho}}+g_{\varrho \sigma_{k}}-g_{k \varrho \sigma}\right),
\end{array}
\]

то выражение
\[
a^{l}=\sum_{\mu, v, k} \frac{\partial H}{\partial g_{k l}^{\mu v}} A_{k}^{\mu v}
\]

представит контраградиентный вектор.
Поэтому, если образовать выражение
\[
P_{g}[\sqrt{g} H]-\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g} a^{l}}{\partial w_{l}},
\]

то оно больше не будет содержать вторых производных $p_{k l}^{\mu v}$, а потому будет иметь вид
\[
\sqrt{g} \sum_{\mu,
u, k}^{y}\left(B_{\mu
u} p^{\mu
u}+B_{\mu
u}^{k} p_{k}^{\mu
u}\right),
\]

где
\[
B_{\mu
u}^{k}=\sum_{\varrho, l}\left(-\frac{\partial H}{\partial g_{k}^{\mu
u}}-\frac{\partial}{\partial w_{l}} \frac{\partial H}{\partial g_{k l}^{\mu
u}}-\frac{\partial H}{\partial g_{k l}^{\rho v}}\left\{\begin{array}{c}
l \mu \\
\rho
\end{array}\right\}-\frac{\partial H}{\partial g_{k l}^{\mu l}}\left\{\begin{array}{c}
l v \\
\rho
\end{array}\right\}\right)
\]

есть также смешанный тензор.
Теперь образуем вектор
\[
b^{l}=\sum_{\mu,
u} B_{\mu
u}^{l} p^{\mu v}
\]

и тогда получим
\[
P_{g}(\sqrt{g} H)-\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g}\left(a^{l}+b^{l}\right)}{\partial w_{l}}=\sum_{\mu,
u}[\sqrt{g} H]_{\mu
u} p^{\mu
u} .
\]

С другой стороны, мы образуем выражение
\[
P_{g}(\sqrt{g} H)=\sum_{k, l}\left(\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial q_{k}} p_{k}+\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial q_{k l}} p_{k l}\right) ;
\]

тогда $\frac{\partial H}{\partial q_{k l}}$ есть тензор, а выражение
\[
c^{l}=\sum_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k l}} p_{k}
\]

представляет контраградиентный вектор. Соответственно подобно предыдущему
\[
P_{q}(\sqrt{q} H)-\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g} c^{l}}{\partial w_{l}}=\sum_{k}[\sqrt{g} H]_{k} p_{k} .
\]

Если принять теперь во внимание основные уравнения (4) и (5), то путем сложения равенств (10) и (12) мы находим
\[
P(\sqrt{g} H)=\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g}\left(a^{l}+b^{l}+c^{l}\right)}{\partial w_{l}} .
\]

Ho
\[
P(\sqrt{g} H)=\sqrt{g} P H+H \sum_{\mu,
u} \frac{\partial \sqrt{g}}{\partial g{ }^{\mu
u}} p^{\mu
u}=\sqrt{g} P H+H \sum_{s}\left(\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial w_{s}} p^{s}+\sqrt{g} p_{s}^{s}\right),
\]

и поэтому, в силу тождества (6),
\[
P(\sqrt{g} H)=\sqrt{g} \sum_{s} \frac{\partial H}{\partial w_{s}} p^{s}+H \sum_{s}\left(\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial w_{s}} p^{s}+\sqrt{g} p_{s}^{s}\right)=\sum_{s} \frac{\partial \sqrt{g} H p^{s}}{\partial w_{s}} .
\]

Таким образом; мы получаем, наконец, инвариантное уравнение
\[
\sum_{l} \frac{\partial}{\partial w_{l}} \sqrt{g}\left(H p^{l}-a^{l}-b^{l}-c^{l}\right)=0 .
\]

Теперь мы принимаем во внимание, что
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{l k}}-\frac{\partial H}{\partial q_{k l}}
\]

есть кососимметричный контравариантный тензор ; вследствие этого
\[
d^{l}=\frac{1}{2 \sqrt{\bar{g}}} \sum_{k, s} \frac{\partial}{\partial w_{s}}\left\{\left(\frac{\partial \sqrt{g} H}{\partial q_{l k}}-\frac{\partial V_{g} H}{\partial q_{k l}}\right) p^{s} q_{s}\right\}
\]

будет контравариантным вектором, который, очевидно, удовлетворяет тождеству
\[
\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g} d^{l}}{\partial w_{l}}=0 .
\]

Если мы теперь определим
\[
e^{l}=H p^{l}-a^{l}-b^{l}-c^{l}-d^{l}
\]

как вектор энергии, то вектор энергии есть контравариантный вектор, который зависит линейно от произвольного вектора $p^{s}$ и тождественно, при любом выборе этого вектора $p^{s}$ удовлетворяет инвариантному уравнению энергии:
\[
\sum_{l} \frac{\partial \sqrt{g} e^{l}}{\partial w_{l}}=0 .
\]

Что касается мировой функции $H$, то для того, чтобы ее выбор сделался однозначным, нужны дальнейшие аксиомы. Если уравнения тяготения должны содержать только вторые производные от потенциалов $g^{u v}$, то функция $H$ должна иметь вид
\[
H=K+L,
\]

где $K$ обозначает инвариант тензора Римана (кривизна четырехмерного многообразия) :
\[
\begin{array}{c}
K=\sum_{\mu,
u} g^{\mu
u} K_{\mu
u}, \\
K_{\mu
u}=\sum_{x}\left(\frac{\partial}{\partial w_{v}}\left\{\begin{array}{c}
\mu x \\
x
\end{array}\right\}-\frac{\partial}{\partial w_{x} \mid}\left\{\begin{array}{c}
\mu
u \\
x
\end{array}\right\}\right)+\sum_{x, \lambda}\left(\left\{\begin{array}{c}
\mu x \\
\lambda
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\lambda v \\
x
\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}
\mu
u \\
\lambda
\end{array}\right\}\left\{\begin{array}{c}
\lambda x \\
x
\end{array}\right\}\right),
\end{array}
\]

а $L$ зависит только от величин $g^{\mu
u}, g_{l}^{u v}, q_{s}, q_{s k}$. В дальнейшем мы сделаем упрощающее допущение, что $L$ не содержит $g_{l}^{a
u}$.

Теперь мы применяем теорему II к инварианту $L$ и получаем
\[
\sum_{\mu, v, m} \frac{\partial L}{\partial g^{\mu
u}}\left(g^{\mu m} p_{m}^{v}+g^{v m} p_{m}^{\mu}\right)-\sum_{s, m} \frac{\partial L}{\partial q_{s}} q_{m} p_{s}^{m}-\sum_{s, k_{1} m} \frac{\partial L}{\partial q_{s k}}\left(q_{s m} p_{k}^{m}+q_{m k} p_{s}^{m}+q_{m} p_{s k}^{m}\right)=0 .
\]

Приравнивание нулю коэффициентов при $p_{s k}^{m}$ слева дает уравнение
\[
\left(\frac{\partial L}{\partial q_{s k}}+\frac{\partial L}{\partial q_{k s}}\right) q_{m}=0,
\]

или
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{s k}}+\frac{\partial L}{\partial q_{k s}}=0 \text {. }
\]
т. е. производные электродинамических потенциалов $q_{s}$ входят в комбинации
\[
M_{k s}=q_{s k}-q_{k s} .
\]

Таким образом, мы приходим к тому, что при наших допущениях инвариант $L$, кроме потенциалов $g^{\mu
u}, q_{s}$, зависит только от компонентов кососимметричного инвариантного тензора
\[
M=\left(M_{k s}\right)=\operatorname{Rot}\left(q_{s}\right),
\]
т. е. так называемого электромагнитного шести-вектора. Этот результат, которым только теперь определяется характер максвелловых уравнений, получается здесь, по существу, как следствие общей инвариантности, т. е. на основе аксиомы II.

Если в тождестве (15) положить коэффициент при $p_{m}^{y}$ слева равным нулю, то, пользуясь уравнением (16), мы получим
\[
2 \sum_{\mu} \frac{\partial L}{\partial g^{\mu
u}} g^{\mu m}-\frac{\partial L}{\partial q_{m}} q_{v}-\sum_{s} \frac{\partial L}{\partial M_{m s}} M_{v s}=0 \quad(
u=1,2,3,4) .
\]

Это уравнение позволяет сделать важное преобразование электромагнитной энергии, т. е. происходящей от $L$ части вектора энергии. Именно, эта часть получается следующим образом из уравнений (11), (13), (14) :
\[
L p^{l}-\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k l}} p_{k}-\frac{1}{2 \sqrt{\bar{g}}} \sum_{k, s} \frac{\partial}{\partial w_{k}}\left\{\left(\frac{\partial V_{g} L}{\partial q_{l k}}-\frac{\partial \sqrt{\bar{g}} L}{\partial q_{k l}}\right) p^{s} q_{s}\right\} .
\]

В силу соотношения (16), принимая во внимание уравнения (5), этому выражению можно придать вид
\[
\sum_{s, k}\left(L \delta_{s}^{l}-\frac{\partial L}{\partial M_{l k}} M_{s k}-\frac{\partial L}{\partial q_{l}} q_{s}\right) p^{s} \quad\left(\delta_{s}^{l}=0, l
eq s ; \delta_{s}^{s}=1\right) .
\]

Это выражение на основании уравнения (17) равно
\[
-\frac{2}{\sqrt{\bar{g}}} \sum_{\mu, s} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial g^{\mu s}} g^{\mu l} p^{s} .
\]

На основании формул (21), которые будут выведены дальше, отсюда можно, в частности, усмотреть, что электромагнитная энергия, а вместе с тем и полный вектор энергии могут быть выражены только через $K$, так что сюда войдут только $g^{\text {иv }}$ и их производные, но не $q_{s}$ и их производные. Если в выражении (18) перейти к пределу, полагая
\[
g_{\mu
u}=0 \quad(\mu
eq v), \quad g_{\mu \mu}=1,
\]

то это выражение в точности совпадает с тем выражением, которое Ми ввел в своей электродинамике: электромагнитный тензор энергии Ми есть не что иное, как инвариантный тензор, получающийся путем дифференцирования инварианта $L$ по потенциалам тяготения $g^{\mu
u}$ при указанном переходе к пределу. Это обстоятельство впервые указало мне на необходимость существования тесной связи между общей теорией относительности Эйнштейна и электродинамикой Ми и дало мне доказательство справедливости развитой здесь теории.
Остается еще непосредственно показать, принимая
\[
H=K+L
\]

каким образом полученные выше обобщенные уравнения Максвелла (5) вытекают из уравнений тяготения (4) в указанном выше смысле.

Если применить введенный перед этим способ обозначения вариационных производных по $g^{\mu
u}$, то уравнения тяготения в силу равенства (20) получают вид
\[
[\sqrt{g} K]_{\mu
u}+\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial g^{\mu
u}}=0 .
\]

Первый член слева преобразуется следующим образом :
\[
[\sqrt{g} K]_{\mu
u}=\sqrt{g}\left(K_{\mu
u}-\frac{1}{2} K g_{\mu
u}\right),
\]

как легко получается непосредственно из того, что $K_{\mu_{
u}}$, помимо $g_{\mu
u}$, есть единственный тензор второго ранга и $K$ – единственный инвариант, которые могут быть получены исключительно из $g^{\mu v}$ и из первых и вторых производных $g_{k}^{\mu
u}, g_{k l}^{\mu
u}$.

Получаемые таким путем дифференциальные уравнения тяготения созвучны, как мне кажется, грандиозной теории общей относительности, выдвинутой Эйнштейном в его последних работах*).

Если мы дальше, как и выше, вообще будем обозначать вариационные производные от $\sqrt{\bar{g}} J$ по электромагнитному потенциалу $q_{h}$ через
\[
[\sqrt{g} J]_{h}=\frac{\partial \sqrt{g} J}{\partial q_{h}}-\sum_{k} \frac{\partial}{\partial w_{k}} \frac{\partial \sqrt{g} J}{\partial q_{h k}},
\]

то, на основании равенства (20) мы получим электродинамические уравнения в виде
\[
[\sqrt{\rho} L]_{h}=0 .
\]

Но так как $K$ есть инвариант, зависящий только от $g^{\mu
u}$ и их производных, то на основании теоремы III тождественно удовлетворяется уравнение (7), где
\[
i_{s}=\sum_{\mu,
u}[\sqrt{g} K]_{\mu
u} g_{s}^{\mu^{
u}}
\]

и
\[
i_{s}^{l}=-2 \sum_{\mu}[\sqrt{g} K]_{\mu_{s}} g^{\mu l} \quad(\mu=1,2,3,4) .
\]

На основании формул (21) и (24) выражение (19) равно – $\frac{1}{\sqrt{g}} i_{y}^{m}$. Путем

дифференцирования по $w_{m}$ и суммирования по $m$ мы получаем на основании уравнения (7)
\[
\begin{array}{l}
i_{v}=\sum_{m} \frac{\partial}{\partial w_{m}}\left(-\sqrt{g} L \delta_{v}^{m}+\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m}} q_{v}+\sum_{s} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial M_{s m}} M_{s v}\right)=-\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial w_{v}}+ \\
+\sum_{m}\left\{q_{v} \frac{\partial}{\partial w_{m}}\left([\sqrt{g} L]_{m}+\sum_{s} \frac{\partial}{\partial w_{s}} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m s}}\right)+q_{v m}\left([\sqrt{g} L]_{m}+\sum_{s} \frac{\partial}{\partial w_{s}} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m s}}\right)\right\}+ \\
+\sum_{s}\left([\sqrt{g} L]_{s}-\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{s}}\right) M_{s v}+\sum_{s, m} \frac{\partial \sqrt{g} M}{\partial M_{s m}} \frac{\partial M_{s v}}{\partial w_{m}}
\end{array}
\]

так как
\[
\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m}}=[\sqrt{g} L]_{m}+\sum_{s} \frac{\partial}{\partial w_{s}} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m s}}
\]

и
\[
-\sum_{m} \frac{\partial}{\partial w_{m}} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{s m}}=[\sqrt{g} L]_{s}-\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{s}^{\prime}} .
\]

Теперь мы примем во внимание, что на основании уравнения (16)
\[
\sum_{m, s} \frac{\partial^{2}}{\partial w_{m} \partial w_{s}} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m s}}=0,
\]

и тогда после соответствующих преобразований получим
\[
\begin{aligned}
i_{v}=-\frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial w_{v}}+\sum_{m}\left(q_{v} \frac{\partial}{\partial w_{m}}[\sqrt{g} L]_{m}\right. & \left.+M_{m
u}[\sqrt{g} L]_{m}\right)+ \\
& +\frac{\sum}{m} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m}} q_{m v}+\sum_{s, m} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial M_{s m}} \frac{\partial M_{s v}}{\partial w_{m}} .
\end{aligned}
\]

С другой стороны,
\[
-\frac{\partial \sqrt{\bar{g}} L}{\partial w_{y}}=-\sum_{s, m} \frac{\partial \sqrt{\bar{g}} L}{\partial g^{s m}} g_{
u}^{s m}-\sum_{m} \frac{\partial \sqrt{\bar{g}} L}{\partial q_{m}} q_{m^{v}}-\sum_{m, s} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial q_{m s}} \frac{\partial q_{m s}}{\partial w_{v}} .
\]

Первый член правой части на основании уравнений (21) и (23) есть не что иное, как $i_{y}$. Последний член справа равен по абсолютной величине и противоположен по знаку последнему члену правой части уравнения (25) ; в самом деле,
\[
\sum_{s, m} \frac{\partial \sqrt{g} L}{\partial M_{s m}}\left(\frac{\partial M_{s v}}{\partial w_{m}}-\frac{\partial q_{m s}}{\partial w_{v}}\right)=0
\]

так как выражение
\[
\frac{\partial M_{s v}}{\partial w_{m}}-\frac{\partial q_{m s}}{\partial w_{v}}=\frac{\partial^{2} q_{v}}{\partial w_{s} \partial w_{m}}-\frac{\partial^{2} q_{s}}{\partial w_{v} \partial w_{m}}-\frac{\partial^{2} q_{m}}{\partial w_{p} \partial w_{s}}
\]

симметрично, а первый множитель под знаком суммы в уравнении (26) кососимметричен относительно $s$ и $m$.
Поэтому из уравнения (25) вытекает уравнение
\[
\sum_{m}\left(M_{m v}[\sqrt{g} L]_{m}+q_{v} \frac{\partial}{\partial w_{m}}[\sqrt{g} L]_{m}\right)=0 ;
\]

это значит, что из уравнений тяготения (4) действительно вытекают четыре независимые одна от другой линейные комбинации (27) основных электродинамических уравнений и их первых производных. Это есть точное мате-

матическое выражение высказанного выше утверждения о характере электродинамики как следствия тяготения.

Так как величина $L$ на основании нашего предположения не должна зависеть от производных $g^{\mu
u}$, то $L$ должна быть функцией четырех общих определенных инвариантов, которые соответствуют введенным Ми специальным ортогональным инвариантам ; из них простейшими являются следующие два :
\[
Q=\sum_{k, l, m, n} M_{m n} M_{l k} g^{m k} g^{n l}
\]

и
\[
q=\sum_{k, i} q_{k} q_{l} g^{k l} .
\]

Простейшее и, с точки зрения строения величины $K$, самое естественное выражение для $L$ есть вместе с тем то, которое соответствует электродинамике Ми, а именно:
\[
L=\alpha Q+f(q)
\]

или, в частности, если следовать Ми,
\[
L=\alpha Q+\beta q^{3},
\]

где $f(q)$ – какая-либо функция $q$, а $\alpha$ и $\beta$ – постоянные.
Как мы видим, при соответствующем толковании немногие простые предположения, высказанные в аксиомах I и II, оказываются достаточными для построения теории, посредством которой не только в корне преобразуются наши представления о пространстве, времени и движении в направлении, указанном Эйнштейном, но и, как я убежден, при помощи составленных здесь уравнений будут разъяснены сокровеннейшие, до сих пор скрытые явления внутри атома, и на их основе должно оказаться возможным вообще свести все физические постоянные к математическим постоянным. Таким путем мы приближаемся к возможности превратить в принципе физику в науку, подобную геометрии, которая составляет, несомненно, прекраснейший образец аксиоматического метода, пользующегося в данном случас услугами мощных инструментов математического анализа, а именно вариационного исчисления и теории инвариантов.